广东省茂名市化州市2023-2024学年高一下学期期中学科素养测评数学试题

这是一份广东省茂名市化州市2023-2024学年高一下学期期中学科素养测评数学试题，共10页。试卷主要包含了考生必须保持答题卷的整洁，已知向量，，则下列结论正确的是等内容，欢迎下载使用。
说明：本试卷分选择题和非选择题两部分，共6页．满分150分．考试时间120分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生务必填写答题卷上的有关项目．
2．选择题每小题选出答案后，把答案填在答题卷相应的位置上．
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
4．考生必须保持答题卷的整洁．考试结束后，将答题卷交回．
一、单项选择题：本大题共8个小题，每个小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．若复数z满足，则（ ）
A．B．C．D．
3．若，则的最小值为（ ）
A．4B．5C．6D．8
4．已知，则（ ）
A．B．C．D．
5．设D为△ABC所在平面内一点，若，则下列关系中正确的是（ ）
A．B．C．D．
6．已知幂函数是定义在区间上的奇函数，设，，，则（ ）
A．B．C．D．
7．化橘红具有散寒燥湿，利气消疾，止咳、健脾消食等功效．如图，小明为了测量一棵老橘红树的高度，他选取与树根部C在同一水平面的A、B两点，在A点测得树根部C在西偏北30°的方向上，沿正西方向步行20米到B处，测得树根部C在西偏北75°的方向上，树梢D的仰角为30°，则树的高度是（ ）
A．米B．米C．米D．米
8．设函数，，其中，若对任意，，至少有一个为非负值，则实数m的最大值是（ ）
A．1B．C．2D．
二、多项选择题：本大题共3个小题，每个小题6分，共18分．每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，选齐全对的得6分，漏选答案得相应分，错选和不选得0分．
9．已知直线l，m，平面，，则下列说法错误的是（ ）
A．，，则
B．，，，，则
C．，，，则
D．，，，，，则{
10．已知向量，，则下列结论正确的是（ ）
A．若与的夹角为，则
B．若，则
C．若，则
D．若与方向相反，则在上的投影向量的坐标是
11．已知正四棱柱的底面边长为2，侧棱，P为上底面上的动点，给出下列四个结论中正确结论为（ ）
A．若，则满足条件的P点有且只有一个
B．若，则点P的轨迹是一段圆弧
C．若平面，则DP长的最小值为2
D．若平面，且，则平面BDP截正四棱柱的外接球所得平面图形的面积为
三、填空题：本大题共3个小题，每个小题5分，共15分．
12．计算： ．
13．定义运算：，则函数的值域为 ．
14．在希腊数学家海伦的著作《测地术》中记载了著名的海伦公式，利用三角形的三条边长求三角形面积，若三角形的三边长为a，b，c，其面积，这里．已知在△ABC中，，，则△ABC面积的最大值为 ．
四、解答题：本大题共5个小题，满分共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．（13分）
已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（1）求角B；
（2）若，角B的角平分线交AC于点D，，求CD的长．
16．（15分）
已知平面向量，，．
（1）若，求；
（2）若与的夹角为锐角，求x的取值范围．
17．（15分）
如图：在正方体中，边长，M为的中点．
（1）求三棱锥D-AMC的体积；
（2）求证：平面AMC；
（3）若E为线段上的动点，则线段上是否存在点N，使平面AMC？说明理由．
18．（17分）
某学习小组在暑期社会实践活动中，通过对某商店一种商品销售情况的调查发现：该商品在过去的一个月内（以30天计）的日销售价格（元）与时间x（天）的函数关系近似满足（为正常数）．该商品的日销售量（个）与时间x（天）部分数据如表所示：
已知第10天该商品的日销售收入为121元．
（1）求k的值；
（2）给出以下二种函数模型：
①，
②，
请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数来描述该商品的日销售量与时间x的关系，并求出该函数的解析式；
（3）求该商品的日销售收入（，）（元）的最小值．（函数（，），在区间上单调递减，在区间上单调递增，性质直接应用．）
19．（17分）
已知是函数的零点，．
（1）求实数a的值；
（2）若方程有三个不同的实数解，求实数k的取值范围．
2023—2024学年度第二学期学科素养测评
高中一年级数学试卷参考答案
一、单项选择题：本大题共8个小题，每个小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．
二、多项选择题：本大题共3个小题，每个小题6分，共18分．每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，选齐全对的得6分，漏选不全的给相应的分，错选和不选得0分．
三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分．将答案填在答题卷的横线上．
12．0；13．；14．12．
四、解答题：本大题共6个小题，满分共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．（13分）
解：
（1）由，
得，
即，
因为，
所以：，
因为，
可得．
（2）由（1）可知，
又，
所以，，
可得，
所以，
在△BCD中，由余弦定理可得，
即，
解得．
16．（15分）
解：
（1）∵，
∴，
解得：或，
当时，，
∴；
当时，，
∴；
综上所述：或10
（2）若，共线，则，
解得：或，
当时，，，此时，同向；
当时，，，此时，反向；
∴若与的夹角为锐角，
则，
解得：且，
∴x的取值范围为．
17．（15分）
解：
（1）∵三棱柱BCF-ADE为正三棱柱
∴CD为棱锥D-BCF的高
∵，
∴
故三棱锥F-BCD的体积为．
（2）证明：连接DB，则G为DB的中点，且H为DF的中点，
∴GH为△DBF的中位线，
∴，
∵平面BCF，平面BCF
∴平面BCF
（3）存在，P为CD的中点，证明如下：
取CD的中点P，连接HP，GP，
∵H为DF的中点，
∴，
∵平面BCF，平面BCF，
∴平面BCF，
由（2）可得平面BCF，
又∵，平面GHP，平面GHP，
∴平面平面BCF，
∵平面HPG
∴平面BCF，
故
18．（17分）
解：
（1）依题意知，第10天该商品的日销售收入为，
解得，即k的值为1；
（2）由题中的数据知，当时间变化时，该商品的日销售量有增有减并不单调，
而①为单调函数，故只能选②，
从表中可得，，
即，
解得，．
故，（，）；
（3）由（2）知，
∴，
当时，在区间上是单调递减的，
在区间上是单调递增的，
∴当时，取得最小值，最小值为；
当时，是单调递减的，
∴当时，取得最小值，且最小值为．
综上所述，当时，取得最小值，且．
故该商品的日销售收入的最小值为121元．
19．（17分）
解：
（1）∵是函数的零点
∴，
解之得；
（2）由（1）得，
则，
则方程
可化为，
∵，
∴两边同乘
得：，
则此方程有三个不同的实数解．
令则，
则，
解之得或，
当时，，得；
当时，，则此方程有两个不同的实数解，
由函数图象可得，
解之得．
则实数k的取值范围为．
x（天）
10
20
25
30
（个）
110
120
125
120
单项选择题
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
A
C
D
B
A
D
C
多项选择题
9
10
11
答案
ABC
CD
ABD