江苏省常州市2024年中考数学模拟卷 原卷+解析卷

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第Ⅰ卷
一．选择题（共8小题，满分16分，每小题2分）
1．计算x5÷x2的结果是（ ）
A．x10B．x7C．x3D．x2
2．分式 QUOTE |?|−4?−4 的值为0，则x的值是（ ）
A．0B．﹣4C．4D．﹣4或4
3．如图是一个由8个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ）
A．B．C．D．
4．已知a、b是一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的两个根，则a2b+ab2的值是（ ）
A．﹣1B．﹣5C．﹣6D．6
5．2023年9月23日，第19届亚运会在杭州开幕，开幕式现场直播及相关报道在多媒体平台的总播放量约为503000000次，其中数据“503000000”用科学记数法表示为（ ）
A．50.3×107B．5.03×108C．50.3×108D．5.03×109
6．若点（﹣m，3）与点（﹣5，n）关于y轴对称，则（ ）
A．m＝﹣5，n＝3B．m＝5，n＝3C．m＝﹣5，n＝﹣3D．m＝﹣3，n＝5
7．小明按照以下步骤画线段AB的三等分点：
这一画图过程体现的数学依据是（ ）
A．两直线平行，同位角相等
B．两条平行线之间的距离处处相等
C．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行
D．两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
8．如图1，挂在弹簧测力计上的长方体铁块浸没在水中，提着弹簧测力计使铁块匀速上移，直至铁块浮出水面停留在空中（不计空气阻力），则以下物理量：铁块受到的浮力、弹簧测力计读数，容器底部受到的液体压强、水面高度，其中两个量与时间t之间的关系大致可以用图2、图3中的图象来描述，那么对图2、图3的解读正确的是（ ）
A．图2表示弹簧测力计的读数和时间的函数图象
B．图2表示容器底部受到的液体压强和时间的函数图象
C．图2表示水面高度和时间的函数图象
D．图3表示铁块受到的浮力和时间的函数图象
第Ⅱ卷
二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）
9． QUOTE 116 116的算术平方根是 ．
10．因式分解：2ab2﹣4ab+2a＝ ．
11．﹣12024×（π﹣3.14）0﹣（ QUOTE ）﹣2＝ ．
12．在对物体做功一定的情况下，力F（N）与此物体在力的方向上移动的距离s（m）成反比例函数关系，其图象如图所示，点P（4，3）在图象上，则当力达到10N时，物体在力的方向上移动的距离是 m．
13．如图，将一个圆锥展开后，其侧面是一个圆心角为108°，半径为12cm的扇形，则该圆锥的底面圆的半径为 cm．
14．如图，在4×4的正方形方格中，阴影部分是涂黑7个小正方形所形成的图案，再将剩下的9个白色小正方形任选1个涂黑，则能使得到的新图案成为一个轴对称图形的概率为 ．
15．如图所示，∠AOB是放置在正方形网格中的一个角，则tan∠AOB的值是 ．
16．如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点D是⊙O上一点，∠CDB＝55°，则∠ABC＝ °．
17．如图，一根细线上端固定，下端系一个小重物，让这个小重物来回自由摆动，来回摆动一次所用的时间t（单位：s）与细线长度1（单位：m）之间满足关系 QUOTE ．当细线的长度为0.4m时，小重物来回摆动一次所用的时间是 s（结果保留小数点后一位）．
18．如图，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，点D为△ABC所在平面内一点，∠BDC＝90°，以AC、CD为边作平行四边形ACDE，则CE的最小值为 ．
三．解答题（共10小题，满分84分）
19．（6分）先化简，再求值：（x﹣2）2﹣（x+2）（x﹣1），其中x＝﹣1．
20．（8分）解不等式组： QUOTE ，并把解集在数轴上表示出来．
21．（8分）为落实“双减”政策，优化作业管理，某中学从全体学生中随机抽取部分学生，调查他们每天完成书面作业的时间t（单位：分钟）．按照完成时间分成五组：A组“t＜45”，B组“45＜t＜60”，C组“60＜t＜75”，D组“75＜t＜90”，E组“t＞90”．将收集的数据整理后，绘制成如下两幅不完整的统计图．根据以上信息，解答下列问题：
（1）这次调查的样本容量是 ；
（2）在扇形统计图中，B组的圆心角是 度，请补全条形统计图；
（3）本次调查数据的中位数落在 组内；
（4）若该校有1800名学生，请你估计该校每天完成书面作业不超过90分钟的学生人数．
22．（8分）一只不透明的袋子中装有4个小球，分别标有编号1，2，3，4，这些小球除编号外都相同．
（1）搅匀后从中任意摸出1个球，这个球的编号是2的概率为 ．
（2）搅匀后从中任意摸出1个球，记录球的编号后放回、搅匀，再从中任意摸出1个球．求第2次摸到的小球编号比第1次摸到的小球编号大2的概率是多少？（用画树状图或列表的方法说明）
23．（8分）如图1，在矩形ABCD中，点O在对角线AC上，以OA的长为半径的圆O与AD，AC分别交于点E，F，且∠ACB＝∠DCE．
（1）求证：△CAB∽△CED；
（2）判断直线CE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（3）如图2，若点E落在线段AC的垂直平分线上，CD＝2，求⊙O的半径．
24．（8分）湖笔是我国非物质文化遗产，尤其以善琏湖笔最为出名．某传统手工艺品网店准备在“6.18”网购节期间实施一系列优惠活动回馈新老客户，该店针对一款原价30元/支的湖笔推出了两种优惠方案：方案一、每支按8折销售；方案二、当购买数量超过40支但不超过60支时，每多购买1支单价减少0.5元，当购买数量超过60支时，每支单价为20元．
（1）购买数量为50支时，求方案二湖笔的单价；
（2）王老师准备在该网店购买x支湖笔赠与学生留念（已知x＞40）．
①根据题意填写表：（请用含x的代数式表示）
②王老师发现选择方案二比选择方案一可节省174元，求王老师购买湖笔所付的总金额．
25．（8分）如图，已知反比例函数 QUOTE ?=?? y=kx的图象与一次函数y＝ax+b的图象交于点A（1，4），B（﹣4，n）．
（1）求n，a与b的值；
（2）若 QUOTE ，请直接写出x的取值范围；
（3）求△OAB的面积．
26．（10分）在△ABC中，P是BC边上的一动点，连接AP．
（1）如图1，∠BAC＝90°，AB＝AC，∠BAP＝15°，且PC QUOTE =3+ =3+1．求：△ABP的面积．
（2）如图2，若∠BAC＝90°，AB＝AC，AP为边作等腰Rt△APE，连接BE，F是BE的中点，连接AF，猜想PE，PB，AF之间有何数量关系？并证明你的结论．
（3）如图3，作PD⊥AB于D，PE⊥AC于E，若∠B＝75°，∠C＝45°，BC＝9﹣3 QUOTE 3 3，当DE最小时，请直接写出DE的最小值．
27．（10分）如图，已知抛物线的解析式为y QUOTE x2 QUOTE x+3，抛物线与x轴交于点A和点B，与y轴交点于点C．
（1）请分别求出点A、B、C的坐标和抛物线的对称轴；
（2）连接AC、BC，将△ABC绕点B顺时针旋转90°，点A、C的对应点分别为M、N，求点M、N的坐标；
（3）若点P为该抛物线上一动点，在（2）的条件下，请求出使|NP﹣BP|最大时点P的坐标，并请直接写出|NP﹣BP|的最大值．
28．（10分）（1）发现：如图1，正方形ABCD中，点E在CD边上，将△ADE沿AE对折得到△AFE，延长EF交BC边于点G，连接AG．证明：BG+DE＝EG．
（2）探究：如图2，矩形ABCD中AD＞AB，O是对角线的交点，过O任作一直线分别交BC、AD于点M、N，四边形AMNE是由四边形CMND沿MN翻折得到的，连接CN，若△CDN的面积与△CMN的面积比为1：3，求 QUOTE ???? MNDN的值．
（3）拓展：如图3，在菱形ABCD中，AB＝6，E为CD边上的三等分点，∠D＝60°．将△ADE沿AE翻折得到△AFE，直线EF交BC于点P，求PC的长．
画法
图形
（1）以A为端点画一条射线；
（2）用圆规在射线上依次截取3条等长线段AC、CD、DE，连接BE；
（3）过点C、D分别画BE的平行线，交线段AB于点M、N．M、N就是线段AB的三等分点．

方案
购买数量（支）
购买单价（元）
总金额（元）
方案一
x
24
24x
方案二
40＜x≤60


x＞60
20
20x