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2024年甘肃省陇南市康县部分学校中考数学一模试卷（含解析）
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这是一份2024年甘肃省陇南市康县部分学校中考数学一模试卷（含解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.6的算术平方根是( )
A. 6B. −6C. 6D. ± 6
2.直角坐标系中，与点M(2,−3)关于y轴对称的点是( )
A. (2,3)B. (−2,−3)C. (−2,3)D. (−3,2)
3.下列计算正确的是( )
A. 7+ 3= 10B. 7× 3= 21
C. 52−32=5−3D. (−3)2=−3
4.不等式x−1>2x的解集在数轴上表示正确的是( )
A. B.
C. D.
5.如图，菱形ABCD中，AC交BD于点O，DE⊥BC于点E，连接OE，若∠ABC=140°，则∠OED=( )
A. 20°
B. 30°
C. 40°
D. 50°
6.如图，AD，相交BC于点O，且△AOB～△DOC，点A的对应点为点D，若∠A=30°，∠COD=100°，则∠C的度数为( )
A. 20°
B. 30°
C. 40°
D. 50°
7.小刚家2019年和2020年的家庭支出如图，已知2020年的总支出比2019年的总支出增加了2成，则下列说法正确的是( )
A. 2020年教育方面的支出是2019年教育方面的支出的 1.4 倍
B. 2020年衣食方面的支出比2019年衣食方面的支出增加了10%
C. 2020年总支出比2019年总支出增加了2%
D. 2020年其他方面的支出与2019年娱乐方面的支出相同
8.如图，点A，B，C在⊙O上，⊙O半径为50mm，弦AB长为50mm，则∠ACB的大小为( )
A. 60°
B. 40°
C. 30°
D. 20°
9.在学习了圆后，数学兴趣小组的同学开始了对正五边形拼接的图案设计，小明将有公共顶点O的两个边长为4的正五边形(不重叠)，以点O为圆心，4为半径作弧，构成一个“盛装芭蕾”形图案(阴影部分)，则这个“盛装芭蕾”形图案的面积为( )
A. 245πB. 285πC. 325πD. 365π
10.如图1，四边形ABCD中，AB//CD，∠B=90°，AC=AD.动点P从点B出发沿折线B→A→D→C方向以1单位/秒的速度匀速运动，在整个运动过程中，△BCP的面积S与运动时间t(秒)的函数图象如图2所示，则AC等于( )
A. 5B. 34C. 8D. 2 3
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.计算：(2x)2⋅x3=______．
12.分解因式：5x2−45= ______．
13.一批零件超过规定长度记为正数，短于规定长度记为负数，越接近规定长度质量越好.检查其中四个结果如下：①0.13mm；②−0.12mm；③−0.15mm；④0.11mm.则质量最好的零件为______(填序号即可)．
14.如图，AB是⊙O的直径，AD=CD，∠COB=40°，则∠A的度数是______°.
15.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，D是AB上一点，DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，边接EF，则EF的最小值为______cm．
16.如图，在△ABC中，AH⊥BC于H，正方形DEFG内接于△ABC，点D、E分别在边AB、AC，点G、F在边BC上.如果BC=20，那么AH=12，正方形DEFG的面积为______．
三、解答题：本题共11小题，共96分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题6分)
计算： 4+2sin45°−(π−3)0+| 2−2|．
18.(本小题6分)
计算：x+1x−1−x2−2xx2−1÷x2−x−2x2+2x+1．
19.(本小题6分)
解方程：x2−14x+21=0．
20.(本小题8分)
如图，AD是△ABC的角平分线．
(1)作线段AD的垂直平分线EF，分别交AB、AC于点E、F；(用直尺和圆规作图，标明字母，保留作图痕迹，不写作法.)
(2)连接DE、DF，求证：四边形AEDF是菱形．
21.(本小题10分)
安全问题一直以来都是大家特别关注的问题，为了进一步增强中学生的安全意识，珍惜自己的生命，提高自我保护能力，某校开展了以“安全”为主题的英语演讲比赛，参加此次比赛的晶晶和叶叶都想第一个出场，主持人拿出了五张背面完全相同的卡片，卡片正面分别写上−2、−1、0、1、2，将卡片背面朝上洗匀后，晶晶先从中随机抽取一张，不放回，叶叶再从剩下的4张卡片中随机抽取一张，若两人所抽取的卡片上数字之积为负数，则晶晶第一个出场；否则，叶叶第一个出场．
(1)晶晶抽到的卡片正面上的数字为0的概率为______；
(2)请用列表法或画树状图的方法判断，这种安排对晶晶和叶叶是否公平．
22.(本小题10分)
每年的11月9日是我国的“全国消防安全教育宣传日”，为了提升全民防灾减灾意识，某消防大队进行了消防演习．如图1，架在消防车上的云梯AB可伸缩(最长可伸至20m)，且可绕点B转动，其底部B离地面的距离BC为2m，当云梯顶端A在建筑物EF所在直线上时，底部B到EF的距离BD为9m．
(1)若∠ABD=53°，求此时云梯AB的长．
(2)如图2，若在建筑物底部E的正上方19m处突发险情，请问在该消防车不移动位置的前提下，云梯能否伸到险情处？请说明理由．
(参考数据：sin53°≈0.8，cs53°≈0.6，tan53°≈1.3)
23.(本小题8分)
“天宫课堂”第三课在中国空间站的问天实验舱开讲，“太空教师”陈冬、刘洋、蔡旭哲为广大青少年带来一场精彩的太空科普课.为了激发学生的航天兴趣，弘扬科学精神，某校七年级共800名学生参加了以“格物致知，叩问苍穹“为主题的太空科普知识竞赛.为了解七年级学生的科普知识掌握情况，调查小组从七年级共选取50名学生的竞赛成绩(百分制，成绩取整数)作为样本，进行了抽样调查，下面是对样本数据进行了整理和描述后得到的部分信息：
a.50名学生竞赛成绩的频数分布表：
b.50名学生的竞赛成绩的频数分布直方图：
c.竞赛成绩在80≤x<90这一组的成绩是：
80、81、83、83、83、84、84、85、86、86、86、87、87、87、88、88、89．
d.小东的竞赛成绩为83分．
根据以上信息，回答下列问题：
(1)频数分布表中的数值m= ______；
(2)补全频数分布直方图；
(3)小东的竞赛成绩是否超过样本中一半学生的成绩？
(4)学校将把获得88分及以上的学生评为“科普达人”，请估计七年级学生的获奖人数．
24.(本小题10分)
如图，一次函数y=ax+b(a≠v)与反比例函数y=kx(k≠0)的图象在第一象限交于A(2,3)和B(3,m)两点，与x轴交于点C．
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)连接OA，OB，求△OAB的面积．
25.(本小题10分)
如图，已知线段AB=4，以AB为直径作⊙O，在⊙O上取一点C，连接AC，BC.延长BC至点D，连接AD，满足∠CAD=∠B．
(1)求证：AD为⊙O切线；
(2)若∠B=30°，求AC的长(结果保留π)．
26.(本小题10分)
如图，△ABC中，AB=BC，点D是平面内一点，连接BD并将线段BD绕点B旋转至BE，连接DE交AB于点M，∠ABD+∠EBC=180°．
(1)如图1，若点D在AC边上，且AC//BE，求证AM=BM；
(2)如图2，点D是△ABC内一点，连接AD、EC，点H是EC中点，连接BH，猜想AD和BH的数量关系并加以证明．
27.(本小题12分)
如图，抛物线y=−13x2+bx+c与直线AB相交于A(0,3)，B(3,1)两点．
(1)求抛物线的解析式，并直接写出顶点坐标；
(2)点P为x轴上一动点，当△PAB是以AB为底边的等腰三角形时，求点P的坐标；
(3)把抛物线y=−13x2+bx+c沿它的对称轴向下平移h(h>0)个单位长度，在平移过程中，该抛物线与直线AB始终有交点，求h的最大值．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：6的算术平方根是 6，
故选：C．
根据算术平方根的定义：如果一个正数x的平方等于a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．
本题考查了求一个数的算术平方根，熟记算术平方根的概念是解题关键．
2.【答案】B
【解析】解：根据关于x轴、y轴对称的点的坐标的特点，
∴点M(2,−3)关于y轴对称的点的坐标是(−2,−3)．
故选：B．
根据平面直角坐标系中任意一点P(x,y)，关于y轴对称的点的坐标为(−x,y)，将M的坐标代入从而得出答案．
本题主要考查了平面直角坐标系中关于y轴对称的点的坐标的特点，注意掌握任意一点P(x,y)，关于x轴的对称点的坐标是(x,−y)，关于y轴对称的点的坐标为(−x,y)，比较简单．
3.【答案】B
【解析】解：A、 7与 3不是同类二次根式，不能合并，故原选项错误，不符合题意；
B、 7× 3= 21，故原选项正确，符合题意；
C、 52−32= 25−9= 16=4，故原选项错误，不符合题意；
D、 (−3)2=3，故原选项错误，不符合题意；
故选：B．
根据二次根式的运算法则即可求解．
本题主要考查了二次根式的加减乘除运算，掌握二次根式的加减乘除运算法则是关键．
4.【答案】B
【解析】解：x−1>2x，
x−2x>1，
−x>1，
x<−1，
∴该不等式的解集在数轴上表示如图所示：
故选：B．
按照解一元一次不等式的步骤，进行计算即可解答．
本题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键．
5.【答案】A
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴O为BD中点，∠DBE=12∠ABC=70°．
∵DE⊥BC，
∴在Rt△BDE中，OE=BE=OD，
∴∠OEB=∠OBE=70°．
∴∠OED=90°−70°=20°．
故选：A．
根据直角三角形的斜边中线性质可得OE=BE=OD，根据菱形性质可得∠DBE=12∠ABC=70°，从而得到∠OEB度数，再依据∠OED=90°−∠OEB即可．
本题主要考查了菱形的性质、直角三角形斜边中线的性质，解决这类问题的方法是四边形转化为三角形．
6.【答案】D
【解析】解：∵△AOB～△DOC，∠A=30°，
∴∠A=∠D=30°，
∵∠COD=100°，
∴∠C=180°−100°−30°=50°，
故选：D．
根据题意△AOB～△DOC可知∠A=∠D=30°，又因∠COD=100°，再利用三角形内角和定理即可求出本题答案．
本题考查相似三角形性质，三角形内角和定理，熟知相似三角形的对应角相等，对应边的比相等是解题的关键．
7.【答案】A
【解析】解：设2019年的总支出为1，则2020年的总支出为1.2，
A.2019年教育方面的支出为：30%×1=0.3，2020年教育方面的支出为：35%×1.2=0.42，
∵0.42÷0.3=1.4，
∴A选项正确，符合题意；
B.2019年衣食方面的支出为：30%×1=0.3，2020年衣食方面的支出为：40%×1.2=0.48，
∵0.48−0.30.3≠10%，
∴B选项不正确，不符合题意；
C.由题意，得：2020年的总支出比2019年的总支出增加了20%，
∴C选项不正确，不符合题意；
D.2019年娱乐方面的支出为：15%×1=0.15，2020年其他方面的支出为：15%×1.2=0.18，
不相同，
∴D选项不正确，不符合题意．
故选A．
设2019年的总支出为1，则2020年的总支出为1.2，然后分别对A、B、C、D选项中涉及的支出进行计算判断即可．
本题考查扇形统计图，属性扇形统计图的特点和相关数据的意义是解题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：∵⊙O半径为50mm，弦AB长为50mm，
∴OA=OB=AB，
∴∠AOB=60°，
∴∠ACB=12AOB=30°，
故选：C．
根据⊙O半径为50mm，弦AB长为50mm，可得OA=OB=AB，求得∠AOB=60°，再根据同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍，即可得出答案．
此题考查了圆周角定理以及等边三角形的判定与性质，求出∠AOB=60°是解决问题的关键．
9.【答案】C
【解析】解：正五边形的内角为：(5−2)×180°5=108°，
∴阴影部分的扇形圆心角的和为：360°−2×108°=144°，
∴阴影部分面积为：144π×42360=325π，
故选：C．
根据正五边形的性质可得内角为108°，从而得到阴影部分的扇形圆心角的和，再由扇形的面积公式计算．
本题主要考查了求扇形的面积，根据正五边形的性质可得内角为108°，从而得到阴影部分的扇形圆心角的和，再由扇形的面积公式计算是解题的关键．
10.【答案】B
【解析】解：当t=3时，点P到达A处，即AB=3；
过点A作AE⊥CD交CD于点E，则四边形ABCE为矩形，
∵AC=AD，∴DE=CE=12CD，
当S=15时，点P到达点D处，则S=12CD⋅BC=12(2AB)⋅BC=3×BC=15，
则BC=5，
由勾股定理得AD=AC= 34，
故选：B．
根据图1和图2得当t=3时，点P到达A处，即AB=3；当S=15时，点P到达点D处，即可求解．
本题以动态的形式考查了分类讨论的思想、函数的知识和等腰三角形，具有很强的综合性．
11.【答案】4x7
【解析】解：(2x)2⋅x3
=4x2⋅x3
=4x5．
故答案为：4x5．
利用积的乘方的法则及单项式乘单项式的法则进行运算即可．
本题主要考查单项式乘单项式，积的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
12.【答案】5(x+3)(x−3)
【解析】解：原式=5(x2−9)=5(x+3)(x−3)，
故答案为：5(x+3)(x−3)．
原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
13.【答案】④
【解析】解：∵|0.13|=0.13，|−0.12|=0.12，|−0.15|=0.15，|0.11|=0.11，
∴0.11<0.12<0.13<0.15，
∴质量最好的零件为④，
故答案为：④．
先求出各数的绝对值，然后再进行比较，即可解答．
本题考查了正数和负数，绝对值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
14.【答案】55
【解析】解：∵AB是⊙O的直径，AD=CD，
∴∠AOD=∠DOC，
∵∠COB=40°，
∴∠AOD=12×(180°−40°)=70°，
∵OA=OD，
∴∠A=∠D=12×(180°−70°)=55°，
故答案为：55．
根据AD=CD，得出∠AOD=∠DOC，根据平角的定义求出∠AOD=70°，再根据等腰三角形的性质求解即可．
本题主要考查了弧、圆心角的关系，根据等边对等角求角度，熟练掌握等弧对等角是解题的关键．
15.【答案】2.4
【解析】【分析】
本题考查了矩形的判定与性质，垂线段最短的性质，勾股定理，判断出CD⊥AB时，线段EF的值最小是解题的关键，难点在于利用三角形的面积列出方程．连接CD，利用勾股定理列式求出AB，判断出四边形CFDE是矩形，根据矩形的对角线相等可得EF=CD，再根据垂线段最短可得CD⊥AB时，线段EF的值最小，然后根据三角形的面积公式列出方程求解即可．
【解答】
解：如图，连接CD．
∵∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，
∴AB= 32+42=5(cm)，
∵DE⊥AC，DF⊥BC，∠C=90°，
∴四边形CFDE是矩形，
∴EF=CD，
由垂线段最短可得CD⊥AB时，线段EF的值最小，
此时，S△ABC=12BC⋅AC=12AB⋅CD，
即12×4×3=12×5⋅CD，
解得CD=2.4(cm)，
∴EF=2.4cm．
故答案为2.4．
16.【答案】2254
【解析】解：∵正方形DEFG，
∴DE//FG，DE=DG=FG=EF，
∴△ADE∽△ABC，
∵AH⊥BC，
∴AH⊥DE，四边形DGHP是矩形，
∴DEBC=APAH，DG=HP=DE，
∵BC=20，AH=12，
∴DE20=12−DE12，
解得DE=152，
∴DE2=2254，
故答案为：2254．
根据正方形的性质确定平行线，继而确定相似三角形，根据矩形性质，相似三角形的性质列比例式计算DE，计算面积即可．
本题考查了正方形的性质，三角形相似的判定和性质，矩形的判定和性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
17.【答案】解： 4+2sin45°−(π−3)0+| 2−2|
=2+2× 22−1+2− 2
=2+ 2−1+2− 2
=3．
【解析】先利用二次根式的性质，特殊角三角函数值，零指数幂运算法则，绝对值的代数意义将原式化简，再进行二次根式的加减运算即可得到结果．
本题考查实数的运算，二次根式的加减运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
18.【答案】解：x+1x−1−x2−2xx2−1÷x2−x−2x2+2x+1=x+1x−1−x(x−2)(x+1)(x−1)÷(x−2)(x+1)(x+1)2=x+1x−1−x(x−2)(x+1)(x−1)×(x+1)2(x−2)(x+1)=x+1x−1−xx−1=1x−1．
【解析】先把要求的式子进行因式分解，再把除法转化成乘法，然后约分，最后合并即可得出答案．
此题考查了分式的混合运算，通分、因式分解和约分是解答本题的关键，注意在解题时要把分式化到最简．
19.【答案】解：由题知，
a=1，b=−14，c=21，
所以Δ=(−14)2−4×1×21=112>0，
所以x=−(−14)± 1122×1，
故x1=7+2 7,x2=7−2 7．
【解析】根据所给方程，用公式法对其进行求解即可．
本题考查解一元二次方程−公式法，熟知公式法是解题的关键．
20.【答案】(1)解：如图，直线EF即为所求．
(2)证明：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∵∠AOE=∠AOF=90°，AO=AO，
∴△AOE≌△AOF(ASA)，
∴AE=AF，
∵EF垂直平分线段AD，
∴EA=ED，FA=FD，
∴EA=ED=DF=AF，
∴四边形AEDF是菱形．
【解析】(1)利用尺规作线段AD的垂直平分线即可．
(2)根据四边相等的四边形是菱形即可证明．
本题考查作图−基本作图，线段的垂直平分线，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
21.【答案】15
【解析】解：(1)从中任意抽取一张卡片，则所抽卡片正面上的数字为0的概率是15，
故答案为：15；
(2)画树状图如图，
共有20种可能出现的结果，其中两人所抽取的卡片上数字之积为负数的结果有8种，两人所抽取的卡片上数字之积为正数和0的结果有12种，
∴P晶晶=820=25，P叶叶=1220=35，
∵P晶晶∴这种安排对晶晶和叶叶不公平．
(1)直接由概率公式求解即可；
(2)画树状图，共有20种可能出现的结果，分别求出晶晶和叶叶第一个出场的概率，比较即可得到结论；
本题考查了树状图法求概率，正确画出树状图是解题的关键．
22.【答案】解：(1)在Rt△ABD中，∠ABD=53°，BD=9m，
∴AB=BDcs53∘≈90.6=15(m)，
∴此时云梯AB的长为15m；
(2)在该消防车不移动位置的前提下，云梯能伸到险情处，
理由：由题意得：
DE=BC=2m，
∵AE=19m，
∴AD=AE−DE=19−2=17(m)，
在Rt△ABD中，BD=9m，
∴AB= AD2+BD2= 172+92= 370(m)，
∵ 370m<20m，
∴在该消防车不移动位置的前提下，云梯能伸到险情处．
【解析】(1)在Rt△ABD中，利用锐角三角函数的定义求出AB的长，即可解答；
(2)根据题意可得DE=BC=2m，从而求出AD=17m，然后在Rt△ABD中，利用锐角三角函数的定义求出AB的长，进行比较即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
23.【答案】3
【解析】解：(1)m=50−6−15−17−9=3，
故答案为：3；
(2)补全频数分布直方图如下：
(3)小东的竞赛成绩超过样本中一半学生的成绩；理由如下：
将这50名学生成绩从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数为80+812=80.5，因此中位数是80.5，
所以小东成绩83超过中位数80.5，
故答案为：超过；
(4)800×3+950=192(名)，
答：该校七年级学生的获奖人数大约有192名．
(1)根据各组频数之和等于50即可求出m的值；
(2)根据各组频数即可补全频数分布直方图；
(3)根据中位数的定义，求出中位数即可；
(4)求出获奖人数所占的百分比，再根据频率=频数总数进行计算即可．
本题考查频数分布表、频数分布直方图以及样本估计总体，掌握频率=频数总数是正确解答的前提．
24.【答案】解：(1)∵点A(2,3)在反比例函数y=kx的图象上，
∴k=2×3=6，
∴反比例函数的解析式为y=6x，
又∵B(3,m)在反比例函数y=6x的图象上，
∴m=2，
∴点B(3,2)，
由于直线y=ax+b过点A(2,3)，B(3,2)，
∴2k+b=33k+b=2，
解得k=−1b=5，
∴一次函数的解析式为y=−x+5，
答：反比例函数的解析式为y=6x，一次函数的解析式为y=−x+5；
(2)如图，分别过点A、B分别作x轴垂线，垂足分别为D，E，
直线y=−x+5与x轴的交点C(5,0)，
即OC=5，
∴S△AOB=S△AOC−S△BOC
=12×5×3−12×5×2
=52．
【解析】(1)根据反比例函数图象上点的坐标特征，将点A(2,3)代入可求出反比例函数的关系式，进而求出点B的坐标，再利用待定系数法求出一次函数的关系式即可；
(2)求出直线AB，即直线y=−x+5与x轴的交点C的坐标，再根据三角形面积之间的和差关系进行计算即可．
本题考查反比例函数与一次函数的交点，掌握反比例函数、一次函数图象上点的坐标特征是正确解答的前提，将点的坐标代入相应的关系式是解决问题的关键．
25.【答案】(1)证明：∵AB是圆的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠B+∠CAB=90°，
∵∠CAD=∠B，
∴∠CAD+∠CAB=90°，
∴直径BA⊥AD，
∴AD为⊙O切线；
(2)解：连接OC，
∵CO=BO，
∴∠OCB=∠B=30°，
∴∠AOC=∠B+∠OCB=60°，
∵AB=4，
∴OA=12AB=2，
∴AC的长=60π×2180=23π.
【解析】(1)由圆周角定理得到∠ACB=90°，因此∠B+∠CAB=90°，又∠CAD=∠B，故∠CAD+∠CAB=90°，得到直径BA⊥AD，即可证明问题；
(2)求出∠AOC的度数，由弧长公式即可求出AC的长．
本题考查切线的判定，弧长的计算，圆周角定理，关键是掌握切线的判定方法，弧长公式．
26.【答案】(1)证明：设∠ABC=α，
∵BA=BC，
∴∠A=∠C=12(180°−∠ABC)=90°−12α，
又∵AC//BE，
∴∠EBM=∠A=90°−12α，∠BED=∠ADE，
∴∠ABD=180°−∠EBC=180°−(∠EBM+∠ABC)=180°−(90°−12α+α)=90°−12α，
∴∠A=∠ABD．
∴DA=DB，△BAD为等腰三角形，
又由旋转可得：BD=BE，
∴∠BDE=∠BED=∠ADE，
∴DM平分∠ADB，
∴AM=BM．
(2)延长BH至点M，使BH=HM，
∵点H是EC中点，
∴EH=CH，又∠EHB=∠CHM，
∴△HBE≌△HMC(SAS)，
∴CM=BE=BD，∠BEH=∠MCH，
∴BE//CM，
∴∠MCB+∠EBC=180°，
∵∠EBC+∠ABD=180°，
∴∠MCB=∠ABD，
又∵BC=BA，
∴△CMB≌△BDA(SAS)，
∴AD=BM，
∴AD=2BH．
【解析】(1)设∠ABC=α，根据等边对等角以及三角形内角和求出∴∠A=∠C=90°−12α，进一步得到∠A=∠ABD，根据旋转的性质得到BD=BE，利用三线合一即可证明结论；
(2)延长BH至点M，使BH=HM，证明△HBE≌△HMC(SAS)，得到CM=BE=BD，∠BEH=∠MCB，再证明△CMB≌△BDA(SAS)，得出AD=BM，相结合即可得出结论．
本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，旋转的性质，解题的关键是在图形中找到合适的全等三角形，证明全等，得到有用的结论．
27.【答案】解：(1)∵抛物线y=−13x2+bx+c与直线AB相交于A(0,3)，B(3,1)两点，
c=3−13×32+3b+c=1，
解得b=13c=3，
∴y=−13x2+13x+3=−13(x−12)2+3712，
∴顶点坐标为(12,3712)；
(2)设P(p,0)，
∵△PAB是以AB为底边的等腰三角形，
∴PA=PB，即PA2=PB2，
∴(p−0)2+(0−3)2=(p−3)2+(0−1)2，
解得p=16，
∴点P的坐标为(16,0)；
(3)设平移后的函数解析式为y=−13(x−12)2+3712−h，
设直线AB解析式为y=mx+n，
把A(0,3)，B(3,1)代入，得：
n=33m+n=1，
解得m=−23n=3，
∴y=−23x+3，
联立得：y=−23x+3y=−13(x−12)2+3712−h，
整理：x2−3x+3h=0，
∵抛物线与直线AB始终有交点，
∴Δ=(−3)2−4×3h≥0，
∴h≤34，
∴h的最大值为34．
【解析】(1)根据待定系数法求出二次函数解析式，再把二次函数解析式化为顶点式，再根据二次函数的图象与性质，即可得出答案；
(2)设P(p,0)，根据△PAB是以AB为底边的等腰三角形可得PA=PB，然后利用两点距离公式构建关于p的方程，然后求解即可；
(3)先求直线AB解析式，然后设平移后的抛物线解析式为y=−13(x−12)2+3712−h，联立方程组y=−23x+3y=−13(x−12)2+3712−h，化简得x2−3x+3h=0，根据抛物线与直线AB始终有交点得出Δ≥0即可求解．
本题考查了待定系数法求二次函数解析式，等腰三角形的性质，二次函数的平移，二次函数与一次函数的交点问题等知识，明确题意，找出所求问题需要的条件是解题的关键．成绩
50≤x<60
60≤x<70
70≤x<80
80≤x<90
90≤x<100
频数
m
6
15
17
9
1.6的算术平方根是( )
A. 6B. −6C. 6D. ± 6
2.直角坐标系中，与点M(2,−3)关于y轴对称的点是( )
A. (2,3)B. (−2,−3)C. (−2,3)D. (−3,2)
3.下列计算正确的是( )
A. 7+ 3= 10B. 7× 3= 21
C. 52−32=5−3D. (−3)2=−3
4.不等式x−1>2x的解集在数轴上表示正确的是( )
A. B.
C. D.
5.如图，菱形ABCD中，AC交BD于点O，DE⊥BC于点E，连接OE，若∠ABC=140°，则∠OED=( )
A. 20°
B. 30°
C. 40°
D. 50°
6.如图，AD，相交BC于点O，且△AOB～△DOC，点A的对应点为点D，若∠A=30°，∠COD=100°，则∠C的度数为( )
A. 20°
B. 30°
C. 40°
D. 50°
7.小刚家2019年和2020年的家庭支出如图，已知2020年的总支出比2019年的总支出增加了2成，则下列说法正确的是( )
A. 2020年教育方面的支出是2019年教育方面的支出的 1.4 倍
B. 2020年衣食方面的支出比2019年衣食方面的支出增加了10%
C. 2020年总支出比2019年总支出增加了2%
D. 2020年其他方面的支出与2019年娱乐方面的支出相同
8.如图，点A，B，C在⊙O上，⊙O半径为50mm，弦AB长为50mm，则∠ACB的大小为( )
A. 60°
B. 40°
C. 30°
D. 20°
9.在学习了圆后，数学兴趣小组的同学开始了对正五边形拼接的图案设计，小明将有公共顶点O的两个边长为4的正五边形(不重叠)，以点O为圆心，4为半径作弧，构成一个“盛装芭蕾”形图案(阴影部分)，则这个“盛装芭蕾”形图案的面积为( )
A. 245πB. 285πC. 325πD. 365π
10.如图1，四边形ABCD中，AB//CD，∠B=90°，AC=AD.动点P从点B出发沿折线B→A→D→C方向以1单位/秒的速度匀速运动，在整个运动过程中，△BCP的面积S与运动时间t(秒)的函数图象如图2所示，则AC等于( )
A. 5B. 34C. 8D. 2 3
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.计算：(2x)2⋅x3=______．
12.分解因式：5x2−45= ______．
13.一批零件超过规定长度记为正数，短于规定长度记为负数，越接近规定长度质量越好.检查其中四个结果如下：①0.13mm；②−0.12mm；③−0.15mm；④0.11mm.则质量最好的零件为______(填序号即可)．
14.如图，AB是⊙O的直径，AD=CD，∠COB=40°，则∠A的度数是______°.
15.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，D是AB上一点，DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，边接EF，则EF的最小值为______cm．
16.如图，在△ABC中，AH⊥BC于H，正方形DEFG内接于△ABC，点D、E分别在边AB、AC，点G、F在边BC上.如果BC=20，那么AH=12，正方形DEFG的面积为______．
三、解答题：本题共11小题，共96分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题6分)
计算： 4+2sin45°−(π−3)0+| 2−2|．
18.(本小题6分)
计算：x+1x−1−x2−2xx2−1÷x2−x−2x2+2x+1．
19.(本小题6分)
解方程：x2−14x+21=0．
20.(本小题8分)
如图，AD是△ABC的角平分线．
(1)作线段AD的垂直平分线EF，分别交AB、AC于点E、F；(用直尺和圆规作图，标明字母，保留作图痕迹，不写作法.)
(2)连接DE、DF，求证：四边形AEDF是菱形．
21.(本小题10分)
安全问题一直以来都是大家特别关注的问题，为了进一步增强中学生的安全意识，珍惜自己的生命，提高自我保护能力，某校开展了以“安全”为主题的英语演讲比赛，参加此次比赛的晶晶和叶叶都想第一个出场，主持人拿出了五张背面完全相同的卡片，卡片正面分别写上−2、−1、0、1、2，将卡片背面朝上洗匀后，晶晶先从中随机抽取一张，不放回，叶叶再从剩下的4张卡片中随机抽取一张，若两人所抽取的卡片上数字之积为负数，则晶晶第一个出场；否则，叶叶第一个出场．
(1)晶晶抽到的卡片正面上的数字为0的概率为______；
(2)请用列表法或画树状图的方法判断，这种安排对晶晶和叶叶是否公平．
22.(本小题10分)
每年的11月9日是我国的“全国消防安全教育宣传日”，为了提升全民防灾减灾意识，某消防大队进行了消防演习．如图1，架在消防车上的云梯AB可伸缩(最长可伸至20m)，且可绕点B转动，其底部B离地面的距离BC为2m，当云梯顶端A在建筑物EF所在直线上时，底部B到EF的距离BD为9m．
(1)若∠ABD=53°，求此时云梯AB的长．
(2)如图2，若在建筑物底部E的正上方19m处突发险情，请问在该消防车不移动位置的前提下，云梯能否伸到险情处？请说明理由．
(参考数据：sin53°≈0.8，cs53°≈0.6，tan53°≈1.3)
23.(本小题8分)
“天宫课堂”第三课在中国空间站的问天实验舱开讲，“太空教师”陈冬、刘洋、蔡旭哲为广大青少年带来一场精彩的太空科普课.为了激发学生的航天兴趣，弘扬科学精神，某校七年级共800名学生参加了以“格物致知，叩问苍穹“为主题的太空科普知识竞赛.为了解七年级学生的科普知识掌握情况，调查小组从七年级共选取50名学生的竞赛成绩(百分制，成绩取整数)作为样本，进行了抽样调查，下面是对样本数据进行了整理和描述后得到的部分信息：
a.50名学生竞赛成绩的频数分布表：
b.50名学生的竞赛成绩的频数分布直方图：
c.竞赛成绩在80≤x<90这一组的成绩是：
80、81、83、83、83、84、84、85、86、86、86、87、87、87、88、88、89．
d.小东的竞赛成绩为83分．
根据以上信息，回答下列问题：
(1)频数分布表中的数值m= ______；
(2)补全频数分布直方图；
(3)小东的竞赛成绩是否超过样本中一半学生的成绩？
(4)学校将把获得88分及以上的学生评为“科普达人”，请估计七年级学生的获奖人数．
24.(本小题10分)
如图，一次函数y=ax+b(a≠v)与反比例函数y=kx(k≠0)的图象在第一象限交于A(2,3)和B(3,m)两点，与x轴交于点C．
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)连接OA，OB，求△OAB的面积．
25.(本小题10分)
如图，已知线段AB=4，以AB为直径作⊙O，在⊙O上取一点C，连接AC，BC.延长BC至点D，连接AD，满足∠CAD=∠B．
(1)求证：AD为⊙O切线；
(2)若∠B=30°，求AC的长(结果保留π)．
26.(本小题10分)
如图，△ABC中，AB=BC，点D是平面内一点，连接BD并将线段BD绕点B旋转至BE，连接DE交AB于点M，∠ABD+∠EBC=180°．
(1)如图1，若点D在AC边上，且AC//BE，求证AM=BM；
(2)如图2，点D是△ABC内一点，连接AD、EC，点H是EC中点，连接BH，猜想AD和BH的数量关系并加以证明．
27.(本小题12分)
如图，抛物线y=−13x2+bx+c与直线AB相交于A(0,3)，B(3,1)两点．
(1)求抛物线的解析式，并直接写出顶点坐标；
(2)点P为x轴上一动点，当△PAB是以AB为底边的等腰三角形时，求点P的坐标；
(3)把抛物线y=−13x2+bx+c沿它的对称轴向下平移h(h>0)个单位长度，在平移过程中，该抛物线与直线AB始终有交点，求h的最大值．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：6的算术平方根是 6，
故选：C．
根据算术平方根的定义：如果一个正数x的平方等于a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．
本题考查了求一个数的算术平方根，熟记算术平方根的概念是解题关键．
2.【答案】B
【解析】解：根据关于x轴、y轴对称的点的坐标的特点，
∴点M(2,−3)关于y轴对称的点的坐标是(−2,−3)．
故选：B．
根据平面直角坐标系中任意一点P(x,y)，关于y轴对称的点的坐标为(−x,y)，将M的坐标代入从而得出答案．
本题主要考查了平面直角坐标系中关于y轴对称的点的坐标的特点，注意掌握任意一点P(x,y)，关于x轴的对称点的坐标是(x,−y)，关于y轴对称的点的坐标为(−x,y)，比较简单．
3.【答案】B
【解析】解：A、 7与 3不是同类二次根式，不能合并，故原选项错误，不符合题意；
B、 7× 3= 21，故原选项正确，符合题意；
C、 52−32= 25−9= 16=4，故原选项错误，不符合题意；
D、 (−3)2=3，故原选项错误，不符合题意；
故选：B．
根据二次根式的运算法则即可求解．
本题主要考查了二次根式的加减乘除运算，掌握二次根式的加减乘除运算法则是关键．
4.【答案】B
【解析】解：x−1>2x，
x−2x>1，
−x>1，
x<−1，
∴该不等式的解集在数轴上表示如图所示：
故选：B．
按照解一元一次不等式的步骤，进行计算即可解答．
本题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键．
5.【答案】A
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴O为BD中点，∠DBE=12∠ABC=70°．
∵DE⊥BC，
∴在Rt△BDE中，OE=BE=OD，
∴∠OEB=∠OBE=70°．
∴∠OED=90°−70°=20°．
故选：A．
根据直角三角形的斜边中线性质可得OE=BE=OD，根据菱形性质可得∠DBE=12∠ABC=70°，从而得到∠OEB度数，再依据∠OED=90°−∠OEB即可．
本题主要考查了菱形的性质、直角三角形斜边中线的性质，解决这类问题的方法是四边形转化为三角形．
6.【答案】D
【解析】解：∵△AOB～△DOC，∠A=30°，
∴∠A=∠D=30°，
∵∠COD=100°，
∴∠C=180°−100°−30°=50°，
故选：D．
根据题意△AOB～△DOC可知∠A=∠D=30°，又因∠COD=100°，再利用三角形内角和定理即可求出本题答案．
本题考查相似三角形性质，三角形内角和定理，熟知相似三角形的对应角相等，对应边的比相等是解题的关键．
7.【答案】A
【解析】解：设2019年的总支出为1，则2020年的总支出为1.2，
A.2019年教育方面的支出为：30%×1=0.3，2020年教育方面的支出为：35%×1.2=0.42，
∵0.42÷0.3=1.4，
∴A选项正确，符合题意；
B.2019年衣食方面的支出为：30%×1=0.3，2020年衣食方面的支出为：40%×1.2=0.48，
∵0.48−0.30.3≠10%，
∴B选项不正确，不符合题意；
C.由题意，得：2020年的总支出比2019年的总支出增加了20%，
∴C选项不正确，不符合题意；
D.2019年娱乐方面的支出为：15%×1=0.15，2020年其他方面的支出为：15%×1.2=0.18，
不相同，
∴D选项不正确，不符合题意．
故选A．
设2019年的总支出为1，则2020年的总支出为1.2，然后分别对A、B、C、D选项中涉及的支出进行计算判断即可．
本题考查扇形统计图，属性扇形统计图的特点和相关数据的意义是解题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：∵⊙O半径为50mm，弦AB长为50mm，
∴OA=OB=AB，
∴∠AOB=60°，
∴∠ACB=12AOB=30°，
故选：C．
根据⊙O半径为50mm，弦AB长为50mm，可得OA=OB=AB，求得∠AOB=60°，再根据同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍，即可得出答案．
此题考查了圆周角定理以及等边三角形的判定与性质，求出∠AOB=60°是解决问题的关键．
9.【答案】C
【解析】解：正五边形的内角为：(5−2)×180°5=108°，
∴阴影部分的扇形圆心角的和为：360°−2×108°=144°，
∴阴影部分面积为：144π×42360=325π，
故选：C．
根据正五边形的性质可得内角为108°，从而得到阴影部分的扇形圆心角的和，再由扇形的面积公式计算．
本题主要考查了求扇形的面积，根据正五边形的性质可得内角为108°，从而得到阴影部分的扇形圆心角的和，再由扇形的面积公式计算是解题的关键．
10.【答案】B
【解析】解：当t=3时，点P到达A处，即AB=3；
过点A作AE⊥CD交CD于点E，则四边形ABCE为矩形，
∵AC=AD，∴DE=CE=12CD，
当S=15时，点P到达点D处，则S=12CD⋅BC=12(2AB)⋅BC=3×BC=15，
则BC=5，
由勾股定理得AD=AC= 34，
故选：B．
根据图1和图2得当t=3时，点P到达A处，即AB=3；当S=15时，点P到达点D处，即可求解．
本题以动态的形式考查了分类讨论的思想、函数的知识和等腰三角形，具有很强的综合性．
11.【答案】4x7
【解析】解：(2x)2⋅x3
=4x2⋅x3
=4x5．
故答案为：4x5．
利用积的乘方的法则及单项式乘单项式的法则进行运算即可．
本题主要考查单项式乘单项式，积的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
12.【答案】5(x+3)(x−3)
【解析】解：原式=5(x2−9)=5(x+3)(x−3)，
故答案为：5(x+3)(x−3)．
原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
13.【答案】④
【解析】解：∵|0.13|=0.13，|−0.12|=0.12，|−0.15|=0.15，|0.11|=0.11，
∴0.11<0.12<0.13<0.15，
∴质量最好的零件为④，
故答案为：④．
先求出各数的绝对值，然后再进行比较，即可解答．
本题考查了正数和负数，绝对值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
14.【答案】55
【解析】解：∵AB是⊙O的直径，AD=CD，
∴∠AOD=∠DOC，
∵∠COB=40°，
∴∠AOD=12×(180°−40°)=70°，
∵OA=OD，
∴∠A=∠D=12×(180°−70°)=55°，
故答案为：55．
根据AD=CD，得出∠AOD=∠DOC，根据平角的定义求出∠AOD=70°，再根据等腰三角形的性质求解即可．
本题主要考查了弧、圆心角的关系，根据等边对等角求角度，熟练掌握等弧对等角是解题的关键．
15.【答案】2.4
【解析】【分析】
本题考查了矩形的判定与性质，垂线段最短的性质，勾股定理，判断出CD⊥AB时，线段EF的值最小是解题的关键，难点在于利用三角形的面积列出方程．连接CD，利用勾股定理列式求出AB，判断出四边形CFDE是矩形，根据矩形的对角线相等可得EF=CD，再根据垂线段最短可得CD⊥AB时，线段EF的值最小，然后根据三角形的面积公式列出方程求解即可．
【解答】
解：如图，连接CD．
∵∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，
∴AB= 32+42=5(cm)，
∵DE⊥AC，DF⊥BC，∠C=90°，
∴四边形CFDE是矩形，
∴EF=CD，
由垂线段最短可得CD⊥AB时，线段EF的值最小，
此时，S△ABC=12BC⋅AC=12AB⋅CD，
即12×4×3=12×5⋅CD，
解得CD=2.4(cm)，
∴EF=2.4cm．
故答案为2.4．
16.【答案】2254
【解析】解：∵正方形DEFG，
∴DE//FG，DE=DG=FG=EF，
∴△ADE∽△ABC，
∵AH⊥BC，
∴AH⊥DE，四边形DGHP是矩形，
∴DEBC=APAH，DG=HP=DE，
∵BC=20，AH=12，
∴DE20=12−DE12，
解得DE=152，
∴DE2=2254，
故答案为：2254．
根据正方形的性质确定平行线，继而确定相似三角形，根据矩形性质，相似三角形的性质列比例式计算DE，计算面积即可．
本题考查了正方形的性质，三角形相似的判定和性质，矩形的判定和性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
17.【答案】解： 4+2sin45°−(π−3)0+| 2−2|
=2+2× 22−1+2− 2
=2+ 2−1+2− 2
=3．
【解析】先利用二次根式的性质，特殊角三角函数值，零指数幂运算法则，绝对值的代数意义将原式化简，再进行二次根式的加减运算即可得到结果．
本题考查实数的运算，二次根式的加减运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
18.【答案】解：x+1x−1−x2−2xx2−1÷x2−x−2x2+2x+1=x+1x−1−x(x−2)(x+1)(x−1)÷(x−2)(x+1)(x+1)2=x+1x−1−x(x−2)(x+1)(x−1)×(x+1)2(x−2)(x+1)=x+1x−1−xx−1=1x−1．
【解析】先把要求的式子进行因式分解，再把除法转化成乘法，然后约分，最后合并即可得出答案．
此题考查了分式的混合运算，通分、因式分解和约分是解答本题的关键，注意在解题时要把分式化到最简．
19.【答案】解：由题知，
a=1，b=−14，c=21，
所以Δ=(−14)2−4×1×21=112>0，
所以x=−(−14)± 1122×1，
故x1=7+2 7,x2=7−2 7．
【解析】根据所给方程，用公式法对其进行求解即可．
本题考查解一元二次方程−公式法，熟知公式法是解题的关键．
20.【答案】(1)解：如图，直线EF即为所求．
(2)证明：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∵∠AOE=∠AOF=90°，AO=AO，
∴△AOE≌△AOF(ASA)，
∴AE=AF，
∵EF垂直平分线段AD，
∴EA=ED，FA=FD，
∴EA=ED=DF=AF，
∴四边形AEDF是菱形．
【解析】(1)利用尺规作线段AD的垂直平分线即可．
(2)根据四边相等的四边形是菱形即可证明．
本题考查作图−基本作图，线段的垂直平分线，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
21.【答案】15
【解析】解：(1)从中任意抽取一张卡片，则所抽卡片正面上的数字为0的概率是15，
故答案为：15；
(2)画树状图如图，
共有20种可能出现的结果，其中两人所抽取的卡片上数字之积为负数的结果有8种，两人所抽取的卡片上数字之积为正数和0的结果有12种，
∴P晶晶=820=25，P叶叶=1220=35，
∵P晶晶
(1)直接由概率公式求解即可；
(2)画树状图，共有20种可能出现的结果，分别求出晶晶和叶叶第一个出场的概率，比较即可得到结论；
本题考查了树状图法求概率，正确画出树状图是解题的关键．
22.【答案】解：(1)在Rt△ABD中，∠ABD=53°，BD=9m，
∴AB=BDcs53∘≈90.6=15(m)，
∴此时云梯AB的长为15m；
(2)在该消防车不移动位置的前提下，云梯能伸到险情处，
理由：由题意得：
DE=BC=2m，
∵AE=19m，
∴AD=AE−DE=19−2=17(m)，
在Rt△ABD中，BD=9m，
∴AB= AD2+BD2= 172+92= 370(m)，
∵ 370m<20m，
∴在该消防车不移动位置的前提下，云梯能伸到险情处．
【解析】(1)在Rt△ABD中，利用锐角三角函数的定义求出AB的长，即可解答；
(2)根据题意可得DE=BC=2m，从而求出AD=17m，然后在Rt△ABD中，利用锐角三角函数的定义求出AB的长，进行比较即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
23.【答案】3
【解析】解：(1)m=50−6−15−17−9=3，
故答案为：3；
(2)补全频数分布直方图如下：
(3)小东的竞赛成绩超过样本中一半学生的成绩；理由如下：
将这50名学生成绩从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数为80+812=80.5，因此中位数是80.5，
所以小东成绩83超过中位数80.5，
故答案为：超过；
(4)800×3+950=192(名)，
答：该校七年级学生的获奖人数大约有192名．
(1)根据各组频数之和等于50即可求出m的值；
(2)根据各组频数即可补全频数分布直方图；
(3)根据中位数的定义，求出中位数即可；
(4)求出获奖人数所占的百分比，再根据频率=频数总数进行计算即可．
本题考查频数分布表、频数分布直方图以及样本估计总体，掌握频率=频数总数是正确解答的前提．
24.【答案】解：(1)∵点A(2,3)在反比例函数y=kx的图象上，
∴k=2×3=6，
∴反比例函数的解析式为y=6x，
又∵B(3,m)在反比例函数y=6x的图象上，
∴m=2，
∴点B(3,2)，
由于直线y=ax+b过点A(2,3)，B(3,2)，
∴2k+b=33k+b=2，
解得k=−1b=5，
∴一次函数的解析式为y=−x+5，
答：反比例函数的解析式为y=6x，一次函数的解析式为y=−x+5；
(2)如图，分别过点A、B分别作x轴垂线，垂足分别为D，E，
直线y=−x+5与x轴的交点C(5,0)，
即OC=5，
∴S△AOB=S△AOC−S△BOC
=12×5×3−12×5×2
=52．
【解析】(1)根据反比例函数图象上点的坐标特征，将点A(2,3)代入可求出反比例函数的关系式，进而求出点B的坐标，再利用待定系数法求出一次函数的关系式即可；
(2)求出直线AB，即直线y=−x+5与x轴的交点C的坐标，再根据三角形面积之间的和差关系进行计算即可．
本题考查反比例函数与一次函数的交点，掌握反比例函数、一次函数图象上点的坐标特征是正确解答的前提，将点的坐标代入相应的关系式是解决问题的关键．
25.【答案】(1)证明：∵AB是圆的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠B+∠CAB=90°，
∵∠CAD=∠B，
∴∠CAD+∠CAB=90°，
∴直径BA⊥AD，
∴AD为⊙O切线；
(2)解：连接OC，
∵CO=BO，
∴∠OCB=∠B=30°，
∴∠AOC=∠B+∠OCB=60°，
∵AB=4，
∴OA=12AB=2，
∴AC的长=60π×2180=23π.
【解析】(1)由圆周角定理得到∠ACB=90°，因此∠B+∠CAB=90°，又∠CAD=∠B，故∠CAD+∠CAB=90°，得到直径BA⊥AD，即可证明问题；
(2)求出∠AOC的度数，由弧长公式即可求出AC的长．
本题考查切线的判定，弧长的计算，圆周角定理，关键是掌握切线的判定方法，弧长公式．
26.【答案】(1)证明：设∠ABC=α，
∵BA=BC，
∴∠A=∠C=12(180°−∠ABC)=90°−12α，
又∵AC//BE，
∴∠EBM=∠A=90°−12α，∠BED=∠ADE，
∴∠ABD=180°−∠EBC=180°−(∠EBM+∠ABC)=180°−(90°−12α+α)=90°−12α，
∴∠A=∠ABD．
∴DA=DB，△BAD为等腰三角形，
又由旋转可得：BD=BE，
∴∠BDE=∠BED=∠ADE，
∴DM平分∠ADB，
∴AM=BM．
(2)延长BH至点M，使BH=HM，
∵点H是EC中点，
∴EH=CH，又∠EHB=∠CHM，
∴△HBE≌△HMC(SAS)，
∴CM=BE=BD，∠BEH=∠MCH，
∴BE//CM，
∴∠MCB+∠EBC=180°，
∵∠EBC+∠ABD=180°，
∴∠MCB=∠ABD，
又∵BC=BA，
∴△CMB≌△BDA(SAS)，
∴AD=BM，
∴AD=2BH．
【解析】(1)设∠ABC=α，根据等边对等角以及三角形内角和求出∴∠A=∠C=90°−12α，进一步得到∠A=∠ABD，根据旋转的性质得到BD=BE，利用三线合一即可证明结论；
(2)延长BH至点M，使BH=HM，证明△HBE≌△HMC(SAS)，得到CM=BE=BD，∠BEH=∠MCB，再证明△CMB≌△BDA(SAS)，得出AD=BM，相结合即可得出结论．
本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，旋转的性质，解题的关键是在图形中找到合适的全等三角形，证明全等，得到有用的结论．
27.【答案】解：(1)∵抛物线y=−13x2+bx+c与直线AB相交于A(0,3)，B(3,1)两点，
c=3−13×32+3b+c=1，
解得b=13c=3，
∴y=−13x2+13x+3=−13(x−12)2+3712，
∴顶点坐标为(12,3712)；
(2)设P(p,0)，
∵△PAB是以AB为底边的等腰三角形，
∴PA=PB，即PA2=PB2，
∴(p−0)2+(0−3)2=(p−3)2+(0−1)2，
解得p=16，
∴点P的坐标为(16,0)；
(3)设平移后的函数解析式为y=−13(x−12)2+3712−h，
设直线AB解析式为y=mx+n，
把A(0,3)，B(3,1)代入，得：
n=33m+n=1，
解得m=−23n=3，
∴y=−23x+3，
联立得：y=−23x+3y=−13(x−12)2+3712−h，
整理：x2−3x+3h=0，
∵抛物线与直线AB始终有交点，
∴Δ=(−3)2−4×3h≥0，
∴h≤34，
∴h的最大值为34．
【解析】(1)根据待定系数法求出二次函数解析式，再把二次函数解析式化为顶点式，再根据二次函数的图象与性质，即可得出答案；
(2)设P(p,0)，根据△PAB是以AB为底边的等腰三角形可得PA=PB，然后利用两点距离公式构建关于p的方程，然后求解即可；
(3)先求直线AB解析式，然后设平移后的抛物线解析式为y=−13(x−12)2+3712−h，联立方程组y=−23x+3y=−13(x−12)2+3712−h，化简得x2−3x+3h=0，根据抛物线与直线AB始终有交点得出Δ≥0即可求解．
本题考查了待定系数法求二次函数解析式，等腰三角形的性质，二次函数的平移，二次函数与一次函数的交点问题等知识，明确题意，找出所求问题需要的条件是解题的关键．成绩
50≤x<60
60≤x<70
70≤x<80
80≤x<90
90≤x<100
频数
m
6
15
17
9
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