2023-2024学年云南省玉溪一中高二（下）第一次月考数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年云南省玉溪一中高二（下）第一次月考数学试卷（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知f′(x)是f(x)的导数，p：f′(x0)=0，q：f(x)在x=x0处取到极值，则p是q的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
2.已知集合A={x|x=2n,n∈N*}，B={x|x=2n,n∈N*}，则( )
A. A⊆BB. B⊆AC. A∩B=⌀D. A=B
3.下列求导运算正确的是( )
A. (sinx)′=−csxB. (−ex)′=exC. (ln1x)′=−1xD. (2x)′=2x
4.已知{an}为等比数列，若a4=2，a8=6，则a6=( )
A. 4B. 2 3C. −2 3D. −4
5.设a=lg20.8，b=0.82，c=20.8，则a，b，c大小关系正确的是( )
A. a6.抛物线y=x2的焦点坐标为( )
A. (12,0)B. (0,12)C. (14,0)D. (0,14)
7.已知向量a=(−1,m,2)，向量b=(3,1,n)，满足a/​/b，则m+n=( )
A. 196B. −196C. 193D. −193
8.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，直线y= 3x与C相交于A，B两点，若四边形AF1BF2是矩形，则双曲线C的离心率e=( )
A. 2B. 3C. 2+1D. 3+1
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，D，G，E分别为所在棱的中点，AB=4AF，三棱柱ABC−A1B1C1挖去两个三棱锥A−EFG，B1−BC1D后所得的几何体记为Ω，则( )
A. Ω有7个面
B. Ω有13条棱
C. Ω有7个顶点
D. 平面BC1D//平面EFG
10.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，S6S8，则( )
A. 在数列{an}中，a1最大B. 在数列{an}中，a3或a4最大
C. S3=S10D. 当n≥8时，an<0
11.如图，以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复上述操作(其中∠1=∠2=∠3)，得到四个小正方形A，B，C，D，记它们的面积分别为SA，SB，SC，SD，则以下结论正确的是( )
A. SA+SD=SB+SC
B. SA⋅SD=SB⋅SC
C. SA+SD≥2SB
D. SD+SA<2SC
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若直线xa+yb=1(a>0,b>0)过点(1,2)，则2a+b的最小值为________．
13.已知sinα=35，α∈(π2,π)，tan(π−β)=12，则tan(α−β)的值为 ．
14.已知函数f(x)=ex,x>0−2x2−4x+1,x≤0，若函数g(x)=f(x)+kx恰好有两个零点，则实数k等于______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知在△ABC中，三边a，b，c所对的角分别为A，B，C，已知a(csA+csBcsC)= 3bsinAcsC．
(1)求C；
(2)若a=2，△ABC外接圆的直径为4，求△ABC的面积．
16.(本小题15分)
在圆锥PO中，高PO=2，母线PA=4，B为底面圆O上异于A的任意一点．
(1)若OA⊥OB，过底面圆心O作△PAB所在平面的垂线，垂足为H，求证：PA⊥平面OHB；
(2)若∠AOB=π3，求二面角B−PA−O的余弦值．
17.(本小题15分)
已知Sn是等差数列{an}的前n项和，且a2=3，S5=25．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若对任意n∈N*,m≥a131+a232+…+an3n，求m的最小整数值．
18.(本小题17分)
已知函数f(x)=ax−lnx−1，a∈R．
(1)讨论函数f(x)的单调区间；
(2)当a=1时，设g(x)=exf(x)+ex+mx(m∈R)，若g(x)≥0恒成立，求m的取值范围．
19.(本小题17分)
已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F(1,0)，且经过点B( 2, 62)，过点F且不与x轴重合的直线l交椭圆C于P，Q两点．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设椭圆C的左顶点为A，直线AP，AQ和直线x=3分别交于点M，N，记直线MF，NF的斜率分别为k1，k2，求证：k1⋅k2为定值．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：依题意f(x)在R内连续可导，且f′(x)是f(x)的导数，f′(x0)=0，则x=x0不一定是极值点，需保证x0两侧导数异号关系才能成为极值点，
而f(x)在x=x0处取到极值，则f′(x0)=0，
所以p是q的必要不充分条件．
故选：B．
根据极值点的知识确定充分、必要条件．
本题考查了函数的极值点的问题以及充分必要条件的判定，属于基础题．
2.【答案】A
【解析】解：集合A={x|x=2n,n∈N*}={2,4,8,16,…}，
B={x|x=2n,n∈N*}={2,4,6,8,10,12,14,16,…}，
所以A⊆B．
故选：A．
根据两个集合中元素的特征，即可判断两集合之间的关系．
本题考查了两个集合之间的关系应用问题，是基础题．
3.【答案】C
【解析】解：A选项：(sinx)′=csx，故A选项错误；
B选项：(−ex)′=−ex，故B选项错误；
C选项：(ln1x)′=11x⋅(−1x2)=−1x，故C选项正确；
D选项：(2x)′=2xln2，故D选项错误；
故选：C．
本直接利用求导公式计算即可．
本题主要考查利用求导公式对函数求导，属于基础题．
4.【答案】B
【解析】可“”：∵a4=2，a8=6，
∴a62=a4⋅a8=2×6=12，
∵a52=a4⋅a6>0，
∴a6>0，
∴a6=2 3．
故选：B．
由等比中项的性质求解即可．
本题考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
5.【答案】A
【解析】【分析】
考查指数函数和对数函数的单调性，以及增函数的定义．
容易得出lg20.8<0,0<0．82<1,20.8>1，从而可得出a，b，c的大小关系．
【解答】
解：lg20.820=1；
∴a故选：A．
6.【答案】D
【解析】解：∵抛物线y=x2的标准形式是x2=y，
∴抛物线焦点在y轴上，开口向上，可得2p=1，p2=14
因此，抛物线的焦点坐标为：(0,14)
故选D
该抛物线的方程是x2=2py(p>0)的形式，由此不难得到2p=1，p2=14，所以抛物线的焦点坐标为：(0,14).
本题给出抛物线的标准方程，求它的焦点坐标，着重考查了抛物线的标准方程与简单性质，属于基础题．
7.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查空间向量平行的判断，涉及空间向量的坐标表示，属于基础题．
根据题意，设a=kb，有−1=3km=k2=kn，求出m、n的值，计算可得答案．
【解答】
解：向量a=(−1,m,2)，向量b=(3,1,n)，
若a/​/b，设a=kb，k∈R，
则有−1=3km=k2=kn，则k=−13，则有m=−13，n=−6，
则m+n=−13−6=−193，
故选：D．
8.【答案】D
【解析】【分析】
由已知可得，|AB|=2c，联立直线方程与双曲线方程，求得A的坐标，再由两点间的距离公式列式求解．
本题考查双曲线的几何性质，考查运算求解能力，是中档题．
【解答】
解：如图，
∵四边形AF1BF2是矩形，∴|AB|=|F1F2|=2c，则AO=c，
联立y= 3xx2a2−y2b2=1，解得xA=ab b2−3a2，yA= 3ab b2−3a2，
∴(ab b2−3a2)2+( 3ab b2−3a2)2=c2，整理得c4−8a2c2+4a4=0，
即e4−8e2+4=0，又e>1，解得e2=4+2 3，即e= 3+1．
故选：D．
9.【答案】ABD
【解析】解：对于A，由图可知，Ω有面BCGF，面EFG，面BDC1，面BCC1，面BFEA1D，
面DEA1C1C，面A1C1D共7个，故A正确；
对于C，Ω有顶点B，C，G，F，E，A1，C1，D共8个，故C错误；
对于B，Ω有棱BF，FG，GC，CB，FE，EG，BD，DC1，BC1，CC1，DA1，C1A1，EA1，共13条棱，故B正确；
对于D，取AB中点H，连接CH，A1H，则可得A1H//BD，CH//C1D，
因为AB=4AF，则F为AH中点，且E为AA1中点，
则EF//A1H，即EF//BD，且EF⊄平面BDC1，BD⊂平面BDC1，
所以EF/​/平面BDC1，
又G为AC中点，所以FG//CH//C1D，且FG⊄平面BDC1，
C1D⊂平面BDC1，所以FG//平面BDC1，
且EF∩FG=F，EF，FG⊂平面EFG，所以平面BC1D//平面EFG，故D正确．
故选：ABD．
根据几何体的结构特征以及面面平行的判定定理即可得解．
本题考查空间几何体的结构特征，属于中档题．
10.【答案】AD
【解析】解：{an}为等差数列，
∵S6S8，
∴S7−S6=a7>0，S8−S7=a8<0，a7>a8，
∴{an}是递减等差数列，a1最大，故AD正确，B错误，
S10−S3=a10+a9+a8+a7+a6+a5+a4=7a7>0，
则S10≠S3，故C错误．
故选：AD．
根据已知条件，推出a7>0，a8<0，即可求出ABD，再结合S10−S3>0，即可求解．
本题主要考查等差数列的前n项和，属于基础题．
11.【答案】BC
【解析】解：设∠1=∠2=∠3=α，最大正方形的边长为1，
设小正方形A，B，C，D的边长分别为a，b，c，d，
由图可知a=cs2α，b=sinαcsα，c=sinαcsα，d=sin2α，
由正方形的面积公式可得SA+SD=sin4α+cs4α≥2sin2αcs2α，SB=SC=sin2αcs2α，即SA+SD≥2SB，故C正确；
又∵SASD=sin4αsin4α,SBSC=sin4αsin4α，∴SASD=SBSC，故B正确，
故选：BC．
设∠1=∠2=∠3=α，最大正方形的边长为1，所以a=cs2α，b=sinαcsα，c=sinαcsα，d=sin2α，再利用三角函数恒等变形化简求解即可．
本题主要考查了三角函数的恒等变形，属于基础题．
12.【答案】8
【解析】【分析】
本题考查基本不等式的应用，考查“1”代换，考查计算能力，属于中档题．
将(1,2)代入直线方程，求得1a+2b=1，利用“1”代换，根据基本不等式的性质，即可求得2a+b的最小值．
【解答】
解：直线xa+yb=1(a>0,b>0)过点(1,2)，
则1a+2b=1，
由2a+b=(2a+b)×(1a+2b)
=2+4ab+ba+2=4+4ab+ba
≥4+2 4ab×ba=4+4=8，
当且仅当4ab=ba，即a=2，b=4时，取等号，
∴2a+b的最小值为8，
故答案为8．
13.【答案】−211
【解析】解：∵sinα=35，α∈(π2,π)，∴csα=− 1−sin2α=−45，∴tanα=sinαcsα=−34，
∵tan(π−β)=12=−tanβ，∴tanβ=−12，
则tan(α−β)=tanα−tanβ1+tanα⋅tanβ=−34+121−38=−211，
故答案为：−211．
由题意利用同角三角函数的基本关系式、诱导公式，求得tanα、tanβ的值，再利用两角差的正切公式，计算求得结果．
本题主要考查同角三角函数的基本关系式、诱导公式的应用，两角差的正切公式，属于基础题．
14.【答案】−e
【解析】解：因为f(x)=ex,x>0−2x2−4x+1,x≤0，则f(0)=1，
对于函数g(x)=f(x)+kx，
所以g(0)=f(0)=1，显然0不是函数g(x)=f(x)+kx的零点，
当x≠0时函数g(x)=f(x)+kx恰好有两个零点，
所以方程f(x)x=−k(x≠0)有两个根，
令h(x)=f(x)x(x≠0)，
则函数h(x)=f(x)x(x≠0)与函数y=−k的图象有两个交点，
当x>0时，h(x)=exx，则h′(x)=ex(x−1)x2，
所以当x>1时，h′(x)>0，函数h(x)=exx在(1,+∞)上为增函数，
当0当x<0时，h(x)=−2x−4+1x，函数h(x)=−2x−4+1x在(−∞,0)上为减函数，
由此可得函数h(x)的图象如下：
当−k=e即k=−e时，函数h(x)=f(x)x(x≠0)与函数y=−k的图象恰有两个交点，
所以k=−e．
故答案为：−e．
首先判断0是否为函数的零点，从而得到方程f(x)x=−k(x≠0)有两个根，令h(x)=f(x)x(x≠0)，问题转化为函数h(x)=f(x)x(x≠0)与函数y=−k的图象有两个交点，利用导数说明h(x)在(0,+∞)上的单调性，即可得到h(x)的图象，再数形结合即可得解．
本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和最值，考查了函数的零点与方程根的关系，以及数形结合的数学思想，属于中档题．
15.【答案】解：(1)因为a(csA+csBcsC)= 3bsinAcsC，
由正弦定理得，sinA(csA+csBcsC)= 3sinBsinAcsC，
因为A∈(0,π)，sinA≠0，
所以csA+csBcsC= 3sinBcsC，
因为csA=−cs(B+C)=sinBsinC−csBcsC，
所以sinBsinC= 3sinBcsC，
又sinB≠0，
则tanC= 3，
因为C∈(0,π)，
所以C=π3；
(2)由正弦定理，csinC=4，
则c=4sinC=2 3，
由余弦定理，csC=a2+b2−c22ab=12，
解得b=4或b=−2(舍去)，
故△ABC的面积S=12absinC=2 3．
【解析】(1)由正弦定理化边为角，利用三角形中三内角的三角函数关系消去角A，解三角方程即得；
(2)由正弦定理求得边c，再由余弦定理求出边b，利用面积公式即得．
本题主要考查了正弦定理，余弦定理以及三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
16.【答案】解：(1)证明：因为PO为圆锥的高，所以OP⊥平面AOB，
又OB⊂平面AOB，所以PO⊥OB，
又OA⊥OB，PO∩OA=O，OP，OA⊂平面POA，所以OB⊥平面POA，
因为PA⊂平面POA，所以OB⊥PA，
因为OH⊥平面PAB，又PA⊂平面PAB，所以OH⊥PA，
又因为OH∩OB=O，OH，OB⊂平面OHB，所以PA⊥平面OHB；
(2)如图，以O原点，建立空间直角坐标系，

得O(0,0,0),A(2 3,0,0),B( 3,3,0),P(0,0,2)，
所以AP=(−2 3,0,2),PB=( 3,3,−2),OP=(0,0,2),OB=( 3,3,0)．
设平面PAB的一个法向量为n=(x1,y1,z1)，
则AP⋅n=−2 3x1+2z1=0PB⋅n= 3x1+3y1−2z1=0，则可取n=( 3,1,3)，
因为y轴垂直平面POA，
则可取平面POA的一个法向量为m=(0,1,0)，
则cs=n⋅m|n|⋅|m|=1 13×1= 1313，
故所求二面角B−PA−O的余弦值为 1313．
【解析】(1)先根据线面垂直的性质证明PO⊥OB，再证明OB⊥平面POA，可得OB⊥PA，根据OH⊥平面PAB，可得OH⊥PA，再根据线面垂直的判定定理即可得证；
(2)以O原点，建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可．
本题考查线面垂直的判定与性质、二面角的余弦值等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
17.【答案】解：(1)因为a2=3，S5=25，
设等差数列{an}的公差为d，
所以a1+d=35a1+10d=25，解得a1=1d=2，
所以an=2n−1；
(2)因为an=2n−1，所以an3n=2n−13n，
令Tn=a131+a232+⋅⋅⋅+an3n=13+332+533+⋅⋅⋅+2n−13n，
所以13Tn=132+333+534+⋅⋅⋅+2n−13n+1，
两式相减得23Tn=13+232+⋅⋅⋅+23n−2n−13n+1=23[1−(13)n]1−13−13−2n−13n+1=23−2n+23n+1，
所以Tn=1−n+13n．
因为n+13n>0，所以Tn<1，
所以m≥1，故m的最小整数值为1．
【解析】(1)根据等差数列的通项公式及求和公式列出方程组求解即可；
(2)根据错位相减法求出和，即可得解．
本题主要考查了等差数列的通项公式的应用，错位相减求和，还考查了由不等式恒成立求解参数范围，属于中档题．
18.【答案】解：(1)f(x)定义域为(0,+∞)，f′(x)=a−1x=ax−1x，
①当a≤0时，f′(x)≤0恒成立，f(x)在(0,+∞)上单调递减，
②当a>0时，
综上所述，当a≤0时，f(x)的单调递减区间为(0,+∞)，
当a>0时，f(x)的单调递增区间为(1a,+∞)，f(x)的单调递减区间为(0,1a)．
(2)g(x)=ex(x−lnx−1)+ex+mx=ex(x−lnx)+mx≥0恒成立，
所以m≥ex(lnx−x)x恒成立，设h(x)=ex(lnx−x)x，
则h′(x)=ex(lnx−x+1x−1)x−ex(lnx−x)x2=ex(x−1)(lnx−x−1)x2，
设t(x)=lnx−x−1，则t′(x)=1x−1=1−xx，
当00，t(x)递增，当x>1时，t′(x)<0，t(x)递减，
所以t(x)max=t(1)=−2<0，所以当x>0时，lnx−x−1<0恒成立，
当00，h(x)递增，当x>1时，h′(x)<0，h(x)递减，
所以h(x)max=h(1)=−e，
由m≥ex(lnx−x)x恒成立得m≥−e，
所以m的取值范围为[−e,+∞)．
【解析】(1)根据题意，求导可得f′(x)，然后分a≤0与a>0讨论，即可得到结果；
(2)根据题意，分离参数，然后构造函数h(x)=ex(lnx−x)x，求导可得h′(x)，转化为最值问题，即可得到结果．
本题考查了导数与单调性关系的应用，还考查了由不等式恒成立求参数范围，体现了转化思想的应用，属于中档题．
19.【答案】解：(1)因为椭圆C的右焦点为F(1,0)，
所以c=1，
又椭圆C经过点B( 2, 62)，
所以a2=b2+12a2+64b2=1，
解得a2=4b2=3，
则椭圆C的标准方程为x24+y23=1；
(2)证明：由(1)知A(−2,0)，F(1,0)，
不妨设直线PQ的方程为x=my+1，P(x1,y1)，Q(x2,y2)，
联立x=my+13x2+4y2=12，消去x并整理得(3m2+4)y2+6my−9=0，
此时Δ=36×4(m2+1)>0，
由韦达定理得y1+y2=−6m3m2+4,y1y2=−93m2+4，
易知直线AP的方程为y=y1x1+2(x+2)，
令x=3，
解得y=5y1x1+2，
同理得N(3,5y2x2+2)，
则k1⋅k2=5y12(x1+2)⋅5y22(x2+2)=25y1y24(my1+3)(my2+3)=25y1y24[m2y1y2+3m(y1+y2)+9]
=−93m2+4×254(m2⋅−93m2+4+3m⋅−6m3m2+4+9)=−9×254(−27m2+27m2+36)=−2516．
故k1⋅k2为定值，定值为−2516．

【解析】(1)由题意，根据椭圆的几何性质和将已知点代入列出方程组求出，即可得出椭圆的方程；
(2)设出直线PQ的方程并与椭圆方程联立，化简写出根与系数关系，由此化简k1⋅k2，从而证得结论成立．
本题考查椭圆的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题．x
(0,1a)
1a
(1a,+∞)
f′(x)
−
0
+
f(x)
单调递减
极小值
单调递增