2024年山东省临沂市联盟九年级中考数学一轮模拟考试试题（原卷版+解析版）

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1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷（选择题，共30分）
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）
1. 2022的相反数是（ ）
A. 2022B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据相反数的定义直接求解．
【详解】解：实数2022的相反数是，
故选：B．
【点睛】本题主要考查相反数的定义，解题的关键是熟练掌握相反数的定义．
2. 某商城开设一种摸奖游戏，中一等奖的机会为20万分之一，将这个数用科学记数法表示为（ ）
A. 2×10﹣5B. 2×10﹣6C. 5×10﹣5D. 5×10﹣6
【答案】D
【解析】
【分析】先把20万分之一转化成0.000 005，然后再用科学记数法记数记为5×10﹣6．小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】解：=0.000005=5×10﹣6．
故选D．
【点睛】考查了科学记数法﹣表示较小的数，将一个绝对值较小的数写成科学记数法a×10n的形式时，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．
3. 下面的图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念判断即可．
【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
B．不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
C．是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
D．是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意．
故选C．
【点睛】本题考查识别轴对称图形与中心对称图形．识别轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．识别中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
4. 如图，图中所示的几何体为一桶快餐面，其俯视图正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】俯视图是从物体上面看，所得到的图形．
【详解】从上边看是一个圆形，圆形内部是一个虚线的圆形，
故选C．
【点睛】本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键．注意所有的看到的边都应表现在三视图中．
5. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】直接利用二次根式的性质以及立方根的性质分析得出答案．
【详解】解：A.，故此选项错误；
B.，故此选项错误；
C.，故此选项错误；
D.，正确．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了平方根和算术平方根的性质以及立方根的性质，正确掌握相关性质是解题关键．
6. 世界文化遗产“三孔”景区已经完成5G基站布设，“孔夫子家”自此有了5G 网络．5G网络峰值速率为4G 网络峰值速率的10倍，在峰值速率下传输500兆数据，5G 网络比4G 网络快45秒，求这两种网络的峰值速率．设4G网络的峰值速率为每秒传输兆数据，依题意，可列方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】直接利用在峰值速率下传输500兆数据， 5G网络比4G网络快45秒得出等式进而得出答案．
【详解】解：设网络的峰值速率为每秒传输兆数据，依题意，可列方程是：
．
故选A．
【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，正确等量关系得出等式是解题关键．
7. 如图，一个几何体上半部为正四棱锥，下半部为立方体，且有一个面涂有颜色，该几何体表面展开图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由平面图形的折叠及几何体的展开图解题，注意带图案的一个面不是底面．
【详解】解：选项A和C带图案的一个面是底面，不能折叠成原几何体的形式；
选项B能折叠成原几何体的形式；
选项D折叠后下面带三角形的面与原几何体中的位置不同．
故选B．
【点睛】本题主要考查了几何体的展开图解题时勿忘记正四棱柱的特征及正方体展开图的各种情形注意做题时可亲自动手操作一下，增强空间想象能力．
8. 如图，半径为3的⊙A经过原点O和点C（0，2），B是y轴左侧⊙A优弧上一点，则tan∠OBC为（ ）
A. B. 2C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】解：连接CD，
因为，
所以CD为直径，
在Rt△OCD中，CD=6，OC=2，
根据勾股定理得OD=4
所以tan∠CDO=，
由圆周角定理得，∠OBC=∠CDO，
则tan∠OBC=，
故选C．
9. 如图，点A的坐标是(-2,0)，点B的坐标是(0,6)，C为OB的中点，将△ABC绕点B逆时针旋转90°后得到．若反比例函数的图象恰好经过的中点D，则k的值是（ ）
A. 9B. 12C. 15D. 18
【答案】C
【解析】
【分析】作轴于证明≌，推出，，求出点坐标，再利用中点坐标公式求出点D坐标即可解决问题．
【详解】解：作轴于．
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵点的坐标是，点的坐标是，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵反比例函数的图象经过点，
∴．
故选C．
【点睛】本题考查反比例函数图形上的点的坐标特征，坐标与图形的变化旋转等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
10. 抛物线上的部分点的横坐标与纵坐标的对应值如下表：则下列结论：①；②；③抛物线的对称轴为直线；④方程的两个根为，．正确的有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次函数的性质和表格中的数据，判断各结论正误即可．
【详解】解：抛物线经过点，，
函数的对称轴为直线，方程的两个根为，，
故③④正确；
由表格数据可知，当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，
抛物线的开口向上，即，
故①正确；
抛物线经过点，
，
故②正确；
综上所述，正确的有4个，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二．填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11. 在函数中，自变量的取值范围是___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据算术平方根的非负性即可完成．
【详解】解：由题意得，
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查了求函数自变量的取值范围，关键是掌握算术平方根的非负性．
12. 因式分解：____．
【答案】x(x-9)
【解析】
【分析】根据提取公因式法分解因式，即可．
【详解】x(x-9)，
故答案是：x(x-9)．
【点睛】本题主要考查因式分解，掌握提取公因式法分解因式，是解题的关键．
13. 为了落实“双减”政策，东营市某学校对初中学生的课外作业时长进行了问卷调查，15名同学的作业时长统计如下表，则这组数据的众数是____________分钟．
【答案】70
【解析】
【分析】根据众数的定义，人数最多的即为这组数据的众数．
【详解】解：由表可知：
∵6＞4＞2＞2＞1，
∴这组数据的众数是70分钟．
故答案为：70．
【点睛】本题考查了众数的定义，掌握众数的定义是本题关键．
14. 如图，在中，弦半径，则的度数为____________．
【答案】100°##100度
【解析】
【分析】先根据平行线的性质求出∠OCA的度数，再根据等边对等角求出∠OAC的度数，即可利用三角形内角和定理求出∠AOC的度数．
【详解】解：∵，
∴∠OCA=∠BOC=40°，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA=40°，
∴∠AOC=180°-∠OAC-∠OCA=100°，
故答案为：100°．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，圆的基本性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，熟知相关知识是解题的关键．
15. 关于x的一元二次方程（k－1）x2－2x+1=0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是_______．
【答案】k＜2且k≠1
【解析】
【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到k﹣1≠0且＝（﹣2）2﹣4（k﹣1）＞0，然后求出两个不等式的公共部分即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程（k－1）x2－2x+1=0有两个不相等的实数根，
∴k－1≠0且∆=（－2）2－4（k－1）＞0，
解得：k＜2且k≠1．
故答案为：k＜2且k≠1．
【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式＝b2﹣4ac：当＞0，方程有两个不相等的实数根；当＝0，方程有两个相等的实数根；当＜0，方程没有实数根．
16. 如图，是等腰直角三角形，直角顶点与坐标原点重合，若点B在反比例函数的图象上，则经过点A的反比例函数表达式为____________．
【答案】
【解析】
【分析】如图所示，过点A作AC⊥x轴于C，过点B作BD⊥x轴于D，证明△ACO≌△ODB得到AC=OD，OC=BD，设点B的坐标为（a，b），则点A的坐标为（-b，a），再由点B在反比例函数，推出，由此即可得到答案．
【详解】解：如图所示，过点A作AC⊥x轴于C，过点B作BD⊥x轴于D，则∠ACO=∠ODB=90°，
由题意得OA=OB，∠AOB=90°，
∴∠CAO+∠COA=∠AOC+∠BOD=90°，
∴∠CAO=∠DOB，
∴△ACO≌△ODB（AAS），
∴AC=OD，OC=BD，
设点B的坐标为（a，b），则AC=OD=a，OC=BD=b，
∴点A的坐标为（-b，a），
∵点B在反比例函数，
∴，
∴，
∴，
∴经过点A的反比例函数表达式为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了反比例函数与几何综合，全等三角形的性质与判定，熟知相关知识是解题的关键．
三．解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. （1）计算
（2），其中．
【答案】（1）1；（2）；5
【解析】
【分析】本题主要考查了实数混合运算，分式化简求值，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算．
（1）根据特殊角的三角函数值，零指数幂和负整数指数幂运算法则，算术平方根定义，进行计算即可；
（2）先根据分式混合运算法则进行化简，然后代入数据进行计算即可．
【详解】解：（1）
；
（2）
，
当时，原式．
18. 6月5日是世界环境日．某校举行了环保知识竞赛，从全校学生中随机抽取了n名学生的成绩进行分析，并依据分析结果绘制了不完整的统计表和统计图（如下图所示）．
学生成绩分布统计表
请根据以上图表信息，解答下列问题：
（1）填空：n＝ ，a＝ ；
（2）请补全频数分布直方图；
（3）求这n名学生成绩的平均分；
（4）从成绩在75.5≤x＜80.5和95.5≤x＜100.5的学生中任选两名学生．请用列表法或画树状图的方法，求选取的学生成绩在75.5≤x＜80.5和95.5≤x＜100.5中各一名的概率．
【答案】（1）40，0.25
（2）见解析 （3）88.125分
（4）图表见解析，
【解析】
【分析】（1）根据“频率=频数÷总数”和频率之和为1可得答案；
（2）用总人数减去其他组的人数即为到组人数，即可补全频数分布直方图；
（3）利用平均数的计算公式计算即可；
（4）列出树状图即可求出概率
【小问1详解】
解：由图表可知：，
【小问2详解】
解：由（1）可知，到组人数为（人），
频数分布图为：
【小问3详解】
解： （分）
【小问4详解】
解：用A1，A2表示75.5≤x＜80.5中的两名学生，用B1，B2表示95.5≤x＜100.5中的两名学生，画树状图，得
由上图可知，所有结果可能性共12种，而每一种结果的可能性是一样的，其中每一组各有一名学生被选到有8种．
∴每一组各有一名学生被选到的概率为．
【点睛】本题主要考查本题考查读频数分布直方图，求平均数，利用树状图求概率，掌握相关的概念以及方法是解题的关键．
19. 知识再现：如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c．
∵，
∴，
∴
（1）拓展探究：如图2，在锐角ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c．请探究，，之间的关系，并写出探究过程．
（2）解决问题：如图3，为测量点A到河对岸点B距离，选取与点A在河岸同一侧的点C，测得AC＝60m，∠A＝75°，∠C＝60°．请用拓展探究中的结论，求点A到点B的距离．
【答案】（1），证明见解析
（2）米
【解析】
【分析】拓展研究：作CD⊥AB于点D，AE⊥BC于点E，根据正弦的定义得AE = csinB，
AE= bsin∠BCA，CD= asinB，CD = bsin∠BAC，从而得出结论；
解决问题：由拓展探究知， 代入计算即可．
【小问1详解】
（拓展探究）证明：作CD⊥AB于点D，AC⊥BC于点E．
RtΔABE中，，
同理：，
．

．
．
．
．
【小问2详解】
（解答问题）解：在ΔABC中，
∴
解得：
答：点A到点B的距离为m．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形，对于锐角三角形，利用正弦的定义，得出是解题的关键．
20. 开学初，小芳和小亮去学校商店购买学习用品，已知每支钢笔的价格比每本笔记本的价格少元，小芳用元钱购买钢笔的数量是小亮用元钱购买笔记本数量的倍．
（1）求每支钢笔和每支笔记本的价格；
（2）一模后，班主任再次购买上述价格的钢笔和笔记本共件作为奖品，奖励给一模中表现突出和进步的同学，总费用不超过元．请问至少要买多少支钢笔？
【答案】（1）每支钢笔元，每本笔记本元；（2）至少要买支钢笔
【解析】
【分析】（1）由题意可以列出分式方程求解；
（2）可以根据题意列出一元一次不等式求解．
【详解】解：（1）设每支钢笔元，则每本笔记本元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列分式方程的解且符合题意，
．
答：每支钢笔元，每本笔记本元．
（2）设要买支钢笔，则要买本笔记本，
根据题意得：，
解得：．
答：至少要买支钢笔．
【点睛】本题考查分式方程和一元一次不等式的综合运用，根据题中等量关系列出合适的方程和不等式是解题关键．
21. 如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点G，过D作EF⊥AC于点E，交AB的延长线于点F．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）当∠BAC＝60°，AB＝8时，求EG的长；
（3）当AB＝5，BC＝6时，求tanF的值．

【答案】（1）见解析；（2）2；（3）tanF＝．
【解析】
【分析】（1）连接OD，由等腰三角形的性质得出∠ODB=∠C，证出OD∥AC，再由已知得出EF⊥OD，即可证出EF是⊙O的切线；
（2）连接BG、AD，由圆周角定理得出∠AGB=∠ADB=90°，即BG⊥AC，AD⊥BC，由等腰三角形的性质得出BD=CD，证出△ABC是等边三角形，得出AC=AC=8，证出EF∥BG，由平行线得出CE：EG=CD：BD，证出CE=EG，由等腰三角形的性质得出，即可得出EG的长；
（3）由等腰三角形的性质得出，由勾股定理求出，由三角函数求出，得出，再由勾股定理求出，由平行线得出△ODF∽△AEF，得出对应边成比例求出，在Rt△ODF中，由三角函数定义即可得出答案．
【详解】解（1）证明：如图1，连接OD，
∵AB＝AC，
∴∠C＝∠OBD，
∵OD＝OB，
∴∠ODB＝∠OBD，
∴∠ODB＝∠C，
∴OD∥AC，
∵EF⊥AC，
∴EF⊥OD，
∴EF是⊙O的切线；
（2）如图2，连接BG、AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AGB＝∠ADB＝90°，
即BG⊥AC，AD⊥BC，
∵AB＝AC，∠BAC＝60°，
∴BD＝CD，△ABC是等边三角形，
∴AC＝AC＝8，
∵EF⊥AC，
∴EF∥BG，
∴CE：EG＝CD：BD，
∴CE＝EG，
∵BG⊥AC，
∴CG＝AG＝AC＝4，
∴EG＝CG＝2；
（3）解：∵AD⊥BC，CD＝BD＝BC＝3，
∴AD＝＝＝4，sinC＝＝＝，
∴DE＝CD＝×3＝，
∴AE＝＝＝，
∵OD∥AC，
∴△ODF∽△AEF，
∴，即，
解得：DF＝，
在Rt△ODF中，OD＝AB＝，
∴tanF＝＝＝．
【点睛】此题是圆的综合题目，考查了等腰三角形的性质，圆周角定理，等边三角形的判定与性质，平行线的性质，勾股定理，切线的判定，相似三角形的判定与性质等知识．
22. 如图，直线AC与函数y＝﹣的图象相交于点A（﹣1，m），与x轴交于点C（5，0）．
（1）求m的值及直线AC的解析式；
（2）直线AE在直线AC的上方，满足∠CAE＝∠CAO，求直线AE的解析式；
（3）若D是线段AC上一点将OD绕点O逆时针旋转90°得到OD'，点D'恰好落在函数y＝﹣的图象上，求点D的坐标．
【答案】（1）m＝6，直线AC的解析式为y＝﹣x+5；（2）y＝﹣；（3）D坐标为（2，3）或（3，2）
【解析】
【分析】（1）将x＝﹣1代入反比例函数解析式即可求出m，再根据A、C两点坐标即可求出直线AC的解析式；
（2）根据∠CAE＝∠CAO，构造三角形全等，在AE上找到令一点的坐标即可求出直线AE的解析式；
（3）根据题意数形结合，利用三角形全等表示出D和D'的坐标再代入反比例函数解析式中即可求出D点坐标．
【详解】解：（1）将点A（-1，m）代入函数中得：，
∴A（-1，6），
设直线AC的解析式为y＝kx+b（k≠0），经过A（-1，6），C（5，0）两点，将其代入得：
解得：，
∴直线AC的解析式为：y＝-x+5；
（2）在AE上截取AF，使得AF＝AO，则：
在△ACO和△ACF中，
∴△ACO≌△ACF（SAS），
∴AF＝AO＝，
在y＝-x+5中，令y＝0，则y＝5，
∴OC＝CF＝5
设F（a，b），
∴，
∴
解得：或（舍去），
∴点F坐标为（5，5），
设直线AE的解析式为：y＝k'x+b'（k'≠0），经过点F（5，5），点A（-1，6），将其代入得：
，
解得：，
∴直线AE的解析式：；
（3）设OD绕点O逆时针旋转90°得到OD'，则∠DOD'＝90°，过点D作DN⊥x轴交于点N，过点D'作D'M⊥x轴交于点M，
∵∠D'OM+∠DON＝90°，∠D'OM+∠OD'M＝90°，

在△D'OM和△ODN中，
，
∴△D'OM≌△ODN（AAS），
∴DN＝OM，NO＝D'M，
设D（d，-d+5），则：DN＝OM＝-d+5，NO＝D'M＝d，
∵点D'在第二象限，
∴D’（d-5，d）且在y＝上，
∴d＝，
解得：d1＝2，d2＝3，
经检验符合题意，
∴D坐标为（-2，3）或（-3，2）．
【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数的综合，待定系数法求函数解析式，全等三角形的性质与判定等等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
23. 和均为等边三角形，点E、D分别从点A，B同时出发，以相同的速度沿运动，运动到点B、C停止.
（1）如图1，当点E、D分别与点A、B重合时，请判断：线段的数量关系是____________，位置关系是____________；
（2）如图2，当点E、D不与点A，B重合时，（1）中的结论是否依然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；
（3）当点D运动到什么位置时，四边形的面积是面积的一半，请直接写出答案；此时，四边形是哪种特殊四边形？请在备用图中画出图形并给予证明.
【答案】（1）CD=EF，CDEF
（2）CD=EF，CDEF，成立，理由见解析
（3）点D运动到BC的中点时，是菱形，证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据和均等边三角形，得到AF=AD，AB=BC，∠FAD=∠ABC=60°，根据E、D分别与点A、B重合，得到AB=AD，EF=AF，CD=BC，∠FAD=∠FAB，推出CD=EF，CDEF；
（2）连接BF，根据∠FAD=∠BAC=60°，推出∠FAB=∠DAC，根据AF=AD，AB=AC，推出△AFB≌△ADC，得到∠ABF=∠ACD=60°，BF=CD，根据AE=BD，推出BE=CD，得到BF=BE，推出△BFE是等边三角形，得到BF=EF，∠FEB=60°，推出CD=EF， CD∥EF；
（3）过点E作EG⊥BC于点G，设△ABC的边长为a，AD=h，根据AB=BC，BD=CD= BC= a， BD=AE，推出AE=BE= AB，根据AB=AC， 推出AD⊥BC，得到EGAD，推出△EBG∽△ABD，推出，得到= h，根据CD=EF， CD∥EF，推出四边形CEFD是平行四边形，推出，根据EF=BD，EFBD，推出四边形BDEF是平行四边形，根据BF=EF，推出是菱形．
【小问1详解】
∵和均为等边三角形，
∴AF=AD，AB=BC，∠FAD=∠ABC=60°，
当点E、D分别与点A、B重合时，AB=AD，EF=AF，CD=BC，∠FAD=∠FAB，
∴CD=EF，CDEF；
故答案为：CD=EF，CD∥EF；
【小问2详解】
CD=EF，CDEF，成立．
证明：
连接BF，
∵∠FAD=∠BAC=60°，
∴∠FAD-∠BAD=∠BAC-∠BAD，
即∠FAB=∠DAC，
∵AF=AD，AB=AC，
∴△AFB≌△ADC(SAS)，
∴∠ABF=∠ACD=60°，BF=CD，
∵AE=BD，
∴BE=CD，
∴BF=BE，
∴△BFE是等边三角形，
∴BF=EF，∠FEB=60°，
∴CD=EF，BCEF，
即CDEF，
∴CD=EF， CDEF；
【小问3详解】
如图，当点D运动到BC的中点时，四边形的面积是面积的一半，此时，四边形是菱形．
证明：
过点E作EG⊥BC于点G，设△ABC的边长为a，AD=h，
∵AB=BC，BD=CD= BC= a， BD=AE，
∴AE=BE= AB，
∵AB=AC，
∴AD⊥BC，
∴EGAD，
∴△EBG∽△ABD，
∴，
∴= h，
由（2）知，CD=EF， CDEF，
∴四边形CEFD是平行四边形，
∴,
此时，EF=BD，EFBD，
∴四边形BDEF是平行四边形，
∵BF=EF，
∴是菱形．
【点睛】本题主要考查了等边三角形判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，菱形的判定，解决问题的关键是熟练掌握等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形判定和性质，相似三角形的判定和性质，菱形的判定．
24. 如图，直线交轴于点，交轴于点，对称轴为的抛物线经过两点，交轴负半轴于点．为抛物线上一动点，点的横坐标为，过点作轴的平行线交抛物线于另一点，作轴的垂线，垂足为，直线交轴于点．

（1）求抛物线的解析式；
（2）若，当为何值时，四边形是平行四边形？
（3）若，设直线交直线于点，是否存在这样的值，使？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）存在，或
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式；
（2）结合平行四边形的性质，通过求直线的函数解析式，列方程求解；
（3）分3种情况求解：当时；当时；当时；根据，确定点坐标，从而利用一次函数图象上点的特征计算求解．
【小问1详解】
解：在直线中，当时，，当时，，
∴点，点，
设抛物线的解析式为，
把点，点代入可得，
解得，
∴抛物线的解析式为；
【小问2详解】
解：由题意，，
∴，
当四边形是平行四边形时，，
∴，
∴，，
设直线的解析式为，
把代入可得，
解得，
∴直线的解析式为，
又∵过点作轴的平行线交抛物线于另一点，且抛物线对称轴为，
∴
∴，
解得（不合题意，舍去），；
【小问3详解】
解：存在，理由如下．
由题意，，
∴，．
当时，点P在x轴的上方，
∵，
∴点E为线段的中点，
∴，，
∴，
代入整理得，，
解得（不合题意，舍去），．
当时，点P在x轴上，此时点E与点M重合，所以此种情况不存在；
当时，点P在x轴的下方，点E在射线上，
如图，设线段的中点为R，

∴，，
∴．
∵，
∴M为的中点，
∴，，
∴，
代入整理得，，
解得（不合题意，舍去），．
综上可知，存在或，使．
【点睛】本题考查一次函数和二次函数的综合应用，掌握待定系数法求函数解析式，利用数形结合思想和方程思想解题是关键．
……
0
1
2
3
……
……
6
3
0
0
……
作业时长（单位：分钟）
50
60
70
80
90
人数（单位：人）
1
4
6
2
2
成绩/分
组中值
频率
75.5≤x＜80.5
78
0.05
805≤x＜85.5
83
a
85.5≤x＜90.5
88
0.375
90.5≤x＜95.5
93
0.275
95.5≤x＜100.5
98
0.05