北京市清华大学附属中学上地学校2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. 等腰三角形B. 等边三角形C. 平行四边形D. 矩形
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形，根据：如果一个图形沿着一条直线折叠，直线两边的部分互相重合，那么这个图形是轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心；即可判断，掌握轴对称图形和中心对称图形的定义是解题的关键．
【详解】解：．等腰三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
．等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
．平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意；
．矩形既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意；
故选：．
2. 下列四个式子中，最简二次根式为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，结合选项求解即可．
【详解】解：A． ，不是最简二次根式，所以选项不符合题意；
B． ，被开方数12中含有能开得尽方的因式4，因此选项不符合题意；
C． ，被开方数中含有分母，因此选项不符合题意；
D． ，是最简二次根式，因此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了最简二次根式的概念，解答本题的关键在于掌握最简二次根式的概念，对各选项进行判断．
3. 如图，点在数轴上，其表示的数为，过点作，且，以点为圆心，为半径作弧，与数轴正半轴交于点，则点表示的实数为（ ）

A. B. C. D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】勾股定理求得的长，结合数轴即可求解．
【详解】解：在中，，
∴，
∴以点为圆心，为半径作弧，与数轴正半轴交于点，则点表示的实数为，
故选：C．
【点睛】本题考查了勾股定理，实数与数轴，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
4. 下列各式中，计算结果正确的是（ ）
A. B.
C D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据二次根式的性质进行化简即可得到答案．
【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意；
B、，原式计算正确，符合题意；
C、，原式计算错误，不符合题意；
D、原式计算错误，不符合题意；
故选B．
【点睛】本题主要考查了二次根式的性质，正确对每个选项中的二次根式化简是解题的关键．
5. 在中，的对边分别是a，b，c，下列条件中，不能判定是直角三角形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
详解】A、∵
∴是直角三角形，
故A不符合题意；
B、
∴ 不是直角三角形，故B符合题意；
C、∵
∴设
∴
∴ 是直角三角形
故C不符合题意；
D、∵
∴
∴是直角三角形，
故D不符合题意；
故选B
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，熟练掌握勾股定理的逆定理，以及三角形内角和定理是解题的关键．
6. 小明同学在一次学科综合实践活动中发现，某品牌鞋子的长度y cm与鞋子的码数x之间满足一次函数关系，下表给出y与x的一些对应值：
根据小明的数据，可以得出该品牌38码鞋子的长度为（ ）
A. 24cmB. 25cmC. 26cmD. 38cm
【答案】A
【解析】
【分析】根据待定系数法先求出函数解析式，然后将x=38代入函数解析式求出相应的y的值，即可解答本题．
【详解】解：设y与x的函数解析式为y=kx+b，
∵点（26，18），（30，20）在该函数图象上，
∴
解得
即y与x的函数解析式为y=0.5x+5，
当x=38时，y=0.5×38+5=24，
故选：A．
【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式．
7. 如图，菱形的对角线交于点O，点M为的中点，连接，若，，则的长为（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由菱形性质，结合勾股定理求得，根据中位线定理求．
【详解】解：由菱形知，，，
∴，
∵点M为的中点，O为的中点，
∴；
故选：A．
【点睛】本题考查菱形的性质，中位线的性质，由相关定理确定线段间的数量关系是解题的关键．
8. 如图1，动点P从点A出发，在边长为1的小正方形组成的网格平面内运动．设点P经过的路程为s，点P到直线l的距离为d，已知d与s的关系如图2所示．则下列选项中，可能是点P的运动路线的是（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据图象分析点P与直线l的距离，由此得到答案．
【详解】解：由图象得，
当时，点P与直线l的距离始终是1，即点P沿着平行于直线l的线段运动1个单位长度，四个图均符合；
当时，点P与直线l的距离由1增加到3，且是匀速运动，即点P距直线l为3个单位长度，图B不符合；
当时，点P与直线l的距离始终是3，即点P沿着平行于直线l的线段运动1个单位长度，图A，C，D均符合；
当时，点P与直线l距离由3减小为2，即点P距直线l为2个单位长度，图C符合；
故选：C．
【点睛】此题考查了识别函数图象，正确理解理解函数图象并得到相应的信息是解题的关键．
二、填空题（每题3分）
9. 若二次根式有意义，则x的取值范围是_____．
【答案】x≥1
【解析】
【分析】根据二次根式的性质可知，被开方数大于等于0，列出不等式即可求出x的取值范围．
【详解】解：根据二次根式有意义的条件，x﹣1≥0，
∴x≥1，
故答案为：x≥1．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握被开方数大于等于0．
10. 如图，在矩形中，对角线相交于点，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件______，使矩形是正方形．
【答案】AC⊥BD（答案不唯一）
【解析】
【分析】根据正方形的判定定理可直接进行求解．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴根据“一组邻边相等的矩形是正方形”可添加：或或或，
根据“对角线互相垂直的矩形是正方形”可添加：AC⊥BD，
故答案为AC⊥BD（答案不唯一）．
【点睛】本题主要考查正方形的判定定理，熟练掌握正方形的判定是解题的关键．
11. 下列命题：①如果两个实数相等，那么它们的平方相等；②如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么；③平行四边形的对角线互相平分．其中逆命题是真命题的是__________（填写所有正确结论的序号）．
【答案】②③##③②
【解析】
【分析】先写出原命题的逆命题，然后判断真假即可．
【详解】解：①原命题的逆命题为：如果两个实数的平方相等，那么这两个数相等，是假命题，不符合题意；
②原命题的逆命题为：如果三角形的三边满足，那么这个三角形是直角三角形，是真命题，符合题意；
③原命题的逆命题为：对角线互相平分的四边形是平行四边形，是真命题，符合题意；
故答案为：②③．
【点睛】本题主要考查了判断一个命题的逆命题真假，熟练掌握勾股定理的逆定理，平行四边形的判定，实数的性质是解题的关键．
12. 已知点，在的图象上， 且，则k的值可以是______（写出一个即可）．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一次函数的性质，正确掌握一次函数的增减性是解题的关键．由时，，根据一次函数的增减性，得到，即可得到答案．
【详解】解：∵点，在一次函数的图象上，且，
∴y随着x的增大而减小，
∴，
∴k可以是（答案不唯一），
故答案为：（答案不唯一）．
13. 如图，直线与直线相交于点，则方程的解为_____________.

【答案】
【解析】
【分析】将代入，得出，根据直线与直线相交于点，即可求解．
【详解】解：将代入，解得：，
∴，
∵直线与直线相交于点，
则方程的解为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了两直线交点坐标与方程组的解的关系，数形结合解题的关键．
14. 如图，点E是正方形的对角线上一点，，垂足分别是F，G，，则_____________．

【答案】3
【解析】
【分析】连接，可证，从而可得，再证四边形是矩形，即可求解．
【详解】解：如图，连接，

四边形是正方形，
，，
，
在和中
，
（），
，
，，
，
四边形是矩形，
，
．
故答案：．
【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定及性质，三角形全等的判定及性质，掌握以上判定方法及性质是解题的关键．
15. 如图，在矩形中，，M为的中点，沿过点M的直线翻折，使点C落在边上，记折痕为，则折痕的长为_________．
【答案】或
【解析】
【分析】根据N点落的位置进行分类讨论，分为CD上或这AD上，运用勾股定理计算出线段的长度，再设线段的长度为x，用代数式表示出其他线段，通过勾股定理建立方程，计算出来答案即可．
【详解】当N点落在CD上时，如图所示，过点M作ME⊥AD于E，
∵在矩形中，
∴，∠A=∠B=∠C=∠D=90°
∵ME⊥AD
∴四边形ABME是矩形
∵M是BC中点，
∴BM=CM=AE=DE=5
∵由折叠可知，C1M=CM=5，C1N=CN
设CN为x，则C1N=x，DN=3-x，
在Rt△C1ME中，EM=AB=3，C1M=CM=5,
∴C1E=
∴C1D=ED-C1E=5-4=1
在Rt△C1DN中
∴
解得，
∴MN=；
当N在AD上时，如图所示，过点M作ME⊥AD于E，
∵在矩形中，
∴，∠A=∠B=∠C=∠D=90°
∵ME⊥AD
∴四边形ABME是矩形
∵M是BC中点，
∴BM=CM=AE=DE=5
∵由折叠可知，C2M=CM=5，CD=C2D2=3，D2N=DN，∠D2=∠D=90°
在Rt△C2ME中，EM=AB=3，C2M=CM=5,
∴C2E=
设EN=x，则DN=5-x，
在Rt△C2D2N中，,
∴
解得，
∴MN=；
故答案为：或．
【点睛】本题考查了矩形中的折叠问题，勾股定理，方程思想和分类讨论思想是本题的关键．
16. 在平面直角坐标系中，已知，，，是平面内的一点，以，，，为顶点的四边形是平行四边形．
（1）若，则平行四边形中，点的坐标为______；
（2）的最小值为______．
【答案】 ①. 或或 ②.
【解析】
【分析】（1）当时，写出点C的坐标，画出三个符合条件的平行四边形，根据平移规律即可得到答案；
（2）由勾股定理求得，当是以，，，为顶点的平行四边形的一边时，则；当是以，，，为顶点的平行四边形的对角线，则点与点关于的中点对称，当时，的值最小，此时的值最小，画出图形，根据勾股定理有，求出a，再求出的值，进而求出，与比较后即可得解．
【详解】解：（1）如图，四边形、四边形、四边形都是满足条件的平行四边形，
当时，有，，，
则轴，，
， ，
点B平移到点A的方式为向右平移个单位长度，再向下平移2个单位长度，
点由点C向右平移个单位长度，再向下平移2个单位长度得到，
，
故答案为：或或．
（2），，，
，
由（1）可知，当是以，，，为顶点的平行四边形的一边时，则，
如图，是以，，，为顶点的平行四边形的对角线，

点与点关于的中点对称，
，
易知当时，的值最小，此时的值最小，
在中，，点，，，
根据勾股定理有，，
，
解得或0，（舍0）
，
，
，
的最小值是，
故答案为：．
【点睛】此题重点考查了图形与坐标，平移规律，平行四边形的性质，勾股定理，垂线段最短等知识．解题关键是灵活运用相关知识，画出图形解决问题．
三、解答题（17题8分，18-22题每题4分，23、24题每题5分，25、26题每题7分）
17. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）根据零指数幂、负整数指数幂和绝对值的意义计算；
（2）先根据二次根式的乘除法则运算，然后化简后合并即可．
【详解】解：（1）解：原式=
；
（2）解：原式
.
【点睛】本题主要考查实数的运算和二次根式混合运算，解题的关键是要熟练掌握实数运算和二次根式混合运算的法则.
18. 已知：一次函数图象如图，
（1）求一次函数的解析式；
（2）若点P为该一次函数图象上一动点，且点A为该函数图象与x轴的交点，若S△OAP＝2，求点P的坐标．
【答案】（1）y＝﹣x+1；（2）P点坐标为（﹣3，4）或（5，﹣4）．
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法求一次函数解析式；
（2）先计算出函数值为0所对应的自变量的值得到A点坐标，设P（t，-t+1），根据三角形面积公式得到×1×|-t+1|=2，然后解绝对值方程求出t即可得到P点坐标．
【详解】（1）设一次函数解析式为y＝kx+b，
把（﹣2，3）、（2，﹣1）分别代入得，解得，
所以一次函数解析式为y＝﹣x+1；
（2）当y＝0时，﹣x+1＝0，解得x＝1，则A（1，0），
设P（t，﹣t+1），
因为S△OAP＝2，
所以×1×|﹣t+1|＝2，解得t＝﹣3或t＝5，
所以P点坐标为（﹣3，4）或（5，﹣4）．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y=kx+b；将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式．
19. 如图，在平行四边形中，，相交于点O，点E，F在上，且，求证：．

【答案】见解析
【解析】
【分析】由平行四边形的性质得出，，推出，由证明，即可得出．
【详解】解：证明：四边形是平行四边形，
，，
∴，
在和中，
，
，
．
【点睛】本题主要考查的是全等三角形的性质和判定、平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．
20. 《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，同折者高几何？”译成数学问题是：如图所示，在中，，，，求AC的长为多少尺？（说明：）
【答案】尺
【解析】
【分析】本题考查是勾股定理的应用，设，可知，再根据勾股定理即可得出结论．
【详解】解：1丈尺，
设，
，
．
在中，，
，即．
解得：，
即尺．
21. 如图，在中，，，，求长．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，过点作的延长线于点，由可得，得到为等腰直角三角形，即得到，由勾股定理可得，进而得，再根据勾股定理即可求解，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：过点作的延长线于点，则，
∵，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
22. 如图，四边形中，，，、分别是、的中点，，求的长．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了三角形中位线的性质，直角三角形斜边上的中线性质，等腰三角形的性质，三角形外角性质，勾股定理，连接，根据三角形中位线定理和直角三角形斜边上的中线推知，再由等腰三角形的性质和平行线的性质求得，利用勾股定理即可求解，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：连接，
∵分别是的中点，
∴且，
∴，
∵，是的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
23. 如图，在平行四边形中，，点、分别是、的中点，、交于点，连接、，
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）见详解 （2）
【解析】
【分析】本题考查平行四边形的性质与判定，菱形的性质与判定．
（1）先证明四边形是平行四边形，再证明其临边相等即可；
（2）过点作于，先求BO，再求，最后根据勾股定理求．
【小问1详解】
证明：四边形是平行四边形
，
点、分别是、的中点
四边形是平行四边形
，且
四边形是菱形；
【小问2详解】
如图，过点作于
由（1）知，四边形是菱形，
，
．
24. 阅读材料：
和为整数，；
和为整数，；
和为整数，；
……
小明发现结论：若和为相邻的两个整数，其中，则有，
并给出了证明：根据题意，得
．
等式两边同时___________，得
____________．
整理得
．
请根据以上材料，解决以下问题：
（1）请补全小明的证明过程.
（2）若和为两个相邻整数，则____________.
（3）若和为相差4的两个整数，求的值．
【答案】（1）平方，
（2）25 （3）
【解析】
【分析】本题考查了完全平方公式，二次根式的性质化简，熟练掌握二次根式的性质是解题关键．
（1）根据证明过程补全即可；
（2）根据已知结论，得出，求出的值即可；
（3）根据题意，得，将等式两边同时平方，整理后求解即可．
【小问1详解】
解：根据题意，得，
等式两边同时平方，得，
整理得，
故答案为：平方，；
【小问2详解】
解：由题意可知，，
，
即，
故答案为：25．
【小问3详解】
解：根据题意，得，
等式两边同时平方，得，
整理得：，
，
，
．
25. 已知正方形和一动点E，连接，将线段绕点C顺时针旋转得到线段，连接，．
（1）如图1，当点E在正方形内部时，
①依题意补全图1；
②求证：；
（2）如图2，当点E在正方形外部时，连接，取中点M，连接，，用等式表示线段与的数量关系，并证明．
【答案】（1）①见解析；②见解析
（2）；理由见解析
【解析】
【分析】（1）①根据题意补全图形即可；
②证明，根据全等三角形对应边相等得出结果即可；
（2）连接、，延长，使，连接，延长交于点G，证明，得出，，证明，得出，，证明，得出，即可证明结论．
【小问1详解】
解：①依题意补全图1，如图所示：
②∵四边形为正方形，
∴，，
根据旋转可知，，，
∴，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：；理由如下：
连接、，延长，使，连接，延长交于点G，如图所示：
∵四边形为正方形，
∴，，
根据旋转可知，，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵，
，
∴，
∵点M为的中点，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，旋转的性质，平行线的判定和性质，解题的 关键是作出辅助线，构造全等三角形，熟练掌握三角形全等的判定方法．
26. 如图，在平面直角坐标系中，对于线段和点，给出如下定义：若在直线上存在点，使得四边形为平行四边形，则称点为线段的“银杏点”．已知，．
（1）在，，，中，线段的“银杏点”是______；
（2）点为直线上一点，若点是线段的“银杏点”且不在第二象限，求的取值范围．
【答案】（1），
（2）且
【解析】
【分析】本题考查新定义题型，涉及平行四边形的性质，一次函数的交点问题．
（1）根据新定义知，四边形为平行四边形，则对角线的中点重合，可求出点，再判断即可；
（2）联立两直线解出点坐标，再根据其不在第二象限，根据象限符号的特点解答即可．
【小问1详解】
解：设，
的中点为
四边形为平行四边形
的中点就是的中点
在直线上，
由，，，知
，在直线上，，不在直线上，
故线段的“银杏点”是，，
故答案为：，；
【小问2详解】
由（1）知，在直线上，而点为直线上一点
为直线和直线的交点
当时，两直线平行，没有交点，
当时
由得
设在第二象限，则
，即
解得
不在第二象限
且
即的取值范围是且．
附加题：（共20分）
27. 小明根据学习函数的经验，对函数的图像与性质进行了探究并解决了相关问题，请补全下面的过程．
（1）函数的自变量x的取值范围是_________________；
（2）下表是y与x的几组对应值：
写出表中m的值；
（3）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图像；

（4）小明结合该函数图像，解决了以下问题：
①对于图像上两点，，若，则_______（填“＞”，“＝”或“＜”）；
②当时，若对于x的每一个值，函数的值小于正比例函数的值，则k的取值范围是_______________．
【答案】（1）全体实数；
（2）0； （3）见解析；
（4）①＜ ②
【解析】
【分析】（1）无论x取任何实数，该函数都有意义，则自变量x的取值范围是全体实数；
（2）把代入函数，即可求得m的值；
（3）根据表中的数值描点，连线即可得到函数图象；
（4）①根据函数的增减性判断即可；
②当时，函数可化为，结合函数的图象即可解答．
【小问1详解】
无论x取任何实数，该函数都有意义，则自变量x的取值范围是全体实数；
故答案为：全体实数
【小问2详解】
把代入函数，得，所以．
【小问3详解】
该函数图象如图所示：
【小问4详解】
①由图象可得，当时，图象从左到右下降，即y随x的增大而减小；
当时，图象从左到右上升，即y随x的增大而增大．
∴图像上两点，，当，则
故答案为：＜
②当时，
若对于x的每一个值，函数的值小于正比例函数的值，则
故答案为：
【点睛】本题考查函数的性质及其图象，运用数形结合的思想是解题的关键．
28. 定义：至少有一组对边相等的四边形为“等对边四边形”．
（1）请写出一个你学过的特殊四边形中是“等对边四边形”的名称；
（2）如图，在中，点、分别在边、边上，且满足，线段、交于点，
求证：．
【答案】（1）平行四边形（答案不唯一）
（2）见详解
【解析】
【分析】本题考查新定义题型，涉及特殊的四边形，四边形内角和．
（1）根据定义，平行四边形，菱形，矩形都符合，写出一个即可；
（2）利用四边形内角和及邻补角性质即可得到答案．
【小问1详解】
解：写出一个学过的特殊四边形中是“等对边四边形”的名称，如：平行四边形；
【小问2详解】
,
．码数x
26
30
34
42
长度y cm
18
20
22
26
x
…
0
1
2
3
…
y
…
1
m
3
…