2023-2024学年广东省佛山市高明一中高一（下）第一次月考数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年广东省佛山市高明一中高一（下）第一次月考数学试卷（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.若角θ的终边经过点P(1,3)，则sinθcsθ+cs2θ=( )
A. −65B. −25C. 25D. 65
2.已知函数y=2sin2x先向左平移φ(φ>0)个单位后其图像关于x=π12对称，则φ的最小值为( )
A. π12B. π6C. π4D. π3
3.已知sin(θ+π12)=13，且θ为钝角，则cs(θ+π3)的值是( )
A. 4+ 26B. −1− 52C. 1− 52D. −4+ 26
4.下列命题正确的有( )
A. 若a//b，b/​/c，则a/​/c
B. 向量AB与向量CD是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上
C. AB−BD+BO−CB+OD=AC
D. 满足|AB+AD|=|AB−AD|的四边形ABCD是正方形
5. 在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则EB=( )
A. 34AB−14ACB. 14AB−34ACC. 34AB+14ACD. 14AB+34AC
6.已知点G是边长为2的正三角形ABC的重心，则AG⋅AB=( )
A. 1B. 3C. 2D. 2 3
7.已知|a|= 2，且a⋅b=−2，则向量b在向量a上的投影向量为( )
A. 12aB. 12bC. −aD. −b
8.在正方形ABCD中，动点E从点B出发，经过C，D，到达A，AE=λAB+μAC，则λ+μ的取值范围是( )
A. [−1,1]B. [0,1]C. [−1,2]D. [0,2]
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知平面向量a=(2,−3)，b=(−1,λ)，且a，b的夹角是钝角，则λ可以是( )
A. −1B. 12C. 32D. 2
10.已知平面向量a−=(1,1)，b−=(−3,4)，则下列说法正确的是( )
A. cs〈a,b〉= 210
B. b在a方向上的投影向量为 22a
C. 与b共线的单位向量的坐标为(−35,45)
D. 若向量a+λb−与向量a−−λb共线，则λ=0
11.如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则这些函数为“互为生成函数”.下列函数中，与f(x)=sinx+csx构成“互为生成函数”的有( )
A. f1(x)= 2sinx+ 2B. f2(x)= 2(sinx+csx)
C. f3(x)=sinxD. f4(x)=2csx2(sinx2+csx2)
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知平面向量a=(0,1),b=(−1,1)，则向量a在向量b上的投影向量是______．
13.将函数f(x)=2sin(ωx+π6)(ω>0)的图象向右平移π6个单位长度后，所得图象与函数f(x)的图象重合，则ω的最小值为______．
14.如图，在四边形ABCD中，AB//CD,AB=3,CD=2,AD= 3,∠BAD=90°.若P为线段AB上一动点，则CP⋅DP的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题15分)
已知向量a,b满足|a|=4,b=(1,2)．
(1)若a//b，求向量a的坐标；
(2)若(a+b)⊥b，求向量a与向量b夹角的余弦值．
16.(本小题15分)
已知O为坐标原点，对于函数f(x)=asinx+bcsx，称向量OM=(a,b)为函数f(x)的伴随向量，同时称函数f(x)为向量OM的伴随函数．
(ⅰ)设函数g(x)=2sin(x+π)+ 5sin(x+32π)，试求函数g(x)的伴随向量；
(ⅱ)记向量ON=(1, 3)的伴随函数为f(x)，求当f(x)=65且x∈(−π3,π6)时csx的值．
17.(本小题15分)
如图，扇形钢板POQ的半径为1m，圆心角为60°.现要从中截取一块四边形钢板ABCO.其中顶点B在扇形POQ的弧PQ上，A，C分别在半径OP，OQ上，且AB⊥OP，BC⊥OQ．
(1)设∠AOB=θ，试用θ表示截取的四边形钢板ABCO的面积S(θ)，并指出θ的取值范围；
(2)求当θ为何值时，截取的四边形钢板ABCO的面积最大．
18.(本小题15分)
已知|a|=4,|b|=2，且a与b的夹角为120°，求：
(1)|2a−b|；
(2)a与a+b的夹角；
(3)若向量2a+λb与λa−3b垂直，求实数λ的值．
19.(本小题17分)
如图，E，F分别是矩形ABCD的边CD和BC的中点，H是线段EF上的一动点．
(1)若CH=λCE+μCF，求：λ+μ的值(要有计算过程)；
(2)设AE=a,AF=b，试用a，b表示AC；
(3)若AB=2，BC=1，H是线段EF上的中点，求AH⋅HB的值．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：角θ的终边经过点P(1,3)，则tanθ=3，
故有sinθcsθ+cs2θ=sinθcsθ+cs2θsin2θ+cs2θ=tanθ+1tan2θ+1=49+1=25．
故选：C．
由题意，利用任意角的三角函数的定义，求出tanθ值，再根据同角三角函数的基本关系求出sinθcsθ+cs2θ的值．
本题主要考查任意角的三角函数的定义、同角三角函数的基本关系，属于基础题．
2.【答案】B
【解析】解：函数y=2sin2x向左平移φ个单位后得到y=2sin2(x+φ)的图像，
由于图像关于x=π12对称，故2(π12+φ)=π2+kπ,k∈Z，
即φ=π6+12kπ,k∈Z，由于φ>0，故φ的最小值为π6．
故选：B．
根据三角函数图像的平移变换规律，结合正弦函数的性质，即可求得答案．
本题考查的知识点：函数的图象的平移变换，正弦型函数的性质，主要考查学生的运算能力，属于基础题．
3.【答案】D
【解析】解：因为θ∈(π2,π)，所以θ+π12∈(7π12,13π12)，
又因为sin(θ+π12)=13>0，所以θ+π12∈(7π12,π)
所以cs(θ+π12)=−2 23，
所以cs(θ+π3)=cs((θ+π12)+π4)=cs(θ+π12)csπ4−sin(θ+π12)sinπ4
即cs(θ+π3)=(−2 23)× 22−13× 22=− 2+46
故选：D．
根据同角关系可得cs(θ+π12)=−2 23，即可由余弦的和差角公式求解．
本题主要考查了和差角公式及同角基本关系的应用，属于基础题．
4.【答案】C
【解析】解：对选项A，当b=0时，a与c不一定平行，故选项A错误；
对选项B，因为共线向量的基线平行或重合，故选项B错误；
对选项C，因为AB−BD+BO−CB+OD=AC，所以选项C正确；
对选项D，因为|AB+AD|=|AB−AD|，
所以AB2+AD2+2AB⋅AD=AB2+AD2−2AB⋅AD，
整理可得AB⋅AD=0，即∠A为直角，但是四边形ABCD不一定是正方形，故选项D错误．
故选：C．
利用0与任意向量共线判断A，利用共线向量的基线平行或重合判断B，利用向量的线性运算法则判断C，利用平行四边形法则判断D．
本题主要考查向量共线的性质，以及向量的运算，属于基础题．
5.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查平面向量的运算，以及平面向量基本定理，属于较易题．
根据向量的加法运算法则运算即可得解．
【解答】
解：如图，
BE=12BA+12BD=12BA+14BC=12BA+14(BA+AC)
=12BA+14BA+14AC=34BA+14AC，
所以EB=34AB−14AC．
故选A．
6.【答案】C
【解析】解：如图所示，
以线段BC的中点O为坐标原点，以线段BC所在的直线为x轴，线段BC的垂直的平分线为y轴，建立平面直角坐标系，
因为△ABC的边长为2，可得A(0, 3),B(−1,0),C(1,0)，
又因为G为△ABC的重心，可得G(0, 33)，所以AG=(0,−2 33),AB=(−1,− 3)，
则AG⋅AB=0×(−1)+(−2 33)×(− 3)=2．
故选：C．
以线段BC的中点O为坐标原点，建立平面直角坐标系，根据题意求得AG,AB的坐标，结合向量的数量积的坐标运算公式，即可求解．
本题主要考查平面向量的数量积运算，属于基础题．
7.【答案】C
【解析】解：因为向量b在向量a上的投影向量为：a⋅b|a|⋅a|a|=−2 2⋅a 2=−a．
故选：C．
根据向量在向量上的投影公式进行计算即可．
本题主要考查投影向量的公式，属于基础题．
8.【答案】B
【解析】解：以B为坐标原点，AB，BC所在直线分别为x轴，y轴，建立平面直角坐标系，
设AB=1，则B(0,0)，A(1,0)，C(0,1)，D(1,1)，
当点E在BC上时，设E(0,m)，m∈[0,1]，
则(−1,m)=λ(−1,0)+μ(−1,1)，即−λ−μ=−1m=μ，故λ+μ=1，
当点E在CD上时，设E(t,1)，t∈[0,1]，
则(t−1,1)=λ(−1,0)+μ(−1,1)，即−λ−μ=t−1μ=1，解得λ=−tμ=1，
故λ+μ=1−t∈[0,1]，
当点E在AD上时，设E(1,u)，u∈[0,1]，
则(0,u)=λ(−1,0)+μ(−1,1)，即−λ−μ=0μ=u，故λ+μ=0，
综上，λ+μ的取值范围是λ+μ∈[0,1]．
故选：B．
建立平面直角坐标系，写成点的坐标，分点E在BC，CD，AD三种情况，求出λ+μ的取值范围．
本题考查平面向量的基本定理，属于中档题．
9.【答案】BD
【解析】【分析】
本题考查向量数量积的计算，涉及向量的坐标计算，属于基础题．
根据题意，分析可得a⋅b