高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.5.2 椭圆的几何性质练习

这是一份高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.5.2 椭圆的几何性质练习，共4页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．椭圆x216+y28＝1的离心率为( )
A．13 B．12
C．33 D．22
2．已知椭圆C：x2a2+y2b2＝1(a>b>0)的左顶点为A，上顶点为B，右焦点为F，若∠ABF＝90°，则椭圆C的离心率为( )
A．5−12 B．3−12
C．1+54 D．3+14
3.椭圆x2＋my2＝1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m的值为( )
A．2 B．12
C．4 D．14
4．曲线x225+y29＝1与曲线x225−k+y29−k＝1(k<9)的( )
A．长轴长相等 B．短轴长相等
C．焦距相等 D．离心率相等
二、填空题
5．已知椭圆x225+y2m2＝1(m>0)的左焦点为F1(－4，0)，则m等于________．
6．若椭圆C的所有点中，到焦点的距离最小值为2，最大值为14，求椭圆的标准方程________________．
7．阿基米德(公元前287年～公元前212年)不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他最早利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的半长轴长与半短轴长的乘积．若椭圆C的对称轴为坐标轴，焦点在y轴上，且椭圆C的离心率为45，面积为20π，则椭圆C的标准方程为__________．
三、解答题
8．若点O和点F分别为椭圆x22＋y2＝1的中心和右焦点，点P为椭圆上的任意一点，求OP·FP的最小值．
9.已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率e＝13，又知椭圆上一点M，它的横坐标等于焦点的横坐标，纵坐标是4，求此椭圆的标准方程．
[尖子生题库]
10．已知F1，F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，∠F1PF2＝60°.
(1)求椭圆离心率的范围；
(2)已知F1，F2是椭圆的两个焦点，满足MF1·MF2＝0的点M总在椭圆内部，求椭圆离心率的范围．
课时作业(二十) 椭圆的几何性质
1．解析：a2＝16，b2＝8，c2＝8.从而e＝ca＝22.
答案：D
2．解析：根据题意得A(－a，0)，B(0，b)，F(c，0)，
因为∠ABF＝90°，所以kAB·kBF＝－1，
即b−00−−a×b−00−c＝－1，所以b2ac＝1，即b2＝ac.
又因为c2＝a2－b2，所以c2－a2＋ac＝0，等号两边同除以a2得ca2＋ca－1＝0，即e2＋e－1＝0，
所以e＝－5+12(舍)或e＝5−12.
答案：A
3．解析：x2＋my2＝1，∴x2＋y21m＝1，∴a2＝1m，b2＝1∴a＝1m，b＝1，∴ 1m＝2，∴m＝14.
答案：D
4．解析：曲线x225+y29＝1的焦点在x轴上，长轴长为10，短轴长为6，离心率为45，焦距为8.曲线x225−k+y29−k＝1(k<9)的焦点在x轴上，长轴长为225−k，短轴长为29−k，离心率为425−k，焦距为8.则C正确．
答案：C
5．解析：由题意知25－m2＝16，解得m2＝9，又m>0，所以m＝3.
答案：3
6．解析：由题意知a－c＝2，a＋c＝14，所以a＝8，c＝6，b2＝a2－c2＝28，所以椭圆的标准方程为x264+y228＝1或y264+x228＝1.
答案：x264+y228＝1或y264+x228＝1
7．解析：设椭圆C的方程为y2a2+x2b2＝1(a>b>0)，椭圆C的面积为S＝πab＝20π，
又e＝1−b2a2＝45，解得a2＝1003，b2＝12，所以椭圆C的方程为y21003+x212＝1.
答案：y21003+x212＝1
8．解析：设点P(x，y)，所以OP＝(x，y)，FP＝(x－1，y)，由此可得OP·FP＝(x，y)·(x－1，y)＝x2－x＋y2＝12x2－x＋1＝12(x－1)2＋12，x∈[－2，2]，所以OP·FP的最小值为12.
9．解析：∵椭圆的焦点在x轴上，
∴设它的标准方程为x2a2+y2b2＝1(a>b>0)，
∵e＝ca＝13，∴a＝3c.
∵b2＝a2－c2，∴b2＝9c2－c2＝8c2.
又点M(c，4)在椭圆上，∴c29c2+168c2＝1，
解得c2＝94，∴a2＝814，b2＝18，
∴所求椭圆的标准方程为x2814+y218＝1.
10．解析：(1)设椭圆方程为x2a2+y2b2＝1(a＞b＞0)，
|PF1|＝m，|PF2|＝n，则m＋n＝2a.
在△PF1F2中，由余弦定理可知，
4c2＝m2＋n2－2mn cs 60°＝(m＋n)2－3mn＝4a2－3mn≥4a2－3·m+n22＝4a2－3a2＝a2(当且仅当m＝n时取等号)．
∴c2a2≥14，即e≥12.
又0(2)由MF1·MF2＝0得，以F1F2为直径的圆在椭圆内，于是b>c，则a2－c2>c2，所以0答案：(1)12，1 (2)(0，22)