贵州省2024届高三下学期4月适应性考试（二模）数学试卷(含答案)

这是一份贵州省2024届高三下学期4月适应性考试（二模）数学试卷(含答案)，共12页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知点是角终边上一点,则( )
A.B.C.D.
2．若集合,其中且,则实数m的取值范围是( )
A.B.C.D.
3．直线,的倾斜角分别为,,则“”是“”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
4．设正项等比数列的前n项和为,,且,,成等差数列,则与的关系是( )
A.B.C.D.
5．已知过点的动直线l交抛物线于A,B两点（A,B不重合）,O为坐标原点,则( )
A.一定是锐角B.一定是直角
C.一定是钝角D.是锐角、直角或钝角都有可能
6．2024年3月16日下午3点,在贵州省黔东南苗族侗族自治州榕江县“村超”足球场,伴随平地村足球队在对阵口寨村足球队中踢出的第一脚球,2024年第二届贵州“村超”总决赛阶段的比赛正式拉开帷幕。某校足球社的五位同学准备前往村超球队所在村寨调研,将在第一天前往平地村、口寨村、忠诚村,已知每个村至少有一位同学前往,五位同学都会进行选择并且每位同学只能选择其中一个村,若学生甲和学生乙必须选同一个村,则不同的选法种数是( )
A.18B.36C.54D.72
7．下图是一个圆台的侧面展开图,已知,且,则该圆台的体积为( )
A.B.C.D.
8．设方程的两根为,,则( )
A.,B.
C.D.
二、多项选择题
9．下列说法正确的是( )
A.若事件A和事件B互斥,
B.数据2,7,4,5,16,1,21,11的第70百分位数为11
C.若随机变量,,则
D.已知y关于x的回归方程为,则样本点的残差的绝对值为2.2
10．已知非零函数的定义域为R,为奇函数,且,则( )
A.
B.4是函数的一个周期
C.
D.在区间上至少有1012个零点
11．如图,正四棱锥每一个侧面都是边长为4的正三角形,若点M在四边形ABCD内（包含边界）运动,N为PD的中点,则( )
A.当M为AD的中点时,异面直线MN与PC所成角为
B.当平面PBC时,点M的轨迹长度为
C.当时,点M到AB的距离可能为
D.存在一个体积为的圆柱体可整体放入正四棱锥内
三、填空题
12．已知向量,,则,则实数_____________.
13．设,分别为双曲线的左、右焦点,过与该双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线于点M,若,则双曲线的离心率为_____________.
14．如果复数,,,在复平面内对应的点分别为Z,,,,复数z满足,且,则的最大值为_____________.
四、解答题
15．已知在中,,
（1）求A;
（2）若点D是边BC上一点,,的面积为,求i的最小值.
16．如图,正三棱柱中,,.设点D为上的一点,过D,A作平面的垂面,
（1）画出平面与正三棱柱表面的交线（保留作图痕迹,不需证明）;
（2）若到平面的距离为,求AC与平面所成角的正弦值.
17．已知椭圆C：的左顶点为A,右焦点为F,椭圆C上的点到F的最大距离是短半轴长的倍,且椭圆过点.
（1）求椭圆C的方程;
（2）设过点F的直线l与C相交于M,N两点,直线l的倾斜角为锐角.若点到直线l与的距离为,求直线PM与直线PN的斜率之和.
18．已知函数.
（1）若函数有两个零点,求实数a的取值范围;
（2）已知,,（其中且,,成等比数列）是曲线上三个不同的点,判断直线AC与曲线在点B处的切线能否平行？请说明理由.
19．甲乙两人组成“星队”参加猜成语活动,每轮活动由甲乙各猜一个成语,已知甲、乙第一轮猜对的概率都为.甲如果第轮猜对,则他第轮也猜对的概率为,如果第k轮猜错,则他第轮也猜错的概率为;乙如果第k轮猜对,则他第轮也猜对的概率为,如果第k轮猜错,则他第轮也猜错的概率为.在每轮活动中,甲乙猜对与否互不影响.
（1）若前两轮活动中第二轮甲乙都猜对成语,求两人第一轮也都猜对成语的概率;
（2）若一条信息有种可能的情形且各种情形互斥,每种情形发生的概率分别为,,,,则称为该条信息的信息熵（单位为比特）,用于量度该条信息的复杂程度.试求甲乙两人在第二轮活动中猜对成语的个数X的信息熵H.
（3）如果“星队”在每一轮中活动至少有一人猜对成语,游戏就可以一直进行下去,直到他们都猜错为止.设停止游戏时“星队”进行了Y轮游戏,求证：.
参考答案
1．答案：C
解析：
2．答案：A
解析：
3．答案：B
解析：
4．答案：A
解析：
5．答案：B
解析：
6．答案：B
解析：
7．答案：D
解析：
8．答案：C
解析：
9．答案：BD
解析：
10．答案：ABD
解析：
11．答案：ACD
解析：
12．答案：2
解析：
13．答案：
解析：
14．答案：
解析：
15．答案：（1）
（2）
解析：（1）因为,
所以,
即
因为,
所以,
所以,,
（2）因为,
所以,
因为的面积为,所以,
所以.
.
上式当且仅当即,时取得“”号,
所以AD的最小值是,
16．答案：（1）见解析
（2）
解析：（1）见图
（2）如图,以O为坐标原点,OA,OB,所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,
设,则点的D坐标为.
设平面的法向量为,
贝,又因为,
所以,,令,则,
所以,
又因为,
所以到平面的距离
解得.
因为,AC与平面所成角等于与平面所成角,
所以.
17．答案：（1）
（2）0
解析：（1）由题意知,
得,由,
得,化简得,
所以,
又因为椭圆过点,
所以,
所以,解得.
所以,,即C的方程为.
（2）设直线l的方程为,.
由点到直线l与的距离为,
得,解得.
联立,
整理得.
设,,则,,
所以直线PM与直线PN的斜率的和为
,
18．答案：（1）见解析
（2）直线AC与函数在点B处的切线不能平行
解析：（1）令,由题设知方程有两个实数根
因为,所以
当及时,,且,
当时,且时,
所以当时,与有两个不同的交点,
即有两个不同的零点.
（2）因为且,,成等比数列,设公比为,
则,,
直线AC的斜率
,
函数在点B处的切线斜率,
假设直线AC与函数在点B处的切线平行,则,
整理成,
令,,
则,
所以在单调递增,
所以,
所以在时无实数解,
所以直线AC与函数在点B处的切线不能平行.
19．答案：（1）
（2）
（3）见解析
解析：（1）设“甲在第i轮活动中猜对成语”,“乙在第i轮活动中猜对成语”,
“甲乙在第i轮活动中都都猜对成语”,,
则
故.
（2）由题意知,1,2,
由（1）知,
同理可得,,
故X的信息熵,
（3）第二轮甲猜对的概率为,
第二轮乙猜对的概率为,
所以,,
每一轮甲乙都猜错的概率为,
因此,,
则①
所以,②
①②得,
所以.
x
0
单调递减
极小值
单调递增