博爱县第一中学2024届高三下学期第三次模拟考试数学试卷(含答案)

这是一份博爱县第一中学2024届高三下学期第三次模拟考试数学试卷(含答案)，共18页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．若函数的值域为R.则的取值范围是( )
A.B.C.D.
2．已知复数，则( )
A.2022B.2023C.D.
3．函数，记，，，则( )
A.B.C.D.
4．已知函数，若存在实数满足，则错误的是( )
A.B.C.D.
5．已知椭圆的左右焦点分别为，，点M在直线上运动，则的最小值为( )
A.7B.9C.13D.15
6．已知函数，的最小正周期为，最大值为，则函数的图象( )
A.关于直线对称B.关于点对称
C.关于直线对称D.关于点对称
7．有一枚质地均匀点数为1到4的特制骰子，投掷时得到每种点数的概率均等，现在进行三次独立投掷，记X为得到最大点数与最小点数之差，则X的数学期望( )
A.B.C.D.
8．已知函数满足，，当时，，则函数在内的零点个数为( )
A.3B.4C.5D.6
二、多项选择题
9．已知定义在上的函数在区间上满足，当时，；当时，.若直线与函数的图象有6个不同的交点，各交点的横坐标为，且，则下列结论正确的是( )
A.B.
C.D.
10．下列说法正确的是( )
A.设随机变量X的均值为，a是不等于的常数，则X相对于的偏离程度小于X相对于a的偏离程度(偏离程度用差的平方表示)
B.若一组数据，，，的方差为0，则所有数据都相同
C.用决定系数比较两个回归模型的拟合效果时，越小，残差平方和越小，模型拟合效果越好
D.在对两个分类变量进行独立性检验时，如果列联表中所有数据都扩大为原来的10倍，在相同的检验标准下，再去判断两变量的关联性时，结论不会发生改变
11．已知函数，则( )
A.为偶函数
B.曲线的对称中心为，
C.在区间上单调递减
D.在区间上有一条对称轴
三、填空题
12．在中，，是的平分线，且，则实数t的取值范围__________.
13．已知椭圆的左、右焦点分别为、，点P为第一象限内椭圆上一点，的内心为，且，则椭圆的离心率为__________.
14．已知数列的首项为2，，则__________.
四、解答题
15．已知数列的前n项和为，，且.，.
(1)求数列和的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和.
16．已知三棱锥中，侧面是边长为2的正三角形，，，，，，平面与底面的交线为直线l.
(1)若，证明：；
(2)若三棱锥的体积为，Q为交线l上的动点，若直线与平面的夹角为，求的取值范围.
17．中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足.
(1)求证：；
(2)若为锐角三角形，求的取值范围.
18．俗话说：“人配衣服，马配鞍”.合理的穿搭会让人舒适感十足，给人以赏心悦目的感觉.张老师准备参加某大型活动，他选择服装搭配的颜色规则如下：将一枚骰子连续投掷两次，两次的点数之和为3的倍数，则称为“完美投掷”，出现“完美投掷”，则记；若掷出的点数之和不是3的倍数，则称为“不完美投掷”，出现“不完美投掷”，则记；若，则当天穿深色，否则穿浅色.每种颜色的衣物包括西装和休闲装，若张老师选择了深色，再选西装的可能性为，而选择了浅色后，再选西装的可能性为.
(1)求出随机变量的分布列，并求出期望及方差；
(2)求张老师当天穿西装的概率.
19．已知点是抛物线上的定点，点P，Q是C上的动点，直线，的斜率分别为，，且，直线l是曲线C在A点处的切线.
(1)若，求直线的斜率；
(2)设的外接圆为E，试判断直线l与圆E的位置关系，并说明理由.
参考答案
1．答案：C
解析：依题意可得要取遍所有正数，
则需要求，因为，解得；
故.
故选：C.
2．答案：B
解析：设，，，
则，
由题意可得：，，，
可得关于x的方程的根为1，，，，，
故，
整理得，
即，
令，可得，
且2022为偶数，所以.
故选：B.
3．答案：B
解析：注意到定义域为全体实数，且，
所以是R上的偶函数，
从而，
因为在上单调递增，
所以关于x在上单调递减，
而，
所以.
故选：B.
4．答案：A
解析：，
故的图象如图所示，
考虑直线与图象的交点，
则，且，，故BD正确.
由可得即，
整理得到，故C正确.
又，
由可得，但，故，
故，故A错误.
故选：A.
5．答案：A
解析：由椭圆可得，，
点M在直线上运动，设，
则
，
当时，取到最小值7，即的最小值为7，
故选：A.
6．答案：C
解析：，其中，
因为函数的最小正周期为，所以，解得，
因为函数的最大值为，所以，解得(舍去)，
所以，
因为，
所以函数图象不关于直线对称，也不关于点对称，故AB错误；
因为，
所以函数图象关于直线对称，不关于点对称，故C正确，D错误.
故选：C.
7．答案：D
解析：X的所有可能取值为，记三次得到的数组成数组，
满足的数组有：，，，，共4个，
所以，
满足的数组有：
，，，，，，，，，，，，，，，，，，共18个，
所以，
满足的数组有：
，，，，，，
，，，，，，
，，，，，，
，，，，，，共24个，
所以，
满足的数组有：
，，，，，，
，，，，，，
，，，，，，共18个，
所以，
所以X的数学期望.
故选：D.
8．答案：C
解析：根据题意，函数的周期为8，图象关于点对称，
又，
所以函数的图象也关于点对称，
由，，
，，，
令，解得，令，解得，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，，，
在同一个坐标系中，作出函数与的图象，如图，
由图可得，函数与在上有两个交点，
因为函数与图象均关于点对称，
所以函数与在上有两个交点，又，
所以函数在内的零点个数为5.
故选：C.
9．答案：ACD
解析：由题意作出函数的图象如图，
对于A，由题意结合图象可知，
因为，所以，即，
所以，A选项正确；
当时，，所以.
又结合图象得，，所以，
即所以，B选项错误；
因为当时，，
所以当时，的图象关于直线对称，
所以，
又，此时在上单调递增，所以，C选项正确；
因为与，与关于直线对称，所以.
又与关于直线对称，所以，
所以，所以.
结合图象可知，所以，D选项正确，
故选：ACD.
10．答案：AB
解析：对于A：由均值的性质可知，由于a是不等于的常数，
故可得，即X相对于的偏离程度小于X相对于a的偏离程度，A正确；
对于B：根据方差公式，可知若一组数据
，，，的方差为0，则，B正确；
对于C：由决定系数的定义可知，C错误；
对于D：如果列联表中所有数据都扩大为原来的10倍，则的值变为原来的10倍，在相同的检验标准下，再去判断两变量的关联性时，结论可能发生改变，D错误，
故选：AB.
11．答案：BD
解析：由题意可得：，
对于选项A：因为，所以为奇函数，故A错误；
对于选项B：令，，解得，，
所以曲线的对称中心为，，故B选项正确；
对于选项C：因为，
即，即在内不是单调递减，故C错误；
对于选项D：因为，则，
且在内有且仅有一条对称轴，
所以在区间上有且仅有一条对称轴，故D选项正确；
故选：BD.
12．答案：
解析：，，
在和中，由正弦定理得：，，
，即；
设，则，，
在和中，由余弦定理得：，，
即，，；
，，，.
故答案为：.
13．答案：
解析：如图由的内心为可知该内切圆的半径为，
设该内切圆与的三边的切点为M，N，Q,所以,
又，所以,,
设
在中由余弦定理可得：，
化简得：
由的内心为可知，
在椭圆中易知,即即，
联立，解得，
所以椭圆的离心率为.
故答案为：.
14．答案：9
解析：因为，，
当时，，解得：，
，两式相减可得：，
所以的偶数项是以为首相，公差为的等差数列，
所以.
故答案为：9.
15．答案：(1)；
(2)
解析：(1)，，则，所以为等比数列，
又，得，所以，
由知是等差数列，且，，
，得，..
(2)因为，，所以，
所以
则
上面两式作差得
，
.
16．答案：(1)证明见解析
(2)
解析：(1)由题意：，分别为棱，的中点，，
.
为等边三角形，E为中点，
.
又，平面，平面，
平而，；
(2)如图，在底面内过点A作的平行线，即为平面与底面的交线l，
(因为，则，A为平面与底面的公共点，故为平面与底面的交线l)
由题意，，，可得，即，
故底面的面积为，
设底面上的高为h，则，于是，
注意到侧面是边长为2的正三角形，取中点D，
连接，则，从而即为三棱锥的高，故平面，
取中点M，连接，则，
于是，以点D为坐标原点.，，所在直线分别为x轴、y轴、z轴，
建立空间直角坐标系，则，，，，，，，
于是，，，
设平面的一个法向是为，
则，即，
解得，即，
由线面所成角的定义可知，.
17．答案：(1)证明见解析
(2)
解析：(1)证明：由条件，根据正弦定理可得，
，即，
，
又中，
进行化简得，
所以，即或，即(舍去)，
所以.
(2)若为锐角三角形，根据(1)，
则，得，
式子，，
由得，又易知函数在内单调递减，
所以，
因此.
18．答案：(1)分布列见解析；，
(2)
解析：(1)将一枚骰子连续投掷两次共有基本事件种，
掷出的点数之和是3的倍数有：
，12种；
则掷出的点数之和不是3的倍数有24种，
随机变量的取值为0，1，
，
所以的分布列为：
.
；
(2)设A表示深色，则表示穿浅色，B表示穿西装，则表示穿休闲装.
根据题意，穿深色衣物的概率为，则穿浅色衣物的概率为，
穿深色西装的概率为，穿浅色西装的概率为，
则当天穿西装的概率为.
所以张老师当天穿西装的概率为.
19．答案：(1)
(2)相切，理由见解析
解析：(1)若，则，即点A的坐标为,
设，，则，
同理得
由已知得
直线的斜率
(2)由得，其导函数，
抛物线C在点A处的切线的斜率，
又
，
所以，
由(1)知线段，的中点坐标分别为:
，,
线段的中垂线方程为①
同理可得线段的中垂线方程为②
由①②消去y得
即
代入①得
外接圆E的圆心坐标为
则直线的斜率
，即，故直线l与圆E相切.
0
1
P