2022-2023学年河南省新乡一中八年级（下）期中数学试卷附解析

这是一份2022-2023学年河南省新乡一中八年级（下）期中数学试卷附解析，共26页。
A．B．C．D．
2．（3分）下列二次根式，不能与合并的是（ ）
A．B．C．D．﹣
3．（3分）下列长度的三条线段能构成直角三角形的是（ ）
A．2，3，4B．1，1，2C．4，5，6D．2，，
4．（3分）下列各曲线中，能表示y是x的函数的是（ ）
A．B．
C．D．
5．（3分）如图，在▱ABCD中，BE⊥AB交对角线AC于点E．若∠1＝20°，则∠2的度数是（ ）
A．130°B．110°C．120°D．140°
6．（3分）如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，则不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．∠ABD＝∠BDC，OA＝OC
B．∠ABC＝∠ADC，AB＝CD
C．∠ABC＝∠ADC，AD∥BC
D．∠ABD＝∠BDC，∠BAD＝∠DCB
7．（3分）《九章算术》勾股章有一个问题，其意思是：现有一竖立着的木柱，在木柱上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵着绳索退行，在离木柱根部8尺处时绳索用尽，请问：绳索有多长？若设绳索长x尺，根据题意，可列方程为（ ）
A．82+x2＝x2B．82+（x﹣3）2＝x2
C．82+x2＝（x﹣3）2D．x2+（x﹣3）2＝82
8．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，O为对角线AC的中点，AC⊥AB，点E为AD中点，并且OF⊥BC，∠D＝53°，则∠FOE的度数是（ ）
A．137°B．153°C．127°D．143°
9．（3分）吴老师家、公园、学校依次在同一条直线上，家到公园、公园到学校的距离分别为400m，600m．他从家出发匀速步行8min到公园后，停留4min，然后匀速步行6min到学校．设吴老师离公园的距离为y（单位：m），所用时间为x（单位：min），则下列表示y与x之间函数关系的图象中，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
10．（3分）如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝5，BC＝3，将△BCD沿BD折叠到△BED位置，DE交AB于点F，则DF的值为（ ）
A．B．C．D．
二．填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）函数y＝的自变量x的取值范围为 ．
12．（3分）如果直角三角形两条边长分别为3和4，那么第三条边长为 ．
13．（3分）如图，平行四边形ABCD两对角线AC，BD相交于点O，且AC+BD＝36，若△COD的周长为29，则AB＝ ．
14．（3分）如图，四边形OABC为矩形，点A，C分别在x轴和y轴上，连接AC，点B的坐标为（4，3），∠CAO的平分线与y轴相交于点D，则点D的坐标为 ．
15．（3分）如图，四边形ABCD是边长为4的菱形，∠C＝60°，点P是射线CE上的动点，线段AP的垂直平分线MN交AD于点F，连接PF，若△DPF是等腰三角形，则PF的长为 ．
三．解答题（共75分）
16．（8分）计算题：
（1）（﹣4）﹣（2﹣2）；
（2）×+（4﹣2）÷2．
17．（9分）若a＝，b＝，求下列代数式的值．
（1）a2b+ab2；
（2）a2﹣ab+b2．
18．（9分）如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在BC、AD上，且DF＝BE．
求证：AE＝CF．
19．（9分）如图，在四边形ABCD中，AB＝5，BC＝3，CD＝6，，AC⊥BC．
（1）求AC的长；
（2）求证：AD∥BC．
20．（9分）姐姐帮小明荡秋千（如图1），秋千离地面的高度h（m）与摆动时间t（s）之间的关系如图2所示．
（1）根据函数的定义，请判断变量h是否为变量t的函数？并说明理由；
（2）结合图象回答：
①当t＝0.7s时，h的值是多少？并说明它的实际意义；
②从最高点开始向前到最低点，继续向前到最高点，再返回到最低点最后回到最高点，这叫做一个周期，直接写出秋千摆第三个周期需多少时间？
21．（10分）如图，是由小正方形组成的9×6的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，△ABC的三个顶点都是格点，点P为△ABC内一点．仅用无刻度直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．
（1）在图1中，画格点D，连接AD，CD，使得四边形ABCD为平行四边形，并在边CD上画点Q，使直线PQ平分四边形ABCD的面积；
（2）在（1）的条件下，在图2中，画△ABC的角平分线BE，再画点D关于直线BE的对称点F．
22．（10分）如图，在矩形ABCD中，点E为对角线BD中点，过E作FH⊥BD，交AD于点F，交BC于点H，连接BF，DH．
（1）试判断四边形BFDH的形状，并说明理由；
（2）若AB＝12，AD＝18，求BH的长．
23．（11分）下面是八年级教科书中的一道题．
如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F．求证AE＝EF．（提示：取AB的中点G，连接EG．）
（1）请你思考题中“提示”，这样添加辅助线的意图是得到条件： ；
（2）如图2，若点E是BC边上任意一点（不与B、C重合），其他条件不变．求证：AE＝EF；
（3）在（2）的条件下，连接AC，过点E作EP⊥AC，垂足为P．设＝k，当k为 时，四边形ECFP是平行四边形．
2022-2023学年河南省新乡一中八年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）下列各式是二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据二次根式的概念，逐一判断．
【解答】解：A、﹣7＜0，不是二次根式；
B、当m＜0时，不是二次根式；
C、a2+1＞0，是二次根式；
D、根指数是3，不是二次根式．
故选：C．
【点评】主要考查了二次根式的概念．
二次根式的概念：式子（a≥0）叫二次根式．（a≥0）是一个非负数．
2．（3分）下列二次根式，不能与合并的是（ ）
A．B．C．D．﹣
【答案】C
【分析】根据二次根式的性质把各个二次根式化简，根据同类二次根式的定义判断即可．
【解答】解：A、＝，能与合并；
B、＝2，能与合并；
C、＝2，不能与合并；
D、﹣＝﹣3，能与合并，
故选：C．
【点评】本题考查的是同类二次根式的定义，即：二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式．
3．（3分）下列长度的三条线段能构成直角三角形的是（ ）
A．2，3，4B．1，1，2C．4，5，6D．2，，
【答案】D
【分析】三角形三边满足两个较小边的平方和等于较大边的平方，这个三角形就是直角三角形．
【解答】解：
A、22+32≠42，不能作为直角三角形的三边长，故本选项不符合题意；
B、12+12≠（2）2，不能作为直角三角形的三边长，故本选项不符合题意；
C、52+42≠62，不能作为直角三角形的三边长，故本选项不符合题意；
D、（）2+（）＝22，能作为直角三角形的三边长，故本选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查勾股定理的逆定理，关键知道两个较小边的平方和等于较大边的平方，这个三角形就是直角三角形．
4．（3分）下列各曲线中，能表示y是x的函数的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据函数的意义即可求出答案．
【解答】解：根据函数的意义可知：对于自变量x的任何值，y都有唯一的值与之相对应，所以D正确．
故选：D．
【点评】此题主要考查了函数图象的读图能力．要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．函数的意义反映在图象上简单的判断方法是：作垂直x轴的直线在左右平移的过程中与函数图象只会有一个交点．
5．（3分）如图，在▱ABCD中，BE⊥AB交对角线AC于点E．若∠1＝20°，则∠2的度数是（ ）
A．130°B．110°C．120°D．140°
【答案】B
【分析】由平行四边形的性质得AB∥CD，则∠BAC＝∠1＝20°，由BE⊥AB得∠ABE＝90°，则∠2＝∠BAC+∠ABE＝110°，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∠1＝20°，
∴AB∥CD，
∴∠BAC＝∠1＝20°，
∵BE⊥AB交对角线AC于点E，
∴∠ABE＝90°，
∴∠2＝∠BAC+∠ABE＝20°+90°＝110°，
故选：B．
【点评】此题重点考查平行四边形的性质、平行线的性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识，证明AB∥CD，并求得∠BAC＝∠1＝20°，是解题的关键．
6．（3分）如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，则不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．∠ABD＝∠BDC，OA＝OC
B．∠ABC＝∠ADC，AB＝CD
C．∠ABC＝∠ADC，AD∥BC
D．∠ABD＝∠BDC，∠BAD＝∠DCB
【答案】B
【分析】利用所给条件结合平行四边形的判定方法进行分析即可．
【解答】解：A、∵∠ABD＝∠BDC，OA＝OC，
又∠AOB＝∠COD，
∴△AOB≌△COD，
∴DO＝BO，
∴四边形ABCD是平行四边形，故此选项不合题意；
B、∠ABC＝∠ADC，AB＝CD不能判断四边形ABCD是平行四边形，故此选项符合题意；
C、∵AD∥BC，
∴∠ABC+∠BAD＝180°，
∵∠ABC＝∠ADC，
∴∠ADC+∠BAD＝180°，
∴AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，故此选项不合题意；
D、∵∠ABD＝∠BDC，∠BAD＝∠DCB，
∴∠ADB＝∠CBD，
∴AD∥CB，
∵∠ABD＝∠BDC，
∴AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，故此选项不合题意；
故选：B．
【点评】此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形．（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．
7．（3分）《九章算术》勾股章有一个问题，其意思是：现有一竖立着的木柱，在木柱上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵着绳索退行，在离木柱根部8尺处时绳索用尽，请问：绳索有多长？若设绳索长x尺，根据题意，可列方程为（ ）
A．82+x2＝x2B．82+（x﹣3）2＝x2
C．82+x2＝（x﹣3）2D．x2+（x﹣3）2＝82
【答案】B
【分析】由绳索的长度，可得出木柱的高度，再利用勾股定理，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：若设绳索长x尺，则木柱高（x﹣3）尺，
根据题意得：82+（x﹣3）2＝x2．
故选：B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程、数学常识以及勾股定理的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
8．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，O为对角线AC的中点，AC⊥AB，点E为AD中点，并且OF⊥BC，∠D＝53°，则∠FOE的度数是（ ）
A．137°B．153°C．127°D．143°
【答案】D
【分析】由平行四边形的性质得∠B＝∠D＝53°，AB∥CD，AD∥BC，则∠BAC＝∠DCA＝90°，得∠ACB＝37°，再证OE是△ACD的中位线，得OE∥CD，则∠COE＝90°，然后求出∠FOC＝90°﹣∠ACB＝53°，即可解决问题．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝∠D＝53°，AB∥CD，AD∥BC，
∴∠BAC＝∠DCA，
∵AC⊥AB，
∴∠BAC＝∠DCA＝90°，
∴∠ACB＝90°﹣53°＝37°，
∵点O为AC的中点，点E为AD的中点，
∴OE是△ACD的中位线，
∴OE∥CD，
∴∠COE+∠ACD＝180°，
∴∠COE＝90°，
∵OF⊥BC，
∴∠FOC＝90°﹣∠ACB＝53°，
∴∠EOF＝∠EOC+∠FOC＝90°+53°＝143°，
故选：D．
【点评】本题考查了平行四边形的性质、三角形中位线定理以及直角三角形的性质等知识；熟练掌握平行四边形的性质和三角形中位线定理是解题的关键．
9．（3分）吴老师家、公园、学校依次在同一条直线上，家到公园、公园到学校的距离分别为400m，600m．他从家出发匀速步行8min到公园后，停留4min，然后匀速步行6min到学校．设吴老师离公园的距离为y（单位：m），所用时间为x（单位：min），则下列表示y与x之间函数关系的图象中，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】在不同时间段中，找出y的值，即可求解．
【解答】解：吴老师从家出发匀速步行8min到公园，则y的值由400变为0，
吴老师在公园停留4min，则y的值仍然为0，
吴老师从公园匀速步行6min到学校，则在18分钟时，y的值为600，
故选：C．
【点评】本题考查了函数的图象，利用数形结合思想解决问题是解题的关键．
10．（3分）如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝5，BC＝3，将△BCD沿BD折叠到△BED位置，DE交AB于点F，则DF的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由矩形的性质得∠A＝90°，AB∥CD，AD＝BC＝3，则∠ABD＝∠CDB，由折叠得∠EDB＝∠CDB，所以∠ABD＝∠EDB，则DF＝BF，由勾股定理得32+（5﹣DF）＝DF2，则DF＝，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，AB＝5，BC＝3，
∴∠A＝90°，AB∥CD，AD＝BC＝3，
∴∠ABD＝∠CDB，
由折叠得∠EDB＝∠CDB，
∴∠ABD＝∠EDB，
∴DF＝BF，
∵AD2+AF2＝DF2，AF＝5﹣BF＝5﹣DF，
∴32+（5﹣DF）＝DF2，
解得DF＝，
故选：B．
【点评】此题重点考查矩形的性质、轴对称的性质、等腰三角形的判定、勾股定理等知识，证明DF＝BF是解题的关键．
二．填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）函数y＝的自变量x的取值范围为 x≥﹣1且x≠3 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据（a≥0）以及分母不能为0，进行计算即可．
【解答】解：由题意得：
x+1≥0且x﹣3≠0，
∴x≥﹣1且x≠3，
故答案为：x≥﹣1且x≠3．
【点评】本题考查了函数自变量的取值范围，熟练掌握（a≥0）以及分母不能为0是解题的关键．
12．（3分）如果直角三角形两条边长分别为3和4，那么第三条边长为 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】分第三边为直角边或斜边两种情况，根据勾股定理分别求第三边．
【解答】解：当第三边为直角边时，4为斜边，第三边＝＝；
当第三边为斜边时，3和4为直角边，第三边＝＝5，
故答案为：5或．
【点评】本题考查了勾股定理．关键是根据第三边为直角边或斜边，分类讨论，利用勾股定理求解．
13．（3分）如图，平行四边形ABCD两对角线AC，BD相交于点O，且AC+BD＝36，若△COD的周长为29，则AB＝ 11 ．
【答案】11．
【分析】根据平行四边形对角线互相平分的性质，可求出（OD+OC）的值，然后根据周长可求出DC的值，即为AB的值．
【解答】解：∵平行四边形ABCD两对角线AC，BD相交于点O，
∴，AB＝CD，
∵AC+BD＝36，
∴，
∵C△OCD＝OC+OD+CD＝29，
∴AB＝CD＝29﹣18＝11；
故答案为：11．
【点评】此题考查平行四边形的性质，解题关键是平行四边形的对角线互相平分．
14．（3分）如图，四边形OABC为矩形，点A，C分别在x轴和y轴上，连接AC，点B的坐标为（4，3），∠CAO的平分线与y轴相交于点D，则点D的坐标为 （0，） ．
【答案】见试题解答内容
【分析】过D作DE⊥AC于E，根据矩形的性质和B的坐标求出OC＝AB＝3，OA＝BC＝4，∠COA＝90°，求出OD＝DE，根据勾股定理求出OA＝AE＝4，AC＝5，在Rt△DEC中，根据勾股定理得出DE2+EC2＝CD2，求出OD，即可得出答案．
【解答】解：过D作DE⊥AC于E，
∵四边形ABCO是矩形，B（4，3），
∴OC＝AB＝3，OA＝BC＝4，∠COA＝90°，
∵AD平分∠OAC，
∴OD＝DE，
由勾股定理得：OA2＝AD2﹣OD2，AE2＝AD2﹣DE2，
∴OA＝AE＝4，
由勾股定理得：AC＝＝5，
在Rt△DEC中，DE2+EC2＝CD2，
即OD2+（5﹣4）2＝（3﹣OD）2，
解得：OD＝，
所以D的坐标为（0，），
故答案为：（0，）．
【点评】本题考查了矩形的性质，角平分线性质，勾股定理的应用，能根据勾股定理得出关于OD的方程是解此题的关键．
15．（3分）如图，四边形ABCD是边长为4的菱形，∠C＝60°，点P是射线CE上的动点，线段AP的垂直平分线MN交AD于点F，连接PF，若△DPF是等腰三角形，则PF的长为 6﹣2或2 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】分两种情况进行：①当点P在CD边上时，作DQ⊥PF于点Q，设PF＝x，根据等腰三角形的性质表示DF，再根据线段垂直平分线的性质可得AF＝PF，进而可得PF的长；②第二种情况当点P在CD延长线上时，根据菱形的性质可得△DPF是等边三角形，进而可得PF的长．
【解答】解：①如图，作DQ⊥PF于点Q，设PF＝x，当点P在CD边上时，
∵四边形ABCD是边长为4的菱形，∠C＝60°，
∴∠ADC＝120°，
∵△DPF是等腰三角形，
∴DF＝DP，FQ＝PQ＝PF＝x，
∠FDQ＝∠PDQ＝ADC＝60°，
∴DF＝＝x，
∵MN垂直平分AP，
∴AF＝PF＝x，
∵AD＝AF+DF，
∴x+x＝4，
解得x＝6﹣2；
②第二种情况如图所示：当点P在CD延长线上时，
∵MN垂直平分AP，
∴AF＝PF，
∵四边形ABCD是边长为4的菱形，∠C＝60°，
∴∠ADP＝∠C＝60°，
∵△DPF是等腰三角形，
∴△DPF是等边三角形，
∴PF＝DF＝AF，
∵AD＝AF+DF＝2PF＝4，
∴PF＝2，
综上所述：PF的长为6﹣2或2．
故答案为：6﹣2或2．
【点评】本题考查了菱形的性质、等腰三角形的性质、等边三角形的性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理，解决本题的关键是综合运用以上知识．
三．解答题（共75分）
16．（8分）计算题：
（1）（﹣4）﹣（2﹣2）；
（2）×+（4﹣2）÷2．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）先化简，再进一步去掉括号合并即可；
（2）利用二次根式的乘除计算方法计算，进一步合并即可．
【解答】解：原式＝4﹣﹣+
＝；
（2）原式＝7+2﹣
＝6+2．
【点评】本题考查的是二次根式的混合运算，在进行此类运算时，一般先把二次根式化为最简二次根式的形式后再运算．
17．（9分）若a＝，b＝，求下列代数式的值．
（1）a2b+ab2；
（2）a2﹣ab+b2．
【答案】（1）8；
（2）8．
【分析】（1）根据二次根式的加法法则、减法法则分别求出ab，a+b，再根据平方差公式计算；
（2）根据完全平方公式计算．
【解答】解：∵a＝，b＝，
∴ab＝（）（）＝4，
a+b＝（）+（）＝2，
（1）a2b+ab2
＝ab（a+b）
＝4×2
＝8；
（2）a2﹣ab+b2
＝（a+b）2﹣3ab
＝（2）2﹣12
＝20﹣12
＝8．
【点评】本题考查的是二次根式的化简求值，掌握完全平方公式、平方差公式是解题的关键．
18．（9分）如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在BC、AD上，且DF＝BE．
求证：AE＝CF．
【答案】见试题解答内容
【分析】由条件可证明四边形AECF为平行四边形，可证得结论．
【解答】证明：
在▱ABCD中，AD＝BC且AD∥BC，
∵BE＝FD，
∴AF＝CE，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴AE＝CF．
【点评】本题主要考查平行四边形的判定和性质，掌握平行四边形的对边平行且相等、对角相等、对角线互相平分是解题的关键．
19．（9分）如图，在四边形ABCD中，AB＝5，BC＝3，CD＝6，，AC⊥BC．
（1）求AC的长；
（2）求证：AD∥BC．
【答案】（1）AC＝4；
（2）见解析．
【分析】（1）利用勾股定理计算AC可得；
（2）利用勾股定理的逆定理可得∠CAD＝90°，根据内错角相等，两直线平行得以证明．
【解答】（1）解：∵AC⊥BC，
∴∠ACB＝90°，
在Rt△ABC中，
∵AB＝5，BC＝3，
∴AC2＝AB2﹣BC2＝25﹣9＝16，
∵AC＞0，
∴AC＝4，
（2）证明：在△ACD中，
∵AC＝4，，CD＝6，
∴AC2+AD2＝16+20＝36＝CD2，
∴∠CAD＝90°，
∴∠CAD＝∠ACB，
∴AD∥BC．
【点评】本题考查勾股定理和勾股定理的逆定理，平行线的判定，掌握勾股定理和以及逆定理是解题的关键．
20．（9分）姐姐帮小明荡秋千（如图1），秋千离地面的高度h（m）与摆动时间t（s）之间的关系如图2所示．
（1）根据函数的定义，请判断变量h是否为变量t的函数？并说明理由；
（2）结合图象回答：
①当t＝0.7s时，h的值是多少？并说明它的实际意义；
②从最高点开始向前到最低点，继续向前到最高点，再返回到最低点最后回到最高点，这叫做一个周期，直接写出秋千摆第三个周期需多少时间？
【答案】（1）h是t的函数．（2）①当 t＝0.7s时，h＝0.5m，②需2.4s．
【分析】（1）按照函数的定义即可求解；
（2）①当t＝0.7s时，h＝0.5m，即为离地面最近的点，即可求解；
②从图象看前一个周期用时2.8s，后一个周期用时5.4﹣2.8＝2.6（s），再后一个周期用时7.8﹣5.4＝2.4（s），为均匀减小，即可求解．
【解答】解：（1）h是t的函数，h和t是两个变量，故变量h是关于t的函数；
（2）①当t＝0.7s时，h＝0.5m，
它的意义是：秋千摆动 0.7s时，离地面的高度为0.5m．
②从图象看前一个周期用时2.8s，后一个周期用时5.4﹣2.8＝2.6（s），再后面一个周期用时7.8﹣5.4＝2.4（s），为均匀减小，
故秋千摆第三个周期需2.4s
【点评】本题考查由图象理解对应函数关系及其实际意义，应把所有可能出现的情况考虑清楚．
21．（10分）如图，是由小正方形组成的9×6的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，△ABC的三个顶点都是格点，点P为△ABC内一点．仅用无刻度直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．
（1）在图1中，画格点D，连接AD，CD，使得四边形ABCD为平行四边形，并在边CD上画点Q，使直线PQ平分四边形ABCD的面积；
（2）在（1）的条件下，在图2中，画△ABC的角平分线BE，再画点D关于直线BE的对称点F．
【答案】（1）见解析；
（2）见解析．
【分析】（1）将点C向左平移4个单位长度，即可得到点D；连接点P和四边形ABCD对角线的交点，并延长，交CD于点Q，点D和点Q即为所求；
（2）将点C向左平移5个单位长度得到点C′，连接BC′，与AC相交于点E；将点B向左平移5个单位长度，连接B′D，与BC′相交于点G，连接CG并延长，交B′C′于点F，直线BE和点F即为所求．
【解答】解：（1）如图，点D和点Q即为所求；
（2）如图，射线BE和点F即为所求．
【点评】本题主要考查了格点作图，平行四边形的性质，角平分线的性质，解题的关键是熟练掌握相关性质以及平行四边形和全等三角形的判定，并利用相关性质和定理完成作图．
22．（10分）如图，在矩形ABCD中，点E为对角线BD中点，过E作FH⊥BD，交AD于点F，交BC于点H，连接BF，DH．
（1）试判断四边形BFDH的形状，并说明理由；
（2）若AB＝12，AD＝18，求BH的长．
【答案】（1）平行四边形FBHD为菱形，理由见解析；
（2）BH的长度为13．
【分析】（1）根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”判定即可；
（2）设BH的长度为x，根据菱形的性质和勾股定理即可求解．
【解答】解：（1）四边形FBHD为菱形，理由如下：
∵四边形ABCD为矩形，
∴AD∥BC，
∴∠FDB＝∠HBD，
∵E为BD中点
∴BE＝DE，
∵FH⊥BD，
∴∠FED＝∠HEB，
∴△FED≌△HEB（ASA），
∴FE＝HE，
又BE＝DE，
∴四边形FBHD为平行四边形，
∵FH⊥BD，
∴平行四边形FBHD为菱形；
（2）设BH的长度为x，
由（1）得四边形FBHD为菱形，
∴BH＝FD＝BF，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠A＝90°，
∵AB＝12，AD＝18，
在Rt△ABF中，由勾股定理得：AB2+AF2＝BF2，
∴122+（18﹣x）2＝x2，
解得：x＝13，
∴BH的长度为13．
【点评】本题考查了平行四边形的性质和菱形的性质，灵活运用所学知识是解题关键．
23．（11分）下面是八年级教科书中的一道题．
如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F．求证AE＝EF．（提示：取AB的中点G，连接EG．）
（1）请你思考题中“提示”，这样添加辅助线的意图是得到条件： AG＝CE ；
（2）如图2，若点E是BC边上任意一点（不与B、C重合），其他条件不变．求证：AE＝EF；
（3）在（2）的条件下，连接AC，过点E作EP⊥AC，垂足为P．设＝k，当k为 时，四边形ECFP是平行四边形．
【答案】（1）AG＝CE；
（2）证明见解答过程；
（3）k＝．
【分析】（1）根据点E为BC的中点，可得答案；
（2）取AG＝EC，连接EG，首先说明△BGE是等腰直角三角形，再证明△GAE≌△CEF，可得答案；
（3）设BC＝x，则BE＝kx，则GE＝kx，EC＝（1﹣k）x，再利用等腰直角三角形的性质表示EP的长，利用平行四边形的判定可得只要EP＝FC，即可解决问题．
【解答】（1）解：∵点E为BC的中点，
∴BE＝CE，
∵点G为AB的中点，
∴BG＝AG，
又∵AB＝BC，
∴AG＝CE，
故答案为：AG＝CE；
（2）证明：取AG＝EC，连接EG，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠B＝90°，
∵AG＝CE，
∴BG＝BE，
∴△BGE是等腰直角三角形，
∴∠BGE＝∠BEG＝45°，
∴∠AGE＝∠ECF＝135°，
∵AE⊥EF，
∴∠AEB+∠FEC＝90°，
∵∠BAE+∠AEB＝90°，
∴∠FEC＝∠BAE，
∴△GAE≌△CEF（ASA），
∴AE＝EF；
（3）解：k＝时，四边形PECF是平行四边形，如图，
由（2）知，△GAE≌△CEF，
∴CF＝EG，
设BC＝x，则BE＝kx，
∴GE＝kx，EC＝（1﹣k）x，
∵EP⊥AC，
∴△PEC是等腰直角三角形，
∴∠PEC＝45°，
∴∠PEC+∠ECF＝180°，
∴PE∥CF，
∴PE＝（1﹣k）x，
当PE＝CF时，四边形PECF是平行四边形，
∴（1﹣k）x＝kx，
解得：k＝．
故答案为：．
【点评】本题是四边形的综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，平行四边形的判定等知识，取AG＝CE，证明△GAE≌△CEF是解题的关键．
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