39平行与垂直的证明练习- -2023-2024学年高一数学-第8章 立体几何初步（人教A版2019必修第二册）

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2023-2024学年高一数学下学期《单元测试与专题强化》平行与垂直证明题专题强化类型1 线面平行的证明1．（23-24高二上·江西南昌·期中）已知四棱锥，底面是菱形，底面，且，点分别是棱和的中点.(1)求证：平面；(2)求三棱锥的体积.2．（2024高三·全国·专题练习）如图，在三棱柱中，四边形是菱形，四边形是正方形，，，，点为的中点.求证：平面；3．（23-24高二上·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）如图，在正方体中，E是的中点.  (1)求证：平面；(2)设正方体的棱长为1，求三棱锥的体积．4．（21-22高一下·陕西咸阳·阶段练习）如图，在棱长均为6的三棱柱中，D、分别是BC和的中点．  (1)求证：平面；(2)若平面平面，，求三棱锥的体积．5．（20-21高三上·内蒙古包头·期中）如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，为的中点，为与的交点．  (1)证明：//平面；(2)求三棱锥的体积．6．（23-24高二上·上海虹口·期中）已知直四棱柱，，，，，．  (1)证明：直线平面；(2)若该四棱柱的体积为，求的长．7．（22-23高一下·天津北辰·期中）已知在直三棱柱中，，且分别是，的中点.证明：平面.  8．（22-23高一下·河南郑州·期中）如图，在长方体中，E，M，N分别是的中点，求证：平面.  9．（22-23高一下·福建厦门·期末）如图，在正三棱柱中，，分别为，的中点．  (1)求证：//平面；(2)若，求三棱唯的体积． 类型2 线线平行的证明1．（22-23高一下·河南洛阳·阶段练习）如图，四面体被一平面所截，截面是一个平行四边形.求证：.2．（2024高三上·全国·专题练习）如图，四棱锥中底面是正方形，四条侧棱均相等，点G，E，F，H分别是棱PB，AB，CD，PC上共面的四点，平面GEFH.求证：.3．（2024高三·全国·专题练习）如图，P是平行四边形ABCD所在平面外一点，E是PD的中点．(1)求证：平面EAC．(2)若M是CD上异于C，D的点，连接PM交CE于点G，连接BM交AC于点H，求证：．4．（22-23高一·全国·随堂练习）如图，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于HG，求证：．5．（22-23高一下·全国·期中）如图所示，已知是平行四边形所在平面外一点，分别是的中点.  (1)求证：平面；(2)设平面平面，求证：.6．（2023高三·全国·专题练习）在四棱锥中，底面为直角梯形，， ，为线段的中点，平面与棱相交于点.求证：.7．（22-23高一下·新疆·阶段练习）如图，四边形为长方形，平面，，点 分别为的中点，设平面平面．  (1)证明：平面；(2)证明：；(3)求三棱锥的体积．8．（2024高三·全国·专题练习）如图，平面ADE，．求证：．9．（2024高三·全国·专题练习）如图，在多面体中，面是正方形，平面，平面平面，四点共面，，．求证：. 类型3 面面平行的证明1．（22-23高一下·辽宁阜新·期末）已知在正方体中，M、E、F、N分别是、、、的中点.求证：(1)E、F、D、B四点共面(2)平面平面.2．（2024高三·全国·专题练习）在圆柱中，等腰梯形为底面圆的内接四边形，且，矩形是该圆柱的轴截面，为圆柱的一条母线，．求证：平面平面.  3．（23-24高二上·四川内江·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面为正方形，分别是的中点．   (1)求证：平面；(2)求证：平面平面.4．（23-24高二上·四川南充·阶段练习）如图，已知点P是正方形ABCD所在平面外一点，M，N分别是AB，PC的中点．  (1)求证：平面PAD；(2)若PB中点为Q，求证：平面平面PAD．5．（22-23高一下·河北邯郸·期中）如图，在三棱柱中，G，O，H，M分别为DE，DF，AC，BC的中点，N为GC的中点.  (1)证明：平面ABED.(2)证明：平面平面BCFE. 类型4 线面垂直的证明1．（2023高二上·上海·专题练习）如图，为⊙O的直径，垂直于⊙O所在的平面，M为圆周上任意一点，⊥，N为垂足.求证：⊥平面；2．（2023高二上·上海·专题练习）如图，在三棱锥中，，是的中点，且.  (1)求证：平面；(2)若，求证：平面.3．（23-24高二上·安徽·期中）如图，在三棱锥中，平面，为等边三角形，点 为棱的中点，(1)求证: 平面；(2)求三棱锥的体积.4．（2023高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，，，，平面平面.求证：面；  5．（23-24高三上·上海闵行·期中）正四棱锥中，，，其中为底面中心，为上靠近的三等分点．(1)求证：平面；(2)求四面体的体积．6．（22-23高一·全国·随堂练习）如图，已知是正三角形，和都垂直于平面，且，，F，G分别是和的中点．求证：  (1)平面；(2)平面．7．（22-23高一下·广东韶关·期中）如图，在四棱锥中，平面，四边形为正方形，，为中点，点在上，平面平面．  (1)求证：平面；(2)求证：平面；8．（22-23高一下·福建福州·阶段练习）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为菱形，PB＝PD，E，F分别为AB和PD的中点.  (1)求证：EF∥平面PBC；(2)求证：BD⊥平面PAC．类型5 线线垂直的证明1．（19-20高一上·陕西渭南·期末）如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，分别是，的中点．求证：  (1)平面；(2)．2．（22-23高一下·河南商丘·阶段练习）已知四边形是矩形，平面，，，为的中点.求证：.  3．（2023·河南·三模）如图，四棱锥中，四边形ABCD为梯形，，，，，，M，N分别是PD，PB的中点．  (1)求证：直线平面；(2)求证：．4．（23-24高三上·陕西西安·开学考试）如图，在正四棱台中，.  (1)证明：.(2)若正四棱台的高为3，求点到平面的距离.5．（20-21高一上·陕西西安·期末）如图，三棱柱的侧棱垂直于底面，，点是的中点．  (1)求证：；(2)求证：平面．6．（22-23高一下·湖南永州·阶段练习）《九章算术·商功》记载：斜解立方，得两堑堵：斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑.如图，在鳖臑中，，且平面平面．求证：  (1)平面；(2).类型6 面面垂直的证明1．（2024高一下·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，底面，四边形是直角梯形，，，点在棱上.证明：平面平面；2．（22-23高一下·河南洛阳·阶段练习）在四棱锥中，底面是正方形，平面．  (1)求证：平面⊥平面；(2)求证：平面⊥平面．3．（2024高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，平面，，，，，点为的中点.证明：平面平面.  4．（23-24高二上·上海崇明·期中）在正方体中．求证：(1)直线平面；(2)平面平面．5．（22-23高一·全国·随堂练习）如图，AB是的直径，点C为该圆上异于A，B的点，所在的平面．求证：平面平面PBC．  类型7 空间中的探索性问题1．（23-24高一上·江西宜春·期中）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，为上的点，且，为中点．  (1)证明：平面.(2)在上是否存在一点，使得平面？若存在，指出点位置，并证明你的结论；若不存在，说明理由．2．（22-23高一下·山西运城·期中）如图，正三棱柱中，E、F、G分别为棱、、的中点．  (1)证明：∥平面；(2)在线段是否存在一点，使得平面∥平面？若存在，请指出并证明；若不存在，请说明理由．3．（21-22高一下·浙江嘉兴·期中）如图所示，在四棱锥中，四边形ABCD是梯形，，，E是PD的中点.  (1)求证：平面PAB；(2)若M是线段CE上一动点，则线段AD上是否存在点，使平面PAB？说明理由.4．（22-23高一下·陕西渭南·期中）如图所示正四棱锥，，，P为侧棱SD上一动点.  (1)若直线面ACP，求证：P为棱SD的中点；(2)若，侧棱SC上是否存在一点E，使得平面PAC．若存在，求的值；若不存在，试说明理由.5．（22-23高一下·浙江杭州·期中）如图，斜三棱柱中，D，分别为AC，上的点．  (1)当时，求证平面；(2)若平面平面，求的值，并说明理由．6．（22-23高一下·山东青岛·期中）如图，在四面体，分别是的中点．  (1)求证：；(2)在上能否找到一点，使平面？请说明理由；(3)若，求证：平面平面．2023-2024学年高一数学下学期《单元测试与专题强化》平行与垂直证明题专题强化类型1 线面平行的证明1．（23-24高二上·江西南昌·期中）已知四棱锥，底面是菱形，底面，且，点分别是棱和的中点.(1)求证：平面；(2)求三棱锥的体积.【答案】(1)证明见解析；(2).【分析】（1）取的中点，借助平行四边形的性质，利用线面平行的判定推理得解.（2）利用三棱锥的体积公式，结合割补法计算即可.【详解】（1）在四棱锥中，底面是菱形，取的中点，连接.由分别为的中点，得，又是的中点，则，于是，因此四边形为平行四边形，即有，而平面平面，所以平面.（2）由底面，且，为中点，得点到底面的距离为1，菱形中，，则，因此，所以，即三棱锥的体积为.2．（2024高三·全国·专题练习）如图，在三棱柱中，四边形是菱形，四边形是正方形，，，，点为的中点.求证：平面；【答案】证明见解析【分析】连接交于，连接，利用中位线先证明，然后根据线面平行的判定定理完成证明.【详解】连接交于，连接，因为四边形是正方形，所以是的中点，又因为为的中点，所以，因为平面，平面，所以平面；3．（23-24高二上·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）如图，在正方体中，E是的中点.  (1)求证：平面；(2)设正方体的棱长为1，求三棱锥的体积．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）先证，再用直线与平面平行的判定定理证明平面；（2）利用等体积法，求三棱锥的体积.【详解】（1）证明：因为在正方体中，，，所以四边形为平行四边形，所以，又因为平面，平面，所以平面.（2）因为正方体的棱长是1，E是的中点，所以，三角形ABC的面积，三棱锥的体积.4．（21-22高一下·陕西咸阳·阶段练习）如图，在棱长均为6的三棱柱中，D、分别是BC和的中点．  (1)求证：平面；(2)若平面平面，，求三棱锥的体积．【答案】(1)证明见解析(2)27【分析】（1）连结，根据线面平行的判断定理，转化为证明，即可证明线面平行；（2）利用等体积转化，再利用面面垂直的性质定理，转化为证明平面，进而即得.【详解】（1）证明：连接，  在三棱柱中，D、分别是BC和的中点，，且，又，，，，四边形为平行四边形，，又平面ABD，平面，故平面．（2）在三棱柱中，棱长均为6，则，D为BC的中点，，平面平面，交线为BC，平面ABC， 平面，即AD是三棱锥的高，在中，，得，在中，，，为等边三角形．的面积为，．5．（20-21高三上·内蒙古包头·期中）如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，为的中点，为与的交点．  (1)证明：//平面；(2)求三棱锥的体积．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）由中位线定理证明，再由判定证明即可；（2）求出点到平面的距离，再由体积公式求解.【详解】（1）证明：四边形为正方形，为与的交点，是的中点，又是的中点，，又平面平面，//平面．（2）平面是的中点，到平面的距离，四边形是正方形，，三棱锥的体积．6．（23-24高二上·上海虹口·期中）已知直四棱柱，，，，，．  (1)证明：直线平面；(2)若该四棱柱的体积为，求的长．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）证明出平面平面，再利用面面平行的性质可证得结论成立；（2）计算出梯形的面积，利用柱体的体积可求得的长.【详解】（1）证明：在直四棱柱中，，因为平面，平面，所以，平面，因为，平面，平面，所以，平面，因为，、平面，所以，平面平面，因为平面，因此，平面.（2）解：因为，，，，，所以，，所以，，解得.7．（22-23高一下·天津北辰·期中）已知在直三棱柱中，，且分别是，的中点.证明：平面.  【答案】证明过程见解析【分析】根据面面平行的判定定理、面面平行的性质，结合三角形中位线定理、棱柱的几何性质进行证明即可.【详解】设是的中点，连接和，因为是直三棱柱，所以四边形是矩形，因为是的中点，所以，而平面，平面，所以平面，因为是的中点，所以，而平面，平面，所以平面，而平面，所以平面平面，而平面，所以平面.  8．（22-23高一下·河南郑州·期中）如图，在长方体中，E，M，N分别是的中点，求证：平面.  【答案】证明见解析【分析】取CD的中点K可得，，根据线面平行的判定定理和面面平行的判定定理可得平面平面，再由面面平行的性质定理可得答案.【详解】如图，取CD的中点K，连接MK，NK，∵M，K分别是AE，CD的中点，∴，又平面，平面，∴平面，又∵是的中点，K分别是CD的中点，∴，又平面，平面，∴平面，又平面MNK，平面MNK，，∴平面平面，又平面MNK，∴平面.  9．（22-23高一下·福建厦门·期末）如图，在正三棱柱中，，分别为，的中点．  (1)求证：//平面；(2)若，求三棱唯的体积．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）解法一：构造平行四边形，根据线面平行判定定理证明即可；解法二：构造平行平面，利用面面平行的性质证明线面平行；（2）根据几何体的线面关系确定底面积与高度距离，即可的体积.【详解】（1）解法一：取中点，连接，，  因为是中点，所以，，因为是中点，所以，，所以，，所以四边形为平行四边形，所以，因为平面，平面，所以平面．解法二：取中点，连接，，  因为是中点，所以，因为平面，平面，所以平面．因为是中点，是中点所以，，所以四边形为平行四边形，所以，因为平面，平面，所以平面，因为平面，平面，，所以平面平面，因为平面，所以平面．（2）取中点，连接，  在正三棱柱中，所以，且，因为平面平面，所以，因为，平面，平面，所以平面，即平面，所以的长为点到平面的距离，又的面积为，所以，所以三棱锥的体积为． 类型2 线线平行的证明1．（22-23高一下·河南洛阳·阶段练习）如图，四面体被一平面所截，截面是一个平行四边形.求证：.【答案】证明见解析【分析】由线线平行得到线面平行，再由线面平行的性质得到线线平行，证明出结论.【详解】∵四边形为平行四边形，∴，又平面，平面，∴平面.而平面平面，平面，∴，∴.2．（2024高三上·全国·专题练习）如图，四棱锥中底面是正方形，四条侧棱均相等，点G，E，F，H分别是棱PB，AB，CD，PC上共面的四点，平面GEFH.求证：.【答案】证明见解析【分析】利用线面平行的性质定理，即可证明线线平行.【详解】因为平面，平面，且平面平面，所以，同理可证，因此.3．（2024高三·全国·专题练习）如图，P是平行四边形ABCD所在平面外一点，E是PD的中点．(1)求证：平面EAC．(2)若M是CD上异于C，D的点，连接PM交CE于点G，连接BM交AC于点H，求证：．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）连接交于，连接，利用中位线证明，然后根据线面平行的判定定理完成证明；（2）根据线面平行的性质定理完成证明.【详解】（1）连接交于，连接，因为四边形是平行四边形，所以为中点，又因为为中点，所以是的中位线，所以，又因为平面，平面，所以平面.（2）因为平面，平面平面，平面，所以.4．（22-23高一·全国·随堂练习）如图，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于HG，求证：．【答案】证明见详解【分析】连接交于点，连接，先利用三角形中位线性质和线面平行判定定理证明平面，然后由线面平行性质定理可证.【详解】连接交于点，连接，因为ABCD是平行四边形，所以为中点，又M是PC的中点，所以，因为平面，平面，所以平面，又因为平面，平面平面，所以  5．（22-23高一下·全国·期中）如图所示，已知是平行四边形所在平面外一点，分别是的中点.  (1)求证：平面；(2)设平面平面，求证：.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）通过构造平行四边形的方法证得平面.（2）根据线面平行的性质定理证得.【详解】（1）取的中点，连接，如图所示，由，且，，且，所以，且，所以四边形是平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面；（2）因为，平面，平面，所以平面，又因为平面平面，所以.  6．（2023高三·全国·专题练习）在四棱锥中，底面为直角梯形，， ，为线段的中点，平面与棱相交于点.求证：.【答案】证明见解析【分析】根据线面平行的判定定理以及性质定理得出结果.【详解】因为为线段的中点，所以．又因为，所以．在梯形中，，所以四边形为平行四边形．所以．又因为平面，且平面，所以平面．因为平面，平面平面，所以．7．（22-23高一下·新疆·阶段练习）如图，四边形为长方形，平面，，点 分别为的中点，设平面平面．  (1)证明：平面；(2)证明：；(3)求三棱锥的体积．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)【分析】（1）取的中点，连接，根据题意证得，结合线面平行的判定定理，即可证得平面；（2）由平面，结合线面平行的性质定理，即可证得；（3）利用等体积转化为，即可求解.【详解】（1）证明：取的中点，连接，因为点分别为的中点，所以且，又因为四边形为长方形，所以且，所以且，所以四边形为平行四边形，所以，因为平面，平面，所以平面.（2）证明：由平面，因为平面，且平面平面，所以.（3）解：由平面，则点到平面的距离等于到平面的距离，因为平面，所以为三棱锥的高，所以三棱锥的体积为：.  8．（2024高三·全国·专题练习）如图，平面ADE，．求证：．【答案】证明见解析【分析】根据题意，先证明平面平面，进而利用面面平行的性质定理即可得到答案.【详解】∵，平面ADE，平面ADE，∴平面ADE．∵平面ADE，，平面BCF，∴平面平面．又平面平面，平面平面，∴．9．（2024高三·全国·专题练习）如图，在多面体中，面是正方形，平面，平面平面，四点共面，，．求证：.【答案】证明见解析【分析】由面面平行的性质得到线线平行.【详解】因为平面平面，四点共面，且平面平面，平面平面，所以． 类型3 面面平行的证明1．（22-23高一下·辽宁阜新·期末）已知在正方体中，M、E、F、N分别是、、、的中点.求证：(1)E、F、D、B四点共面(2)平面平面.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）根据题意证明，即可得结果；（2）根据线面、面面平行的判定定理分析证明.【详解】（1）证明：分别是、的中点，所以，又，所以四边形是平行四边形，.，即确定一个平面，故E、F、D、B四点共面.（2）（2）M、N分别是、的中点，.又平面，平面，平面.连接，如图所示，则，.四边形是平行四边形..又平面，平面.平面.都在平面,且,所以平面平面. 2．（2024高三·全国·专题练习）在圆柱中，等腰梯形为底面圆的内接四边形，且，矩形是该圆柱的轴截面，为圆柱的一条母线，．求证：平面平面.  【答案】证明见解析【分析】根据题意，由线面平行的判定定理分别证明平面，平面，再由面面平行的判定定理，即可得到证明.【详解】  在圆柱中，，平面，平面，故平面；连接，因为等腰梯形为底面圆的内接四边形，，故，则为正三角形，故，则，平面，平面，故平面；又平面，故平面平面．3．（23-24高二上·四川内江·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面为正方形，分别是的中点．   (1)求证：平面；(2)求证：平面平面.【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）线面平行判定定理证明即可；（2）先证线面平行，再证面面平行即可.【详解】（1）∵分别是的中点，∴又∵平面,平面,∴平面.（2）∵四边形为正方形，且分别为，边的中点，，又∵面，面，∴面，由（1）知，平面，且,平面,平面,∴平面平面4．（23-24高二上·四川南充·阶段练习）如图，已知点P是正方形ABCD所在平面外一点，M，N分别是AB，PC的中点．  (1)求证：平面PAD；(2)若PB中点为Q，求证：平面平面PAD．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）取PD的中点E，连接AE，NE，证明四边形AMNE为平行四边形，根据线面平行的判定定理即得；（2）证明平面PAD，平面PAD，进而即得.【详解】（1）取PD的中点E，连接AE，NE，  因为N是PC的中点，所以且，又M是AB的中点，ABCD是正方形，所以且，所以且，所以四边形AMNE为平行四边形，所以，又平面PAD，平面PAD，所以平面PAD．（2）因为Q为PB的中点，M是AB的中点，所以，又平面PAD，平面PAD，所以平面PAD，又平面PAD，，MQ，平面MNQ，所以平面平面PAD．5．（22-23高一下·河北邯郸·期中）如图，在三棱柱中，G，O，H，M分别为DE，DF，AC，BC的中点，N为GC的中点.  (1)证明：平面ABED.(2)证明：平面平面BCFE.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）利用三角形中位线的性质和直线与平面平行的判定定理即可证明.（2）先把面面平行问题转化为线面平行问题，再利用平面与平面平行的判断定理即可证明.【详解】（1）证明：如图，连接BG.∵M为BC的中点，N为GC的中点，∴.∵平面ABED，平面ABED，∴平面ABED.  （2）∵G，O分别为DE，DF的中点，∴.∵平面BCFE，平面BCFE，∴平面BCFE.∵且，∴四边形OFCH是平行四边形，∴.∵平面BCFE，平面BCFE，∴平面BCFE.又，∴平面平面BCFE 类型4 线面垂直的证明1．（2023高二上·上海·专题练习）如图，为⊙O的直径，垂直于⊙O所在的平面，M为圆周上任意一点，⊥，N为垂足.求证：⊥平面；【答案】证明见解析【分析】由题目条件得到⊥平面，故⊥，结合⊥得到线面垂直.【详解】∵为⊙O的直径，∴⊥.又⊥平面，平面，∴⊥.又∵，平面，∴⊥平面.又平面，∴⊥.又⊥，且，平面，∴⊥平面.2．（2023高二上·上海·专题练习）如图，在三棱锥中，，是的中点，且.  (1)求证：平面；(2)若，求证：平面.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）根据线面垂直的判定定理求证；（2）根据线线垂直，利用线面垂直定理证明.【详解】（1）因为，是的中点，所以.在中，，由已知，所以，所以.又平面，所以平面.（2）因为，是的中点，所以.由(1)知.又因为平面，所以平面.3．（23-24高二上·安徽·期中）如图，在三棱锥中，平面，为等边三角形，点 为棱的中点，(1)求证: 平面；(2)求三棱锥的体积.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）根据线面垂直的性质可得，再根据线面垂直的判定定理即可得证；（2）根据棱锥的体积公式计算即可.【详解】（1）因为平面，平面，所以，因为为等边三角形，点 为棱的中点，所以，又平面，所以平面；（2），，因为平面，所以.4．（2023高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，，，，平面平面.求证：面；  【答案】证明见解析【分析】取的中点，连接，，可得四边形为平行四边形，进而得到，结合，可得，结合直角三角形的性质可得，再根据面面垂直的性质可得平面，进而得到，进而结合线面垂直的判定定理求证即可.【详解】取的中点，连接，，   因为，，所以四边形为平行四边形，则，又，所以，则，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以，又，即，且，平面，所以平面.5．（23-24高三上·上海闵行·期中）正四棱锥中，，，其中为底面中心，为上靠近的三等分点．(1)求证：平面；(2)求四面体的体积．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）连接，，则与交于点，由正四棱锥的性质得到，平面，则，即可得证；（2）首先求出，再由为上靠近的三等分点，得到，所以.【详解】（1）在正四棱锥中为底面中心，连接，，则与交于点，且，平面，平面，所以，又，平面，所以平面.（2）因为，，所以，又为上靠近的三等分点，所以，则.6．（22-23高一·全国·随堂练习）如图，已知是正三角形，和都垂直于平面，且，，F，G分别是和的中点．求证：  (1)平面；(2)平面．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.【分析】（1）由F，G分别是和的中点可得，又平面，从而可证；（2）推导出，且，从而证明四边形是平行四边形，从而可证，进而可证.【详解】（1）F，G分别是和的中点，，又平面，平面；（2）连接，F，G分别是和的中点，，且，和都垂直于平面，，且，，且，四边形是平行四边形，，平面平面，平面.  7．（22-23高一下·广东韶关·期中）如图，在四棱锥中，平面，四边形为正方形，，为中点，点在上，平面平面．  (1)求证：平面；(2)求证：平面；【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）欲证平面，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证与平面内两相交直线垂直，根据，可证得平面，从而，又满足线面垂直的判定定理条件；（2）欲证平面，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证与平面内一直线平行即可.【详解】（1）因为四边形为正方形，故，平面，平面,所以，平面，故平面，平面，故，由知，G为中点，故，因为平面，所以平面.（2）证明：作于F，因为平面平面,平面，平面，平面平面，故平面，  又由（1）知平面，所以，又平面平面，∴平面.8．（22-23高一下·福建福州·阶段练习）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为菱形，PB＝PD，E，F分别为AB和PD的中点.  (1)求证：EF∥平面PBC；(2)求证：BD⊥平面PAC．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析.【分析】（1）取PC的中点G，连接FG，BG，易证四边形BEFG是平行四边形，从而得到EF∥BG，再利用线面平行的判定定理证明；（2）设AC∩BD＝O，则O是BD中点，连接PO，由PB＝PD，O是BD中点，得到BD⊥PO，再由底面ABCD是菱形，得到BD⊥AC，然后利用线面垂直的判定定理证明.【详解】（1）证明：取PC的中点G，连接FG，BG，如图所示：  ∵F是PD的中点，∴FG∥CD，且，又∵底面ABCD是菱形，E是AB中点，∴BE∥CD，且，∴BE∥FG，且BE＝FG，∴四边形BEFG是平行四边形，∴EF∥BG，又EF⊄平面PBC，BG⊂平面PBC，∴EF∥平面PBC；（2）设AC∩BD＝O，则O是BD中点，连接PO，如图所示：  又∵PB＝PD，O是BD中点，∴BD⊥PO，∵底面ABCD是菱形，∴BD⊥AC，又AC∩PO＝O，∴BD⊥平面PAC.类型5 线线垂直的证明1．（19-20高一上·陕西渭南·期末）如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，分别是，的中点．求证：  (1)平面；(2)．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）借助线面垂直判定定理即可得；（2）借助线面垂直性质定理即可得.【详解】（1）四棱锥的底面是矩形，，平面，平面，，又，、平面，平面；（2）由（1）知平面，同理可得，平面，，分别是，的中点，，平面，又平面，.2．（22-23高一下·河南商丘·阶段练习）已知四边形是矩形，平面，，，为的中点.求证：.  【答案】证明见解析【分析】先利用矩形性质证出，由平面证出，从而得到平面，从而.【详解】因为为的中点，，所以为等腰直角三角形，由此可得，同理，所以，即，又因为平面，且平面，所以，又因为，，平面，所以平面，又因为平面，所以.3．（2023·河南·三模）如图，四棱锥中，四边形ABCD为梯形，，，，，，M，N分别是PD，PB的中点．  (1)求证：直线平面；(2)求证：．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）连接，证明，再根据线面平行的判定定理即可得证；（2）利用勾股定理证明，，从而可得平面，即可得证.【详解】（1）连接，因为M，N分别是PD，PB的中点，所以，又平面，平面，所以直线平面；（2）因为，所以，所以，因为，，所以，所以，又平面，所以平面，又平面，所以，又，所以．  4．（23-24高三上·陕西西安·开学考试）如图，在正四棱台中，.  (1)证明：.(2)若正四棱台的高为3，求点到平面的距离.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）连接，，（，分别为正四棱台上、下底面的中心），根据面线垂直的判定定理证明平面即可；（2）连接，，可求得侧面的斜高为，再由求解即可.【详解】（1）证明：连接，，设正四棱台上、下底面的中心分别为，，连接，则，分别为，的中点，  因为是正四棱台，所以平面.又平面，则，因为为正方形，所以，又，所以平面. 因为平面，所以.（2）解：连接，，  因为正四棱台的高为3，所以，且侧面的斜高为， 所以. 设点到平面的距离为，因为，所以，解得，即点到平面的距离为.5．（20-21高一上·陕西西安·期末）如图，三棱柱的侧棱垂直于底面，，点是的中点．  (1)求证：；(2)求证：平面．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）由平面可得，结合，可得平面，即可得证；（2）设，则是的中点，利用中位线的性质可知，进而即可证明结论.【详解】（1）平面平面，．又平面，平面，又平面，．（2）设，则是的中点，连接．  又是的中点，，又平面平面，平面．6．（22-23高一下·湖南永州·阶段练习）《九章算术·商功》记载：斜解立方，得两堑堵：斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑.如图，在鳖臑中，，且平面平面．求证：  (1)平面；(2).【答案】(1)证明见详解(2)证明见详解【分析】（1）先根据面面垂直性质定理证明平面，然后利用线面垂直性质和线面垂直的判定定理可证；（2）利用（1）中结论，先由面面垂直性质定理证明平面平面，然后结合面面垂直性质定理可得平面，然后可证.【详解】（1）因为平面平面，平面平面，，平面，所以平面，因为平面，所以，又(即)，，平面，所以平面.    （2）由（1）知，平面，平面，所以平面平面，又平面平面，平面，所以平面，因为平面，所以.类型6 面面垂直的证明1．（2024高一下·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，底面，四边形是直角梯形，，，点在棱上.证明：平面平面；【答案】证明见解析【分析】根据平面直角梯形求出，利用得出，再由线面垂直的判定定理、面面垂直的判定定理得证.【详解】因为底面，平面，所以.四边形是直角梯形，，，因为，所以.所以，所以.又因为，平面，所以平面.又平面，所以平面平面.2．（22-23高一下·河南洛阳·阶段练习）在四棱锥中，底面是正方形，平面．  (1)求证：平面⊥平面；(2)求证：平面⊥平面．【答案】(1)证明过程见解析(2)证明过程见解析【分析】（1）由线面垂直性质、正方形性质得，，结合线面垂直、面面垂直的判定定理即可得证.（2）由线面垂直性质、正方形性质得，，结合线面垂直、面面垂直的判定定理即可得证.【详解】（1）因为平面，平面，所以，又因为底面是正方形，所以，又因为平面，所以平面，又平面，所以平面⊥平面.（2）因为平面，平面，所以，又因为底面是正方形，所以，又因为平面，所以平面，又平面，所以平面⊥平面.3．（2024高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，平面，，，，，点为的中点.证明：平面平面.  【答案】证明见解析【分析】根据题意先证，，可得平面，结合面面垂直的判定定理分析证明.【详解】因为平面，平面，则，取中点，连接，  因为，，，则，且，可知四边形为平行四边形，又因为，，可知四边形为正方形，则，⊥，所以为等腰直角三角形，故，，即，又，平面，可得平面，因为平面，所以平面⊥平面.4．（23-24高二上·上海崇明·期中）在正方体中．求证：(1)直线平面；(2)平面平面．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.【分析】（1）借助正方体的结构特征，利用线面垂直的性质、判定推理即得.（2）利用线面垂直的性质、判定及面面垂直的判定推理即得.【详解】（1）在正方体中，平面，平面，则，而，平面，于是平面，又平面，则，同理，而平面，所以直线平面.（2）在正方体中，，平面，而平面，则，又，平面，因此平面，而平面，所以平面平面.5．（22-23高一·全国·随堂练习）如图，AB是的直径，点C为该圆上异于A，B的点，所在的平面．求证：平面平面PBC．  【答案】见解析【分析】由线面垂直和面面垂直的判定定理即可证明.【详解】∵是圆的直径，∴，又∵平面，平面，∴.∵，平面，∴平面，又因为平面，所以平面平面PBC．类型7 空间中的探索性问题1．（23-24高一上·江西宜春·期中）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，为上的点，且，为中点．  (1)证明：平面.(2)在上是否存在一点，使得平面？若存在，指出点位置，并证明你的结论；若不存在，说明理由．【答案】(1)证明见解析(2)上存在点，且【分析】（1）通过构造中位线的方法来证得平面.（2）通过证明面面平行的方法来确定点的位置.【详解】（1）连交于，因为为中点，所以是中位线，所以．又平面AEC，平面．所以平面AEC．  （2）上存在点，且，使得平面，证明：上取点，且，因为为上的点，且，所以在中，，所以，因为平面，平面，所以平面，又在中，，所以，因为平面，平面，所以平面，因为，，平面，所以平面平面，因为平面，所以平面．  2．（22-23高一下·山西运城·期中）如图，正三棱柱中，E、F、G分别为棱、、的中点．  (1)证明：∥平面；(2)在线段是否存在一点，使得平面∥平面？若存在，请指出并证明；若不存在，请说明理由．【答案】(1)证明见解析(2)存在；N为的中点，证明见解析【分析】（1）取的中点，连接，，证明后证得线面平行；（2）N为的中点时，平面平面．由线面平行的判定定理证明与平面平行后可得证面面平行．【详解】（1）证明：取的中点，连接，，在中，因为E、M分别为、的中点所以且．又为的中点，，所以且，即且，故四边形为平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面．  （2）当N为的中点时，平面平面．证明：连接，．因为N，F分别是和的中点，所以．因为平面，平面，所以平面．因为，，所以．因为平面，平面，所以平面．又因为平面，平面，，所以平面平面．  3．（21-22高一下·浙江嘉兴·期中）如图所示，在四棱锥中，四边形ABCD是梯形，，，E是PD的中点.  (1)求证：平面PAB；(2)若M是线段CE上一动点，则线段AD上是否存在点，使平面PAB？说明理由.【答案】(1)证明见解析(2)线段存在点N，使得平面，理由见解析【分析】（1）取中点，连接，证明四边形为平行四边形，再利用线面平行的判定即可证明；（2）取中点N，利用面面平行的判定证明平面平面，再利用面面平行的性质即可证明平面PAB.【详解】（1）如下图，取中点，连接，由E是PD的中点，所以且，因为，且，所以，所以四边形为平行四边形，故，而面，面，则面.（2）线段上存在点N，使得平面.理由：取中点N，连接，，∵E，N分别为，的中点，∴，∵平面，平面，∴平面.由（1）知：平面，又，平面，∴平面平面.又M是上的动点，平面，∴平面PAB∴线段存在点N，使得平面，此时N为中点.  4．（22-23高一下·陕西渭南·期中）如图所示正四棱锥，，，P为侧棱SD上一动点.  (1)若直线面ACP，求证：P为棱SD的中点；(2)若，侧棱SC上是否存在一点E，使得平面PAC．若存在，求的值；若不存在，试说明理由.【答案】(1)证明见解析(2)存在，【分析】（1）连接与交于点，由线面平行的性质可证得，又为的中点，从而可证；（2）取中点，可得，过点作，交于点，可得平面平面，可得平面，从而得出答案.【详解】（1）  连接与交于点，则为的中点，因为直线面ACP，平面，平面平面，所以，又为的中点，所以P为棱SD的中点.（2）在侧棱上存在一点，使平面，满足．理由如下：取中点，连接，因为，则，又为的中点，在中，有，又平面，平面，平面，过作，交于，连接，又平面，平面，平面，，平面，平面平面，又平面，平面，由，则，由，为的中点，则，所以，所以侧棱上存在一点，当满足时，平面.    5．（22-23高一下·浙江杭州·期中）如图，斜三棱柱中，D，分别为AC，上的点．  (1)当时，求证平面；(2)若平面平面，求的值，并说明理由．【答案】(1)证明见解析(2)，理由见解析【分析】（1）欲证平面，只需证与平面内一直线平行，当时，为线段的中点，作出辅助线，证明出，满足定理所需条件；（2）根据平面与平面平行的性质定理可知，同理，根据比例关系即可求出所求．【详解】（1）如图，当时，为线段的中点，连接交于点O，连接．  由棱柱的性质，知四边形为平行四边形，所以点O为的中点．在中，点O、分别为、的中点，∴．又∵平面，平面，∴平面．（2）由已知，平面平面，且平面平面，平面平面．因此，同理．∴，．又∵，∴，即．6．（22-23高一下·山东青岛·期中）如图，在四面体，分别是的中点．  (1)求证：；(2)在上能否找到一点，使平面？请说明理由；(3)若，求证：平面平面．【答案】(1)证明见解析(2)能找到一点，使平面，理由见解析(3)证明见解析【分析】（1）取的中点，证明，，利用线面垂直判定定理证明结论；（2）猜测为的中点，证明，并结合线面平行判定定理证明结论；（3）先证明， ，结合线面垂直判定定理，面面垂直判定定理证明结论.【详解】（1）取的中点，连接在中，，同理而平面又平面；  （2）在上能找到一点，使平面，此时为的中点，证明如下：连接  是的中点，平面平面，平面，的中点即为所求．（3）是公共边，，从而由（1）可知：，即，，平面，∴ 平面，面，∴ 平面平面．