2024年广东省惠州市惠东县谭公中学中考一模数学试题（原卷版+解析版）

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1. 2024的相反数是（ ）
A. B. 2024C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了相反数的定义，解题的关键是根据相反数的定义，只有符号不同的两个数互为相反数，进行求解即可．
【详解】解：2024的相反数是，
故选：A．
2. 下列几何图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据轴对称图形的概念“如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合,这个图形就叫做轴对称图形”与中心对称图形的概念“把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形”求解．
【详解】解：A、既是中心对称图形，又是轴对称图形，故此选项符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意．
故选A．
【点睛】本题考查了轴对称图形和中心对称图形，解题的关键是熟记轴对称图形和中心对称图形的概念．
3. 在晴朗的夜晚，我们仰望天空会看到无数的星星在闪烁，其中绝大多数是像太阳一样发光的星球称为恒星，科学家们估算宇宙中可能有1000亿到4000亿颗恒星，多到让人无法想象！下面用科学记数法表示4000亿正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了科学记数法：把一个大于10的数表示成的形式（a大于或等于1且小于10，n是正整数）；n的值为小数点向左移动的位数．
根据科学记数法的定义，计算求值即可；
【详解】解： 亿，
故选：A．
4. 下列计算中，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查幂的乘方，同底数幂的除法及合并同类项法则．根据幂的乘方，同底数幂的除法，合并同类项法则依次计算判断即可．
【详解】解：A、，故本选项符合题意；
B、，故本选项不符合题意；
C、，故本选项不符合题意；
D、2a与3b不是同类项，不能进行计算，故本选项不符合题意．
故选：A．
5. 方程的解是（ ）
A. 0B. 2C. D. 0或2
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查解一元二次方程，利用因式分解法将方程看成两个一元一次方程的乘积为0，分别求解即可．
【详解】解：或，
∴．
故选：D．
6. 将直角三角板和直尺按照如图位置摆放，若，则的度数是（ ）．

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据平行线的性质可得，进而根据三角形的外角的性质，即可求解．
【详解】解：如图所示，

∵直尺的两边平行，
∴，
又∵，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了平行线性质，三角形的外交的性质，熟练掌握三角形的外角的性质是解题的关键．
7. 如图，已知平行四边形ABCD的三个顶点坐标分别为、、，那么第四个顶点D的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】过B作BE⊥x轴于E，过D作DM⊥x轴于M，过C作CF⊥BE于F，DM和CF交于N，证出△DCN≌△BAE，根据全等三角形的性质得出BE＝DN，AE＝CN，根据A、B、C的坐标求出OM和DM即可．
【详解】解：过B作BE⊥x轴于E，过D作DM⊥x轴于M，过C作CF⊥BE于F，DM和CF交于N，
则四边形EFNM矩形，
所以EF＝MN，EM＝FN，FNEM，
∴∠EAB＝∠AQC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝DC，ABDC，
∴∠AQC＝∠DCN，
∴∠DCN＝∠EAB，
在△DCN和△BAE中
，
∴△DCN≌△BAE（AAS），
∴BE＝DN，AE＝CN，
∵A（−1，0）、B（−2，−3）、C（2，−1），
∴CN＝AE＝2−1＝1，DN＝BE＝3，
∴DM＝3−1＝2，OM＝2＋1＝3，
∴D的坐标为（3，2），
故选：B．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行四边形的性质，点的坐标与图形性质等知识点，能正确作出辅助线是解此题的关键．
8. 如图，A、B、C、P是上的四个点，，且平分，则的形状是（ ）
A. 直角三角形B. 等腰三角形
C. 等边三角形D. 等腰直角三角形
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查圆周角定理及等边三角形的判定，掌握在同圆或等圆中同弧所对的圆周角相等是解题的关键．
由圆内接四边形的性质得到，根据角平分线的性质得到，根据圆周角定理得到，即可得到结论．
【详解】解： A、B、C、P是⊙O上的四个点，，
，
平分，
，
，，
，
，
为等边三角形．
故选：C．
9. 如图，在边长为4的等边△ABC中，D是BC边上的中点，以点A为圆心，AD为半径作圆与AB，AC分别交于E，F两点，求的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】首先求得圆的半径，然后根据弧公式即可求解．
【详解】解：连接AD，如图所示：
∵D是BC边上的中点，△ABC是等边三角形，
∴AD⊥BC，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=∠B=60°，BC=AB=4，
∴AD=AB•sin60°=4×=2，
∴的长为=．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了弧长公式、三角函数、等边三角形的性质；由三角函数求出AD是解决问题的关键．
10. 如图，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴正半轴交于点，它的对称轴为直线．则下列选项中正确的是（ ）
A. B.
C. D. 当（实数）时，
【答案】D
【解析】
【分析】由图象开口向上，可知，与轴的交点在轴的上方，可知，根据对称轴方程得到，于是得到，故A错误；根据一次函数的图象与轴的交点，得到，求得，故B错误；根据对称轴方程得到，当时，，于是得到，故C错误；根据函数图象可知，当或时，，于是得到，故D正确．
【详解】解：由图象开口向上，可知，
与轴的交点在轴的上方，可知，
又对称轴方程为，所以，所以，
，故A错误；
二次函数的图象与轴交于，两点，
，
，故B错误；
，
，
当时，，
，
，故C错误；
二次函数对称轴为直线．
根据函数图象可知，当或时，，
∵，
当（为实数）时，
故D正确，
故选：D．
【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质．熟练掌握图象与系数的关系以及二次函数与方程的关系是解题的关键．
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11. 若x2-mx+16= (x-4)2，那么m=__
【答案】8
【解析】
【分析】将(x-4)2展开即可得到m的值.
【详解】解：∵(x-4)2=x2-8x+16= x2-mx+16，
∴m=8，
故答案为：8.
【点睛】本题考查了整式乘法，熟练掌握完全平方公式是解题关键.
12. 不透明的布袋里有2个黄球、4个红球、3个白球，它们除颜色外其它都相同，那么从布袋中任意摸出一个球恰好为红球的概率是_____．
【答案】
【解析】
【分析】用红色球的个数除以球的总个数即可．
【详解】解：∵布袋里共有9个除颜色外其它都相同的小球，其中红球有4个，
∴从布袋中任意摸出一个球恰好为红球的概率是，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查概率公式，随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．
13. 估算≈_____．（精确到0.1）
【答案】3.6
【解析】
【分析】由于12.96＜13＜13.225，可得到在3.6与3.65之间，然后即可判断出所求的无理数的大约值即可．
【详解】解：∵，
所以3.6＜＜3.65，
所以≈3.6．
故答案为：3.6．
【点睛】此题主要考查了无理数的估算能力，现实生活中经常需要估算，估算应是我们具备的数学能力，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．
14. 已知一次函数，当时，一次函数的最大值是_____．
【答案】5
【解析】
【分析】本题主要考查了求一次函数函数值，一次函数的增减性，根据解析式可得该函数y随x的增大而减小，则当取得最大值，求出此时y的值即可得到答案．
【详解】解：∵一次函数解析式为，，
∴该函数y随x的增大而减小，
∴当时，取得最大值，此时，
故答案为：5．
15. 如图，，分别为矩形边和上的点，若，，则矩形的面积为____________．
【答案】
【解析】
【分析】由，四边形是矩形，得出四点共圆，可得，由，可得，即，在中，设，则，根据勾股定理可得的值，进而求出，即可得出结果．
【详解】解：由，
，
，
，
四边形是矩形，
可得，
四点共圆，
由圆周角定理得，即
，
，
，，
，
即，
，
，
在中，设，则，
在中，，
，
解得（舍去），
，
．
【点睛】本题考查了圆周角定理，解直角三角形，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，知识较为综合，熟练掌握圆周角定理是解决本题的关键．
三．解答题（共8小题，满分75分）
16. （1）计算：
（2）解不等式组：
【答案】（1）0；（2）x＜－1
【解析】
【分析】（1）根据实数的混合运算法则和顺序计算可得；
（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【详解】解：（1）
=-32-1
=0；
（2），
由①得x＜-1，
由②得x≤3，
所以原不等式组的解集为x＜-1．
【点睛】本题考查的是实数的混合运算及解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
17. 如图，在中，．
（1）尺规作图：作线段的垂直平分线，交于点D，交于点F；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查心规基本作图—作线段垂直平分线、解直角三角形、含30度直角三角形的性质，熟练掌握线段垂直平分线的作图方法以及含30度直角三角形角所对的边是斜边的一半是解答本题的关键．
（1）根据线段垂直平分线的作图方法作图即可；
（2）根据线段垂直平分线的性质得到，根据含30度直角三角形的性质和解三角形即可求得答案．
【小问1详解】
解：如图所示：直线是的垂直平分线；
【小问2详解】
解：在中，，，
∴
∵是的垂直平分线，
∴，
在中，
∴．
18. 某中学为了解九年级学生的体能状况，从九年级学生中随机抽取部分学生进行体能测试，测试结果分为A，B，C，D四个等级．请根据两幅统计图中的信息回答下列问题：

（1）本次抽样调查共抽取了________名学生．
（2）求测试结果为C等级的学生数，并补全条形图；
（3）若该中学九年级共有600名学生，请你估计该中学九年级学生中体能测试结果为等级的学生有多少名？
（4）若从体能为等级的2名男生2名女生中随机的抽取2名学生，作为该校培养运动员的重点对象，请用列表法或画树状图的方法求所抽取的两人恰好都是女生的概率．
【答案】（1）50 （2）名，图见解析
（3）48名 （4）
【解析】
【分析】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了统计图．
（1）用A等级的频数除以它所占的百分比即可得到样本容量；
（2）用总人数分别减去A、B、D等级的人数得到C等级的人数，然后补全条形图；
（3）用600乘以D等级的百分比可估计该中学九年级学生中体能测试结果为D等级的学生数；
（4）画树状图展示12种等可能的结果数，再找出抽取的两人恰好都是女生的结果数，然后根据概率公式求解．
【小问1详解】
解：（名），
即本次抽样调查共抽取了50名学生；
故答案为：50；
【小问2详解】
解：测试结果为等级的学生数为：（名），
补全条形图如下：
；
【小问3详解】
解：（名），
即估计该中学九年级学生中体能测试结果为等级的学生有48名；
【小问4详解】
解：画树状图如图：

共有12个等可能的结果，所抽取的两人恰好都是女生的结果有2个，
抽取的两人恰好都是女生的概率．
19. 某厂家生产一批遮阳伞，每个遮阳伞的成本价是20元，试销售时发现：遮阳伞每天的销售量y（个）与销售单价x（元）之间是一次函数关系，当销售单价为28元时，每天的销售量为260个；当销售单价为30元时，每天的销售量为240个．
（1）求遮阳伞每天的销出量y（个）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（2）设遮阳伞每天的销售利润为w（元），当销售单价定为多少元时，才能使每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
【答案】（1）y＝﹣10x+540；
（2）当销售单价定为37元时，才能使每天的销售利润最大，最大利润是2890元
【解析】
【分析】（1）设函数关系式为y＝kx+b，由销售单价为28元时，每天的销售量为260个；销售单价为30元时，每天的销量为240个；列方程组求解即可；
（2）由每天销售利润＝每个遮阳伞的利润×销售量，列出函数关系式，再由二次函数的性质求解即可；
【小问1详解】
解：设一次函数关系式为y＝kx+b，
由题意可得：，
解得：，
∴函数关系式为y＝﹣10x+540；
【小问2详解】
解：由题意可得：
w＝（x﹣20）y＝（x﹣20）（﹣10x+540）＝﹣10（x﹣37）2+2890，
∵﹣10＜0，二次函数开口向下，
∴当x＝37时，w有最大值为2890，
答：当销售单价定为37元时，才能使每天的销售利润最大，最大利润是2890元．
【点睛】本题考查了一次函数和二次函数的实际应用，待定系数法求解析式，掌握二次函数的性质是解题的关键．
20. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，与y轴交于点C．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）根据图象直接写出不等式的解集．
（3）设D为线段上的一个动点（不包括A，C两点），过点D作轴交反比例函数图象于点E，当的面积最大时，求点E的坐标，并求出面积的最大值．
【答案】（1），
（2）或
（3）最大值为4，
【解析】
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式二次函数的图象性质以及待定系数法求解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）由点坐标可得反比例函数解析式，由反比例函数解析式可得点坐标，由、两点坐标可得一次函数解析式；
（2）运用数形结合思想，根据的两点坐标，即可作答．
（3）根据题意，设点的坐标为，则，，则，根据最值解答即可．
【小问1详解】
解： 点在反比例函数图象上，
；
反比例函数解析式为，
点在反比例函数的图象上，
，解得，
，，
，在一次函数的图象上，
，解得，
一次函数解析式为：；
【小问2详解】
解：由（1）知，，
∴不等式的解集为或；
【小问3详解】
解：由（1）可知，设点的坐标为，则
，
，
当时，最大值为4，
．
21. 如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，D是的中点，E为OD延长线上一点，且∠CAE＝2∠C，AC与BD交于点H，与OE交于点F．
（1）求证：AE是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径10，，求线段DH的长．
【答案】（1）见解析 （2）9
【解析】
【分析】（1）由垂径定理的推论可得OE⊥AC，由圆周角定理可得∠CAE=∠AOE=2∠ACD，可证AE是⊙O的切线；
（2）证明，根据，可得，设，则，在中，，进而求得，，在中，，根据勾股定理建立方程，解方程求解，求得，即可求解．
【小问1详解】
连接OC，
∵D是的中点，
∴OE⊥AC，即∠AFE=90°，
∴∠E+∠EAF=90°
∵∠AOE=2∠ACD，∠CAE=2∠ACD，
∴∠CAE=∠AOE
∴∠E+∠AOE=90°，
∴∠EAO=90°
∴AE是⊙O的切线
【小问2详解】
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
设，则，
在中，，
⊙O的半径10，
，
，，
在中，，
即，
解得或（舍去），
．
【点睛】本题考查了切线的判定，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，圆周角定理，勾股定理等知识，表示出CF的长是本题的关键．
22. 如图，在四边形ABCD中，．．，，．点P从点A沿AD运动到点D，每秒移动a个单位，同时点Q从点C沿CB运动到点B．每秒移动b个单位．运动时间为x秒．若其中一点到达终点，另一点也停止．
（1）请求出CD的值；
（2）若存在某时刻使DQ垂直平分PC，求a∶b的值；
（3）若，，何时PQ上存在点M，使得．
【答案】（1）10； （2）；
（3）或
【解析】
【分析】（1）过点D作于点H，然后可得，，则有，进而根据勾股定理可求解；
（2）由（1）得，则，然后可得若DQ垂直平分PC，则可知四边形CDPQ为菱形，则有，进而问题可求解；
（3）依题意得，由，可得AB是直径，以AB为直径作，然后可得PQ与相交或相切，进而分类讨论进行求解即可．
【小问1详解】
解：如图，过点D作于点H，
依题意得四边形ABHD为矩形，
∴，，
∴，
在中，
由勾股定理得；
【小问2详解】
解：由（1）得，则，
如图，若DQ垂直平分PC，则可知四边形CDPQ为菱形，
∴，
∴；
【小问3详解】
解：如图，依题意得，由，可得AB直径，以AB为直径作，
若PQ上存在点M使，则PQ与有公共点，所以PQ与相交或相切，
当与PQ相切于M时，，，，
∵，
∴OP平分∠AOM，OQ平分∠BOM，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
即，
解得，
所以，当或时，PQ上存在点M使得．
【点睛】本题主要考查切线的性质、矩形的性质与判定、菱形的性质、相似三角形的性质与判定及勾股定理，熟练掌握切线的性质、矩形的性质与判定、菱形的性质、相似三角形的性质与判定及勾股定理是解题的关键．
23. 如图1，抛物线（）与轴交于，两点，与轴交于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P在抛物线上，点Q在x轴上，以B，C，P，Q为顶点的四边形为平行四边形，求点P的坐标；
（3）如图2，抛物线顶点为D，对称轴与x轴交于点E，过点的直线（直线除外）与抛物线交于G，H两点，直线，分别交x轴于点M，N．试探究是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由．
【答案】（1）
（2）或或
（3）定值，理由见详解
【解析】
【分析】（1）将两点代入抛物线的解析式即可求解；
（2）根据P，Q的不确定性，进行分类讨论：①过作轴，交抛物线于，过作，交轴于，可得，由，可求解；②在轴的负半轴上取点，过作，交抛物线于，同时使，连接、，过作轴，交轴于，，即可求解；③当为平行四边形的对角线时，在①中，只要点Q在点B的左边，且满足，也满足条件，只是点P的坐标仍是①中的坐标；
（3）可设直线的解析式为，，，可求，再求直线的解析式为，从而可求，同理可求，即可求解．
【小问1详解】
解：抛物线与x轴交于两点，
，
解得，
故抛物线的解析式为．
【小问2详解】
解：①如图，过作轴，交抛物线于，过作，交轴于，
四边形是平行四边形，
，
，
解得：，，
；
②如图，在轴的负半轴上取点，过作，交抛物线于，同时使，连接、，过作轴，交轴于，
四边形是平行四边形，
，
在和中，
，
()，
，
，
，
解得：，，
；
如上图，根据对称性：，
③当为平行四边形的对角线时，由①知，点Q在点B的左边，且时，也满足条件，此时点P的坐标仍为；
综上所述：的坐标为或或．
【小问3详解】
解：是定值，
理由：如图，直线经过，
可设直线解析式为，
、在抛物线上，
可设，，
，
整理得：，
，，
，
当时，，
，
设直线的解析式为，则有
，
解得，
直线的解析式为，
当时，，
解得：，
，
，
同理可求：，
；
当与对调位置后，同理可求；
故的定值为．
【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的综合问题，待定系数法求函数解析式，求函数图象与坐标轴交点坐标，动点产生的平行四边形判定，一元二次方程根与系数的关系，理解一次函数与二次函数图象的交点，与对应一元二次方程根的关系，掌握具体的解法，并会根据题意设合适的辅助未知数是解题的关键．