广东省珠海市六校联考2023-2024学年高一下学期4月期中考试数学试题

这是一份广东省珠海市六校联考2023-2024学年高一下学期4月期中考试数学试题，共7页。试卷主要包含了已知向量，，则等内容，欢迎下载使用。
本试卷共4页，22小题，满分150分，考试用时120分钟.
注意事项：
1.答题前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.并用2B铅笔将对应的信息点涂黑，不按要求填涂的，答卷无效.
2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.
3.非选择题必须用黑色字这钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.
4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，只需将答题卡交回.
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1.已知复数在复平面内对应的点在第四象限，则实数的取值范围是（ ）
A.B.
C.D.
2.在中，若，，则等于（ ）
A.B.C.D.
3.已知向量，，且，则实数的值为（ ）
A.B.3C.8D.12
4.已知向量，，且，则的值是（ ）
A.B.C.D.
5.已知，均为单位向量，它们的夹角为，那么等于（ ）
A.B.C.D.4
6.已知，，为非零平面向量，则下列说法正确的是（ ）
A.B.若，则
C.若，则，D.
7.在中，角A，B，C所对边分别为，，，，则值等于（ ）
A.B.C.D.
8.在等边三角形的三边上各取一点D，E，F，满足，，，则三角形的面积的最大值是（ ）
A.B.C.D.
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题的四个选项中，至少有两项符合题目要求.
9.已知向量，，则（ ）
A.B.
c.D.与向量同向的单位向量是
10.已知复数的共轨复数为，则下列说法正确的是（ ）
A.一定是实数B.一定是实数
C.定是纯虚数D.
11.已知点是的重心，则下列说法中正确的有（ ）
A.B.
C.D.
12.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列结论正确的是（ ）
A.若，则为锐角三角形
B.若为锐角三角形，则
C.若，则为等腰三角形或直角三角形
D.若，则是直角三角形
三、填空題：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.复数满足，则的虚部为__________，__________.
14.已知平面向量，，且，则__________.
15.已知平面向量与的夹角为，若，，则在上的投影向量的坐标为__________.
16.在中，，，则的最大值为__________.
四、解答题
17.（10分）已知复数（其中且，i为虚数单位），且为纯虚数.
（1）求实数a的值：
（2）若，求复数的共轭复数.
18.（12分）如图，已知，.
（1）求线段AB的中点M的坐标；
（2）若点P是线段AB的一个三等分点，求点P的坐标.
19.（12分）如图，斜坐标系中，分别是与轴、轴正方向同向的单位向量，且的夹角为，定义向量在斜坐标系中的坐标为有序数对.记为.在斜坐标系中完成下列问题：
（1）若，，求；
（2）若，求.
20.（12分）如图，A、B两点都在河的对岸（不可到达），若在河岸选取相距20米的C、D两点，测得，，，，那么此时A，B两点间的距离是多少？
21.（12分）在平面直角坐标系中，设向量，，其中A，B分别是的两个内角.
（1）若，求的值：
（2）若，，求的面积的最大值.
22.（12分）某校兴趣小组在如图所示的矩形区域内举行机器人拦截挑战赛，在处按方向释放机器人甲，同时在处按方向释放机器人乙，设机器人乙在处成功拦截机器人甲，两机器人停止运动，若点M在矩形区域内（包含边界），则挑战成功，否则挑战失败.已知米，为AB中点，比赛中两机器人均匀速直线运动方式行进，记与的夹角为，与的夹角为.
（1）若两机器人运动方向的夹角为，足够长，机器人乙挑战成功，求两机器人运动路程和的最大值；
（2）已知机器人乙的速度是机器人甲的速度的2倍.
（i）若，足够长，求机器人乙能否挑战成功.
（ii）如何设计矩形区域的宽的长度，才能确保无论的值为多少，总可以通过设置机器人乙的释放角度使机器人乙挑战成功？
2023-2024学年第二学期高一年级期中学业质量监测试题
高一数学·参考答案
一二、选择题（每题5分）
三、主观题（每题5分）
13.5
14.15.16.
四、解答题
17.（10分）
解：（1），.
是纯虚数解得.
，.
（2）由（1）知，
，
的共轭复数为.
18.（12分）
解：（1）设，
因为，，
所以，，即；
（2）设，
当时，有；
当时，有.
19.（12分）
解：（1）由题设，，，
所以.
（2）由已知，则，
所以.
20.（12分）
解：根据正弦定理，
在中，有（米），
在中，有（米）.
在中，由余弦定理得（米）.
所以A，B两点间的距离为米.
21.（12分）
解：（1）由，得，所以.
因为，所以，故.
（2）由得，即，
因为，，所以.即.
因为，，所以，即.
由余弦定理得，（a，b，c分别为内角A，B，C的对边）
由基本不等式得，当且仅当时，取得等号.
所以，当且仅当时，取得等号.
所以面积的最大值为.
22.（12分）
解：（1）如图，在中，
由余弦定理得，，
所以，
所以，（当且仅当时等号成立），
故两机器人运动路程和的最大值为6.
（2）（i）在中由于机器人乙的速度是机器人甲的速度的2倍，故，因为，可知两机器人的运动方向平行，所以不论AD多长，机器人乙都不可能拦截到甲，所以不可能拦截成功.
（i）设，则，.
由余弦定理可得，所以，
所以，
由题意得对任意恒成立，
故，当且仅当时取到等号.
答：矩形区域的宽AD至少为2米，才能确保无论的值为多少，总可以通过设置机器人乙的释放角度使机器人乙在矩形区域内成功拦截机器人甲.题号
1
2
3
4
5
6
答案
A
D
A
B
B
C
题号
7
8
9
10
11
12
答案
C
A
AD
AB
AB
BCD