2023-2024学年广东省佛山市顺德区桂凤中学八年级（下）月考数学试卷（4月份）（含解析）

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这是一份2023-2024学年广东省佛山市顺德区桂凤中学八年级（下）月考数学试卷（4月份）（含解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.若xA. x2>y2B. x−2>y−2C. −2x>−2yD. x−y>0
2.在数轴上表示不等式组x+2>0x≤1的解，其中正确的是( )
A. B.
C. D.
3.已知等腰三角形的两边长分别为5cm、2cm，则该等腰三角形的周长是( )
A. 7cmB. 9cmC. 12cm或者9cmD. 12cm
4.如图，若要用“HL”证明Rt△ABC≌Rt△ABD，则还需补充条件( )
A. ∠BAC=∠BAD
B. AC=AD或BC=BD
C. ∠ABC=∠ABD
D. 以上都不正确
5.三条公路将A、B、C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个公园，要使公园到三个村庄的距离相等，那么这个公园应建的位置是△ABC的( )
A. 三条高线的交点
B. 三边垂直平分线的交点
C. 三条角平分线的交点
D. 三条中线的交点
6.如图，一棵树在一次强台风中于离地面3米处折断倒下，倒下部分与地面成30°角，这棵树在折断前的高度为( )
A. 6米B. 9米C. 12米D. 15米
7.如图，在△ABC中，∠C=90°，斜边AB的垂直平分线l交AC于点D，连接BD.若AB=13，BC=5，则△BCD的周长为( )
A. 18B. 17C. 11.5D. 11
8.如图，在△ABC中，∠B=90°，AC=10，AD为此三角形的一条角平分线，若BD=3，则三角形ADC的面积为( )
A. 3B. 10C. 12D. 15
9.某环保知识竞赛一共有20道题，规定：答对一道题得5分，答错或不答一道题扣1分，在这次竞赛中，小明被评为优秀(85分或85分以上)，则小明至少答对了道题( )
A. 16B. 17C. 18D. 19
10.下列命题的逆命题是真命题的是( )
A. 如果a>0，b>0，则a+b>0B. 直角都相等
C. 两直线平行，同位角相等D. 若a=b，则|a|=|b|
11.如图，函数y1=−2x与y2=ax+3的图象相交于点A(m,2)，则关于x的不等式−2x>ax+3的解集是( )
A. x>−4
B. x<2
C. x>−1
D. x<−1
12.不等式组2x−1>3x>m的解集是x>2，那么m的取值范围是( )
A. m>2B. m≥2C. m<2D. m≤2
13.关于x的不等式组2x+13≥x−12x>a+1有且只有2个整数解，则符合要求的所有整数a的和为( )
A. −7B. −3C. 0D. 7
14.如图，在△ABD中，AD=AB，∠DAB=90°，在△ACE中，AC=AE，∠EAC=90°，CD，BE相交于点F，有下列四个结论：①∠BDC=∠BEC；②FA平分∠DFE；③DC⊥BE；④DC=BE.其中，正确的结论有( )
A. ①②③④
B. ①③④
C. ②③
D. ②③④
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
15.x与3的和不小于6，用不等式表示为______．
16.等腰三角形的一个内角是120°，则它的顶角的度数是______．
17.若点P(4−m,m−2)在第二象限，则m的取值范围是______．
18.已知关于x，y的方程组2x+y=2k−1x+2y=−4的解满足x+y>1，则k的取值范围是．
19.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，求底角的度数．
20.已知不等式组2x−a<1x−2b>3的解集为−1三、解答题：本题共6小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
21.(本小题8分)
解不等式组3x−122.(本小题8分)
如图，△ABC中，∠C=90°．
(1)用尺规作图法在BC上找一点D，使得点D到边AC、AB的距离相等(保留作图痕迹，不用写作法)．
(2)在(1)的条件下，若CD=1，∠B=30°，求AB的长．
23.(本小题10分)
如图，BD，CE分别是△ABC的高，且BE=CD．
(1)求证：Rt△BEC≌Rt△CDB；
(2)若BD与CE相交于点P，则点P在∠BAC的角平分线上吗？为什么？
24.(本小题10分)
“端午节”是我国的传统节日.每年端午节期间，佛山各地有民间举办的龙舟赛，各乡各村派出阵容鼎盛的龙舟队参与竞渡，因此也会迎来大量的游客.为了满足游客的需求，某礼品店准备购进咸，甜两种口味的粽子，已知3个甜粽子和2个咸粽子进价共22元，6个甜粽子和5个咸粽子进价共49元．
(1)甜粽子和咸粽子每个进价各多少元？
(2)若该礼品店计划用至少2400元的金额购买两种粽子共500个，则甜粽子最多能购进多少个？
25.(本小题12分)
已知，如图，△ABC为等边三角形，AE=CD，AD、BE相交于点P．
(1)求证：△ABE≌△CAD；
(2)求∠BPQ的度数；
(2)若BQ⊥AD于Q，PQ=6，PE=2，求AD的长．
26.(本小题12分)
已知直线l1：y1=x−3m+15，l2：y2=−2x+3m−9．
(1)当m=3时，求直线l1与l2的交点坐标；
(2)若直线l1与l2的交点在第一象限，求m的取值范围；
(3)若等腰三角形的两边为(2)中的整数解，求该三角形的面积．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：∵x∴根据不等式的性质2，得x2根据不等式的性质2，得x−2根据不等式的性质2，得−2x>−2y，
根据不等式的性质2，得x−y<0，
∴选项A，B，D不符合题意，选项C符合题意，
故选：C．
运用不等式的性质进行逐一辨别、求解．
此题考查了不等式性质的应用能力，关键是能准确理解并运用以上知识进行变形、求解．
2.【答案】B
【解析】解：解不等式x+2>0，得：x>−2，
∴不等式组的解集为−2将不等式组的解集表示在数轴上如下：
，
故选：B．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
3.【答案】D
【解析】解：①5cm为腰，2cm为底，此时周长为12cm；
②5cm为底，2cm为腰，则两边和小于第三边无法构成三角形，故舍去．
∴其周长是12cm．
故选：D．
题目给出等腰三角形有两条边长为4cm和2cm，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
此题主要考查学生对等腰三角形的性质及三角形的三边关系的掌握情况．已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
4.【答案】B
【解析】解：若要用“HL”证明Rt△ABC≌Rt△ABD，则还需补充条件AC=AD或BC=BD，
故选：B．
图形中已有条件AB=AB，只缺一对直角边对应相等，因此添加一对直角边对应相等即可．
此题主要考查了直角三角形全等的判定，关键是掌握斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(可以简写成“斜边、直角边”或“HL”)．
5.【答案】B
【解析】解：∵线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，
∴这个公园应建的位置是△ABC的三边垂直平分线的交点上．
故选：B．
根据线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等解答即可．
本题主要考查的是线段垂直平分线的性质，熟记性质是解题的关键．
6.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查了含30度角的直角三角形的性质，比较简单，熟记性质是解题的关键．根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，求出折断部分的长度，再加上离地面的距离就是折断前树的高度．
【解答】
解：如图，根据题意BC=3米，
∵∠BAC=30°，
∴AB=2BC=2×3=6米，
∴3+6=9米．
故选B．
7.【答案】B
【解析】解：由勾股定理得：AC= AB2−BC2=12，
∵斜边AB的垂直平分线l交AC于点D，
∴BD=AD，
∴△BCD的周长为BC+CD+BD=BC+CD+DA=BC+AC=17，
故选：B．
由勾股定理得AC=12，再由垂直平分线的性质得BD=AD，从而得出答案．
本题主要考查了勾股定理，线段垂直平分线的性质等知识，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
8.【答案】D
【解析】解：过D作DE⊥AC于E．
∵AD是∠BAC的角平分线，∠B=90°(DB⊥AB)，DE⊥AC，
∴BD=DE，
∵BD=3，
∴DE=3，
∴S△ADC=12⋅AC⋅DE=12×10×3=15
故选：D．
过D作DE⊥AC于E，根据角平分线性质得出BD=DE=3，再利用三角形的面积公式计算即可．
本题考查了角平分线的性质，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等．
9.【答案】C
【解析】解：设小明答对了x道题，则答错或不答(20−x)道题，
根据题意得：5x−(20−x)≥85，
解得：x≥352，
又∵x为正整数，
∴x的最小值为18，
∴小明至少答对了18道题．
故选：C．
设小明答对了x道题，则答错或不答(20−x)道题，利用得分=5×答对题目数−1×答错或不答题目数，结合得分不低于85分，可得出关于x的一元一次不等式，解之可得出x的取值范围，再取其中的最小整数值，即可得出结论．
本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
10.【答案】C
【解析】解：A、如果a+b>0，则不一定是a>0，b>0，错误；
B、如果角相等，但不一定是直角，错误；
C、同位角相等，两直线平行，正确；
D、如果|a|=|b|，可得a=b或a=−b，错误；
故选：C．
首先明确各个命题的逆命题，再分别分析各逆命题的题设是否能推出结论，可以利用排除法得出答案．
此题主要考查学生对命题与逆命题的理解及真假命题的判断能力，解题的关键是能够正确的得到原命题的逆命题．
11.【答案】D
【解析】解：∵函数y1=−2x过点A(m,2)，
∴−2m=2，
解得：m=−1，
∴A(−1,2)，
∴不等式−2x>ax+3的解集为x<−1．
故选：D．
首先利用待定系数法求出A点坐标，再以交点为分界，结合图象写出不等式−2x>ax+3的解集即可．
此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，关键是求出A点坐标．
12.【答案】D
【解析】解：2x−1>3 ①x>m ②，
由①得，x>2，
∵不等式组的解集是x>2，
∴m≤2．
故选：D．
求出第一个不等式的解集，然后根据同大取大列出不等式求解即可．
本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到(无解)．
13.【答案】D
【解析】解：2x+13≥x−1①2x>a+1②，
解不等式①，得x≤4，
解不等式②，得x>a+12，
所以不等式组的解集为：a+12∵关于x的不等式组2x+13≥x−12x>a+1有且只有2个整数解，
∴2≤a+12<3，
解得3≤a<5，
∵a为整数，
∴a为3，4，
∴和为3+4=7，
故选：D．
分别表示出不等式组两不等式的解集，找出两解集的公共部分表示出不等式组的解集，由不等式组有且只有2个整数解确定出a的范围，进而求出整数a的值，求出和即可．
此题考查了一元一次不等式组的整数解，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．
14.【答案】D
【解析】解：∵△ABD和△ACE都是等腰直角三角形，
∴∠ADB=∠AEC=45°，
∵∠BDC=∠ADB−∠ADC=45°−∠ADC，
∠BEC=∠AEC−∠AEB=45°−∠AEB，
∵∠ADC和∠AEB不一定相等，
∴∠BDC与∠BEC不确定相等；
故①错误，
∵∠DAB=∠EAC=90°，
∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC，即∠DAC=∠BAE，
在△ADC和△ABE中，
AD=AB∠DAC=∠BAEAC=AE，
∴△ADC≌△ABE(SAS)，
∴DC=BE，
故④正确；
过A点作AM⊥DC于M，AN⊥BE于N，如图，
∵△ADC≌△ABE，
∴AM=AN，
∴AF平分∠DFE，所以②正确．
∵∠ADC+∠1+∠DAB=∠ABE+∠2+∠BFD，
而∠ADC=∠ABE，∠1=∠2，
∴∠BFD=∠DAB=90°，
∴DC⊥BE，所以③正确；
故正确的结论为②③④．
故选：D．
由等腰直角三角形的性质得出∠ADB=∠AEC=45°，由∠ADC和∠AEB不一定相等，则可得出①错误；先证明△ADC≌△ABE得到DC=BE，则可对④进行判断；过A点作AM⊥DC于M，AN⊥BE于N，如图，利用全等三角形对应边上的高相等得到AM=AN，则根据角平分线的性质定理的逆定理可对②进行判断．利用三角形内角和证明∠BFD=∠DAB=90°，则可对③进行判断．
本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．证明△ADC≌△ABE是解决问题的关键．也考查了等腰直角三角形的性质．
15.【答案】x+3≥6
【解析】【分析】
此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，用不等式表示不等关系时，要抓住题目中的关键词，如“大于(小于)、不超过(不低于)、是正数(负数)”“至少”、“最多”等等，正确选择不等号．
【解答】
解：x与3的和表示为：x+3，由题意可列不等式为：x+3≥6，
故答案为：x+3≥6．
x与3的和表示为：x+3，“不小于”用数学符号表示为“≥”，由此可得不等式x+3≥6．
16.【答案】120°
【解析】解：∵2×120°=240°>180°，
∴120°是顶角，不是底角，
∴它的顶角的度数是120°，
故答案为：120°．
根据等腰三角形的性质和三角形的内角和为180°，即可得到答案．
本题主要考查了等腰三角形的性质和三角形的内角和为180°，熟练掌握等腰三角形的性质和三角形的内角和为180°，是解题的关键．
17.【答案】m>4
【解析】解：∵点P(4−m,m−2)在第二象限，
∴4−m<0m−2>0，
解得m>4，
故答案为：m>4．
先根据第二象限内点的坐标符号特点列出关于m的不等式组，再解不等式组可得答案．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
18.【答案】k>4
【解析】解：2x+y=2k−1①x+2y=−4②，
①+②得：3x+3y=2k−1−4，
即：x+y=2k−53；
∵x+y>1，
∴2k−53>1，解得：k>4；
故答案为：k>4．
将两个二元一次方程相加，得到x+y的值，根据x+y>1，求出k的取值范围即可．
本题考查的是解一元一次不等式及二元一次方程组的解，求参数的取值范围，熟练掌握加减法解二元一次方程组是解题的关键．
19.【答案】65°或25°
【解析】【分析】
本题主要考查等腰三角形的性质和三角形内角和定理，掌握等边对等角和三角形内角和为180°是解题的关键．
分三角形为钝角三角形和锐角三角形两种情况，结合条件可求得顶角或顶角的外角，再结合三角形内角和定理可求得其底角．
【解答】
解：当该三角形为锐角三角形时，如图1，
可求得其顶角为50°，
则底角为12×(180°−50°)=65°；
当该三角形为钝角三角形时，如图2，
可求得顶角的外角为50°，则顶角为130°，
则底角为12×(180°−130°)=25°．
综上可知该三角形的底角为65°或25°．
故答案为：65°或25°．
20.【答案】−3
【解析】解：由2x−a<1，得：x由x−2b>3，得：x>2b+3，
∵不等式组的解集为−1∴2b+3=−1，a+12=1，
解得a=1，b=−2，
则a2−b2
=12−(−2)2
=1−4
=−3，
故答案为：−3．
分别求出每一个不等式的解集，根据不等式组的解集求出a、b的值，再代入计算即可．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
21.【答案】解：3x−1由①得：x<3，
由②得：x>−1，
∴不等式组的解集为−1解集在数轴上表示，如图所示：
，
则该不等式的整数解为0，1，2．
【解析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，即可求出整数解．
此题考查了一元一次方程组的整数解，在数轴上表示不等式的解集，以及解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．
22.【答案】解：(1)如图所示，点D即为所求．
(2)∵∠C=90°，∠B=30°，
∴∠BAC=60°，
由(1)知AD是∠BAC平分线，
∴∠BAD=∠CAD=30°，
在Rt△ACD中，∵CD=1，
∴AD=2CD=2，
则AC= AD2−CD2= 22−12= 3，
∴AB=2AC=2 3．
【解析】(1)由点D到边AC、AB的距离相等知点D是∠BAC平分线上的一点，据此作图即可；
(2)先求出∠BAC=60°，由作图得∠BAD=∠CAD=30°，再在Rt△ACD中求出AC、AD的长，继而可得答案．
本题主要考查作图−复杂作图，解题的关键是掌握角平分线的性质和直角三角形中30°角所对直角边等于斜边的一半的性质．
23.【答案】证明：(1)∵BD，CE分别是△ABC的高，
∴∠BEC=∠CDB=90°，
在Rt△BEC和Rt△CDB中，
BC=BCBE=CD，
∴Rt△BEC≌Rt△CDB(HL)．
(2)连接AP，

在△BPE和△CPD中，
∠PEB=∠PPDC=90°∠BPE=∠CPDBE=CD，
∴△BPE≌△CPD(AAS)，
∴PE=PD，
∵PE⊥AB，PD⊥AC，
∴点P在∠BAC的平分线上
【解析】(1)根据高的定义求出∠BEC=∠CDB=90°，根据全等三角形的判定定理HL推出即可；
(2)连接AP，由BD、CE为三角形的两条高，得到一对直角相等，再由一对对顶角相等，以及BE=CD，利用AAS得到三角形BPE与三角形CPD全等，利用全等三角形的对应边相等得到PE=PD，再由PE垂直于AB，PD垂直于AC，利用角平分线逆定理即可得证．
此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．
24.【答案】解：(1)甜粽子和咸粽子每个进价各为x元、y元，
根据题意得：3x+2y=226x+5y=49，
解得：x=4y=5，
答：甜粽子和咸粽子每个进价各为4元、5元；
(2)设甜粽子购进a个，则购进咸粽子为(500−a)个，
由题意得：4a+5(500−a)≥2400，
解得：a≤100，
所以甜粽子最多购进100个．
【解析】(1)甜粽子和咸粽子每个进价各为x元、y元，根据题意列出二元一次方程组即可求解；
(2)设甜粽子购进a个，则购进咸粽子为(500−a)个，根据题中提供的不等关系列出不等式即可求解．
本题考查了二元一次方程组与一元一次不等式的实际应用，理解题意，找到数量关系并正确列出方程组与不等式是解题的关键．
25.【答案】解：(1)证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=∠C=60°，AB=CA，
在△ABE和△CAD中，
AB=CA∠BAC=∠CAE=CD，
∴△ABE≌△CAD(SAS)；
(2)∵△ABE≌△CAD，
∴∠ABE=∠CAD，
∴∠ABE+∠BAP=∠CAD+∠BAP，
即∠BPQ=∠BAC=60°；
(3)∵BQ⊥AD，
∴∠BQP=90°，
∴∠PBQ=30°，
∴BP=2PQ=12，
∴BE=BP+PE=12+2=14，
∵△ABE≌△CAD，
∴BE=AD=14．
【解析】(1)根据等边三角形的性质，通过全等三角形的判定定理SAS证得结论；
(2)利用(1)中的全等三角形的对应角相等和三角形外角的性质，即可求得∠BPQ=60°；
(3)利用(2)的结果求得∠PBQ=30°，所以由“30度角所对的直角边是斜边的一半”得到2PQ=BP=12，则易求BE=BP+PE=14，进而得出AD的长．
本题考查了全等三角形的证明，全等三角形对应边、对应角相等的性质，等边三角形各内角为60°的性质，本题中求证△ABE≌△CAD是解题的关键．
26.【答案】解：(1)将m=3代入直线l1：y1=x−3m+15，l2：y2=−2x+3m−9得，
y1=x−9+15=x+6，y2=−2x+9−9=−2x，
联立得y=x+6y=−2x，解得x=−2y=4，
∴直线l1与l2的交点坐标为(−2,4)；
(2)联立直线l1与l2得方程组y=x−3m+15y=−2x+3m−9，解得x=2m−8y=−m+7，
∴直线l1与l2的交点为(2m−8,−m+7)，
∵交点在第一象限，
∴2m−8>0−m+7>0，
解得4即m的取值范围为4(3)∵4∴等腰三角形的两边为5，6，
①如图，当AB=AC=6，BC=5时，过点A作AD⊥BC于D，

∴BD=CD=12BC=52，
∴AD= AB2−BD2= 62−(52)2= 1192，
∴S△ABC=12×5× 1192=5 1194；
②如图，当AB=AC=5，BC=6时，过点A作AD⊥BC于D，

∴BD=CD=12BC=3，
∴AD= AB2−BD2= 52−32=4，
∴S△ABC=12×6×4=12．
综上所述，该三角形的面积为5 1194或4．
【解析】(1)将m=3代入直线l1：y1=x−3m+15，l2：y2=−2x+3m−9，联立得方程组，即可求解；
(2)联立直线l1与l2得方程组y=x−3m+15y=−2x+3m−9，解方程组得交点为(2m−8,−m+7)，根据交点在第一象限，即可求解；
(3)分两种情况，作等腰三角形底边上的高，根据等腰三角形的性质以及勾股定理即可求解．
此题是一次函数综合题，主要考查了两直线的交点，三角形的面积公式，等腰三角形的性质，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．

2023-2024学年广东省佛山市顺德区桂凤中学八年级（下）月考数学试卷（4月份）（含解析）

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