浙江省金兰教育合作组织2023-2024学年高二下学期期中联考数学试卷（Word版附答案）

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命题：梦麟中学 袁建甫 审题：书生中学 叶双能 宁波二中 丁益
考生须知：
1.本卷满分150分，考试时间120分钟；
2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场、座位号及准考证号并核对条形码信息；
3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效，考试结束后，只需上交答题卷；
选择题部分
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.已知向量，，若，则（ ）
A.2B.C.3D.
2.下列四个命题中正确的是（ ）
A.每个面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥
B.所有棱长都相等的四棱柱是正方体
C.以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱
D.以直角三角形的一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥
3.已知复数，其中是虚数单位，则的虚部是（ ）
A.B.C.-1D.1
4.已知，为非零向量，且满足，则在上的投影向量为（ ）
A.B.C.D.
5.已知的三条边长分别为a，b，c，且，则此三角形的最大角与最小角之和为（ ）
A.B.C.D.
6.已知平面直角坐标系下，的三个顶点坐标为：，，，若斜二侧画法下的直观图是，则的面积为（ ）
A.B.C.D.
7.如图所示，在中，点E为线段上的中点，点F为线段上靠近点C的三等分点，，分别与交于R，T两点.则（ ）
A.B.
C.D.
8.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，边上的中线、高线、角平分线长分别是，，，则下列结论中错误的是（ ）
A.B.
C.D.
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对得部分分）
9.已知复数，均不为0，复数的共轭复数为，则（ ）
A.B.
C.D.
10.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列说法中正确的是（ ）
A.若，则是直角三角形
B.若，则是锐角三角形
C.若，则是等腰三角形
D.若，则是等边三角形
11.已知，为非零向量，且满足，，则（ ）
A.，夹角的取位范围是B.的取值范围是
C.的取值范围是D.的取值范围是
非选择题部分
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12.已知（是虚数单位），则__________
13.已知球O的体积为，则球O的表面积为___________，球O的内接正四面体的体积为_________.
14.勒洛三角形，也称圆弧三角形，是一种特殊三角形，在建筑、工业上应用广泛.如图所示，分别以正三角形的顶点为圆心，以边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形即为勒洛三角形.已知正三角形边长为2，点P为圆弧上的一点，且满足：，则的值为__________.
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15.（本题满分13分）已知复数
（1）若复数是方程的一个复数根，求实数a，b的值；
（2）若复数满足，求.
16.（本题满分15分）如图所示，已知三棱柱的所有棱长都为1，，点P为线段上的动点.
（1）若点恰为线段上靠近点的三等分点，求三棱锥和三棱柱的体积之比；
（2）求的最小值及此时的值.
17.（本题满分15分）设向量，满足，，.
（1）求的值；
（2）已知与的夹角的余弦值为，求的值.
18.（本题满分17分）已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且满足，.
（1）求B；
（2）若D，E为线段上的两个动点，且满足，，求的取值范围.
19.（本题满分17分）对于平面向量，定义“变换”：，
（1）若向量，，求；
（2）已知，，且与不平行，，，证明：；
（3）若向量，求.
2023~2024学年第二学期浙江金兰教育合作组织高一年级期中考试
数学参考答案
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对得部分分）
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12.-4 13.， 14.1
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15.（本题满分13分）
【答案】（1），；（2）
【解析】（1）
，所以，
（2）
16.（本题满分15分）
【答案】（1）；，
【解析】（1）
（2）将绕着直线旋转至平面，当P，，C三点共线时，取得最小值
∵，，
∴
∴.
此时，
17.（本题满分15分）
【答案】（1）；（2）6
【解析】（1），
（2）
∵，∴.
18.（本题满分17分）
【答案】（1）；（2）
【解析】∵
∴
在中，
∴
∴，
又在中，
∴，∴
∵，∴
（2）∵，∴
∵，∴
或
又，得，，
设，其中，则，
在中，由正弦定理可得
则
在中，由正弦定理可得
则.
∴的面积
∵，则
∴，即
∴.
19.（本题满分17分）
【答案】（1）；（2）1；（3）
【解析】（1），，，代入得：，
即：
（2）
得，同理可得，
所以，
则，
得，即.
（3）
∵，
∴，即∴
∵，∴.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
C
C
B
B
A
C
D
题号
9
10
11
答案
ACD
AD
ABD