2023-2024学年山东省枣庄三中高一（下）质检数学试卷（3月份）（含解析）

这是一份2023-2024学年山东省枣庄三中高一（下）质检数学试卷（3月份）（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.复数z=2+i1−2i，则在复平面内，z对应的点的坐标是( )
A. (1,0)B. (0,1)C. (−53,−43)D. (−43,−53)
2.已知a=(5,4)，b=(3,2)，则与2a−3b平行的单位向量为( )
A. ( 55,2 55)B. ( 55,2 55)或(− 55,−2 55)
C. ( 55,−2 55)或(− 55,2 55)D. (− 55,−2 55)
3.设e为单位向量，|a|=2，当a，e的夹角为π3时，a在e上的投影向量为( )
A. −12eB. eC. 12eD. 32e
4.在△ABC中，若2acsB=c，则该三角形一定是( )
A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等边三角形D. 不能确定
5.不解三角形，下列三角形中有两解的是( )
A. a=2，b=3，B=105°B. a=2，b=3，B=35°
C. a=2，b=3，A=90°D. a=3，b=2，B=35°
6.设单位向量a，b，c，若p=a+b+c，则|p|的取值范围为( )
A. [0,3]B. [0,2]C. [0,1]D. [1,2]
7.若△ABC是边长为1的等边三角形，G是边BC的中点，M为线段AG上任意一点，则BM⋅MG的取值范围是( )
A. [0, 32]B. [0,34]C. [−34,0]D. [− 32, 32]
8.如图，AD是某防汛抗洪大坝的坡面，大坝上有一高为20米的监测塔BD，若某科研小组在坝底A点测得∠BAD=15°，沿着坡面前进40米到达E点，测得∠BED=45°，则大坝的坡角(∠DAC)的余弦值为( )
A. 3−1B. 3−12C. 2−1D. 2−12
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知i为虚数单位，则以下四个说法中正确的是( )
A. i+i2+i3+i4=0B. 复数−2−i的虚部为−i
C. 若复数z为纯虚数，则|z|2=z2D. |z1⋅z2|=|z1||z2|
10.设M是△ABC所在平面内一点，则下列说法正确的是( )
A. 若AM=12AB+12AC，则M是边BC的中点
B. 若AM=2AB−AC，则M在边BC的延长线上
C. 若AM=−BM−CM，则M是△ABC的重心
D. 若AM=13AB+14AC，则△MBC的面积是△ABC面积的12
11.已知锐角△ABC三个内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且∠C=π3，c=2.则下列结论正确的是( )
A. △ABC的面积最大值为2B. AC⋅AB的取值范围为(0,4)
C. bcsA+acsB=2D. csBcsA的取值范围为(0,+∞)
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量a=(2，一3)，b=(1,2)，p=(9,4)，若p=ma+nb，则m+n= ______．
13.在△ABC中，已知BC=7，AC=8，AB=9，则AC边上的中线长为______．
14.如图所示，圆O是△ABC的外接圆，BA=m，BC=4m，∠ABC=60°，若BO=xBA+yBC，则x+y的最大值是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知复数z和它的共轭复数z−满足2z+z−=3+2i．
(Ⅰ)求z；
(Ⅱ)若z是关于x的方程x2+px+q=0(p,q∈R)的一个根，求复数zp+(q−4)i的模．
16.(本小题15分)
已知a=(1,2)，b=(−1,3)，c=(3,−2)．
(1)求向量a与a+2b所成角的余弦值；
(2)若(a+2b)//(b+kc)，求实数k的值．
17.(本小题15分)
如图，在四边形ABCD中，BC/​/AD，BC=1，AD=3，△ABC为等边三角形，E是CD的中点.设AB=a，AD=b．
(1)用a，b表示AC，AE；
(2)求∠BAE的余弦值．
18.(本小题17分)
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c， 3c+bsinA= 3acsB．
(1)求A；
(2)若点D是BC上的点，AD平分∠BAC，且AD=2，求△ABC面积的最小值．
19.(本小题17分)
△ABC中，a，b，c是角A，B，C所对的边，已知ab=sinAsinA+C2，且a=1．
(1)若△ABC的外接圆半径为2，求△ABC的面积；
(2)若b=1，在△ABC的边AB，AC上分别取D，E两点，使△ADE沿线段DE折叠到平面BCE后，顶点A正好落在边BC上，求此情况下AD的最小值．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．
利用复数代数形式的乘除运算化简即可得z对应的点的坐标，则答案可求．
【解答】
解：由z=2+i1−2i=(2+i)(1+2i)(1−2i)(1+2i)=5i+2+2i25=i；
则在复平面内，z对应的点的坐标是：(0,1)．
故选：B．
2.【答案】B
【解析】【分析】
本题着重考查了向量的坐标运算、向量模的公式和单位向量等知识，属于基础题．
先求出2a−3b的模，再利用平行的单位向量公式加以计算，可得所求的单位向量的坐标．
【解答】
解：∵a=(5,4)，b=(3,2)，
∴2a−3b=(1,2)，
∴|2a−3b|= 12+22= 5，
则与2a−3b平行的单位向量为±1|2a−3b|⋅(2a−3b)=± 55(1,2)，
化简得，( 55,2 55)或(− 55,−2 55)．
故选：B．
3.【答案】B
【解析】解：由题意可知：a⋅e=2×1×12=1，
则a在e上的投影向量为a⋅e|e|e|e|=e，
故选：B．
由平面向量数量积运算，结合投影向量的概念求解即可．
本题考查了平面向量数量积运算，重点考查了投影向量的概念，属基础题．
4.【答案】A
【解析】解：△ABC中，2acsB=c，
由正弦定理得2sinAcsB=sinC=sin(A+B)=sinAcsB+sinBcsA，
所以sinAcsB−sinBcsA=0，
即sin(A−B)=0，
所以A=B，
所以该三角形为等腰三角形．
故选：A．
由已知结合正弦定理，诱导公式及和差角公式进行化简即可求解．
本题主要考查了正弦定理，诱导公式及和差角公式在三角形形状判断中的应用，属于基础题．
5.【答案】D
【解析】解：对选项A，a