湖北省宜昌市夷陵区樟村坪镇中小学2023-2024学年七年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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1. 下列实数中，无理数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【详解】解：A、，2是整数，属于有理数，故此选项不符合题意．
B、，整数，属于有理数，故此选项不符合题意；
C、是分数，属于有理数，故此选项不符合题意；
D、是无理数，故此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：，等；开方开不尽的数；以及像，等有这样规律的数．
2. 下列等式正确的是（ ）
A. （）2=3B. =﹣3C. =3D. （﹣）2=﹣3
【答案】A
【解析】
【分析】根据二次根式的性质把各个二次根式化简，判断即可．
【详解】解：（）2=3，A正确,符合题意；
=3，B错误，不符合题意；
=，C错误，不符合题意；
（-）2=3，D错误，不符合题意；
故选A．
【点睛】本题考查的是二次根式的化简，掌握二次根式的性质：=|a|是解题的关键．
3. 下列选项中，∠1和∠2是对顶角的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】判断对顶角需要满足的两个条件，一是有公共顶点，二是一个角的两边是另一个角的反向延长线，逐项进行观察判断即可．
【详解】对顶角的定义：两条直线相交后所得，有公共顶点且两边互为反向延长线的两个角叫做对顶角，观察选项，只有C选项符合，
故选C．
【点睛】本题考查了对顶角的定义，熟练掌握对顶角的两个判断依据（一是有公共顶点，二是一个角的两边是另一个角的反向延长线）是解题的关键．
4. 平面直角坐标系中，点到轴的距离是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】求得A的纵坐标绝对值即可求得A点到x轴的距离
【详解】．解：∵，
∴A点到x轴的距离是9，
故答案是：D．
【点睛】此题主要考查点的坐标；用到的知识点为：点到x轴的距离为点的纵坐标的绝对值．
5. 如图，下列不能判定的条件是（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据平行线的判定定理对各选项进行逐一判断即可．
【详解】解：、因为，所以，故本选项不符合题意；
B、因为，所以，故本选项符合题意；
C、因为，所以，故本选项不符合题意；
D、因为，所以，故本选项不符合题意．
故选B．
【点睛】本题考查的是平行线的判定，熟知平行线的判定定理是解答此题的关键．平行线的判定方法：①两同位角相等，两直线平行；②内错角相等，两直线平行；③同旁内角互补，两直线平行．
6. 如图，两只蚂蚁以相同的速度沿两条不同的路径，同时从点A出发爬到点B，只考虑路径、时间、路程等因素，下列结论正确的为（ ）
A. 乙比甲先到B. 甲比乙先到
C. 甲和乙同时到D. 无法确定哪只蚂蚁先到
【答案】C
【解析】
【分析】根据平移可得出两蚂蚁行程相同，结合二者速度相同即可得出结论．
【详解】根据平移可得出两蚂蚁行程相同，
∵甲乙两只蚂蚁的行程相同，且两只蚂蚁的爬行速度也相同，
∴两只蚂蚁同时到达点B．
故选C．
【点睛】本题考查了生活中的平移现象，结合图形找出甲、乙两只蚂蚁的行程相等是解题的关键．
7. 若，则点P（x，y）一定在
A. x轴上．B. y轴上．C. 坐标轴上．D. 原点．
【答案】C
【解析】
【分析】由可得或，即可作出判断．
【详解】由可得或，则点P（x，y）一定在坐标轴上，
故选C．
【点睛】本题考查了点的坐标，解题的关键是熟练掌握x轴上的点的纵坐标为0，y轴上的点的横坐标为0．
8. 关于命题：若，则．下列说法正确的是（ ）
A. 它是真命题
B. 它是假命题，反例
C. 它是假命题，反例
D. 它是假命题，反例
【答案】D
【解析】
【分析】根据绝对值的性质判断即可．
【详解】解：若，当时，则；当时，则，
故选：D．
【点睛】本题主要考查假命题的判断，举反例是说明假命题不成立的常用方法，但需要注意所举反例需要满足命题的题设，但结论不成立．
9. 下列语句：
①三条直线只有两个交点，则其中两条直线互相平行；
②如果两条平行线被第三条截，同旁内角相等，那么这两条平行线都与第三条直线垂直；
③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
④△ABC在平移过程中，对应线段一定是平行的．
其中正确的命题有( )
A. 1个B. 2个C. 3D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】根据平行公理，平行线的性质，角平分线的定义分别判断．
【详解】①三条直线只有两个交点，则其中两条直线互相平行，正确，符合题意；
②如果两条平行线被第三条截，同旁内角相等，那么这两条平行线都与第三条直线垂直，正确，符合题意；
③过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故原命题错误，不符合题意；
④△ABC在平移过程中，对应线段一定是平行的，正确，符合题意．
正确的有命题有3个，
故选：C
【点睛】本题考查了平行公理，平行线的性质，角平分线的定义，解决此类问题的关键熟练掌握平行公理以及平行线的性质，注意平行公理是：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．
10. 如图．在平面直角坐标系中，一质点自处向上运动1个单位长度至．然后向左运动2个单位长度至处，再向下运动3个单位长度至处，再向右运动4个单位长度至处，再向上运动5个单位长度至处，…，按此规律继续运动，则的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先确定点在第三象限，根据第三象限各点横坐标、纵坐标的数据得出规律，进而得出答案即可.
【详解】解： ∵，则在第三象限，
由题意，第三象限的点为,,,，
∴；
故选：C．
【点睛】本题考查坐标系下点的规律探究．解题的关键是找到点的横纵坐标的数字规律．
二、填空题（本题共4小题，每题3分，共12分）
11. 命题“已知a，b，c直线，若，，则”是_（填写“真命题”或“假命题”）
【答案】真命题
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．如图，由知，再根据平行线的性质，可得，即，因此该命题是真命题．
【详解】如图，，
，
，
，
，
所以，该命题是真命题．
故答案为：真命题．
12. 的立方根是 ___，的平方根是____，的算术平方根是_____．
【答案】 ①. ②. ③.
【解析】
【分析】本题主要考查了求一个数的立方根，平方根和算术平方根，对于两个实数a、b，若满足，那么a就叫做b的平方根，若a为非负数，则a叫做b的算术平方根，若满足，那么a就叫做b的算术平方根，据此求解即可．
【详解】解：的立方根是，的平方根是，的算术平方根是，
故答案为：；；．
13. 如图，上午8时，一艘船从海港A出发，以每小时20海里的速度驶向北偏东方向的小岛B，10时整到达小岛B．则从小岛B看海港A的位置，用方位角和距离表示为______．

【答案】南偏西，距离是40海里
【解析】
【分析】方向角是从正北或正南方向到目标方向所形成的小于的角，由此即可解决问题．
【详解】解：∵上午8时，船从海港A出发，以每小时20海里的速度驶向北偏东方向的小岛B，10时整到达小岛B，
∴A与B的距离是海里，
∴从小岛B看海港A的位置，用方位角和距离表示为：南偏西，距离是40海里．
故答案为：南偏西，距离是40海里．
【点睛】本题考查方向角，关键是掌握方向角的定义．
14. 观察表中的数据信息：
则下列结论：①；②；③只有3个正整数a满足；④．其中正确的是___．（填写序号）
【答案】①②③
【解析】
【分析】本题考查无理数的估计，①利用被开方数的小数点与其算术平方根的小数点之间的变化规律解答即可；②利用被开方数的小数点与其算术平方根的小数点之间的变化规律，分别确定被减数和减数的值，再相减即可；③先根据的取值范围确定a的取值范围，再由a的取值范围确定a的正整数值；④先估计的值，再判断即可．
【详解】解：①，
，
，故①正确；
②，，
，，
，，
，故②正确；
③，
，
其中整数有：232，233，234共3个，故③正确；
④由①知，
，故④错误．
故答案为：①②③．
15. 如图，有一长方形纸片，E为上一点，将纸片沿折叠，B点落在长方形外的F点．若，，则___________°．

【答案】63
【解析】
【分析】根据平行线的性质，即可得到，进而得到的度数，再根据轴对称的性质，即可得到．
【详解】解∵，，（已知）
∴，（两直线平行，内错角相等）
∵，（已知）
∴，（两直线平行，内错角相等）
∵，（已知）
∴，
∵纸片沿折叠，
∴，
∴．
故答案为：63．
【点睛】本题主要考查了轴对称的性质以及平行线的性质的运用，解题时注意：两直线平行，内错角相等．
三、解答题（本题共9小题，共75分）
16. 计算：
【答案】
【解析】
【分析】分别计算开方，去括号，化简绝对值，再合并计算．
【详解】解：
．
【点睛】本题考查了实数的混合运算，解题的关键是掌握运算法则．
17. （1）求x的值：
（2）解方程组：
【答案】（1），；（2）
【解析】
【分析】本题考查了利用平方根求方程的解，加减消元法求一元二次方程组的解，熟练掌握运算方法是解题关键．
（1）利用平方根求方程的解即可；
（2）根据求出x的值，再将x的值代入②，求出y的值即可．
【详解】解：（1），
，
，
，；
（2），
得：，
将代入②，得：，
方程组的解为：．
18. 完成下面的证明过程
如图，已知∠1＋∠2＝180°，∠B＝∠DEF，求证：DE∥BC．
证明：∵∠1＋∠2＝180°（已知），
而∠2＝∠3 ，
∴∠1＋∠3＝180°．
∴ ∥ ．（ ）
∴∠B＝ ．（ ）
∵∠B＝∠DEF（已知），
∴∠DEF＝ ．（等量代换）
∴DE∥BC ．
【答案】对顶角相等；EF；AB；同旁内角互补两直线平行；∠CFE；两直线平行同位角相等；∠CFE；内错角相等两直线平行
【解析】
【分析】先由对顶角相等推出∠1+∠3=180°，由平行线的判定推出EF∥AB，根据平行线的性质得到∠B=∠CFE，然后由∠B=∠DEF，根据等量代换可得：∠CFE=∠DEF，然后根据内错角相等两直线平行即可得到DE∥BC．
【详解】证明：∵∠1+∠2=180°（已知），
而∠2=∠3（对顶角相等），
∴∠1+∠3=180°，
∴EF∥AB（同旁内角互补两直线平行），
∴∠B=∠CFE（两直线平行同位角相等），
∵∠B=∠DEF（已知），
∴∠DEF=∠CFE（等量代换），
∴DE∥BC（内错角相等两直线平行）．
故答案为：对顶角相等；EF；AB；同旁内角互补两直线平行；∠CFE；两直线平行同位角相等；∠CFE；内错角相等两直线平行．
【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，熟记同位角相等⇔两直线平行，内错角相等⇔两直线平行，同旁内角互补⇔两直线平行是解题的关键．
19. 如图，直线，相交于点O，，垂足为O．

（1）直接写出的对顶角和邻补角；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）的对顶角为，的邻补角为，
（2）
【解析】
【分析】（1）根据对顶角和邻补角的定义即可求解；
（2）根据垂直的定义可得，从而求得，再利用邻补角进行计算即可．
【小问1详解】
解；由题意可得，的对顶角为，的邻补角为，；
【小问2详解】
解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴
∴．
【点睛】本题考查垂线的定义、对顶角相等、邻补角的定义，根据题目已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．
20. 实数，在数轴上的位置如图所示．

（1）化简：__________，__________．
（2）先化简再求值：，其中是的一个平方根，是3的算术平方根．
【答案】（1）；
（2）；
【解析】
【分析】本题考查了化简二次根式、平方根及算术平方根、绝对值：
（1）由数轴得：，，再根据二次根式的性质及绝对值的意义即可求解；
（2）由图可知：，，进而可得，，再根据二次根式性质化简，再根据平方根及算术平方根的定义得，，进而可求解．
【小问1详解】
解：由数轴得：，，
，，
故答案为：；．
【小问2详解】
由图可知：，，
∴，，
∴．
∵是的一个平方根，是3的算术平方根，，
∴，，
∴．
21. 如图，有一张长宽比为的长方形纸片ABCD，而积为．
（1）求长方形纸片的长和宽；
（2）小丽想沿这张长方形纸片边的方向裁剪一块长宽比为的新长方形，使其面积为，请问她能裁出符合要求的长方形吗？试说明理由．
【答案】（1）24cm，16cm ．
（2）她能裁出符合要求的长方形，理由见详解
【解析】
【分析】（1）设长方形长为cm，宽为cm，再利用长方形的面积公式，列出方程，即可求出结论；
（2）设长方形纸片的长为（）cm，则宽为cm，根据新纸片的面积，即可得出关于a的方程，利用平方根得出a的值，然后计算出长宽，即可得出结果．
【小问1详解】
解：设长方形的长为cm，宽为cm，
根据题意得： ，
解得：（负值舍去）
∴．
答：长方形纸片的长和宽分别是24cm，16cm ．
【小问2详解】
解：能，理由如下：
设长方形纸片的长为（）cm，则宽为cm，
根据题意得：，
解得：（负值舍去），
∴
∴她能裁出符合要求的长方形.
【点睛】本题考查了算术平方根以及长方形的面积，解题的关键是：找准等量关系，正确列出相应的方程．
22. 如图，△PQR中任意一点经平移后对应点为，其中、、，将△PQR作同样的平移得到．
（1）画出△P1Q1R1；
（2）写出P1，Q1，R1的坐标；
（3）求出△P1Q1R1的面积．
【答案】（1）见解析 （2），，
（3）9.5
【解析】
【分析】（1）将向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度；
（2）根据平移变换规则可得各点坐标；
（3）利用矩形面积减去多余三角形面积，可得所求三角形的面积．
【小问1详解】
解：如图所示，即．
【小问2详解】
解：，，．
【小问3详解】
解：．
【点睛】本题考查了平面直角坐标系中图形的平移变化，点的坐标的应用，网格中三角形的面积计算方法，熟练掌握相关知识是解题的关键．
23. 将一副三角板按如图方式摆放，两个直角顶点重合，∠A=60°，∠E=∠B=45°．

（1）求证：∠ACE=∠BCD；
（2）猜想∠ACB与∠ECD数量关系并说明理由；
（3）按住三角板ACD不动，绕点C旋转三角板ECB，探究当∠ACB等于多少度时，AD∥CB．请在备用图中画出示意图并简要说明理由．
【答案】（1）证明见解析;（2）猜想：∠ACB+∠ECD=180°．理由见解析;（3）当∠ACB=120°或60°时，AD∥CB．理由理由见解析.
【解析】
【详解】试题分析：
（1）由∠ACD=∠BCE=90°，可得∠ACD-∠DCE=∠BCE-∠DCE，从而可得∠ACE=∠BCD；
（2）猜想：∠ACB+∠ECD=180°．由∠ACB+∠ECD=∠ACD+∠BCD+∠ECD=∠ACD+∠BCE=90°+90°=180°可得结论；
（3）如下图，因为∠A=60°，根据“同旁内角互补，两直线平行和内错角相等，两直线平行”可知，当∠ACB=120°，或∠ACB=60°时，AD∥BC.
试题解析：
（1）∵∠ACD=∠ECB=90°，
∴∠ACD﹣∠ECD=∠ECB﹣∠ECD，
即∠ACE=∠BCD．
（2）猜想：∠ACB+∠ECD=180°．理由如下：
∵∠ACB=∠ACD+∠DCB
∴∠ACB+∠ECD
=∠ACD+∠DCB+∠ECD
又∵∠DCB+∠ECD=∠ECB，
∴∠ACB+∠ECD=∠ACD+∠ECB=90°+90°=180°.
（3）当∠ACB=120°或60°时，AD∥CB．理由如下：
①如图1，根据“同旁内角互补，两直线平行”：
当∠A+∠ACB=180°时，AD∥BC，
此时，∠ACB=180°﹣∠A=180°﹣60°=120°．
②如图2，根据“内错角相等，两直线平行”：
当∠ACB=∠A=60°时，AD∥BC．
综上所述，当∠ACB=120°或60°时，AD∥BC.

点睛：在解第（3）小问时，利用手中的直角三角尺旋转演示一次，认真观察旋转过程，既能轻松找到解题思路，又能把两种情况都考虑到，从而完整的给出解答.
24. 已知，直线AB∥CD，点E、F分别在直线AB、CD上，点P是直线AB与CD外一点，连接PE、PF．
（1）如图1，若∠AEP＝45°，∠DFP＝105°，求∠EPF的度数：
（2）如图2，过点E作∠AEP的角平分线EM交FP的延长线于点M，∠DFP的角平分线FN交EM的反向延长线于点N，若∠M与3∠N互补，试探索直线EP与直线FN的位置关系，并说明理由；
（3）若点P在直线AB的上方且不在直线EF上，作∠DFP的角平分线FN交∠AEP的角平分线EM所在直线于点N，请直接写出∠EPF与∠ENF的数量关系．
【答案】（1）
（2），理由见解析
（3）或
【解析】
【分析】（1）延长EP交CD于点G，根据平行线的性质，得，再根据补角和三角形外角的性质计算，即可得到答案；
（2）延长EP交CD于点G，交AB于点Q，根据角平分线的性质，设，，根据平行线和三角形外角性质，得，根据三角形外角和三角形内角和的性质，得；再根据平行线的性质分析，即可完成证明；
（3）根据题意，分P在直线EF左侧和右侧两种情况分析；设，，根据角平分线、平行线和三角形外角的性质，得，再根据三角形内角和的性质计算，即可得到答案．
【小问1详解】
如图，延长EP交CD于点G
∵AB∥CD，∠AEP＝45°，
∴
∵∠DFP＝105°
∴
∴；
【小问2详解】
如图，延长EP交CD于点G，交AB于点Q
根据题意，得，
设，
∴
∵AB∥CD
∴，，即
∴
∵
∴，即
∵
∴
∴
将代入到
得：
∴
∴；
【小问3详解】
当点P在直线EF左侧时，交AB于点Q，如图，
根据题意，得：，
设，
∴
∵AB∥CD
∴
∴
∵，
∴
将代入到，得：
∴；
当点P在直线EF右侧时，交AB于点Q，和相交于点K，如图，
根据题意，得：，
设，
∴，
∵AB∥CD
∴，
∴
∵
∴
∴
将代入到，得：
∴．
【点睛】本题考查了角平分线、三角形、平行线的知识；解题的关键是熟练掌握三角形内角和、三角形外角、平行线的性质，从而完成求解．a
15
15.1
15.2
15.3
15.4
…
225
228.01
231.04
234.09
237.16
…