2023-2024学年河北省石家庄四十二中七年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年河北省石家庄四十二中七年级（下）期中数学试卷（含解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列方程中，是二元一次方程的是( )
A. x−y2=1B. 2x−y=1C. 1x+y=1D. xy−1=0
2.方程组2x+y=◼x+y=3的解为x=2y=◼，则被遮盖的前后两个数分别为( )
A. 1、2B. 1、5C. 5、1D. 2、4
3.下列运算中，正确的是( )
A. (−m)6÷(−m)3=−m3B. (−a3)2=−a6
C. (xy2)2=xy4D. a2·a3=a6
4.如图，将一张长方形纸对折两次，产生的折痕与折痕之间的位置关系是( )
A. 平行B. 垂直C. 平行或垂直D. 无法确定
5.下列图形中，线段AD的长表示点A到直线BC距离的是( )
A. B.
C. D.
6.下列语句中：
①有公共顶点且相等的角是对顶角；
②直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离；
③两点之间直线最短；
④同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
其中正确的个数有( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
7.如图，直线AB、CD相交于点E，EF⊥AB于E，若∠CEF=65°，则∠DEB的度数为( )
A. 155°B. 135°C. 35°D. 25°
8.下列所示的四个图形中，∠1和∠2是同位角的是( )
A. ②③B. ①②③C. ①②④D. ①④
9.若3x=4,9y=7，则3x−2y的值为( )
A. 47B. 74C. −3D. 27
10.若k为正整数，则 (k+k+k+⋯+k)kk个k=( )
A. k2kB. k2k+1C. 2kkD. k2+k
11.数学活动中老师要求同学们利用三角板作已知直线a的平行线，如图是甲同学和乙同学作图的过程，下列判断正确的是( )
A. 甲、乙都正确B. 甲正确，乙错误C. 甲错误，乙正确D. 甲、乙都错误
12.如图，给出下列条件：①∠1=∠2：②∠3=∠4：③AB//CE，且∠ADC=∠B：④AB//CE，且∠BCD=∠BAD.其中能推出BC/​/AD的条件为( )
A. ①②
B. ②④
C. ②③
D. ②③④
13.如图1的晾衣架中存在多组平行关系，将晾衣架的侧面抽象成如图2的数学问题，已知AB//MN//PQ，若∠2=100°，∠3=130°，则∠1的度数为( )
A. 40°B. 50°C. 60°D. 70°
14.如图所示，两台天平保持平衡，已知每块巧克力的重量相等，每个果冻的重量相等，则每块巧克力和每个果冻的重量分别是
( )
A. 10 g，40 gB. 15 g，35 gC. 20 g，30 gD. 30 g，20 g
15.已知方程组3x−y=5−2kx+3y=k，那么x与y的关系是( )
A. 4x+2y=5B. 2x−2y=5C. x+y=1D. 5x+7y=5
16.将一副三角板的直角顶点重合按如图放置，小明得到下列结论：
①如果∠2=30°，则AC/​/DE；
②∠BAE+∠CAD=180°；
③如果BC/​/AD，则∠2=30°；
④如果∠CAD=150°，则∠4=∠C.其中正确的结论有( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
17.3−2+20= ______；若3x−1=92，则x= ______．
18.已知x、y满足方程组2x+y=5x+2y=4，则x−y的值为______．
19.用一张等宽的纸条折成如下图所示的图案，若∠1=23°，则∠2的度数为______．
20.如图，在甲、乙、丙三只袋中分别装有球29个、29个、5个，先从甲袋中取出2x个球放入乙袋，再从乙袋中取出(2x+2y)个球放入丙袋，最后从丙袋中取出2y个球放入甲袋，此时三只袋中球的个数相同，则2x−y的值等于______．
三、解答题：本题共6小题，共45分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
21.(本小题8分)
(1)计算：a2⋅(−a)4−(3a3)2；
(2)解方程组：2x−y=54x+3y=25．
22.(本小题6分)
在正方形网格中，小正方形的顶点称为“格点”，每个小正方形的边长均为1，△ABC的三个顶点均在“格点”处．
(1)在给定方格纸中，平移△ABC，使点B与点B′对应，请画出平移后的△A′B′C′；
(2)线段AA′与线段CC′的位置关系是______，数量关系是______；
(3)四边形BB′C′C的面积是______．
23.(本小题8分)
如图，已知AC/​/FE，∠1+∠2=180°．
(1)求证：∠FAB=∠BDC.请将下面证明过程补充完整：
证明：因为AC//EF(已知)
所以∠1+∠FAC=180°(______)
又因为∠1+∠2=180°(已知)
所以______(等角的补角相等)
所以FA//CD(______)
所以∠FAB=∠BDC(两直线平行，同位角相等)
(2)若AC平分∠FAD，EF⊥BE于点E，∠FAD=80°，求∠BCD的度数．
24.(本小题6分)
已知关于x，y的二元一次方程组3x+4y=3x+2y=2−3m的解满足2x+3y=1，求m的值．
25.(本小题8分)
随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计80万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计95万元．
(1)求A、B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？
(2)若该公司计划正好用200万元购进以上两种型号的新能源汽车(两种型号的汽车均购买)，请你帮助该公司设计购买方案．
26.(本小题9分)
已知直线AB/​/CD，P为平面内一点，连接PA、PD．
(1)如图1，已知∠A=50°，∠D=150°，求∠APD的度数；
(2)如图2，判断∠PAB、∠CDP、∠APD之间的数量关系为______．
(3)如图3，在(2)的条件下，AP⊥PD，DN平分∠PDC，若∠PAN+12∠PAB=∠APD，求∠AND的度数．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：A.x−y2=1不是二元一次方程；
B.2x−y=1是二元一次方程；
C.1x+y=1不是二元一次方程；
D.xy−1=0不是二元一次方程；
故选：B．
根据二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的整式方程叫做二元一次方程．据此逐一判断即可得．
本题主要考查二元一次方程的定义，解题的关键是掌握含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的整式方程叫做二元一次方程．
2.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了解二元一次方程组，利用方程组的解满足每个方程即可．
根据方程组的解满足方程组中的每个方程，代入求值可求出被遮盖的前后两个数．
【解答】
解：将x=2代入第二个方程可得y=1，
将x=2，y=1代入第一个方程可得2x+y=5
∴被遮盖的前后两个数分别为：5，1，
故选C．
3.【答案】A
【解析】解：A、(−m)6÷(−m)3=(−m)6÷(−m)3=(−m)6−3=−m3，故本选项符合题意；
B、(−a3)2=a6，故本选项不符合题意；
C、(xy2)2=x2y4，故本选项不符合题意；
D、a2·a3=a2+3=a5，故本选项不符合题意；
故选：A。
分别根据同底数幂的除法法则，幂的乘方与积的乘方运算法则以及同底数幂的乘法法则逐一判断即可。
本题主要考查了同底数幂的乘除法以及幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键。
4.【答案】A
【解析】解：观察图形可知，将一张长方形纸对折两次，产生的折痕与折痕之间的位置关系是平行．
故选：A．
根据平行公理解答即可．
考查了平行线，本题利用平行公理求解，需要熟练掌握．
5.【答案】D
【解析】解：线段AD的长表示点A到直线BC距离，则AD⊥BC，垂足为D，符合题意的是D选项的图形，
故选D．
根据点到直线的距离的概念进行判断即可．
本题考查了点到直线的距离的定义，注意是垂线段的长度，不是垂线段．
6.【答案】A
【解析】解：①有公共顶点且相等的角是对顶角，错误，
②直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离，错误，
③两点之间线段最短，错误，
④在平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，正确，
∴上列语句中，正确的个数有1个，
故选：A．
根据对顶角、线段的性质、点到直线的距离，垂线的定义逐一判断即可．
本题考查了线段性质、点到直线的距离、垂线的定义，解决本题的关键是熟练掌握以上知识．
7.【答案】D
【解析】【分析】
此题主要考查了垂线以及对顶角，正确得出∠AEC的度数是解题关键．
直接利用垂直的定义结合互余的性质、对顶角的性质得出答案．
【解答】
解：∵EF⊥AB于E，∠CEF=65°，
∵∠AEF=90°，
∴∠AEC=∠BED=90°−65°=25°．
故选D．
8.【答案】C
【解析】解：图①、②、④中，∠1与∠2在截线的同侧，并且在被截线的同一方，是同位角；
图③中，∠1与∠2的两条边都不在同一条直线上，不是同位角．
故选：C．
此题在于考查同位角的概念，在截线的同侧，并且在被截线的同一方的两个角是同位角，所以①②④符合要求．
判断是否是同位角，必须符合三线八角中，在截线的同侧，并且在被截线的同一方的两个角是同位角．
9.【答案】A
【解析】【分析】
由3x=4,9y=7与3x−2y=3x÷32y=3x÷(32)y，代入即可求得答案．
此题考查了同底数幂的除法与幂的乘方的应用．此题难度适中，注意将3x−2y变形为3x÷(32)y是解此题的关键．
【解答】
解：∵3x=4,9y=7，
∴3x−2y=3x÷32y=3x÷(32)y=4÷7=47．
故选：A．
10.【答案】A
【解析】解：原式=(k×k)k=(k2)k=k2k，
故选：A．
根据乘法的定义以及幂的乘方与积的乘方的计算方法进行计算即可．
本题考查幂的乘方与积的乘方，掌握幂的乘方与积的乘方的计算方法是正确解答的前提．
11.【答案】A
【解析】解：对于甲同学的作图，根据内错角相等，两直线平行，由甲同学的作图过程可判断b/​/c；
对于乙同学的作图，根据同位角相等，两直线平行，由乙同学的作图过程可判断a/​/b．
故选：A．
利用作图过程，根据平行线的判定方法可判断甲乙的作图正确．
本题考查了作图−复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行线的判定．
12.【答案】D
【解析】解：①∵∠1=∠2，
∴AB/​/CD，不符合题意；
②∵∠3=∠4，
∴BC/​/AD，符合题意；
③∵AB/​/CD，
∴∠B+∠BCD=180°，
∵∠ADC=∠B，
∴∠ADC+∠BCD=180°，由同旁内角互补，两直线平行可得BC/​/AD，故符合题意；
④∵AB//CE，
∴∠B+∠BCD=180°，
∵∠BCD=∠BAD，
∴∠B+∠BAD=180°，由同旁内角互补，两直线平行可得BC/​/AD，故符合题意；
故能推出BC/​/AD的条件为②③④．
故选：D．
根据平行线的判定条件，逐一判断，排除错误答案．
此题主要考查了平行线的判定，关键是掌握判定定理：同位角相等，两直线平行．内错角相等，两直线平行．同旁内角互补，两直线平行．
13.【答案】B
【解析】解：延长AB 到点C，如图：

∵AB//MN，
∴∠2+∠CBD=180°，
∴∠CBD=180°−∠2=80°，
∵∠3=130°，
∴∠CBE=∠3−∠CBD=50°
∵AB//PQ，
∴∠1=∠CBE=50°，
故选：B．
本题主要考查了平行线的性质，延长AB 到点C，如图，先由两直线平行，同旁内角互补求出∠CBD=80°，则∠CBE=50°，再由两直线平行，内错角线段即可得到∠1=∠CBE=50°．
本题考查平行线的性质，解题的关键是掌握平行线的性质，灵活运用所学知识解决问题．
14.【答案】C
【解析】【分析】
此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，及解二元一次方程组，关键是弄懂题意，找出题目中的相等关系，列出方程组．
根据图可得：3块巧克力的重量=2个果冻的重量；1块巧克力的重量+1个果冻的重量=50克，由此可设出未知数，列出方程组，再解方程组即可．
【解答】
解：设每块巧克力重x克，每个果冻重y克，由题意得：
3x=2yx+y=50，
解得：x=20y=30．
故选：C．
15.【答案】C
【解析】解：3x−y=5−2k①x+3y=k②，
①+②×2得：5x+5y=5，
整理得：x+y=1．
故选：C．
方程组消去k，即可得到x与y的关系式．
此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，使用加减消元法消去k，求得x与y之间的等量关系．
16.【答案】C
【解析】解：∵∠2=30°，∠CAB=90°，
∴∠1=60°，
∵∠E=60°，
∴∠1=∠E，
∴AC/​/DE，故①正确；
∵∠CAB=∠DAE=90°，
∴∠BAE+∠CAD=90°−∠1+90°+∠1=180°，故②正确；
∵BC/​/AD，∠B=45°，
∴∠3=∠B=45°，
∵∠2+∠3=∠DAE=90°，
∴∠2=45°，故③错误；
∵∠CAD=150°，∠BAE+∠CAD=180°，
∴∠BAE=30°，
∵∠E=60°，
∴∠BOE=∠BAE+∠E=90°，
∴∠4+∠B=90°，
∵∠B=45°，
∴∠4=45°，
∵∠C=45°，
∴∠4=∠C，故④正确；
所以其中正确的结论有①②④，3个．
故选：C．
根据平行线的性质和判定和三角形内角和定理逐个判断即可．
本题考查了三角形的内角和定理和平行线的性质和判定，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键．
17.【答案】109 5
【解析】解：原式=19+1=109；
3x−1=92=(32)2=34，
则x−1=4，
解得x=5．
故答案为：109；5．
根据相对应的运算法则进行解题即可．
本题考查同底数幂的除法、零指数幂、负整数指数幂、幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键．
18.【答案】1
【解析】解：在方程组2x+y=5x+2y=4中，
①−②得：x−y=1．
故答案为：1．
一般解法是求得方程组的解，把x，y的值代入到代数式求值，但观察方程组未知数的系数特点，把两方程分别看作整体，直接相减，即可求得x−y的值．
此题考查解二元一次方程组，注意此题的简便方法．
19.【答案】134°
【解析】解：如图，标注三角形的三个顶点A、B、C．
∠2=∠BAC=180°−∠ABC−∠ACB．
∵图案是由一张等宽的纸条折成的，
∴AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB．
又∵纸条的长边平行，
∴∠ABC=∠1=23°，
∴∠2=∠BAC=180°−2∠ABC=180°−2∠1=180°−2×23°=134°．
故答案为：134°．
利用平行线的性质和各角之间的关系即可求解．
本题比较简单，主要考查了平行线的性质的运用．
20.【答案】2
【解析】解：经过取走和取出后，甲、乙、丙三个袋子中的球数分别为29−2x+2y，29+2x−(2x+2y)=29−2y，5+(2x+2y)−2y=5+2x，
∵一共有29+29+5=63个球，且最后三个袋子中的球的数量相同，
∴最后三个袋子中的球都是21个，
∴29−2y=21，5+2x=21，
∴2y=8，2x=16，
∴2x−y=2x÷2y=16÷8=2，
故答案为：2．
先分别表示出经过取走和取出后，甲、乙、丙三个袋子中的球数分别为29−2x+2y，29−2y，5+2x，再由题意可得最后三个袋子中的球都是21个，由此得到29−2y=21，5+2x=21，即2y=8，2x=16，最后根据2x−y=2x÷2y进行计算求解即可．
本题主要考查了整式的加减计算，掌握同底数幂除法的逆运算是关键．
21.【答案】解：(1)原式=a2⋅a4−9a6
=a6−9a6
=−8a6；
(2)2x−y=5①4x+3y=25②，
①×3得：6x−3y=15③，
③+②得：
10x=40，
∴x=4．
把x=4代入①得：
2×4−y=5，
∴y=3．
∴原方程组的解为x=4y=3．
【解析】(1)利用幂的乘方法则，同底数幂的乘法法则和合并同类项的法则解答即可；
(2)利用加减消元法解答即可．
本题主要考查了幂的乘方法则，同底数幂的乘法法则和合并同类项的法则，二元一次方程组的解法，熟练掌握上述法则与性质是解题的关键．
22.【答案】平行 相等 15
【解析】解：(1)如图所示，△A′B′C′即为所求；
(2)由平移变换的性质可知，线段AA′与线段CC′的位置关系是平行，数量关系是相等，
故答案为：平行，相等；
(3)四边形BB′C′C的面积=3×5=15，
故答案为：15．
(1)根据平移变换的性质找出对应点即可求解；
(2)根据平移变换的性质可得出结果；
(3)根据平行四边形的性质面积公式求解即可．
本题考查了作图−平移变换，熟记平移变换的性质是解题的关键．
23.【答案】(1)两直线平行，同旁内角互补；∠FAC=∠2；内错角相等，两直线平行；
(2)解：因为AC平分∠FAD，
所以∠FAC=∠CAD，∠FAD=2∠FAC，
由(1)知∠FAC=∠2，
所以∠FAD=2∠2，
所以∠2=12∠FAD，
因为∠FAD=80°，
所以∠2=12×80°=40°，
因为EF⊥BE，AC/​/EF，
所以AC⊥BE，
所以∠ACB=90°，
所以∠BCD=90°−∠2=50°．
【解析】(1)证明：因为AC//EF(已知)，
所以∠1+∠FAC=180°(两直线平行，同旁内角互补)，
又因为∠1+∠2=180°(已知)，
所以∠FAC=∠2(等角的补角相等)，
所以FA//CD(内错角相等，两直线平行)，
所以∠FAB=∠BDC(两直线平行，同位角相等)，
故答案为：两直线平行，同旁内角互补；∠FAC=∠2；内错角相等，两直线平行；
(2)见答案。
(1)由已知可证得∠2=∠FAC，根据平行线的判定得到FA//CD，根据平行线的性质即可得到∠FAB=∠BDC；
(2)根据角平分线的定义得到∠FAD=2∠FAC，即∠FAD=2∠2，由平行线的性质可求得∠2，再平行线的判定和性质定理求出∠ACB，继而求出∠BCD．
本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，根据平行线的性质和角平分线的定义求出∠2是解题的关键．
24.【答案】解：3x+4y=3①x+2y=2−3m②，
①+②得4x+6y=5−3m，
即2(2x+3y)=5−3m，
∵2x+3y=1，
∴2×1=5−3m，
解得m=1．
【解析】把关于x，y的二元一次方程组3x+4y=3①x+2y=2−3m②的两个方程的左右两边分别相加，可得4x+6y=5−3m，再根据2x+3y=1，求出m的值即可．
此题主要考查了二元一次方程组的解，解答此题的关键是注意观察所给的方程组的两个方程与2x+3y=1之间的关系．
25.【答案】解：(1)设A型汽车每辆的进价为x万元，B型汽车每辆的进价为y万元，
依题意，得：2x+3y=803x+2y=95，
解得：x=25y=10．
答：A型汽车每辆的进价为25万元，B型汽车每辆的进价为10万元．
(2)设购进A型汽车m辆，购进B型汽车n辆，
依题意，得：25m+10n=200，
∴m=8−25n.
∵m，n均为正整数，
∴n为5的倍数，
∴m1=6n1=5，m2=4n2=10，m3=2n3=15，
∴共3种购买方案，方案一：购进A型车6辆，B型车5辆；方案二：购进A型车4辆，B型车10辆；方案三：购进A型车2辆，B型车15辆．
【解析】(1)设A型汽车每辆的进价为x万元，B型汽车每辆的进价为y万元，根据“2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计80万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计95万元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
(2)设购进A型汽车m辆，购进B型汽车n辆，根据总价=单价×数量，即可得出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数即可得出购买方案．
本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组．
26.【答案】∠CDP+∠PAB−APD=180°
【解析】解：(1)如图1，过点P作EF/​/AB，
∵∠A=50°，
∴∠APE=∠A=50°，
∵AB/​/CD，
∴EF/​/CD，
∴∠CDP+∠EPD=180°，
∵∠D=150°，
∴∠EPD=180°−150°=30°，
∴∠APD=∠APE+∠EPD=50°+30°=80°；
(2)如图2，过点P作EF/​/AB，则AB/​/EF/​/CD，
∴∠CDP=∠DPF，∠FPA+∠PAB=180°，
∵∠FPA=∠DPF−APD，
∴∠DPF−APD+∠PAB=180°，
∴∠CDP+∠PAB−APD=180°，
故答案为：∠CDP+∠PAB−APD=180°；
(3)如图3，PD交AN于点O，
∵AP⊥PD，
∴∠APO=90°，
∵∠PAN+12∠PAB=∠APD，
∴∠PAN+12∠PAB=90°，
∵∠POA+∠PAN=90°，
∴∠POA=12∠PAB，
∵∠POA=∠NOD，
∴∠NOD=12∠PAB，
∵DN平分∠PDC，
∴∠ODN=12∠PDC，
∴∠AND=180°−∠NOD−∠ODN
=180°−12(∠PAB+∠PDC)，
由(2)得：∠CDP+∠PAB−APD=180°，
∴∠CDP+∠PAB=180°+∠APD，
∴∠AND=180°−12(∠PAB+∠PDC)
=180°−12(180°+∠APD)
=180°−12(180°+90°)
=45°．
(1)过点P作EF/​/AB，根据平行线的性质可得∠APE=∠A=50°，∠EPD=180°−150°=30°，即可求出∠APD的度数；
(2)过点P作EF/​/AB，则AB/​/EF/​/CD，根据平行线的性质可得∠CDP=∠DPF，∠FPA+∠PAB=180°，又∠FPA=∠DPF−APD，即可得出∠CDP+∠PAB−APD=180°；
(3)PD交AN于点O，由AP⊥PD，得出∠APO=90°，由∠PAN+12∠PAB=∠APD得出∠PAN+12∠PAB=90°，由∠POA+∠PAN=90°，得出∠POA=12∠PAB，由对顶角相等得出∠NOD=12∠PAB，由角平分线的性质得出∠ODN=12∠PDC，即∠AND=180°−12(∠PAB+∠PDC)，由(2)得：∠CDP+∠PAB−APD=180°，代入计算即可求出∠AND的度数．
本题考查了平行线的性质及垂线，掌握平行线的性质，正确作出辅助线是解题的关键．