江苏省盐城市东台市第一中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷

这是一份江苏省盐城市东台市第一中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷，共9页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
（考试时间120分钟 总分150分）
第Ⅰ卷（选择题 共58分）
一、单项选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请在答题纸的指定位置填涂答案选项．）
1．已知向量，，且，则的值为（ ）
A．B．4C．D．5
2．某学校开设5门球类运动课程、4门田径类运动课程和3门水上运动课程供学生学习，某位学生任选1门课程学习，则不同的选法共有（ ）
A．60种B．30种C．12种D．11种
3．在的展开式中，的系数是（ ）
A．B．8C．D．4
4．先后两次抛一枚质地均匀的骰子，记事件“第一次抛出的点数小于等于3”，事件“两次点数之和大于3”，则（ ）
A．B．C．D．
5．为直线的方向向量，和分别为平面与的法向量（与不重合，），下列说法：①；②；③；④．其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
6．有5位医生被分配到4个接种点承担接种新冠疫苗工作，每个医生只能去一个接种点，每个接种点至少有一名医生，其中医生甲不能单独完成接种工作，则共有（ ）种不同的分配方法．
A．12B．24C．48D．96
7．如右图，已知棱长为2的正方体，，，分别为，的中点，则异面直线与所成角为（ ）
A．B．C．D．
8．把外形相同的球分装在三个盒子中，每盒10个，其中第一个盒子中有6个球标有字母，4个球标有字母；第二个盒子中有红球和白球各5个；第三个盒子中有红球8个，白球2个．试验按如下规则进行：先在第一个盒子中任取一个球，若取得标有字母的球，则在第二个盒子中任取一个球；若第一次取得标有字母的球，则在第三个盒子中任取一个球．如果第二次取出的是红球，则称试验成功，则试验成功的概率为（ ）
A．0.59B．0.62C．0.48D．0.64
二、多项选择题：（本大题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9．已知离散型随机变量的分布列如下所示，则（ ）
A．B．C．D．
10．在的展开式中，下列结论正确的是（ ）
A．第4项和第5项的二项式系数相等B．奇数项的二项式系数和为256
C．有理项有2项D．常数项为84
11．已知分别为随机事件的对立事件，，，则（ ）
A．B．若独立，则
C．若互斥，则D．若，则
第Ⅱ卷（非选择题 共92分）
三、填空题：（本大题共3小题，每小题5分，计15分．不需要写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上．）
12．若，则的值为______．
13．某校在课后服务中开设了“球类”、“棋类”、“书法”、“绘画”“舞踩”等五项活动，若甲同学准备从这五项活动中随机选三项，则“书法”和“绘画”这两项中至多有一项被选中的概率为______．
14．已知空间四边形（见上图），其各边及其对角线的长都是6，，，，则______，的长为______．
四、解答题：（本大题共5小题，共77分，请在答题纸指定的区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
15．（本小题满分13分）
身高各不相同的六位同学站成一排照相，
（1）与同学不相邻，共有多少种站法？（结果用数字作答）
（2）三位同学从左到右按照由高到矮的顺序站，共有多少种站法？（结果用数字作答）
16．（本小题满分15分）
如图，已知四棱锥的底面是直角梯形，，，，且平面，．
求：（1）平面与平面所成的二面角的正弦值；
（2）点到平面的距离．
17．（本小题满分15分）
“英才计划”最早开始于2013年，由中国科协、教育部共同组织实施，到2023年已经培养了6000多名具有创新潜质的优秀中学生，为选拔培养对象，某高校在暑假期间从中学里挑选优秀学生参加学科知识竞答活动，题库中共有10道题目，随机抽取3道让学生回答．已知某同学只能答对其中的6道，
试求：（1）抽到他能答对题目数的分布列；
（2）求的期望和方差．
18．（本小题满分17分）
从①第4项的系数与第2项的系数之比是；②第3项与倒数第2项的二项式系数之和为36；这两个条件中任选一个，再解决补充完整的题目．
已知，且的二项展开式中，______．
（1）求的值；
（2）①求二项展开式的中间项；
②求的值．
19．（本小题满分17分）．
如图，在直三棱柱中，，，为的中点．
（1）若为上的一点，且，求证；
（2）在（1）的条件下，若异面直线与所成的角为，求直线与平面所成角的正弦值．
2023～2024学年度第二学期期中考试
高二数学答案
第Ⅰ卷（选择题 共58分）
一、单项选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分．）
二、多项选择题：（本大题共3小题，每小题6分，共18分．）
第Ⅱ卷（非选择题 共92分）
三、填空题：（本大题共3小题，每小题5分，计15分）．
12．6或813．14．
四、解答题：
15．（本小题满分13分）．
解：（1）先排列除与外的4个人，有种方法，4个人排列共有5个空，
利用插空法将和插入5个空，有种方法，则共有种方法；
（2）对于，6个人全排列有种方法，全排列有种方法，
则从左到右按高到矮的排列有种方法。
16．（本小题满分15分）．
解：（1）以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系．
，，，，，，
设平面的法向量，则，，
取．
平面的法向量为，
平面与平面所成的二面角的正弦值．
（2），点到平面的距离
（用等体积法同样得分）
17．（本小题满分15分）
解：（1）由题意知：所有可能的取值为，
；；
；；
的分布列为：
（2）期望；
又，
方差．
18．（本小题满分17分）
解：（1）若选择①第4项的系数与第2项的系数之比是，
则有，
化简可得，求得或（舍去）．
若选择②第3项与倒数第2项的二项式系数之和为36，
则有，
化简可得，求得或（舍去）．
（2）由（1）可得，
①的二项展开式的中间项为．
②二项式展开式的通项公式为，
所以为正数，为负数．
在中，令．
再令，可得，
．
19．（本小题满分17分）．
解：（1）证明：
法一：取中点，连接，有，
因为，所以，
因为三棱柱为直三棱柱，
所以平面平面，
因为平面平面平面，
所以平面，
因为平面，所以．
因为为的四等分点，为的中点，
所以，
因为，所以直棱柱的侧面是正方形，所以，
又因为，，所以，又，，平面，
所以面，而面，
所以，即．
法二：取中点，连接，连接交于点，连接
因为，所以，
因为三棱柱为直三棱柱，
所以平面平面，
因为平面平面，平面，，
所以平面，
因为，所以直棱柱的侧面是正方形，
所以，
如图以为坐标原点，分别以为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系
设，，，，，，，
所以，即．
（2）连接，因为分别是的中点，所以，
所以异面直线与所成的角为与所成的角，因此
所以，
，，，，
，，
，
设平面的法向量为，
则即
则的一组解为
所以．
所以直线与平面所成角的正弦值为．1
3
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
C
A
A
C
D
D
B
题号
9
10
11
答案
ACD
BD
ABC
0
1
2
3