山东省菏泽市2024届高三下学期一模考试数学试卷(含答案)

这是一份山东省菏泽市2024届高三下学期一模考试数学试卷(含答案)，共21页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．已知样本数据为、、、、、、,去掉一个最大值和一个最小值后的数据与原来的数据相比,下列数字特征一定不变的是( )
A.极差B.平均数C.中位数D.方差
2．已知复数z满足,其中i为虚数单位,则z的虚部为( )
A.B.C.D.
3．已知集合,,则( )
A.B.C.D.
4．,的展开式中项的系数等于40,则p是q的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分又不必要条件
5．已知向量,,若,则( )
A.B.C.D.
6．已知,其中是奇函数且在R上为增函数,则( )
A.B.
C.D.
7．已知圆与圆相交于A、B两点,直线交x轴于点P,则的最小值为( )
A.B.C.D.
8．若数列的通项公式为,记在数列的前项中任取两数都是正数的概率为,则( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．已知函数的部分图像如图所示,令,则下列说法正确的有( )

A.的最小正周期为
B.的对称轴方程为
C.在上的值域为
D.的单调递增区间为
10．如图,在棱长为2的正方体中,P为侧面上一点,Q为的中点,则下列说法正确的有( )
A.若点P为的中点,则过P、Q、三点的截面为四边形
B.若点P为的中点,则与平面所成角的正弦值为
C.不存在点P,使
D.与平面所成角的正切值最小为
11．如图,过点的直线交抛物线于A,B两点,连接、,并延长,分别交直线于M,N两点,则下列结论中一定成立的有( )
A.B.以为直径的圆与直线相切
C.D.
三、填空题
12．如图,在正四棱台中,,,该棱台体积,则该棱台外接球的表面积为_________________.
13．已知斜率为的直线过双曲线的右焦点F且交双曲线右支于A、B两点,A在第一象限,若,则C的离心率为_____________.
14．关于x的不等式恒成立,则的最小值为_______________.
四、解答题
15．已知数列的前n项和为,且.
(1)求数列的通项公式;
(2)若,,求证：.
16．某商场举行“庆元宵,猜谜语”的促销活动,抽奖规则如下：在一个不透明的盒子中装有若干个标号为1,2,3的空心小球,球内装有难度不同的谜语.每次随机抽取2个小球,答对一个小球中的谜语才能回答另一个小球中的谜语,答错则终止游戏.已知标号为1,2,3的小球个数比为,且取到异号球的概率为.
(1)求盒中2号球的个数;
(2)若甲抽到1号球和3号球,甲答对球中谜语的概率和对应奖金如表所示,请帮甲决策猜谜语的顺序（猜对谜语的概率相互独立）
17．如图,已知为等腰梯形,点E为以为直径的半圆弧上一点,平面平面,M为的中点,,.
(1)求证：平面;
(2)求平面与平面所成角的余弦值.
18．如图,已知椭圆与y轴的一个交点为,离心率为,,为左、右焦点,M,N为粗圆上的两动点,且.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设,的斜率分别为,,求的值;
(3)求面积的最大值.
19．帕德近似是法国数学家亨利.帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法.给定两个正整数m,n,函数在处的阶帕德近似定义为：,且满足：,,,…,.（注：,,,,…;为的导数）已知在处的阶帕德近似为.
(1)求实数a,b的值;
(2)比较与的大小;
(3)若在上存在极值,求m的取值范围.
参考答案
1．答案：C
解析：样本数据为、、、、、、,去掉一个最大值和一个最小值后的数据与原来的数据相比,假设从小到大就是从到,极差可能变化,故A错;
平均数为,可能变,故B错;
中位数还是按从小到大排序中间位置的数,故C正确;
方差为,有可能变,故D错.
故选：C.
2．答案：A
解析：由得,
故复数的虚部为.
故选：A.
3．答案：D
解析：依题意,.
故选：D.
4．答案：A
解析：的展开式中含项为,
故,解得,
故“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
5．答案：B
解析：由得,
又,
故,即,
解得,故,
故.
故选：B.
6．答案：C
解析：由于是奇函数且在R上为增函数,故,
当时,,且为偶函数,
且在上单调递增,在上单调递减,
又,
故,
故选：C.
7．答案：B
解析：圆的圆心,半径,
圆的圆心,半径,
因为两圆相交,则,
即,解得,
两圆的方程相减得,
即直线的方程为,
当时,直线的方程为,
此时轴,与x轴没有交点,不符题意,
当时,令,得,
即,
则,
当且仅当,即时取等号,
所以的最小值为.
故选：B.
8．答案：C
解析：n为奇数时,前项中有个奇数项,即有个正数,
,,故A错误;
n为偶数时,前项中有个奇数项,即有个正数,
,
,,,故B错误;
,故C正确;
,故D错误.
故选：C.
9．答案：ACD
解析：对于函数,
由图可知,,
则,
所以,
又,
所以,
解得,,又,
所以;
则,
所以
,
对于A：的最小正周期为,A正确;
对于B：对于,令,,得的对称轴方程为,B错误;
对于C：当时,,所以,
即在上的值域为,C正确;
对于D：令,,解得,,
即的单调递增区间为,D正确;
故选：ACD.
10．答案：AB
解析：如图,以为x轴,为y轴,为z轴,建立空间直角坐标系,
对于A项,连接P、B、Q、四点,当P为的中点时,,,,,
,,,所以为平行四边形,A正确;
对B,当点P为的中点,,,,
,设平面的法向量为,则,
即,令,则,,
则与平面所成角的正弦值为,
故B正确;
对C,可设,,,,
,,,,令,
即,显然能取到,故C错误;
对D,当与平面所成角的正切值最小时,与平面所成角的正弦值也最小,,设的法向量为,
则与平面所成角的正弦值为
,当或2,时,
,由三角函数可得与平面所成角的正切值最小为,故D错误.
故选：AB.
11．答案：ACD
解析：对于A,令,,
联立,消x可得,
则,,,
,
则,,
故,
同理,,故A正确;
对于C,设与x轴交于P,,
则,,故C正确;
对于D,,
则
,
而,
所以,故D正确;
对于B,中点,即
则到直线的距离,
以为直径的圆的半径,
所以,
当时相切,当时不相切,故B错误.
故选：ACD.
12．答案：
解析：连接,取,的中点E,F,连接,,
则外接球球心在直线上,设球心为O,如图所示,则,
则平面,
因为正四棱台中,,,
故,所以,
设四棱台的高为h,
故,解得,
故,
设,则,
,
故,解得,
故半径,
故该棱台外接球的表面积为.
故答案为：.
13．答案：
解析：过A作轴,垂足为D.如图所示
的斜率为,则,,
,,
在双曲线上,
即,于是有,
进而得出,解得或（舍）,
,即（负舍）,
故C的离心率为.
故答案为：.
14．答案：-1
解析：令,则,
当时,,当时,,
所以函数在上单调递减,在上单调递增,
所以,所以,
由,得,
而,
令,
则,所以,
若,
如图作出函数,的图象,

由函数图象可知,方程有唯一实数根,
即,
由,得,
即,
当时,,即,
又,,所以,
所以不成立,
即当时,不恒成立,
综上所述,的最小值为-1.
故答案为：-1.
15．答案：(1)
(2)证明见解析
解析：（1）由①,
当时,解得,
当时,②,
①-②,得,
数列是以首项为,公比为2的等比数列,
.
经验证符合上式,所以.
（2）由（1）知,
,.
则,
故,
所以,,,
故.
16．答案：(1)4个
(2)推荐甲先回答3号球中的谜语再回答1号球中的谜语
解析：（1）由题意可设1,2,3号球的个数分别为n,,n,
则取到异号球的概率,
,即.解得.
所以盒中2号球的个数为4个.
（2）若甲先回答1号球再回答3号球中的谜语,
因为猜对谜语的概率相互独立,记X为甲获得的奖金总额,
则X可能的取值为0元,100元,600元,
,
,
.
X的分布列为
X的均值为,
若甲先回答3号球再回答1号球,因为猜对谜语的概率相互独立,
记Y为甲获得的奖金总额,则Y可能的取值为0元,500元,600元,
.
Y的分布列为
Y的均值为,
因为,所以推荐甲先回答3号球中的谜语再回答1号球中的谜语.
17．答案：(1)证明见解析
(2).
解析：（1）取的中点N,连接,,则且,
又且,且.
为平行四边形,.
又平面,平面,平面.
（2）取中点为F,连接,因为为等腰梯形,所以,
又平面平面,平面平面,平面,
所以平面,
过点O作直线的垂线交于点G,
分别以,,所在直线为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系.
为直径,,,,.
在等腰梯形中,,,所以,
,,,,,
,,,.
设平面的法向量为,
则,,令则,.
,
设平面的法向量为,则,
取,
设平面与平面所成的角为,
则,
平面与平面所成角的余弦值为.
18．答案：(1);
(2);
(3).
解析：（1）由题意得,,解之得,
椭圆C的方程为;
（2）由（1）知,所以,
设直线、、的倾斜角分别为、、、,
则,,,
则,所以,
所以,所以,即.
（3）设直线,
将直线方程与椭圆方程联立得,
, ,同理得,
由（2）知,,
又,
同理,,
,
,
,
,
,
令,则,
当,即时等号成立,所以的最大值是.
19．答案：(1),;
(2)答案见解析;
(3).
解析：（1）由,,有,
可知,,,,
由题意,,,所以,所以,.
（2）由（1）知,,令,
则,
所以在其定义域内为增函数,又,
时,;时,;
所以时,;时,.
（3）由,
.
由在上存在极值,所以在上存在变号零点.
令,则,.
①时,,为减函数,,在上为减函数,,无零点,不满足条件.
②当,即时,,为增函数,,在上为增函数,,无零点,不满足条件.
③当,即时,令即,.
当时,,为减函数;时,,为增函数,
;
令,,,在时恒成立,
在上单调递增,,恒成立;
,,,则,,
;
,
令,
令,,
则在是单调递减,,所以,
,
令,则,,.
,即.
由零点存在定理可知,在上存在唯一零点,
又由③知,当时,,为减函数,,
所以此时,,在内无零点,
在上存在变号零点,综上所述实数m的取值范围为.
球号
1号球
3号球
答对概率
0.8
0.5
奖金
100
500
X
0
100
600
P
0.2
0.4
0.4
Y
0
500
600
P
0.5
0.1
0.4