2023-2024学年广西南宁市横县高一（下）月考数学试卷（4月份）（含解析）

这是一份2023-2024学年广西南宁市横县高一（下）月考数学试卷（4月份）（含解析），共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b2=a2+c2+ac，则角B=( )
A. π6B. π3C. 3π4D. 2π3
2.如图所示，△ABC中，点D是线段BC的中点，E是线段AD的靠近A的三等分点，则BE=( )
A. 23BA+16BC
B. 13BA+13BC
C. 23BA+13BC
D. 13BA+16BC
3.已知两个非零向量a，b的夹角为60°，且a⊥(a−2b)，则|a+2b||a−b|=( )
A. 3B. 7C. 2D. 5
4.设α、β、γ为平面，m、n、l为直线，则下面一定能得到m⊥β的是( )
A. α∩γ=m，α⊥γ，β⊥γB. α⊥β，α∩β=l，m⊥l
C. n⊥α，n⊥β，m⊥αD. α⊥γ，β⊥γ，m⊥α
5.如图，正四棱锥P−ABCD底面的四个顶点A，B，C，D在球O的同一个大圆上，点P在球面上，若VP−ABCD=163，则球O的体积是( )
A. 32π
B. 323π
C. 16π
D. 8π
6.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E是BB1的中点，若AB=6，则点B到平面ACE的距离等于( )
A. 5B. 6C. 3 62D. 3
7.已知正三棱锥S−ABC的底面是面积为 3的正三角形，高为2 2，则其内切球的表面积为( )
A. 16π3B. 8π3C. 16π9D. 8π9
8.如图，在多面体ABC−DEFG中，平面ABC/​/平面DEFG，EF/​/DG，且AB=DE，DG=2EF，则( )
A. BF/​/平面ACGD
B. CF/​/平面ABED
C. BC/​/FG
D. 平面ABED//平面CGF
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.有下列说法，其中正确的说法为( )
A. 若a//b，b/​/c，则a/​/c
B. 若PA⋅PB=PB⋅PC=PC⋅PA，则P是三角形ABC的垂心
C. 两个非零向量a，b，若|a−b|=|a|+|b|，则a与b共线且反向
D. 若a//b，则存在唯一实数λ使得a=λb
10.在△ABC中，点P满足BP=3PC，过点P的直线与AB、AC所在的直线分别交于点M、N，若AM=λAB，AN=μAC(λ>0,μ>0)，则下列说法正确的是( )
A. AP=34AB+14ACB. AP=14λAM+34μAN
C. 14λ+34μ为定值D. λ+μ的最小值为 32+1
11.已知正方体ABCD−A1B1C1D1，则( )
A. 直线BC1与DA1所成的角为90°
B. 直线BC1与CA1所成的角为90°
C. 直线BC1与平面BB1D1D所成的角为45°
D. 直线BC1与平面ABCD所成的角为45°
12.已知O为坐标原点，点P1(csα,sinα)，P2(csβ,−sinβ)，P3(cs(α+β),sin(α+β))，A(1,0)，则( )
A. |OP1|=|OP2|B. |AP1|=|AP2|
C. OA⋅OP3=OP1⋅OP2D. OA⋅OP1=OP2⋅OP3
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.设e1,e2是不共线的向量，若AB=e1+λe2,CB=e1+e2,CD=3e1−2e2，A，B，D三点共线，则λ的值为______．
14.e1,e2是平面内两个不共线的向量，且a=e1+ke2，b=4ke1+e2，若a//b，则实数k= ______．
15.已知α，β是两个不同的平面，m、n是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断：①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α.以其中三个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：______．
16.如图，在长方形ABCD中，AB=2，BC=1，E为DC的中点，F为线段EC(端点除外)上一动点，现将△AFD沿AF折起，使平面ABD⊥平面ABC，在平面ABD内过点D作DK⊥AB，K为垂足，设AK=t，则t的取值范围是_______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知b2+c2−a2sinB=a2+c2−b2sinA．
(1)证明：A=B．
(2)若D为BC的中点，从①AD=4，②csC=14，③CD=2这三个条件中选取两个作为条件证明另外一个成立．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．
18.(本小题12分)
已知向量a,b的夹角为120°，且|a|=1,|b|=2,c=ma+3b．
(1)求|2a−b|；
(2)当b⊥c时，求实数m．
19.(本小题12分)
已知一圆锥的母线长为10cm，底面圆半径为6cm．
(1)求圆锥的高；
(2)若圆锥内有一球，球与圆锥的底面及圆锥的所有母线都相切，求球的表面积．
20.(本小题12分)
如图1，已知等边三角形ABC的边长为3，点M，N分别是边AB，AC上的点，且BM=2MA，AN=2NC．
如图2，将△AMN沿MN折起到△A′MN的位置，连接A′B，A′C．

(1)求证：平面A′BM⊥平面BCNM；
(2)给出三个条件：①A′M⊥BC；②二面角A′−MN−C的大小为60°；③A′到平面BCNM的距离为 22.从中任选一个，补充在下面问题的条件中，并作答：
已知_______，在线段A′C上是否存在一点P，使三棱锥A′−PMB的体积为34？若存在，求出A′PA′C的值；若不存在，请说明理由．
21.(本小题12分)
已知：平面PAB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面ABC，E是点A在平面PBC内的射影
(1)求证：PA⊥平面ABC；
(2)当E为△PBC的垂心时，求证：△ABC是直角三角形．
22.(本小题12分)
在我国古代数学名著《九章算术》中将由四个直角三角形组成的四面体称为“鳖臑”.已知三棱锥P−ABC中，PA⊥平面ABC．
(1)从三棱锥P−ABC中选择合适的两条棱填空．
若______⊥______，则该三棱锥为“鳖臑”；
(2)已知三棱锥P−ABC是一个“鳖臑”，且AC=1，AB=2，∠BAC=60°，
①若△PAC上有一点D，如图1所示，试在平面PAC内作出一条过点D的直线l，使得l与BD垂直，说明作法，并给予证明；
②若点D在线段PC上，点E在线段PB上，如图2所示，且PB⊥平面EDA，证明∠EAB是平面EAD与平面BAC的二面角的平面角．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：因为b2=a2+c2+ac，
所以a2+c2−b2=−ac，
所以csB=a2+c2−b22ac=−ac2ac=−12，
又B∈(0,π)，
所以B=2π3．
故选：D．
由已知利用余弦定理可得csB的值，结合B的范围即可求解B的值．
本题考查了余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．
2.【答案】A
【解析】解：由题意可得：BE=BA+AE，AE=13AD，AD=AB+BD，BD=12BC，
∴BE=23BA+16BC，
故选：A．
利用向量共线定理、三角形法则即可得出结论．
本题考查了向量三角形法则、向量共线定理、平面向量基本定理，考查了推理能力，属于基础题．
3.【答案】B
【解析】解：∵非零向量a，b的夹角为60°，且a⊥(a−2b)，
∴a⋅(a−2b)=|a|2−2|a||b|×12=0，可得|a|=|b|，
∵|a+2b|= |a|2+4|a||b|×12+4|b|2= 7|a|，
|a−b|= |a|2−2|a||b|×12+|b|2=|a|，
∴|a+2b||a−b|= 7|a||a|= 7．
故选：B．
由已知可得|a|=|b|，再由向量模的计算公式求解|a+2b|与|a−b|，作比得答案．
本题考查平面向量数量积的性质及运算，考查向量模的求法，是基础题．
4.【答案】C
【解析】解：由α、β、γ为平面，m、n、l为直线，知：
在A中，α∩γ=m，α⊥γ，β⊥γ，则m⊥β或m//β，故A错误；
在B中，α⊥β，α∩β=l，m⊥l，则m与β相交、平行或m⊂β，故B错误；
在C中，n⊥α，n⊥β，则α/​/β，再由m⊥α，得m⊥β，故C正确；
在D中，α⊥γ，β⊥γ，m⊥α，则m与β相交、平行或m⊂β，故D错误．
故选：C．
在A中，m⊥β或m//β；在B中，m与β相交、平行或m⊂β；在C中，由n⊥α，n⊥β，得α/​/β，再由m⊥α，得m⊥β；在D中，m与β相交、平行或m⊂β．
本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查运算求解能力，考查数形结合思想，属于中档题．
5.【答案】B
【解析】解：设球O的半径为R.因为正四棱锥P−ABCD底面的四个顶点A，B，C，D在球O的同一个大圆上，且点P在球面上，
所以PO⊥底面ABCD，PO=R，底面ABCD的面积为S=2R2．
因为VP−ABCD=163，所以VP−ABCD=13×2R2×R=2R33=163，
解得R=2，所以球O的体积V=43πR3=43π×23=323π．
故选：B．
正四棱锥底面顶点在同一个大圆上，点P在球面上可知棱锥高PO=R，根据体积公式计算棱锥的高即可求出半径，代入球的体积公式即可求解．
本题主要考査了球的内接正四棱锥的性质，四棱锥的体积公式，球的体积公式，属于中档题．
6.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查空间中点到面的距离，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．
由已知求得三角形ACE的面积，再由等积法求点B到平面ACE的距离．
【解答】
解：如图，
在正方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=6，E是BB1的中点，
则BE=3，AE=CE= 62+32=3 5，AC=6 2．
∴S△ACE=12×6 2× (3 5)2−(3 2)2=9 6．
设点B到平面ACE的距离为h，
由VE−ABC=VB−ACE，得13×12×6×6×3=13×9 6×h，
解得h= 6．
故选：B．
7.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查棱锥的内切球半径的求法，注意合理地进行等价转化，是中档题．
由已知求得正三棱锥的底面边长及斜高，再由等体积法求得半径，代入球的表面积公式得答案．
【解答】
解：过顶点S作SO⊥平面ABC，则SO=2 2，
设正三棱锥S−ABC的底面边长为a，则底面积为 34a2= 3，即a=2．
连接AO并延长，交BC于D，连接SD，则SD为斜高，
∴SD= (2 2)2+( 33)2=5 33．
设正三棱锥S−ABC的内切球的半径为r，
则13× 3×2 2=13( 3+3×12×2×5 33)r，
解得r= 23．
∴内切球的表面积S=4πr2=8π9．
故选D．
8.【答案】A
【解析】解：取DG的中点为M，连结AM，如图所示，
因为EF/​/DG，且DG=2EF，所以DM/​/EF且DM=EF，
所以四边形DEFM是平行四边形，
所以DE/​/FM，且DE=FM，
因为平面ABC/​/平面DEFG，平面ABC∩平面ADEB=AB，平面ADEB∩平面DEFG=DE，
所以AB//DE，所以AB/​/FM，
又AB=DE，所以AB=FM，
所以四边形ABFM是平行四边形，即BF//AM，
又BF⊄平面ACGD，AM⊂平面ACGD，
所以BF/​/平面ACGD.故选项A正确，
而根据已知条件只能推出上面的关系，无法判断CF与平面ABED是否平行，故选项B错误；
没有任何关系可以推导BC/​/FG，故选项C错误；
没有条件可以判断平面ABED与平面CGF是否平行，故选项D错误．
故选：A．
取DG的中点为M，连结AM，易证DE/​/FM，且DE=FM，再利用面面平行的性质定理可证明AB//DE，所以AB/​/FM，从而证明BF//AM，由线面平行的判定定理即可证明以BF/​/平面ACGD，从而得到答案．
本题考查了线面平行的证明，主要考查了线面平行的判定定理以及面面平行的判定定理的应用，考查了逻辑推理能力，属于中档题．
9.【答案】BC
【解析】解：对于A：若a//b，b/​/c，(b≠0)，
则a/​/c，
当b=0时，a与c不一定共线，
故A错误；
对于B：PA⋅PB=PB⋅PC=PC⋅PA，
整理得PA⋅PB−PB⋅PC=0，
故PB⋅(PA−PC)=PB⋅CA=0，
同理PA⋅BC=0，PC⋅AB=0，
故点P为△ABC的垂心，故B正确；
对于C：两个非零向量a，b，
若|a−b|=|a|+|b|，
则a与b共线且反向，
故C正确；
对于D：若a//b(b≠0)，
则存在唯一实数λ使得a=λb，
故D错误．
故选：BC．
利用零向量与共线向量的定义可判断ACD，利用向量数量积的运算法则可判断B．
本题考查的知识要点：向量的线性运算，向量的数量积，向量的共线的充要条件，三角不等式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
10.【答案】BCD
【解析】解：对于A，∵BP=3PC，∴AP=AB+BP=AB+34BC=AB+34(AC−AB)=14AB+34AC，故A错误；
对于B，∵AM=λAB，AN=μAC，∴AB=1λAM，AC=1μAN，∴AP=14AB+34AC=14λAM+34μAN，故B正确；
对于C，∵AP=14λAM+34μAN且M，N，P三点共线，∴14λ+34μ=1，故C正确；
对于D，∵λ>0，μ>0且14λ+34μ=1，∴λ+μ=(λ+μ)(14λ+34μ)=14+3λ4μ+μ4λ+34≥2 3λ4μ×μ4λ+1=2× 34+1= 32+1，
当且仅当3λ4μ=μ4λ，即λ= 3+14μ=3+ 34时取等号，故D正确．
故选：BCD．
由平面向量的线性运算计算可判断A，B，C；由基本不等式可判断D．
本题考查平面向量的线性运算和基本不等式，属于中档题．
11.【答案】ABD
【解析】【分析】
本题考查空间中异面直线所成角与线面角的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是基础题．
求出异面直线所成角判断A；证明线面垂直，结合线面垂直的性质判断B；分别求出线面角判断C与D．
【解答】
解：如图，
连接B1C，由A1B1/​/DC，A1B1=DC，得四边形DA1B1C为平行四边形，
可得DA1//B1C，∵BC1⊥B1C，∴直线BC1与DA1所成的角为90°，故A正确；
∵A1B1⊥BC1，BC1⊥B1C，A1B1∩B1C=B1，∴BC1⊥平面DA1B1C，而CA1⊂平面DA1B1C，
∴BC1⊥CA1，即直线BC1与CA1所成的角为90°，故B正确；
设A1C1∩B1D1=O，连接BO，可得C1O⊥平面BB1D1D，即∠C1BO为直线BC1与平面BB1D1D所成的角，
∵sin∠C1BO=OC1BC1=12，∴直线BC1与平面BB1D1D所成的角为30°，故C错误；
∵CC1⊥底面ABCD，∴∠C1BC为直线BC1与平面ABCD所成的角为45°，故D正确．
故选：ABD．
12.【答案】AC
【解析】【分析】
本题考查平面向量数量积的性质及运算，考查同角三角函数基本关系式及两角和的三角函数，是中档题．
由已知点的坐标分别求得对应向量的坐标，然后逐一验证四个选项得答案．
【解答】
解：∵P1(csα,sinα)，P2(csβ,−sinβ)，P3(cs(α+β),sin(α+β))，A(1,0)，
∴OP1=(csα,sinα)，OP2=(csβ,−sinβ)，
OP3=(cs(α+β),sin(α+β))，OA=(1,0)，
AP1=(csα−1,sinα)，AP2=(csβ−1,−sinβ)，
则|OP1|= cs2α+sin2α=1，|OP2|= cs2β+(−sinβ)2=1，则|OP1|=|OP2|，故A正确；
|AP1|= (csα−1)2+sin2α= cs2α+sin2α−2csα+1= 2−2csα，
|AP2|= (csβ−1)2+(−sinβ)2= cs2β+sin2β−2csβ+1= 2−2csβ，
|AP1|=|AP2|不能恒成立，故B错误；
OA⋅OP3=1×cs(α+β)+0×sin(α+β)=cs(α+β)，
OP1⋅OP2=csαcsβ−sinαsinβ=cs(α+β)，
∴OA⋅OP3=OP1⋅OP2，故C正确；
OA⋅OP1=1×csα+0×sinα=csα，
OP2⋅OP3=csβcs(α+β)−sinβsin(α+β)=cs[β+(α+β)]=cs(α+2β)，
∴OA⋅OP1=OP2⋅OP3不能恒成立，故D错误．
故选：AC．
13.【答案】−32
【解析】解：因为e1,e2是不共线的向量，所以e1,e2可以作为平面内一组基底，
因为AB=e1+λe2,CB=e1+e2,CD=3e1−2e2，所以DB=CB−CD=−2e1+3e2，
因为A，B，D三点共线，所以AB//DB，
所以−2λ=1×3，解得λ=−32．
故答案为：−32．
可得出DB=−2e1+3e2，然后根据A，B，D三点共线即可得出AB//DB，然后即可得出λ的值．
本题考查了向量减法的几何意义，向量的减法和数乘运算，共线向量基本定理，是基础题．
14.【答案】±12
【解析】解：依题意，可设a=λb，
即e1+ke2=λ(4ke1+e2)=4kλe1+λe2，
所以4kλ=1k=λ，
所以k2=14，
所以k=±12．
故答案为：±12．
依题意，可设a=λb，所以e1+ke2=4kλe1+λe2，从而可求出k的值．
本题主要考查了共线向量基本定理的应用，属于基础题．
15.【答案】m⊥α，n⊥β，α⊥β⇒m⊥n或m⊥n，m⊥α，n⊥β⇒α⊥β
【解析】解：m⊥α，n⊥β，α⊥β⇒m⊥n，由面面垂直的性质定理得m⊥n正确；
m⊥n，m⊥α，n⊥β⇒α⊥β，由面面垂直的判定定理得α⊥β正确；
α⊥β，n⊥β，m⊥n⇒m⊥α，这里m与α相交、平行或m⊂α，故m⊥α不正确；
m⊥n，α⊥β，m⊥α⇒n⊥β，这里n与β相交、平行或n⊂β，故n⊥β不正确．
故答案为：m⊥α，n⊥β，α⊥β⇒m⊥n或m⊥n，m⊥α，n⊥β⇒α⊥β．
m⊥α，n⊥β，α⊥β，由面面垂直的性质定理得m⊥n；m⊥n，m⊥α，n⊥β，由面面垂直的判定定理得α⊥β．
本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想，属中档题．
16.【答案】(12,1)
【解析】解：设DF=x(1