河北省唐山市2024届普通高等学校招生统一考试第二次模拟演练数学试题

这是一份河北省唐山市2024届普通高等学校招生统一考试第二次模拟演练数学试题，共10页。试卷主要包含了函数，已知数列满足，，则，已知圆，为研究光照时长，设抛物线等内容，欢迎下载使用。
本试卷共4页，19小题，满分150分．考试时间120分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再涂黑其他答案标号．解答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设全集，集合，集合，则（ ）
A．B．C．D．
2．某地区5000名学生的数学成绩（单位：分）服从正态分布，且成绩在的学生人数约为1800，则估计成绩在100分以上的学生人数约为（ ）
A．200B．700C．1400D．2500
3．若一条双曲线的实轴及虚轴分别为另一条双曲线的虚轴及实轴，则它们互为共轭双曲线．已知双曲线的标准方程为，则的共轭双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．2
4．函数（）在上为单调递增函数，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
5．已知长方体的一条棱长为2，体积为16，则其外接球表面积的最小值为（ ）
A．B．C．D．
6．已知数列满足，，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
7．已知为平面外的一条直线，则下列命题中正确的是（ ）
A．存在直线，使得，B．存在直线，使得，
C．存在直线，使得，D．存在直线，使得，
8．已知圆：，过点的直线与轴交于点，与圆交于，两点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．为研究光照时长（小时）和种子发芽数量（颗）之间的关系，某课题研究小组采集了10组数据，绘制散点图如图所示，并进行线性回归分析，若去掉点后，下列说法正确的是（ ）
A．相关系数变小B．经验回归方程斜率变小
C．残差平方和变小D．决定系数变小
10．设抛物线：的焦点为，准线为，过点的直线与交于，两点，则下列说法正确的是（ ）
A．B．以为直径的圆与相切
C．以为直径的圆过坐标原点D．为直角三角形
11．设函数，则下列结论正确的是（ ）
A．为奇数时，在单调递增
B．为奇数时，在有一个极值点
C．为偶数时，在单调递增
D．为偶数时，的最小值为0
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知为虚数单位，复数满足，则复数的虚部为______．
13．公式，其等号右侧展开式共有3类非同类项，的展开式共有6类非同类项；那么的展开式共有______类非同类项，的展开式共有______类非同类项．
14．锐角中，边上的高为4，则面积的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）
如图，在三棱台中，平面，，，．
（1）求证：；
（2）求平面与平面夹角的余弦值．
16．（15分）
某学校组织游戏活动，规则是学生从盒子中有放回的摸球且每次只能摸取1个球，每次摸球结果相互独立，盒中有1分和2分的球若干，摸到1分球的概率为，摸到2分球的概率为．
（1）若学生甲摸球2次，其总得分记为，求随机变量的分布列与期望；
（2）学生甲、乙各摸5次球，最终得分若相同，则都不获得奖励；若不同，则得分多者获得奖励．已知甲前3次摸球得了6分，求乙获得奖励的概率．
17．（15分）
（1）证明：；
（2）若，，利用（1）结合自己所学知识，求．
18．（17分）
已知椭圆的右焦点为，其四个顶点的连线围成的四边形面积为；菱形内接于椭圆．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）（ⅰ）坐标原点在边上的投影为点，求点的轨迹方程；
（ⅱ）求菱形面积的取值范围．
19．（17分）
数学归纳法是一种数学证明方法，通常被用于证明某个给定命题在整个（或者局部）自然数范围内成立．证明分为下面两个步骤：1．证明当（）时命题成立；2．假设（，且）时命题成立，推导出在时命题也成立．
用模取余运算：表示“整数除以整数，所得余数为整数”．用带余除法可表示为：被除数＝除数×商＋余数，即，整数是商．如，则；再如，则．当时，则称整除．
现从序号分别为，，，，…，的个人中选出一名幸运者，为了增加趣味性，特制定一个遴选规则：大家按序号围成一个圆环，然后依次报数，每报到（）时，此人退出圆环；直到最后剩1个人停止，此人即为幸运者，该幸运者的序号下标记为．如表示当只有1个人时幸运者就是；表示当有6个人而时幸运者是；表示当有6个人而时幸运者是．
（1）求；
（2）当时，，求；
当时，解释上述递推关系式的实际意义；
（3）由（2）推测当（）时，的结果，并用数学归纳法证明．
唐山市2024年普通高等学校招生统一考试第二次模拟演练
数学参考答案
一、选择题：
1～4．DBAC 5～8．CDBD
二、多选题：
9．BC 10．AC 11．ABD
三、填空题：
12． 13．10，（前空2分，后空3分） 14．
四、解答题：（若有其他解法，请参照给分）
15．解：（1）因为平面，平面，所以，
作交于点，
在等腰梯形中，，，所以
在中，，所以，
在中，由余弦定理得，
所以，从而有，
又，所以平面，
因为平面，所以．
（2）以为原点，、分别为轴、轴正向，建立空间直角坐标系如图所示，
则，，，，，
，，
因为平面，
所以为面的一个法向量．
设为面的法向量，
则，即
取，，，则
依题意，，
所以平面与平面夹角的余弦值为．
16．解：（1）由题意知学生甲摸球2次总得分的取值为2，3，4
，，，
所以的分布列为：
所以．
（2）记“甲最终得分为分”，；“乙获得奖励”．
，．
当甲最终得9分时，乙获得奖励需要最终得10分，则
；
当甲最终得8分时，乙获得奖励需要最终得10分或9分，则
；
故
．
即乙获得奖励的概率为．
17．解：（1）
（2）由（1）可知，，
即是方程的一个实根．
令，，
显然，当时，，
所以在上单调递减，
又，
所以，即．
18．解：（1）根据题意设椭圆的标准方程为，，
由已知得，，，
解得，，
所以椭圆的标准方程为：．
（2）依题意设直线方程为，
由，得，
由题意，
则，，
所以．
（ⅰ）四边形为菱形，，
，，
，即．
为点到直线的距离，，
所以点的轨迹方程为：．
（ⅱ）因为，
的面积
令，则，，
，
，，当时，，当时，，
所以．
由对称性可知菱形面积等于面积的4倍，
所以菱形面积的取值范围为．
19．解：（1）因为，所以．
（2）因为，且，
所以，故．
当时，递推关系式的实际意义：
当从个人中选出一个幸运者时，幸运者的序号下标为，
而从个人中选出一个幸运者时，幸运者的序号下标为．
如果把二者关联起来，后者的圆环可以认为是前者的圆环退出一人而形成的，当然还要重新排序，由于退出来的是，则原环的就成了新环的，也就是说原环的序号下标要比新环的大，原环的就成了新环的．需要注意，新环序号后面一直到，如果下标加上，就会超过．如新环序号对应的是原环中的，…，新环序号对应的是原环中的．也就是说，得用新环的序号下标加上再减去，才能在原环中找到对应的序号，这就需要用模取余，即．
（3）由题设可知，由（2）知
；
；
；
；
；
；
；
由此推测，当（）时，．
下面用数学归纳法证明：
1．当时，，推测成立；
2．假设当（，，且）时推测成立，
即．
由（2）知
．
（ⅰ）当时，；
（ⅱ）当时，，此时，
即．
故当时，推测成立．
综上所述，当（）时，．
推测成立．2
3
4