2023-2024学年江苏省连云港高级中学高一（下）第一次月考数学试卷（含解析）

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这是一份2023-2024学年江苏省连云港高级中学高一（下）第一次月考数学试卷（含解析），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合A={x|x<2}，B={x|x>1}，则A∪B=( )
A. RB. {x|11}
2.sin81°cs21°−cs81°sin21°=( )
A. 12B. 32C. −12D. − 32
3.已知向量a=(1,−2)，b=(m,4)，且a//b，那么a−b等于( )
A. (4,0)B. (0,4)C. (3,−6)D. (−3,6)
4.已知a，b均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a+3b|=
( )
A. 7B. 10C. 13D. 4
5.已知A(2,3)，B(4,−1)，C(−2,1)，则∠ACB的大小为( )
A. π3B. π4C. π6D. π2
6.已知α∈(0,π2)，β∈(π2,π)，若sin(α+β)=−35，csβ=−513，则sinα的值为( )
A. 1665B. 3365C. 5665D. 6365
7.已知向量a=(−1,1),b=(3,1)，则a在b上的投影向量为( )
A. (1,0)B. (−3 1010,− 1010)
C. (1,13)D. (−35,−15)
8.设a=12cs6°− 32sin6°，b=2tan13°1+tan213∘，c= 1−cs50°2，则有( )
A. a>b>cB. a二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知非零向量a,b，则下列命题正确的是( )
A. 若|a+b|=|a−b|，则a⊥b
B. 若a⋅b=a⋅c，则b=c
C. ||a|−|b||≤|a+b|≤|a|+|b|恒成立
D. 向量a,b共线的充分必要条件是存在唯一的实数λ，使a=λb
10.已知函数f(x)=cs(2x+π6)+ 32，则下列选项正确的是( )
A. 函数f(x)的最小正周期为π
B. 点(−π3, 32)是函数f(x)图象的一个对称中心
C. 将函数f(x)图象向左平移π6个单位长度，所得到的函数为偶函数
D. 函数f(x)在区间(−π6,0)上单调递增
11.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，OA=(1,1)，OB=(−2,2)，点C(x,y)，则下列说法正确的是( )
A. BA=(3,−1)
B. 若OACB是平行四边形，则x=−1，y=3
C. 若C为△OAB的重心，则x=−13，y=1
D. 若x=5，y=0，则向量OB在向量OC上的投影向量为−15OC
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知点A(2,3)，B(14,−2)，则与AB同方向的单位向量为______．
13.已知sinα+csαsinα−csα=3，则tan2α的值为______．
14.已知正三角形ABC内接于半径为2的圆O，点P是圆O上的一个动点，则PA⋅PB的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知向量a=(1,−2)，b=(−3,4)．
(1)求|a−b|的值；
(2)求向量a+b与a−b夹角的余弦值．
16.(本小题15分)
已知π4≤α≤π2，π≤β≤3π2，sin2α=45，cs(α+β)=− 210，
(1)求cs2α的值；
(2)求角β−α的值．
17.(本小题15分)
已知向量a=(−3,2),b=(1,2),c=a+kb(k∈R)．
(1)若向量c与2a−b垂直，求实数k的值；
(2)若c与a的夹角为锐角，求实数k的取值范围．
18.(本小题17分)
设函数f(x)=sin(2x−π3)+sin(2x+π3)−2 3cs2x+ 3
(1)求f(x)的最小正周期和单调递增区间；
(2)当x∈[π12,π2]时，求函数f(x)的最大值和最小值并求出对应的x．
19.(本小题17分)
如图，在扇形OMN中，圆心角∠MON=π3,A是扇形弧上的动点．
(1)若OA平分∠MON时，求tan∠OAM的值；
(2)若OM=2，矩形ABCD内接于扇形，求矩形ABCD面积的最大值及相应的∠AON的大小．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查并集及其运算，属于基础题．
利用并集的定义即可求得A∪B．
【解答】
解：由A={x|x<2}，B={x|x>1}，
可得A∪B={x|x<2}∪{x|x>1}=R．
故选：A．
2.【答案】B
【解析】解：sin81°cs21°−cs81°sin21°=sin(81°−21°)=sin60°= 32．
故选：B．
根据正弦的和差角公式即可化简求解．
本题主要考查了和差角公式的应用，属于基础题．
3.【答案】C
【解析】解：∵a=(1,−2)，b=(m,4)，且a//b，
∴1×4−(−2)×m=0，即m=−2，
∴b=(−2,4)，
那么a−b=(1,−2)−(−2,4)=(3,−6)．
故选：C．
由向量共线的坐标运算求解m，再由向量的减法运算求解．
本题考查平面向量的坐标运算，考查向量共线的坐标表示，是基础题．
4.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了向量的数量积，求向量模的运算．
一般要对模的表达式平方整理，平方后变为向量的模和两个向量的数量积形式，根据所给的单位向量和它们的夹角代入数据求出结果．
【解答】
解：∵a,b均为单位向量，它们的夹角为60°，
∴|a|=1，|b|=1，a⋅b=cs60°=12，
∴|a+3b|= a2+6a⋅b+9b2
= 1+6cs60∘+9= 13．
故答案选：C．
5.【答案】B
【解析】解：A(2,3)，B(4,−1)，C(−2,1)，
则CA=(2,3)−(−2,1)=(4,2)，CB=(4,−1)−(−2,1)=(6,−2)，
故CA⋅CB=4×6+2×(−2)=20；
因为cs∠ACB=CA⋅CB|CA||CB|=20 20× 40= 22，
又∠ACB∈[0,π]，所以∠ACB=π4．
故选：B．
利用数量积求出∠ACB得余弦值，即可得解；
本题主要考查平面向量的夹角公式，属于基础题．
6.【答案】D
【解析】解：因为α∈(0,π2)，β∈(π2,π)，
所以α+β∈(π2,3π2)，且sin(α+β)=−35，
故α+β∈(π,3π2)，所以cs(α+β)=−45；
因为csβ=−513，所以sinβ=1213；
故sinα=sin[(α+β)−β]=sin(α+β)csβ−cs(α+β)sinβ
=(−35)×(−513)−(−45)×1213=6365．
故选：D．
根据条件，由sinα=sin[(α+β)−β]=sin(α+β)csβ−cs(α+β)sinβ求解即可．
本题考查的知识要点：三角恒等变换，和角的正弦，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
7.【答案】D
【解析】解：向量a=(−1,1),b=(3,1)，设θ=，
csθ=a⋅b|a||b|=−2 2× 10=−1 5，
a在b上的投影向量为|a|csθ⋅b|b|= 2×(−1 5)⋅(3,1) 10=(−35,−15).
故选：D．
根据投影向量的计算公式求解．
本题考查平面向量的投影向量的计算方法，属于中档题．
8.【答案】D
【解析】【分析】
由三角函数恒等变换化简可得a=sin24°，b=sin26°，c=sin25°.根据角的范围和正弦函数的单调性即可比较大小．
本题主要考查了三角函数的恒等变换的应用，正弦函数的单调性，属于基本知识的考查．
【解答】
解：∵a=12cs6°− 32sin6°=sin30°cs6°−cs30°sin6°=sin24°，
b=2tan13°1+tan213∘=2tan13°1+tan213∘=2sin13°cs13°=sin26°，
c= 1−cs50°2= 1−1−2sin225°2=sin25°．
∵0°<24°<25°<26°<90°
∴sin26°>sin25°>sin24°，
即有：a故选：D．
9.【答案】ACD
【解析】解：|a+b|=|a−b|，同时平方可得，|a+b|2=|a−b|2，
故a2+2a⋅b+b2=a2−2a⋅b+b2，整理得a⋅b=0，故a⊥b，故A正确；
a⋅b=a⋅c，
则a⋅(b−c)=0，当=π2时，上式也成立，故B错误；
如下图示：
a=AD,b=AB，则AC=a+b，故|a|=|AD|,|b|=|AB|，|AC|=|a+b|，
所以|AD|+|AB|>|AC|>||AD|−|AB||，
当|a|=|AD|,|b|=|AB|同向共线时，|AD|+|AB|=|AC|；
当|a|=|AD|,|b|=|AB|反向共线时，||AD|−|AB||=|AC|；
综上，||a|−|b||≤|a+b|≤|a|+|b|恒成立，故C正确；
向量a,b共线的充分必要条件是存在唯一的实数λ，使a=λb(b≠0)，故D正确．
故选：ACD．
利用向量数量积的运算可得a⋅b=0判断A；
只需〈a,b〉=〈a,c〉有a⋅b=a⋅c，注意b,c可能在a两侧，即可判断B；
利用向量加法的几何意义，数形结合法判断C；根据向量共线基本定理即可判断D．
本题主要考查平面向量的数量积运算，考查转化能力，属于中档题．
10.【答案】AB
【解析】解：对于A项，函数f(x)的最小正周期为T=2π|ω|=2π2=π，故A项正确；
对于B项，当x=−π3时，2x+π6=−π2，而cs(−π2)=0，故点(−π3, 32)是函数f(x)图象的一个对称中心，即B项正确；
对于C项，函数f(x)图象向左平移π6个单位长度，得到g(x)=cs[2(x+π6)+π6]+ 32=cs(2x+π2)+ 32=−sin2x+ 32，
由g(−x)−g(x)=[−sin(−2x)+ 32]−(−sin2x+ 32)=2sin2x不恒为零，故该函数不是偶函数，即C项错误；
对于D项，当x∈(−π6,0)时，z=2x+π6∈(−π6,π6)，函数y=csz在区间(−π6,π6)上没有单调性，故D项错误．
故选：AB．
利用余弦型函数的周期公式即得A项，运用代入检验法将2x+π6看成整体角，结合余弦函数图象对称性易得B项，运用平移变换得到函数后，利用偶函数定义即可判断C项，将2x+π6看成整体角，结合余弦函数图象单调性即可判断D项．
本题主要考查了余弦型函数的性质以及函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换，考查了函数思想，属于中档题．
11.【答案】ABC
【解析】解：因为在平面直角坐标系中，O为坐标原点，OA=(1,1)，OB=(−2,2)，点C(x,y)，
∴BA=OA−OB=(1,1)−(−2,2)=(3,−1)，故A正确；
由OACB是平行四边形，可得OC=OA+OB=(1,1)+(−2,2)=(−1,3)，故x=−1，y=3，B正确；
因为C是重心，所以CO+CA+CB=0，解得x=−13，y=1，故C正确；
因为|OB|= (−2)2+22=2 2，|OC|=5，〈OB,OC〉=135°，
故向量OB在OC上的投影向量为|OB|cs135°⋅OC|OC|=2 2×(− 22)×OC5=−25OC，故D错误，
故选：ABC．
直接根据已知条件结合数量积依次判断四个选项即可．
本题考查了数量积的运算性质、考查向量的模长计算，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
12.【答案】(1213,−513)
【解析】解：点A(2,3)，B(14,−2)，则向量AB=(12,−5)．
|AB|= 122+(−5)2=13．
与向量AB同方向的单位向量：AB|AB|=(1213,−513)．
故答案为：(1213,−513)．
求出向量的模，然后求解单位向量．
本题主要考查向量的模，以及单位向量的定义，属于基础题．
13.【答案】−43
【解析】解：因为sinα+csαsinα−csα=3，等式左边分子、分母同时除以csα得，tanα+1tanα−1=3，解得tanα=2，
所以tan2α=2tanα1−tan2α=2×21−22=−43．
故答案为：−43．
利用正余弦的齐次式法求得tanα，再利用正切的倍角公式即可得解．
本题主要考查了同角基本关系及二倍角公式的应用，属于基础题．
14.【答案】[−2,6]
【解析】解：以三角形的外接圆圆心为原点建立平面直角坐标系．
设A(2,0)，B(−1, 3)，P(2csθ,2sinθ)．
则PA=(2csθ−2,2sinθ)，PB=(2csθ+1,2sinθ− 3).
∴PA⋅PB=(2csθ−2)(2csθ+1)+2sinθ(2sinθ− 3)
=2−2csθ−2 3sinθ
=2−4sin(θ+π6).
∴−2≤PA⋅PB≤6．
故答案为[−2,6]．
建立坐标系，设P(2csθ,sinθ)，求出PA,PB的坐标，代入数量积公式得到关于θ的三角函数，利用正弦函数的性质得出．
本题考查了平面向量的数量积运算，属于中档题．
15.【答案】解：(1)向量a=(1,−2)，b=(−3,4)，
则a−b=(4,−6)，
∴|a−b|= 42+(−6)2=2 13；
(2)a+b=(−2,2)，∴(a+b)⋅(a−b)=−2×4+2×(−6)=−20，
|a+b|= (−2)2+22=2 2，
∴向量a+b与a−b夹角的余弦值为
cs=(a+b)⋅(a+b)|a+b|×|a−b|=−202 2×2 13=−5 2626．
【解析】(1)根据平面向量的坐标运算求模长即可；
(2)根据平面向量的坐标运算求夹角的余弦值．
本题考查了向量的坐标运算与模长和夹角的计算问题，是基础题．
16.【答案】解：(1)由π4≤α≤π2得π2≤2α≤π，因sin2α=45，则cs2α=− 1−sin22α=− 1−(45)2=−35；
(2)又由π≤β≤3π2知5π4≤α+β≤2π，因cs(α+β)=− 210，
则sin(α+β)=− 1−cs2(α+β)=− 1−(− 210)2=−7 210，
由sin(β−α)=sin[(α+β)−2α]=sin(α+β)cs2α−cs(α+β)sin2α
=−7 210×(−35)−(− 210)×45= 22，
又因π2≤β−α≤5π4，故β−α=3π4．
【解析】(1)由π4≤α≤π2得到π2≤2α≤π，利用同角的三角函数基本关系式即得；
(2)注意到β−α=(α+β)−2α，故只需分别求出cs2α，sin(α+β)的值，利用差角的正弦公式即可求得sin(β−α)的值，利用π2≤β−α≤5π4即可求得角β−α的值．
本题考查了同角三角函数的基本关系，两角差的正弦公式，是基础题．
17.【答案】解：(1)因为a=(−3,2),b=(1,2)，
所以c=a+kb=(−3+k,2+2k)，2a−b=(−7,2)，
因为向量c与2a−b垂直，所以c⋅(2a−b)=0，
即(−3+k)×(−7)+(2+2k)×2=0，
解得k=253；
(2)因为c与a的夹角是锐角，则a⋅c>0且a与c不共线同向，
由a⋅c>0，得−3(−3+k)+2(2+2k)>0，解得k>−13，
由a与c共线，得−3+k−3=2+2k2，解得k=0，此时a与c共线同向，故k≠0，
所以k>−13且k≠0．
即k的范围为{k|k>−13且k≠0}．
【解析】(1)由向量垂直可得其数量积为0，即可得解；
(2)利用向量夹角为锐角其数量积大于零，且两向量不共线同向，即可得解．
本题考查两个向量垂直的充要条件的应用，向量夹角为锐角的充要条件的应用，属于基础题．
18.【答案】解：(1)因为f(x)=sin(2x−π3)+sin(2x+π3)−2 3cs2x+ 3
=sin2xcsπ3−cs2xsinπ3+sin2xcsπ3+cs2xsinπ3−2 3cs2x+ 3
=2sin2xcsπ3− 3(2cs2x+1)=sin2x− 3cs2x=2sin(2x−π3)，
所以f(x)的最小正周期是T=2π2=π，
由−π2+2kπ≤2x−π3≤π2+2kπ,k∈Z，解得−π12+kπ≤x≤5π12+kπ,k∈Z，
所以函数的单调递增区间为[−π12+kπ,5π12+kπ],k∈Z．
(2)当x∈[π12,π2]时，2x−π3∈[−π6,2π3]，
此时sin(2x−π3)∈[−12,1]，可得f(x)∈[−1,2]，
当2x−π3=π2，即x=5π12时，f(x)取得最大值为2；
当2x−π3=−π6，即x=π12时，f(x)取得最小值为−1．
【解析】(1)先利用三角恒等变换化简f(x)，再利用三角函数的性质即可得解；
(2)根据x∈[π12,π2]求2x−π3的取值范围，再利用三角函数的性质即可得解．
本题考查三角恒等变换及化简求值，考查正弦函数的周期性、单调性及最值，考查运算求解能力，属于中档题．
19.【答案】解：(1)若OA平分∠MON时，则∠AOM=π6，
则∠OAM=π−∠AOM2=5π12，
则tan∠OAM=tan5π12=tan(π6+π4)
=tanπ6+tanπ41−tanπ6tanπ4= 33+11− 33= 3+33− 3
=12+6 36=2+ 3．
(2)设∠AOD=θ(0<θ<π3)，
∵OM=2，∴AD=OAsinθ=2sinθ，OD=OAcsθ=2csθ，
∵tan∠BOC=BCOC=ADOC= 3，
∴OC=AD 3=2 3sinθ，
则CD=OD−OC=2csθ−2 3sinθ，
则矩形ABCD面积S=AD⋅CD=2sinθ(2csθ−2 3sinθ)
=4sinθcsθ−4 3sin2θ=2sin2θ−4 3×1−cs2θ2
=2sin2θ−2 3+2 3cs2θ
=2sin2θ+2 33cs2θ−2 33
=4 33( 32sin2θ+12cs2θ)−2 33
=4 33sin(2θ+π6)−2 33，
∵0<θ<π3，∴0<2θ<2π3，
则π6<2θ+π6<5π6，
∴当2θ+π6=π2，即θ=π6时，矩形的面积最大为4 33−2 33=2 33．
【解析】(1)利用等腰三角形求出∠OAM的值，利用两角和差的正切公式进行计算即可．
(2)设∠AOD=θ，根据直角三角形的边角关系，求出矩形的长和高，辅助角公式进行化简求解即可．
本题主要考查三角函数的恒等变换和三角函数最值的求解，利用两角和差的正切公式以及辅助角公式进行转化求解是解决本题的关键，是中档题．

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