31空间几何体的体积与表面积练习- -2023-2024学年高一数学-第8章 立体几何初步（人教A版2019必修第二册）

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2023-2024学年高一数学下学期《单元测试与专题强化》一卷练透：空间几何体的体积与表面积一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2023下-陕西宝鸡-高一校考期中）正方体的棱长为1，则它的内切球与外接球的表面积之比为（    ）A． B． C． D．2．（2023下-陕西-高一校联考期中）若一个圆锥的底面半径为2，母线长为3，则该圆锥的侧面积为（    ）A． B． C． D．3．（2023下-福建龙岩-高一校联考期中）“今有城，下广四丈，上广二丈，高五丈，袤两百丈．”这是我国古代数学名著《九章算术》卷第五“商功”中的问题．意思为“现有城（如图，等腰梯形的直棱柱体），下底长4丈，上底长2丈，高5丈，纵长200丈（1丈＝10尺）”，则该问题中“城”的体积等于（    ）  A．立方尺 B．立方尺 C．立方尺 D．立方尺4．（2023下-河北邯郸-高一统考期中）若一扇形的圆心角为，面积为，该扇形是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的体积为（    ）A． B． C． D．5．（2023下-云南红河-高一开远市第一中学校校考期中）如图，正方体的棱长为2，、分别是、的中点，沿过、、点的截面截去四面体，再沿过三点的截面截去四面体后，所得几何体的体积为（    ）    A．5 B．6 C．7 D．86．（2023下-河南-高一校联考期中）已知一个圆锥的底面半径为1，高为1，且在这个圆锥中有一个高为x的圆柱，则此圆柱侧面积的最大值为（ ）A． B． C． D．7．（2023下-福建龙岩-高一校联考期中）西安大唐不夜城的“不倒翁小姐姐”因为一段“把手给我”的短视频而被人熟知.“不倒翁小姐姐”不倒的原因在于其脚下的半球形工具.如图，半球内有一内接正四棱锥，这个内接正四棱锥的高与半球的半径相等且体积为，那么这个半球的表面积为（    ）  A． B． C． D．8．（2023下-浙江嘉兴-高一校联考期中）一个棱长为的正四面体中内切一个球，若在此四面体中再放入一个球，使其与三个侧面及内切球均相切，则球的半径为（    ）A． B． C． D．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．（2023下-全国-高一期中）正三棱锥底面边长为3，侧棱长为，则下列叙述正确的是（　　）A．正三棱锥高为3 B．正三棱锥的斜高为C．正三棱锥的体积为 D．正三棱锥侧面积为10．（2023下-河北邯郸-高一统考期中）在直角梯形ABCD中，，，，，以AD所在的直线为轴，其余三边旋转一周形成的面围成一个几何体，则（    ）A．该几何体为棱台B．该几何体的母线长为C．该几何体的表面积为D．该几何体的体积为11．（2023下-山东青岛-高一校联考期中）如图，正方形的边长为1，分别是的中点，交于，现沿及把这个正方形折成一个四面体，使三点重合，重合后的点记为，则在四面体中必有（    ）    A．平面 B．四面体的体积为C．点到面的距离为 D．四面体的外接球的表面积为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．（2023下-全国-高一期中）轴截面是边长为2的正三角形的圆锥的侧面积 13．（2023上-云南昆明-高一校考期中）若某圆台上底面和下底面的半径分别为2，5，且圆台的母线长为5，则该圆台的体积为 ．14．（2023下-宁夏石嘴山-高一石嘴山市第三中学校考期中）在一个正方形内有一个小正方形ABCD和四个全等的等边三角形（如图1）．将四个等边三角形折起来，使、、、重合于点P，且折叠后的四棱锥（如图2）的外接球的表面积是，则四棱锥的侧棱PA的长为 ；若在四棱锥内放一个正方体，使正方体可以在四棱锥内任意转动，则该正方体棱长的最大值为 ．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（2023下-河北石家庄-高一石家庄市第十七中学校考期中）已知正四棱锥的侧面积是底面积的2倍，且高为3.(1)求它的表面积；(2)求它的体积.16．（2023下-河北石家庄-高一校考期中）如图，在棱长为1的正方体中，、分别是棱、的中点．(1)求四边形的周长；(2)求多面体的体积．17．（2023下-福建宁德-高一校联考期中）如图，三棱柱内接于一个圆柱，且底面是正三角形，圆柱的体积是，底面直径与母线长相等.  (1)求圆柱的底面半径；(2)求三棱柱的体积.18．（2023下-山西运城-高一统考期中）在一个如图所示的直角梯形内挖去一个扇形，是梯形的下底边上的一点，将所得平面图形绕直线旋转一圈．  (1)说明所得几何体的结构特征；(2)求所得几何体的表面积和体积．19．（2023下-山东济宁-高一统考期中）定义空间点到几何图形的距离为：这一点到这个几何图形上各点距离中最短距离.(1)在空间，求与定点距离等于1的点所围成的几何体的体积；(2)在空间，线段(包括端点)的长等于1，求到线段的距离等于1的点所围成的几何体的体积；(3)在空间，记边长为1的正方形区域(包括边界及内部的点)为，求到距离等于1的点所围成的几何体的体积.2023-2024学年高一数学下学期《单元测试与专题强化》一卷练透：空间几何体的体积与表面积一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2023下-陕西宝鸡-高一校考期中）正方体的棱长为1，则它的内切球与外接球的表面积之比为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由正方体的特征得出内切球和外接球的半径，进而由表面积公式求解.【详解】由题意可知，它的内切球和外接球的半径分别为.则它的内切球与外接球的表面积之比为.故选：C2．（2023下-陕西-高一校联考期中）若一个圆锥的底面半径为2，母线长为3，则该圆锥的侧面积为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据圆锥的侧面积公式计算出答案即可.【详解】该圆锥的侧面积为.故选：B.3．（2023下-福建龙岩-高一校联考期中）“今有城，下广四丈，上广二丈，高五丈，袤两百丈．”这是我国古代数学名著《九章算术》卷第五“商功”中的问题．意思为“现有城（如图，等腰梯形的直棱柱体），下底长4丈，上底长2丈，高5丈，纵长200丈（1丈＝10尺）”，则该问题中“城”的体积等于（    ）  A．立方尺 B．立方尺 C．立方尺 D．立方尺【答案】D【分析】根据柱体体积公式求得正确答案.【详解】依题意，该柱体的体积为立方尺.故选：D4．（2023下-河北邯郸-高一统考期中）若一扇形的圆心角为，面积为，该扇形是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的体积为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】设该圆锥的母线长为l，底面半径为R，根据圆锥的侧面展开图的面积为，求得母线长，再根据圆心角为，求得底面半径即可.【详解】解：设该圆锥的母线长为l，底面半径为R，高为h，则，得.由，得.因为，所以圆锥的体积为.故选：C5．（2023下-云南红河-高一开远市第一中学校校考期中）如图，正方体的棱长为2，、分别是、的中点，沿过、、点的截面截去四面体，再沿过三点的截面截去四面体后，所得几何体的体积为（    ）    A．5 B．6 C．7 D．8【答案】C【分析】先算出三棱锥和的体积，最后用正方体体积去减即可.【详解】由题，，，所以该几何体的体积．故选：C．6．（2023下-河南-高一校联考期中）已知一个圆锥的底面半径为1，高为1，且在这个圆锥中有一个高为x的圆柱，则此圆柱侧面积的最大值为（ ）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用相似将圆柱的半径用x表示，然后将侧面积用x表示，即可求出最大值.【详解】作出圆锥的轴截面，如图：设圆柱的半径为r，由题意得，即，则圆柱的侧面积，而，∴当时，圆柱的侧面积S取最大值．故选：D.7．（2023下-福建龙岩-高一校联考期中）西安大唐不夜城的“不倒翁小姐姐”因为一段“把手给我”的短视频而被人熟知.“不倒翁小姐姐”不倒的原因在于其脚下的半球形工具.如图，半球内有一内接正四棱锥，这个内接正四棱锥的高与半球的半径相等且体积为，那么这个半球的表面积为（    ）  A． B． C． D．【答案】B【分析】画出图形，利用已知条件转化求解球的半径，即可得到半球的表面积.【详解】设半球的半径为，连接交于点，连接，则，则，∵内接正四棱锥的高与半球的半径相等且体积为，∴四棱锥的体积，所以，所以这个半球的表面积.故选：B.  8．（2023下-浙江嘉兴-高一校联考期中）一个棱长为的正四面体中内切一个球，若在此四面体中再放入一个球，使其与三个侧面及内切球均相切，则球的半径为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据球的几何性质，结合正四面体的性质、三棱锥的体积公式、等积法进行求解即可.【详解】设内切球O的半径为r，球的半径为R.设此棱锥的高为，底面的中心为，因为正四面体的棱长为，所以底面的，，所以三棱锥的表面积为.  在底面中，，则棱锥的高，所以三棱锥的体积，由等积法知，得.用一平行于底面ABC且与球上部相切的平面截此三棱锥，下部得到一个高为的棱台，那么截得的小棱锥的高为，即为高的，则此小棱锥的内切球半径即为球的半径，根据相似关系，截得的棱锥的体积为，表面积为，根据等体积法，，解得.故选：C【点睛】关键点睛：本题的关键是利用球和正四面体的性质、等积法.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．（2023下-全国-高一期中）正三棱锥底面边长为3，侧棱长为，则下列叙述正确的是（　　）A．正三棱锥高为3 B．正三棱锥的斜高为C．正三棱锥的体积为 D．正三棱锥侧面积为【答案】AB【分析】先求出正三棱锥的高和斜高，从而可判断AB的正误，再计算出体积和侧面积，从而可判断CD的正误.【详解】设为等边三角形的中心，为的中点，连接，则为正三棱锥的高，为斜高，又，，，，故，故AB正确.而正三棱锥的体积为，侧面积，故CD错误.故选：AB.  10．（2023下-河北邯郸-高一统考期中）在直角梯形ABCD中，，，，，以AD所在的直线为轴，其余三边旋转一周形成的面围成一个几何体，则（    ）A．该几何体为棱台B．该几何体的母线长为C．该几何体的表面积为D．该几何体的体积为【答案】BCD【分析】根据旋转体的性质判断为圆台，用勾股定理计算，利用圆台的表面积公式和体积公式即可计算.【详解】由题意可知该几何体为圆台，故A选项不正确；该圆台的母线长为，故B选项正确；该圆台的表面积为，故C选项正确；该圆台的体积为，故D选项正确.故选：BCD.11．（2023下-山东青岛-高一校联考期中）如图，正方形的边长为1，分别是的中点，交于，现沿及把这个正方形折成一个四面体，使三点重合，重合后的点记为，则在四面体中必有（    ）    A．平面 B．四面体的体积为C．点到面的距离为 D．四面体的外接球的表面积为【答案】ACD【分析】由已知结合线面垂直的判定定理判断A；计算棱锥的体积公式判断B；由等体积法求出G点到面SEF的距离判断C；根据SG，EG，FG两两垂直计算外接球的半径，进一步求出外接球的表面积判断D．【详解】对于A，由已知可得SG⊥FG，SG⊥EG，EG∩FG＝G，平面EFG，则SG⊥平面EFG，故A正确；  对于B，由已知可得EG⊥FG，EG＝FG＝，则＝，又SG⊥平面GEF，SG＝1，∴＝，故B错误；对于C，∵EF＝，SD＝，∴，设G到平面SEF的距离为d，则，可得d＝，即G点到面SEF的距离为，故C正确；对于D，∵SG，EG，FG两两垂直，且EG＝FG＝，SG＝1，∴三棱锥的外接球可看作棱长分别为，，1的长方体的外接球，故外接球的直径，∴r＝，∴外接球的表面积为：＝，故D正确．故选：ACD．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．（2023下-全国-高一期中）轴截面是边长为2的正三角形的圆锥的侧面积 【答案】【分析】根据圆锥的轴截面是正三角形，得到圆锥底面半径和母线长，再利用侧面积公式易得结果.【详解】圆锥的轴截面是边长为2的正三角形，则易知圆锥底面半径，母线长，结合圆锥的侧面积公式，故答案为：13．（2023上-云南昆明-高一校考期中）若某圆台上底面和下底面的半径分别为2，5，且圆台的母线长为5，则该圆台的体积为 ．【答案】52π【分析】根据上下底面半径和母线长求其圆台的高，然后再利用圆台的体积公式计算得到答案.【详解】设圆台的高为h，则，所以该圆台的体积为．故答案为：.14．（2023下-宁夏石嘴山-高一石嘴山市第三中学校考期中）在一个正方形内有一个小正方形ABCD和四个全等的等边三角形（如图1）．将四个等边三角形折起来，使、、、重合于点P，且折叠后的四棱锥（如图2）的外接球的表面积是，则四棱锥的侧棱PA的长为 ；若在四棱锥内放一个正方体，使正方体可以在四棱锥内任意转动，则该正方体棱长的最大值为 ．【答案】 【分析】确定四棱锥P－ABCD的外接球球心的位置，进而根据外接球表面积求得正四棱锥棱长；先求得四棱锥P－ABCD的内切球的半径，那么在四棱锥P－ABCD内放一个正方体的体对角线不超过内切球直径时，便可以在四棱锥内部任意转动，由此可求得答案.【详解】连接AC，BD交于点O，则易得是等腰直角三角形，则O是正四棱锥外接球的球心，正四棱锥的所有棱都相等，设其为x，则外接球的半径是OA=，所以，，即，因此，故四棱锥P－ABCD的体积.设四棱锥P－ABCD的内切球半径为R，四棱锥的表面积：，所以四棱锥的体积，则 ，在四棱锥P－ABCD内放一个正方体的体对角线不超过内切球直径时，便可以在四棱锥内部任意转动，设放入四棱锥S－ABCD内部的小正方体棱长为a， 则，故，故a最大为，故答案为：，.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（2023下-河北石家庄-高一石家庄市第十七中学校考期中）已知正四棱锥的侧面积是底面积的2倍，且高为3.(1)求它的表面积；(2)求它的体积.【答案】(1)36(2)12【分析】（1）画出图形，设对应的边长，再根据侧面积是底面积的2倍列出对应的方程求解棱长，再计算表面积即可；（2）利用锥体体积公式求解.【详解】（1）如图，设，是斜高，，，.在中，，，，.，，.（2）正四棱锥的体积.16．（2023下-河北石家庄-高一校考期中）如图，在棱长为1的正方体中，、分别是棱、的中点．(1)求四边形的周长；(2)求多面体的体积．【答案】(1)(2)【分析】（1）连接，即可得到且，再求出四边形的周长；（2）确定多面体为三棱台，再利用棱台的体积公式计算即可.【详解】（1）连接，因为、分别是棱、的中点，故且，又，，，所以四边形的周长.（2）多面体为三棱台，又，，高，所以.17．（2023下-福建宁德-高一校联考期中）如图，三棱柱内接于一个圆柱，且底面是正三角形，圆柱的体积是，底面直径与母线长相等.  (1)求圆柱的底面半径；(2)求三棱柱的体积.【答案】(1)1(2)【分析】（1）根据圆柱体积公式直接计算；（2）根据三棱柱体积公式以及正弦定理进行计算即可.【详解】（1）设底面圆的直径为2r，由题可知,圆柱的体积，解得，即圆柱的底面半径为1（2）因为为正三角形，底面圆的半径为1，由正弦定理，边长，所以三棱柱的体积18．（2023下-山西运城-高一统考期中）在一个如图所示的直角梯形内挖去一个扇形，是梯形的下底边上的一点，将所得平面图形绕直线旋转一圈．  (1)说明所得几何体的结构特征；(2)求所得几何体的表面积和体积．【答案】(1)该几何体为上半部分为圆锥，下半部分为圆柱体挖去一个半球体的组合体(2)表面积；体积为【分析】（1）由旋转体的结构特征分析，（2）结合图中的数据求，.【详解】（1）该几何体为上半部分为圆锥，下半部分为圆柱体挖去一个半球体的组合体．（2）由图中的数据可知圆锥的底面半径为2，母线长为4，高为，圆柱的底面半径为2，高为2，球的半径为2，所以，该几何体的体积为：．19．（2023下-山东济宁-高一统考期中）定义空间点到几何图形的距离为：这一点到这个几何图形上各点距离中最短距离.(1)在空间，求与定点距离等于1的点所围成的几何体的体积；(2)在空间，线段(包括端点)的长等于1，求到线段的距离等于1的点所围成的几何体的体积；(3)在空间，记边长为1的正方形区域(包括边界及内部的点)为，求到距离等于1的点所围成的几何体的体积.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）与定点距离等于1的点所围成的几何体是一个半径为1的球，利用球的体积公式可求得答案，（2）由题意可知该几何体是以为高，底面半径为1的圆柱的侧面与两个半径为1的半球面所围成的，然后利用圆柱的体积公式和球的体积公式可求得结果，（3）由题意可知该几何体是棱长分别为1，1，2的长方体和四个高为1，底面半径为1的半圆柱以及四个半径为1的四分之一球所围成的.【详解】（1）与定点距离等于1的点所围成的几何体是一个半径为1的球，其体积为，（2）到线段的距离等于1的点所围成的几何体是一个以为高，底面半径为1的圆柱的侧面与两个半径为1的半球面所围成的几何体，其体积为（3）到距离等于1的点所围成的几何体是一个棱长分别为1，1，2的长方体和四个高为1，底面半径为1的半圆柱以及四个半径为1的四分之一球所围成的几何体，其体积为 【点睛】关键点点睛：此题考查圆柱，棱柱和球的体积公式的应用，解题的关键是根据题意得到几何体，考查空间想象能力，属于中档题.