2024北京房山初三一模数学试卷和答案

这是一份2024北京房山初三一模数学试卷和答案，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
本试卷共 8 页，满分 100 分，考试时长 120 分钟。考生务必将答案填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（共 16 分，每题 2 分）
第 1-8 题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.
右图是某几何体的三视图，该几何体是
（A）圆锥（B）圆柱
（C）三棱柱（D）球
据中国国家铁路集团有限公司消息：在 2024 年为期 40 天的春运期间，全国铁路累计
发送旅客 4.84 亿人次，日均发送12 089 000 人次.将12 089 000 用科学记数法表示应为
（A）12.089 106
（B）1.2089 106
（C）1.2089 107
（D） 0.12089 108
下面四个博物馆标志，其文字上方的图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是
（A）（B）（C）（D）
如图， a ∥ b ， 点 A ， C 在直线 a 上， 点 B 在直线 b 上，
2
1
AB  BC ，
若1  35 ，则 2 的度数是
（A） 25（B） 35
（C） 45（D） 55
Bb
ACa
若关于 x 的一元二次方程 x2  x  m  0 有两个相等的实数根，则实数 m 的值为
（A）  4
（B）  1
4
（C） 1
4
（D） 4
不透明的袋子中装有1 个红球，1 个白球，除颜色外两个小球无其他差别，从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，那么两次都摸到红球的概率是
（A） 1
9
（B） 1
6
（C） 1
4
（D） 4
9
若 a  b  0 ，则下列结论正确的是
（A） a  b  a  b（B） b  a  a  b
（C） a  b  b  a（D） a  b  a  b
如图，在四边形 ABCD 中，  B   BCD  90 ，点 E 在 BC 上， CE  BE ，连接 AE
并延长交 DC 的延长线于点 F ，连接 DE ，△ ABE ≌△ ECD . 给出下面三个结论：
① AE  DE ；② AB  CD  AE ；③ 2 AB  EF  AD  CF .
上述结论中，所有正确结论的序号是
（A）①②（B）②③
（C）①③（D）①②③
二、填空题（共 16 分，每题 2 分）
若代数式 2
x  3
有意义，则实数 x 的取值范围是．
分解因式： x2 y  4 y  ．
方程 4
3x  5
 1 的解为．
x
在平面直角坐标系 xOy 中，若点 A(1，y ) ， B(3 ，y ) 在反比例函数 y  3 的图象上，
12x
则 y1 y2 （填“  ”，“  ”或“  ”）．
某校为了调查学生家长对课后服务的满意度，从 600 名学生家长中随机抽取150 名进行问卷调查，获得了他们对课后服务的评分数据（评分记为 x ），数据整理如下：
家长评分60 ≤ x  70
70 ≤ x  80
80 ≤ x  90
90 ≤ x ≤100
人数15456030
根据以上数据，估计这600 名学生家长评分不低于80 分的有名.
如图，在矩形 ABCD 中， M ， N 分别为 BC ， CD 的中点， 则 MN 的值为．
AC
C
O
D
D
NAB
MC
第 14 题图第 15 题图
如图， AB 是⊙ O 的直径，点C 在⊙ O 上， CD  AB ，垂足为点 D ，若 AB  4 ，
 A  22.5 ，则 BD 的长为．
在一次综合实践活动中，某小组用 I 号、II 号两种零件可以组装出五款不同的成品，编号分别为 A ， B ， C ， D ， E ，每个成品的总零件个数及所需的 I 号、II号零件个数如下：
选用两种零件总数不超过 25 个，每款成品最多组装一个．
如果 I 号零件个数不少于11 个，且不多于13 个，写出一种满足条件的组装方案（写出要组装成品的编号）；
如果 I 号零件个数不少于11 个，且不多于13 个，同时所需的 II 号零件最多，写出满足条件的组装方案（写出要组装成品的编号）．
三、解答题（共 68 分，第 17-19 题，每题 5 分，第 20-21 题，每题 6 分，第 22-23 题，每题 5 分，第 24
题 6 分，第 25 题 5 分，第 26 题 6 分，第 27-28 题，每题 7 分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.
18
计算： 6sin 45  (1)1  3 .
2
4x  7  x  1，
3x  5
解不等式组： 
 x .
成品编号
I 号零件个数
II 号零件个数
总零件个数
A
3
4
7
B
5
4
9
C
4
6
10
D
4
3
7
E
6
2
8
2
19x  y  3  0
x2  2xy  y2
. 已知
，求代数式
2x  2 y
的值.
菜园
菜园
在房山区践行“原色育人，生态发展”教育发展理念的引领下，某校为提升实践育人实效，积极组织学生建设劳动基地，参与校园种植活动.计划在校园内一
块矩形的空地上开垦两块完全相同的矩形菜园，如图所示，已知空地长10 米，宽4.5 米，矩形菜园的长与宽的比
为 6 :1 ，并且预留的上、中、下、左、右通道的宽度相等， 那么预留通道的宽度和矩形菜园的宽分别是多少
米？
O
如图，在□ ABCD 中， AC ， BD 交于点O ，  ABD   CBD ，AD
过点 D 作 DE ∥ AC 交 BC 延长线于点 E .
求证：四边形 ABCD 是菱形；
3
若OB ，  ABC  60 ，求 DE 的长.B
在平面直角坐标系 xOy 中，函数 y  kx  b (k  0) 的图象由函数 y  2x 的图象平移得到，且经过点(2，3) .
求该函数的解析式；
当 x  2 时，对于 x 的每一个值，函数 y  x  m 的值大于函数 y  kx  b (k  0) 的
值，直接写出m 的取值范围.
2024 年1 月3 日北京市生态环境局召开了“ 2023 年北京市空气质量”新闻发布会，
通报了 2023 年北京市空气质量状况：北京2023 年PM2.5 年均浓度为32 微克/立方米， PM2.5 最长连续优良天数为192 天，“北京蓝”已成为常态.
下面对 2023 年北京市九个区PM2.5 月均浓度的数据进行整理，给出了部分信息：
2023 年9 月和10 月北京市九个区PM2.5 月均浓度的折线图：
PM 2.5月均浓度（微克/立方米）
4242
40
41
32
36
36
32
36
33
34
31
31
26
30
29
2626
50
45
40
35
30
25
20
15
10
5
O东城 西城 海淀 朝阳 房山 顺义大兴 怀柔 平谷 区
9月
10月
2023 年9 月和10 月北京市九个区PM2.5 月均浓度的平均数、中位数、众数：
写出表中m ， n 的值；
1
2023 年9 月北京市九个区PM2.5 月均浓度的方差为 S 2 ， 2023 年10 月北京市九个
区PM2.5 月均浓度的方差为 S 2 ，则 S 2 S 2 （填“  ”，“  ”或“  ”）；
212
2013 年至2023 年，北京市空气优良级别达标天数显著增加， 2013 年空气优良达标天数为176 天， 2023 年比2013 年增幅达到约54% ， 2023 年达标天数约为天.
如图， AB 是⊙ O 的直径，点C 是⊙ O 上一点，过点C 作⊙ O 的切线CD 与 AB 的延长线交于点 D ，过点 B 作 BE ∥ CD ， BE 与⊙ O 交于
点 E ，连接 AE ， CE .
求证：  ACE   D ；
若tan  ACE  3 ， AE  3 ，求CE 的长.
4
如图，点 P 是半圆O 的直径 AB 上一动点，点Q 是半圆O 内部的一定点，作射线 PQ 交 AB 于点C ，连接 BC ．已知 AB  10cm ，设 AP 的长度为 xcm ， BC 的长度为 y1cm ， PC 的长度为 y2 cm ．（当点 P 与点 A 重合时， x 的值为0 ）．
PM2.5 月均浓度
平均数
中位数
众数
9 月
29.6
m
n
10 月
37.4
36
36
Q
C
APOB
小山根据学习函数的经验，对函数 y1 ， y2 随自变量 x 的变化而变化的规律进行探究．对于点 P 在 AB 上的不同位置，画图、测量，得到了 x ， y1 ， y2 的几组值，如下表：
在同一平面直角坐标系 xOy 中，小山已画出函数 y1 的图象，请你画出函数 y2 的图象；
y
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
O
结合函数图象，解决问题：
① 当 AP 的长度为6.5cm 时，则 BC 的长度约为cm （结果保留小数点后一位）．
② 当△ BCP 为等腰三角形时，则 AP 的长度约为cm （结果保留小数点后一位）．
x / cm
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
y1 / cm
4.32
4.91
5.78
6.93
8.08
8.81
9.18
9.37
9.48
9.55
9.60
y2 / cm
9.02
7.86
6.63
5.46
4.79
5.00
5.73
6.64
7.61
8.60
9.60
在平面直角坐标系 xOy 中， A(x
1，y1 ) , B (x
，y ) 是抛物线 y  x2  2a x  a2  2 上任意两点.
22
当a  1 时，求抛物线与 y 轴的交点坐标及顶点坐标；
若对于0  x  1 ， 1  x  1，都有 y  y ，求 a 的取值范围．
122212
在△ ABC 中， AB  AC ，  BAC  2 (45    90) ， D 是 BC 上的动点(不与点C 重合)，且
BD  DC ，连接 AD ，将射线 AD 绕点 A 顺时针旋转 得到射线 AG ，过点 D 作 DE  AD 交射线 AG
于点 E ,连接 BE ，在 BD 上取一点 H ，使 HD  CD ，连接 EH .
D
E
G
A
BC
依题意补全图形；
直接写出 ABE 的大小，并证明.
在平面直角坐标系 xOy 中，将中心为 M 的等边三角形记作等边三角形 M ，对于等边三角形 M 和点 P
（不与O 重合）给出如下定义：若等边三角形 M 的边上存在点 N，使得直线OP 与以 MN 为半径的⊙ M 相切于点 P ，则称点 P 为等边三角形 M 的“相关切点”．
如图，等边三角形 M 的顶点分别为点O (0，0) ， A (3， 3) ， B (3，
3) ．
①在点 P ( 3， 3 ) ， P ( 3，

3 ) ， P (2，2) 中，等边三角形 M 的“相关切点”是；
1 22
2 223
y
4
3
2
1
4321O
–1
–2
–3
P3A
P1
M
1234x
P2
B
–4
②若直线 y  x  b 上存在等边三角形 M 的“相关切点”，求b 的取值范围；
已知点 M (m，m  2) ，等边三角形 M 的边长为2
．若存在等边三角形 M 的
3
两个“相关切点” E ， F ，使得△ OEF 为等边三角形，直接写出m 的取值范围．
参考答案
第一部分 选择题
一、选择题（共 16 分，每题 2 分）
第二部分 非选择题
二、填空题（共 16 分，每题 2 分）
x  3
y (x  2)(x  2)
x  5

360
1
2
2
2 
16.（1）答案不唯一： ABD ； ACD ； ACE ； ADE ； BE ；
（2） ACD .
（注：第 16 题一空 1 分）
三、解答题（共 68 分，第 17-19 题，每题 5 分，第 20-21 题，每题 6 分，第 22-23 题，每题 5
分，第 24 题 6 分，第 25 题 5 分，第 26 题 6 分，第 27-28 题，每题 7 分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.
18
解： 6sin 45  ( 1)1  3 
2
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
A
C
B
D
B
C
C
D
 6
 5 .
2  2  3  3
2
2
4x  7  x 1，①
解：原不等式组为
3x  5  x .②
2
解不等式①，得 x  2 .
解不等式②，得 x  5 .
解：
∴原不等式组的解集为2  x  5 .
x2  2xy  y2
2x  2 y
 (x  y)2
2(x  y)
 x  y .
2
∵ x  y  3  0 ，
∴ x  y  3 .
∴原式 x  y  3 .
22
解：设矩形菜园的宽为 x 米，则矩形菜园的长为6x 米.由题意可得,
10  6x  4.5  2x .
23
解得 x  1.5 .
∴ 10  6x  0.5 .
2
答：预留通道的宽度是0.5 米，矩形菜园的宽是1.5 米.
21．（1）证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ AD ∥ BC .
∴  ADB   CBD .
∵  ABD   CBD ，
∴  ABD   ADB .
∴ AB  AD .
∴四边形 ABCD 是菱形.
（2）解：∵四边形 ABCD 是菱形，
∴ AC  BD ， BD  2OB ，  DBE  1  ABC .
2
∵ DE ∥ AC ，
∴  BDE   BOC  90 .
3
∵ OB ，
3
∴ BD  2OB  2.
∵  ABC  60，
∴  DBE  1  ABC  30 .
2
在Rt △ BDE 中， tan  DBE 
3 ， BD  2.
3
3
∴ tan  DBE  DE 3 .
BD3
∴ DE  2 .
解：（1）∵函数 y  kx  b (k  0) 的图象由函数 y  2x 的图象平移得到，
∴ k  2 .
∴得到函数的解析式为 y  2x  b ．
∵函数 y  2x  b 的图象过点(2，3) ，
∴ 2  2  b  3 .
∴ b  1.
∴函数 y  kx  b 的解析式为 y  2x 1．
（2） m ≥1．
解：（1） m  30 ， n  26 ；
（2）  ；
（3） 271 .
24.（1）证明：∵ AE  AE ，
∴  ACE   ABE ，又∵ BE ∥ CD ，
∴  ABE   D .
E
C
O
BD
∴  ACE   D .
（2）解：连接OC ，交 BE 于点F .
∵ CD 是⊙ O 的切线，切点为C ，
∴  OCD  90 .
A
∵ BE ∥ CD ，
∴  OFB   OCD  90 .
∴ BE ⊥ OC .
∴ F 为 BE 中点.
∵ O 为直径 AB 中点，
∴ OF 为△ AEB 的中位线，
∴ OF = 1 AE .
2
∵ AE  3 ，
∴ OF  3 .
2
∵ AE  AE ，
∴  ACE   ABE .
∵ tan  ACE  3 ，
4
∴ tan  ABE  3 .
4
∵ AB 是⊙ O 的直径，
∴  AEB  90 .
在Rt △ AEB 中
∵ tan  ABE  3 ，
4
∴ BE  4 .
由勾股定理得 AB  5 .
∴ OC  5 .
2
∴ CF  1 .
∵ F 为 BE 中点, BE  4 ，
∴ EF  2 .
在Rt △ ECF 中, 由勾股定理得
22 12
5
CE .
25.（1）画出函数 y2 的图象,如图.
（2）① 9.2 ；
② 2.3 ， 3.1， 5.0 .
26.解：（1）令 x  0 ，则 y  a2  2 .
当a  1 时， y  1.
∴抛物线与 y 轴的交点坐标为(0，1) ；
∵ y  x2  2ax  a2  2  (x  a)2  2 ，
当a  1 时，抛物线的顶点坐标为(1， 2).
（2）∵ A(x ，y ) , B(x ，y ) 是抛物线 y  x2  2ax  a2  2 上任意两点，
1122
∴ y  (x  a)2  2 ， y  (x
 a)2  2 .
1122
∴ y  y  (x  a)2  (x  a)2  (x  x )(x  x
 2a) .
12121212
∵ 0  x  1 ， 1  x
 1 ，
1222
∴ x  x ， 1  x  x  3 .
122122
∵ x1  x2 ， y1  y2 ，
∴ x1  x2  2a  0 .
即 x1  x2  2a .
∴ 2a ≥ 3 .
2
∴ a ≥ 3 .
4
27.（1）依题意补全图形，如图.
H
D
E
G
A
BC
（2）  ABE  90 .
证明：延长 ED 至点 M ，使 DM  ED ,连接 AM , CM .
在△ EHD 与△ MCD 中，
A
x y-x
H
y-x y+x
HD  CD，M

 EDH   MDC

ED  DM .
∴△ EHD ≌△ MCD (SAS) .
∴  EHD   MCD .B
∵ AD  EM , ED  DM ,
∴ AE  AM .
∴  EAM  2 EAD  2 .
∵  BAC  2 ,
∴  BAE   CAM .
∵ AB  AC ,
∴△ ABE ≌△ ACM (SAS) .
∴  ABE   ACM .
∵ EB  EH ,
∴  EBH   EHB .
设 ABC  x ，  ACM  y .
∴  EHD   MCD  x  y ,  ABE   ACM  y .
∴  EHB   EBH  y  x .
∵  EHB   EHD  y  x  x  y  180 .
∴ y  90 .
∴  ABE  90 .
28.（1）① P1 ， P2 ；
y
4
3
2
1 G
A
C
H
4321 O
–1
M
1 Q 2
D
34
x
–2
B
–3
–4
②解:依题意可知，点M (2，0) ，点 N 为等边三角形边上的点，则1≤ MN ≤ 2 .
∵ OP 与以 MN 为半径的⊙ M 相切于点 P ，
∴ OP  MP ， MP  MN .
∴ OPM  90 .
∴点 P 在以OM 为直径的⊙ Q 上，且1≤ MN ≤ 2 ，其中点Q(1，0) .
∴符合条件的点 P 组成的图形为COD
33
（ 点 O 除 外 ）， 其 中 点
C( ，) ，
22
D( 3，3 ) ，
22
如图，当直线 y  x  b 与⊙ Q 相切时，设切点为G ，与 x 轴交点为
H ，则QG 与直线 y  x  b 垂直时, GHQ  45 .
2
由QG  1 ,可得QH .
∴ H (1
2 ，0) .
当直线 y  x  b 过 H (1
2 ，0) 时，
2
代入 y  x  b 中，可得b 1 .
当直线 y  x  b 过点 D( 3，
3 ) 时，
代入 y  x  b 中, 可得b  
22
3  3 .
22
∵直线 y  x  b 上存在“相关切点”，
∴ b 的取值范围是
3  3 ≤ b ≤
2
7
22
1.
（2） 2 ≤ m ≤1
或1
7 ≤ m ≤ 0 .