2024年湖南省益阳市沅江市两校联考中考二模数学试题（原卷版+解析版）

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2．必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效；
3．答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示；
4．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁；
5．答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸；
一、选择题（本大题包括10个小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项）
1. 下列四个实数中，最小的是( )
A. B. C. 0D.
【答案】B
【解析】
【分析】化简选项A中的数值再比较大小即可．两个负数比较大小，绝对值大的反而小．
【详解】解：，
∵，，，
∴．
∵正数大于零，负数小于零．
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查有理数大小，掌握负数的大小比较方法和去绝对值是解题的关键．
2. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据同底数幂相乘，合并同类项，单项式乘以多项式，多项式乘以多项式法则，逐项判断即可求解．
【详解】解：A.，故本选项错误，不符合题意；
B.，故本选项错误，不符合题意；
C.，故本选项正确，符合题意；
D.，故本选项正确，符合题意；
故选：C.
【点睛】本题主要考查了同底数幂相乘、合并同类项、单项式乘以多项式、多项式乘以多项式法则、熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
3. 由六个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示,关于它的视图的说法正确的是（ ）
A. 主视图的面积最小
B. 左视图的面积最小
C. 俯视图的面积最小
D. 三种视图的面积一样大
【答案】B
【解析】
【分析】观察图形，分别表示出三视图由几个正方形组成，再比较其面积的大小．
【详解】观察图形可知，几何体的主视图由5个正方形组成，俯视图由5个正方形组成，左视图由3个正方形组成，
所以左视图的面积最小.
故选B.
【点睛】本题考查了由几何体判断三视图,意在考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力,同时也体现了对空间想象能力方面的考查.
4. 如果一个扇形的圆心角扩大为原来的2倍，半径扩大为原来的3倍，那么这个扇形的面积将扩大为原来的倍数是（ ）
A. 18B. 12C. 6D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】根据扇形的面积公式，进行求解即可．
【详解】解：设原扇形的圆心角度数为，半径为，
则：，
圆心角扩大为原来的2倍，半径扩大为原来的3倍后，面积变为：，
∴这个扇形的面积将扩大为原来的18倍；
故选A．
【点睛】本题考查扇形的面积．熟记扇形的面积公式是解题的关键．
5. 袁枚的一首诗《苔》在《经典咏流传》的舞台被重新唤醒，“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”若苔花的花粉直径为0.0000084米，用科学记数法表示，则n为（ ）
A. B. C. 5D. 6
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查科学记数法表示较小的数，正确记忆科学记数法的形式是解题关键．将0.0000084的小数点向右移动6位，则．
【详解】解：，则为．
故选：A．
6. 若点，，在反比例函数上，则，，的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了反比例函数的增减性，根据解析式可得反比例函数图象分布在第二四象限，在每个象限内y随x的增大而增大，据此判断出，在第二象限，在第四象限，再由增减性可得．
【详解】解：∵反比例函数图象分布在第二四象限，在每个象限内y随x的增大而增大，
∴，在第二象限，且，
∴，
∵在第四象限，
∴，
∴，
故选：B．
7. 如图，在中，是的直径，点C、D在圆上，，则的度数为（ ）
A. 30°B. 40°C. 45°D. 50°
【答案】B
【解析】
【分析】根据圆周角定理，等弧所对的圆周角相等，三角形内角和定理计算求值即可；
【详解】解：∵AB是圆的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠ABC=∠ADC=50°，
∴∠BAC=180°-∠ACB-∠ABC=40°，
故选： B．
【点睛】本题考查了圆周角定理，等弧所对的圆周角相等等知识，解题的关键是梳理出图形中角与角的关系．
8. 我国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道题，原文如下：今有百鹿入城，家取一鹿，不尽，又三家共一鹿，适尽，问：城中家几何？大意为：今有100头鹿进城，每家取一头鹿，没有取完，剩下的鹿每3家共取一头，恰好取完，问：城中有多少户人家？设城中人家的户数为x户，下面所列方程符合题意的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了一元一次方程应用，解答本题的关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．
设设城中有x户人家，根据题意，列出方程即可．
【详解】设城中有x户人家，
根据题意，可列方程为．
故选A．
9. 抛物线的顶点为，且经过点，其部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A. 若抛物线经过点，则必过点
B. 若点和都在抛物线上，则
C.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了抛物线图象与系数的关系以及一元二次方程的根与系数的关系，根据抛物线的开口方向和对称轴的位置可判断、、的符号，然后再根据两根关系和抛物线与的交点情况逐项判定即可，熟练掌握抛物线图象与系数的关系是解题的关键．
【详解】解：A、由图象可知，抛物线对称轴为直线，若经过点，则经过点，故选项不符合题意；
B、由图象可知，图象开口向下，
∴，
由离对称轴越近值越大，
∵，
∴，故选项不符合题意；
C、∵抛物线对称轴为直线，且过点，
∴与的另一个交点为，
∴，故选项不符合题意；
D、∵抛物线的顶点为，且经过点，，
∴代入抛物线得：，则，
，则，
由得：，故选项符合题意；
故选：D．
10. 如图，在矩形中，O为的中点，过点O作的垂线，分别交于点F，交于点E，G是的中点，且，有下列结论：①；②；③连结，，四边形为菱形；④其中正确的是（ ）
A. ②③B. ③④C. ①②④D. ①③④
【答案】D
【解析】
【分析】由G是的中点，O为的中点，得到，故②错误，由，得到，由，得到，设，则，，在中，引用勾股定理，求出，进而得到，在中，求出、，即可判断①正确，由，得到，由垂直平分线的性质得到，，即可判断③正确，分别计算，，即可判断④正确，
本题考查了矩形的性质，含角的直角三角形，菱形的判定，勾股定理，垂直平分线的性质，全等三角形的性质与判定，解题的关键是：用含的代数式，表示出各个线段的长．
【详解】解：连接，如图，
∵G是的中点，O为的中点，
∴，故②错误，
∵，
∴，
∵，
∴，
设，则，，
在中，，
∴，，
∵矩形，
∴，，
∴，
在中，，，
∴，故①正确，
∵，，，
∴，
∴，
∵O为的中点，，
∴，，即：，
∴四边形为菱形，故③正确，
，，
∴，故④正确，
综上所述：①③④正确，
故选：D．
二、填空题（本大题包括8个小题，每小题3分，共24分，每小题只有一个正确选项）
11. 分解因式： __________．
【答案】x（2x+3y）（2x-3y）
【解析】
【分析】原式提取x，再利用平方差公式分解即可．
【详解】解：原式=x（4x2-9y2）=x（2x+3y）（2x-3y），
故答案为：x（2x+3y）（2x-3y）
【点睛】此题考查提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
12. 数轴上，在原点的左侧，并且与表示的点距离为3的点所表示的数是_________．
【答案】−3
【解析】
【分析】根据数轴上的数右边的数比左边的数大，以及数轴上两点间的距离表示方法列式计算，即可得解．
【详解】解：∵＞0，
∴在原点的左侧，与表示的点的距离为3的点所表示的数是−3．
故答案为：−3．
【点睛】本题考查了实数与数轴，掌握数轴上两点间距离的表示方法是解题的关键．
13. 不透明袋子中装有 7 个球，其中有 2 个红球、3 个绿球和 2 个蓝球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出 1 个球，则它不是绿球的概率是_．
【答案】
【解析】
【分析】根据随机事件概率大小的求法，找准两点：①符合条件的情况数目，②全部情况的总数，二者的比值就是其发生的概率的大小．
【详解】解：∵不透明袋子中装有7个球，其中有2个红球、3个绿球和2个蓝球，
∴从袋子中随机取出1个球，则它不是绿球的概率是．
故答案为：．
【点睛】本题考查概率的求法与运用，一般方法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率，比较简单．
14. 某校规定：学生的单科学期综合成绩是由平时、期中和期末三项成绩按3∶3∶4的比例计算所得．已知某学生本学期数学的平时、期中和期末成绩分别是90分、90分和95分，那么他本学期数学学期综合成绩是__________分
【答案】92
【解析】
【分析】根据加权平均数的定义即可求解．
【详解】依题意得本学期数学学期综合成绩是90×+90×+95×=92
故答案为：92．
【点睛】此题主要考查加权平均数，解题的关键是熟知加权平均数的求解方法．
15. 若关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0有实数根，则m的取值范围是 __________________．
【答案】
【解析】
【分析】根据一元二次方程根的情况与判别式的关系可得，判别式，求解即可．
【详解】解：关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0有实数根
则判别式，解得
故答案为：
【点睛】此题考查了一元二次程根的情况与判别式的关系，解题的关键是掌握一元二次程根的情况与判别式的关系．
16. 在边长相等的小正方形组成的网格中，点，，都在格点上，那么的值为___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了求锐角三角函数值，勾股定理，等腰三角形的性质，连接，证明，进而根据余弦的定义，即可求解．
【详解】解：如图所示，连接，
∵，，
∴
∴
故答案为：．
17. 若关于x, y的方程组的解满足x-y=10,则m的值是 ________
【答案】-8
【解析】
【详解】，
②−①，得
x−y=3−1−m，
即x−y=2−m，
又∵x−y=10，
∴2−m=10，
解得，m=−8，
故答案为−8.
18. 如图，在边长为4的菱形中，，将沿射线的方向平移，得到，连接，，，则的最小值为____________．
【答案】
【解析】
【分析】根据菱形的性质得到，，根据平移的性质得到，，推出四边形是平行四边形，得到，于是得到的最小值的最小值，根据平移的性质得到点E在过点A且平行于的定直线上，作点D关于定直线的对称点M，连接交定直线于E，通过证明得到，即可得出结论．
【详解】解：连接交于点O，
∵四边形为菱形，
∴，
∵，
∴，
根据勾股定理可得，
∴，整理得：，
∵，
∴，则为等边三角形那个，
∴，
∵在边长为4的菱形中，，
∴，，
∵将沿射线的方向平移得到
∴，，
∵四边形是菱形，
∴，，
∴，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴的最小值的最小值，
∵点E在过点A且平行于的定直线上，
∴作点D关于定直线的对称点M，连接交定直线于E，则的长度即为的最小值，
根据轴对称的性质可得：，
∵，
∴，
∵，，
∴， ，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了轴对称——最短路线问题，菱形的性质，勾股定理，平移的性质，正确地理解题意是解题的关键．
三、解答题（本大题共8个小题，第19、20题每小题6分，第21、22题每小题8分，第 23、24题每小题9分，第25、26题每小题10．分，共66分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19. 计算：．
【答案】-4
【解析】
【分析】原式利用绝对值的代数意义，特殊角的三角函数值，零指数幂、负整数指数幂法则计算即可求出值．
【详解】原式＝﹣1﹣3×+1﹣4
＝﹣1﹣+1﹣4
＝﹣4．
【点睛】本题综合考查了绝对值的意义，特殊角的三角函数值，零指数幂、负整数指数幂等知识，掌握这些知识是基础和关键．
20. 先化简，再求值：，其中．
【答案】；．
【解析】
【分析】先将除法转化为乘法，同时将分子分母因式分解，进而根据分式的性质化简，再将x=3代入化简后的结果．
【详解】解：原式，
，
．
当时．原式．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，掌握分式的性质与因式分解是解题的关键．
21. 如图，已知点，，，在一条直线上，，，，求证：．

【答案】见解析
【解析】
【分析】先根据平行线的性质得到，再证明，则利用“”可判断，所以，然后根据平行线的判定可得到结论．
【详解】解：证明：，
，
，
．
即，
在和中
，
，
，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
22. 某校在校园文化艺术节期间，举办了歌咏、小品、书法、绘画共四个项目的比赛，要求每名学生必须参加且仅参加一项．小明随机调查了部分学生的报名情况，根据调查结果绘制出了如下不完整的“各项目参赛人数及比例”统计表，请根据图表中提供的信息，解答下列的问题：
各项目参赛人数及比例统计表
（1）本次调查中共抽取了 名学生
（2）表中的a＝ ，b＝
（3）根据统计表中的数据和所学统计图的知识，任选绘制一幅统计图，能直观反映各项目的参加人数或参赛人数的比例．
【答案】（1）200；（2）30%，80；（3）见解析
【解析】
【分析】（1）用歌咏的人数除以它的占比即可得到答案；
（2）根据百分比=某一项目的人数除以抽取的总人数进行求解即可；
（3）反应百分比应该选择扇形统计图即可．
【详解】解：（1）由题意得：抽取的学生人数=20÷10%＝200（名），
故答案为：200；
（2）由题意得：小品的占比=60÷200＝30%，书法的人数=200×40%＝80，
∴a=30%，b=80，
故答案为：30%，80；
（3）用扇形统计图表示如图所示：
【点睛】本题主要考查了统计调查的应用，解题的关键在于能够准确根据题意求出抽取的总人数．
23. 为了测量竖直旗杆AB的高度，某综合实践小组在地面D处竖直放置标杆CD，并在地面上水平放置一个平面镜E，使得B，E，D在同一水平线上（如图所示）．该小组在F处测得旗杆顶A的仰角为45°，平面镜E的俯角为67°，测得米，在标杆的F处通过平面镜E恰好观测到旗杆顶A（此时）．
求：（1）平面镜E到标杆底部D的距离．
（2）旗杆AB的高度．
（结果保留整数，参考数据：，，）
【答案】（1）1米；（2）6米
【解析】
【分析】（1）作FG⊥AB于G，在Rt△EDF中，根据∠FED的正切函数求解即可；
（2）设AB为x米，根据正切的定义求出FG、BE，根据图形列方程计算，得到答案．
【详解】解：（1）作FG⊥AB于G，
∵FG∥BD，
∴∠FED=∠GFE=67°，
在Rt△EDF中，tan∠FED= ，
∴米，
（2）设AB为x米，由题意得，四边形FDBG为矩形，
在Rt△AFG中，∠AFG=45°，
∴FG=AG=x-2.4，
在Rt△AEB中，tan∠AEB= ，
即，
由题意得，，
解得，x≈6，
答：旗杆AB的高度约为6米．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
24. 黄陵翡翠梨因为黄土高坡独特的气候，有着独有的风味，并荣获国家地理标识证明商标，某天甲超市对翡翠梨进行优惠促销，翡翠梨销售金额y(元)与销售量x(千克)之间的关系如图所示．
（1）当时，求销售金额y(元)与销售量x(千克)之间的关系式．
（2）乙超市翡翠梨的标价为32元/千克，当天也进行优惠促销活动，按标价的五折销售．若一顾客需要购买8千克翡翠梨，请通过计算说明去哪个超市购买更划算．
【答案】（1）
（2）顾客去甲、乙超市购买一样划算，计算过程见解析
【解析】
【分析】本题考查了一次函数的应用；
（1）当时，设销售金额(元)与销售量(千克)之间的关系式为)，根据图中点的坐标，利用待定系数法，即可求出当时，销售金额(元)与销售量(千克)之间的关系式；
（2）将代入（1）的函数关系式中，可求出顾客在甲超市购买所需费用，利用总价=单价数量，可求出顾客在乙超市购买所需费用，将在两家超市购买所需费用比较后，即可得出结论．
【小问1详解】
解：当时，设销售金额(元)与销售量(千克)之间的关系式为)，
将代入得：
，
解得：．
答：当时，销售金额(元)与销售量(千克)之间的关系式为；
小问2详解】
根据题意得：顾客在甲超市购买所需费用为(元)；
顾客在甲超市购买所需费用为(元)．
，
顾客去甲、乙超市购买一样划算．
25. 定义：在平面直角坐标系中，当点在图形的内部，或在图形上，且点的横坐标和纵坐标相等时，则称点为图形的“梦之点”．
（1）如图①，矩形的顶点坐标分别是，，，，在点，，中，是矩形ABCD“梦之点”的是______；
（2）如图②，已知点A，B是抛物线上的“梦之点”，点C是抛物线的顶点．连接，判断的形状并说明理由．
（3）在（2）的条件下，点P为抛物线上一点，点Q为平面内一点，是否存在点P、Q，使得以为对角线，以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）是直角三角形
（3）点的坐标为或
【解析】
【分析】（1）根据“梦之点”的定义判断这几个点是否在矩形的内部或者边上即可得到答案；
（2）根据“梦之点”的定义求出的坐标，再求出顶点的坐标，计算出的长，根据勾股定理逆定理得出是直角三角形，最后由三角形面积公式计算即可得到答案；
（3）由（2）可得，，求出直线的解析式为，由菱形的性质可得点、在直线上，联立，解方程即可得到答案．
【小问1详解】
解：矩形顶点坐标分别是，，
矩形“梦之点”满足，，
点是矩形的“梦之点”，不是矩形的“梦之点”．
【小问2详解】
点是抛物线上的“梦之点”，
，
解得：，，
当时，，当时，，
，，
，
顶点，
，，，
，
是直角三角形．
【小问3详解】
由（2）可得，，
设直线的解析式为：，
将代入得：，
解得：，
直线的解析式为：，
以为对角线，以为顶点的四边形是菱形，
，
点、在直线上，
点在二次函数上，
联立，
解得：，，
点的坐标为或．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、坐标与图形、勾股定理以及勾股定理逆定理、菱形的性质、一次函数等知识，熟练掌握以上知识点，理解题意，采用数形结合的思想是解此题的关键．
26. 如图，已知：等腰梯形中，，，以A为圆心，为半径的圆与相交于点E，与相交于点F，联结，设分别与相交于点G、H，其中H是的中点．
（1）求证：四边形为平行四边形；
（2）如图1，如果，求的值；
（3）如图2，如果，求的余弦值．
【答案】（1）见解析 （2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由题意知，，则，，由等腰梯形，可得，则，进而结论得证；
（2）由垂径定理得，证明，则，设，则，证明，则，，由勾股定理得，，，则，根据，求解作答即可；
（3）由（2）可知，，则，，由（2）可知，，则，，如图，作，垂足为点I，连接，则，设，，则，，证明，可得，，由勾股定理得，，即，可得，根据，求解作答即可．
【小问1详解】
证明：由题意知，，
∴，
∵，
∴，
∵等腰梯形，
∴，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形．
【小问2详解】
解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，
∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴，
由勾股定理得，，
∴，
∴，
∴，
∴；
【小问3详解】
解：由（2）可知，，
∴，
∵，
∴，
由（2）可知，，
∴，
∴，
如图，作，垂足为点I，连接，

∵，
∴，
设，，则，，
∵
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
由勾股定理得，，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了等腰梯形的性质，平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，垂径定理，余弦等知识．熟练掌握等腰梯形的性质，平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，垂径定理，余弦是解题的关键．
项目
人数
百分比
歌咏
20
10%
小品
60
a
书法
b
40%
绘画
40
20%