四川省成都市第七中学2024届高三下学期三诊模拟考试数学（理）试卷（Word版附答案）

这是一份四川省成都市第七中学2024届高三下学期三诊模拟考试数学（理）试卷（Word版附答案），共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若向量与向量是共线向量，则实数等于（ ）
A．2B．C．D．0
2．复数（其中为虚数单位）的共轭复数为（ ）
A．B．C．D．
3．已知全集，集合，则等于（ ）
A．B．C．D．
4．的展开式中，第5项为常数项，则正整数等于（ ）
A．8B．7C．6D．5
5．三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的四条棱中，棱长最大值为（ ）
A．B．C．D．2
6．已知，则（ ）
A．3B．C．或0D．3或0
7．已知圆，直线，则“”是“圆上任取一点，使的概率小于等于”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要
8．有甲、乙两个班级进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩，得到如下所示的列联表：
附：．
已知在全部105人中随机抽取1人，成绩优秀的概率为，则下列说法正确的是（ ）
A．甲班人数少于乙班人数
B．甲班的优秀率高于乙班的优秀率
C．表中的值为15，的值为50
D．根据表中的数据，若按的可靠性要求，能认为“成绩与班级有关系”
9．若，则的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
10．已知函数，若，则（ ）
A．B．C．D．0
11．已知双曲线的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为为双曲线上一点，且直线与的斜率之积等于3，则下列说法正确的是（ ）
A．双曲线的渐近线方程为B．双曲线的离心率为
C．若，则的面积为D．以为圆心，为半径的圆与渐近线相切
12．设函数，正实数满足，若，则实数的最大值为（ ）
A．B．4C．D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡上．
13．某班男女生的比例为，全班的平均身高为，若女生的平均身高为，则男生的平均身高为______．
14．抛物线的焦点为，过的直线与抛物线相交于两点（在第一象限），分别过作准线的垂线，垂足分别为，若，则直线的倾斜角等于______．
15．在中，角所对的边分别为，若，则______．
16．在三棱柱中，平面是矩形内一动点，满足，则当三棱锥的体积最大时，三棱锥的外接球的表面积为______．
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分12分）
某保险公司为了给年龄在20～70岁的民众提供某种疾病的医疗保障，设计了一款针对该疾病的保险，现从10000名参保人员中随机抽取100名进行分析，这100个样本按年龄段分成了五组，其频率分布直方图如下图所示，每人每年所交纳的保费与参保年龄如下表格所示．（保费：元）据统计，该公司每年为该项保险支出的各种费用为一百万元．
（Ⅰ）用样本的频率分布估计总体的概率分布，为使公司不亏本，则保费至少为多少元？（精确到整数）
（Ⅱ）随着年龄的增加，该疾病患病的概率越来越大，经调查，年龄在的老人中每15人就有1人患该项疾病，年龄在的老人中每10人就有1人患该项疾病，现分别从年龄在和的老人中各随机选取1人，记表示选取的这2人中患该疾病的人数，求的数学期望．
18．（本小题满分12分）
已知数列的前项和为．
（Ⅰ）证明：数列是等比数列，并求出通项公式；
（Ⅱ）设函数的导函数为，数列满足，求数列的前项和．
19．（本小题满分12分）
如图，在三棱柱中，平面是棱的中点，在棱上，且．
（Ⅰ）证明：平面；
（Ⅱ）若四棱锥的体积等于1，求二面角的余弦值．
20．（本小题满分12分）
在平面直角坐标系中，椭圆过点，直线与椭圆相交于不同于点的，两点，为线段的中点，当直线斜率为时，直线的倾斜角等于．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）直线分别与直线相交于两点．线段的中点为，若的纵坐标为定值，判断直线是否过定点，若是，求出该定点，若不是，说明理由．
21．（本小题满分12分）
已知函数．
（Ⅰ）若，证明：；
（Ⅱ）若函数在内有唯一零点，求实数的取值范围．
请考生在第22，23题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．
22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，直线的参数方程（t为参数），以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，且直线与曲线相交于两点．
（Ⅰ）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；
（Ⅱ）设点是直线上一点，满足，求点的直角坐标．
23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数．
（Ⅰ）求不等式的解集；
（Ⅱ）若函数的最小值为，正数满足，证明：．
优秀
非优秀
甲班
10
乙班
30
0.05
0.025
0.010
0.005
3.841
5.024
6.635
7.879
年龄
保费
成都七中高2024届三诊模拟考试数学试题（理科参考答案）
一、选择题：
CBBCADCDABDA
二、填空题：
13．174 14． 15． 16．
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．解：（Ⅰ），解得
保险公司每年收取的保费为：
所以要使公司不亏本，则，即，
解得，即保费元；
（Ⅱ）由题意知的取值为0，1，2，
，
，
，
．
18．解：（Ⅰ），
，
相减得，即，
所以数列是以4为公比的等比数列，又，
所以．
（Ⅱ），
，
，
．
19．解：（Ⅰ）面，
又，
平面，
又平面，
由得：为棱的中点，
连接交于，连接交于，连接，
在中，交，
平面，
平面；
（Ⅱ）设，
四棱锥的体积为，解得，
以分别为轴建立空间直角坐标系，如图，
则，
设平面的法向量为，
由，得，令，得，
取平面的法向量，
，
因为二面角的大小为锐角，所以二面角的余弦值为．
20．解：（Ⅰ）由已知得，
设中点为
由相减得，
得，即．
所以椭圆方程为．
（Ⅱ）设，
所以，即，
，同理，
设直线过点是方程的两根．即，
整理得，
，
，
，所以直线过点．
21．解：（Ⅰ）当时，不等式等价于，
则，令函数，
则，
，
所以函数在上单调递增，且，
在上恒成立，
即函数在上单调递增，且，
所以时，不等式成立；
（Ⅱ）当时，，
由（Ⅰ）可知此时，所以此时函数没有零点，与已知矛盾，
，，令函数，
所以，令函数，
，
①若，
所以函数在上递增，且，
，使函数在上递减，在上递增，
②若时，显然，
所以函数在上递减，在上递增，且
，使函数在上递减，在上递增，
又，
，且，使得，
综上得，当时，函数在内有唯一零点，
的取值范围是．
22．解：（Ⅰ）由得，
即直线的普通方程为，
由得：，
，
即曲线的直角坐标方程为；
（Ⅱ）设直线的参数方程为，代入得：，整理得，
设点对应的参数分别为，
，且．
解得，或者
所以求点的直角坐标为或．
（或者利用普通方程求出的坐标，从而求出的坐标）
23．解：（Ⅰ）不等式等价于，
当时，得，
当时，得，此时无解，
当时，得，
综上，不等式的解集为；
（Ⅱ），当时取等号，
，即，
，
相加得，
．所以不等式成立．