河南省南阳市部分学校2023-2024学年高二下学期期中测试数学试题

这是一份河南省南阳市部分学校2023-2024学年高二下学期期中测试数学试题，共12页。试卷主要包含了1 C，已知等差数列的公差为，且，则，下列求导运算不正确的是等内容，欢迎下载使用。
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.一物体的运动方程是，则该物体在内的平均速度为（ ）
A.4.1 C.0.3 D.3
2.某电脑公司有3名产品推销员，其工作年限与年推销金额数据如下表所示：
由表中数据算出经验回归方程中的.若第4名推销员的工作年限为7年，则估计他的年推销金额为（ ）
万元 万元 万元 万元
3.已知函数的图象如图所示，是的导函数，则下列式子正确的是（ ）
A. B.
C. D.
4.若，则（ ）
A.-4 B.4 C.-1 D.1
5.已知等差数列的公差为，且，则（ ）
A.2025 B.2023 C.2021 D.2019
6.在数列中，，则数列的前2023项和（ ）
A. B.-112 C. D.
7.若过点作曲线的切线，则切线方程为（ ）
A. B.
C. D.
8.某企业在今年年初贷款万元，年利率为.从今年年末开始每年偿还一定金额，预计五年还清，则每年应偿还（ ）
A.万元 B.万元
C.万元 D.万元
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.下列求导运算不正确的是（ ）
A. B.
C. D.
10.2024年1月1日，很多商场都在搞促销活动.某市物价局派人对5个商场某商品同一天的销售量及价格进行调查，得到该商品的售价（单位：元）和销售量（单位：件）之间的一组数据如下表所示：
用最小二乘法求得关于的经验回归方程为，样本相关系数，则下列说法正确的是（ ）
A.变量与负相关且相关性较强
B.
C.当时，
D.数据的残差为-0.4
11.设等比数列的公比为，前项和为，前项积为，若，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C.的最大值为 D.的最大值为
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知函数的导函数是，且，则__________.
13.在等比数列中，，则__________.
14.14.我国古代典籍《庄子·天下》中记载：一尺之棰，日取其半，万世不竭.其含义是：一尺长的棍棒，每日截取它的一半，则永远也截不完.这体现了古人的智慧—无限分割的思想.现运用此思想操作如下：取长度为1的线段MN，将其三等分（如图①，去掉中间线段，记剩下线段的长度之和为；再将线段三等分（如图②，去掉中间线段，记剩下线段的长度之和为.则__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.（13分）
目前已有不少高校将游泳列为必修内容.某中学为了了解高三学生喜爱游泳是否与性别有关，对100名高三学生进行了问卷调查，得到如下列联表：
已知从这100人中随机抽取1人，抽到喜欢游泳的学生的概率为.
（1）请将上述列联表补充完整；
（2）判断是否有的把握认为高三学生喜欢游泳与性别有关.
附，其中.
16.（15分）
已知等比数列是各项均为正数的递增数列，成等差数列，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
17.（15分）
某研发团队实现了从单点光谱仪到超光谱成像芯片的跨越.为制定下一年的研发投入计划，该研发团队需要了解年研发资金投入量（单位：亿元）对年销售额（单位：亿元）的影响.结合近12年的年研发资金投入量和年销售额，该团队建立了两个函数模型：①，②，其中均为常数，为自然对数的底数.经对历史数据的初步处理，得到散点图如图.令，计算得到如下数据.
（1）设变量和变量的样本相关系数为，变量和变量的样本相关系数为，请从样本相关系数的角度，选择一个与相关性较强的模型.
（2）（i）根据（1）的选择及表中数据，建立关于的经验回归方程（系数精确到0.01）；
（ii）若下一年销售额需达到80亿元，预测下一年的研发资金投入量.
附：；样本相关系数；经验回归方程，其中.
18.（17分）
已知数列满足.
（1）记，求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和.
19.（17分）
已知两曲线和都经过点，且在点处有公切线.
（1）求的值；
（2）设抛物线上一动点到直线的距离为，求的最小值.
参考答案
2023—2024学年高二下学期期中测试卷
数学
答案速查
1.A 【解析】由题意得所求平均速度.
2.D 【解析】由题表中数据得，所以经验回归直线过点.又，所以，所以，所以当时，3.27，所以估计第4名推销员的年推销金额为3.27万元.
3.B 【解析】由题图知函数是单调递增的，则函数的图象上任意一点处的导函数值都大于零.又函数的图象在处的切线斜率大于在处的切线斜率，所以.如图，记，连接.
易得直线的斜率.由函数图象知，即，故选B.
4.C 【解析】因为，所以.
5.A 【解析】因为是公差为的等差数列，所以是公差为2的等差数列.易得，令，得，所以.
6.B 【解析】因为，所以，所以数列是以3为周期的周期数列.又，所以.
7.D 【解析】易知不是切点，可设切点的坐标为①切线方程为.又点在切线上，②.由①②得切线方程为，即.
8.B 【解析】设每年偿还万元，则，所以，解得.
9.ACD 【解析】，故A符合题意；，故B不符合题意；，故C符合题意；，故D符合题意.
10.ABD 【解析】由经验回归方程可知变量线性负相关，由相关系数，可知变量与的相关性较强，故A正确；由题表中数据可得，，所以经验回归直线过点，则，解得，故正确；当85时，，故C错误；数据的残差为，故D正确.
11.AD 【解析】因为是公比为的等比数列，且，所以，所以各项均为正数，所以没有最大值，故C错误；由得，所以或，若，则，此时，则，与矛盾，所以，所以，所以数列是各项均为正数的递减数列，所以的最大值为，故B不正确，A，D正确.故选AD.
12. 【解析】因为，所以，所以，所以0，所以，所以.
13.9216 【解析】设等比数列的公比为.由题意得
解得则.令
①，
则①得②.①-②得，则，所以.
14. 【解析】由题意得
，所以
.令①，则②，由①②得，所以，所以.
15.【解析】（1）因为在100人中随机抽取1人，抽到喜欢游泳
的学生的概率为，
所以喜欢游泳的学生人数为.
又喜欢游泳的女生有20人，
所以喜欢游泳的男生有40人.
将列联表补充如下：
（2）零假设为：高三学生喜欢游泳与性别无关.
因为10.828，
所以推断不成立，即有的把握认为高三学生喜欢游泳与性别有关.
16.【解析】（1）设等比数列的公比为.
由题意得.
由成等差数列得，即
.
因为，
所以，解得或（舍去）.
又，
所以，即，解得，
所以.
（2）由（1）知，则，
所以，
所以，
所以
.
17.【解析】（1）由题意知
.
因为，
所以，
故从样本相关系数的角度，模型中与的相关性较强.
（2）由，得，即.
因为，
所以，
故关于的经验回归方程为，即
.
所以.
（ii）将代入得.
因为，
所以，解得，
故预测下一年的研发资金投入量是27.1亿元.
18.【解析】（1）由题意得，
又，
所以.
因为，
所以，
所以是首项为3，公差为2的等差数列，
所以.
（2）因为，
所以.
所以当时，1）
当时，，则
.
所以
19.【解析】（1）将分别代入两曲线的方程得2①
.②
由得，
，
所以.
由题意得.③
由①②③得.
（2）要使抛物线上的点到直线的距离最短，
则抛物线在点处的切线的斜率与直线的斜率相同.
令，解得.
又因为点在抛物线上，
所以，
所以.推销员编号
1
2
3
工作年限年
3
5
10
推销金额万元
2
3
4
价格元
90
95
100
105
110
销售量件
11
10
8
6
5
性别
是否喜欢游泳
合计
喜欢游泳
不喜欢游泳
男生
10
女生
20
合计
0.05
0.025
0.01
0.005
0.001
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
20
66
770
200
14
460
4.20
3125000
0.308
21500
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
A
D
B
C
A
B
D
B
ACD
ABD
AD
性别
是否喜欢游泳
合计
喜欢
不喜欢
男生
40
10
50
女生
20
30
50
合计
60
40
100