2024年平面直角坐标系动点问题专项练习附解析

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2024年平面直角坐标系动点问题专项练习附解析一．解答题（共9小题）1．如图，在平面直角坐标系中，AB⊥x轴，垂足为A，BC⊥y轴，垂足为C，已知A（a，0），C（0，c），其中a，c满足关系式（a﹣6）2+|c+8|＝0，点P从O点出发沿折线OA﹣AB﹣BC的方向运动到点C停止，运动的速度为每秒2个单位长度，设点P的运动时间为t秒．（1）在运动过程中，当点P到AB的距离为2个单位长度时，t＝　 　；（2）在点P的运动过程中，用含t的代数式表示P点的坐标；（3）当点P在线段AB上的运动过程中，射线AO上一点E，射线OC上一点F（不与C重合），连接PE，PF，使得∠EPF＝70°，求∠AEP与∠PFC的数量关系．2．如图1，已知，点A（1，a），AH⊥x轴，垂足为H，将线段AO平移至线段BC，点B（b，0），其中点A与点B对应，点O与点C对应，a、b满足．（1）填空：①直接写出A、B、C三点的坐标A（ 　 　）、B（ 　 　）、C（ 　 　）；②直接写出三角形AOH的面积 　 　．（2）如图1，若点D（m，n）在线段OA上，证明：4m＝n．（3）如图2，连OC，动点P从点B开始在x轴上以每秒2个单位的速度向左运动，同时点Q从点O开始在y轴上以每秒1个单位的速度向下运动．若经过t秒，三角形AOP与三角形COQ的面积相等，试求t的值及点P的坐标．3．如图，在平面直角坐标系中，已知A（a，0），B（b，0），其中a，b满足|a+1|+（b﹣3）2＝0．（1）填空：a＝　 　，b＝　 　；（2）如果在第三象限内有一点M（﹣2，m），请用含m的式子表示△ABM的面积；（3）在（2）条件下，当m＝﹣时，在y轴上有一点P，使得△BMP的面积与△ABM的面积相等，请求出点P的坐标．4．如图，在平面直角坐标系中，已知A（0，a），B（b，0），C（b，c）三点，其中a、b、c满足关系式|a﹣2|+（b﹣3）2＝0，（c﹣4）2≤0（1）求a、b、c的值；（2）如果在第二象限内有一点P（m，），请用含m的式子表示四边形ABOP的面积；（3）在（2）的条件下，是否存在点P，使四边形ABOP的面积与△ABC的面积相等？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．5．如图1，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为A（a、0），B（b，0），且a，b满足|a+6|+＝0，现将线段AB先向上平移4个单位长度，再向右平移6个单位长度得到线段CD，其中点A对应点为C，点B对应点为D，连接AC，BD．（1）请直接写出A，B两点的坐标；（2）如图2，点M是线段AC上的一个动点，点N是线段CD的一个定点，连接MN，MO，当点M在线段AC上移动时（不与A，C重合），探究∠DNM，∠OMN，∠MOB之间的数量关系，并说明理由；（3）在坐标轴上是否存在点P，使三角形PBC的面积与三角形ABD的面积相等？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，试说明理由．6．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣3，5）、B（﹣5，﹣2）．（1）把△AOB向右平移4个单位，再向下平移2个单位，画出平移后的△A'O'B′，并写出平移后各顶点的坐标：A'　 　；O'　 　；B'　 　．（2）求△AOB的面积．（3）在x轴上是否存在点P，使△AOP的面积等于△AOB的面积？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．7．如图所示，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为A（a，0），B（b，0），且a，b满足|a+2|+＝0，点C的坐标为（0，3）．（1）求a，b的值及S△ABC；（2）若点M在x轴上，且S△ACM＝S△ABC，试求点M的坐标．8．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（﹣1，0），（3，0），现同时将点A，B分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，分别得到点A，B的对应点C，D，连接AC，BD．（1）求点C，D的坐标及四边形ABDC的面积S四边形ABDC；（2）在y轴上是否存在一点P，连接PA，PB，使S△PAB＝S四边形ABDC？若存在这样一点，求出点P的坐标；若不存在，试说明理由；（3）点P是线段BD上的一个动点，连接PC，PO，当点P在BD上移动时（不与B，D重合）给出下列结论：①的值不变，②的值不变，其中有且只有一个是正确的，请你找出这个结论并求其值．9．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（﹣1，0），（3，0），现同时将点A，B分别向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到A，B的对应点C，D，连接AC，BD，CD．（1）直接写出点C，D的坐标，求出四边形ABDC的面积；（2）在x轴上是否存在一点F，使得三角形DFC的面积是三角形DFB面积的2倍，若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．2024年平面直角坐标系动点问题专项练习附解析参考答案与试题解析一．解答题（共9小题）1．如图，在平面直角坐标系中，AB⊥x轴，垂足为A，BC⊥y轴，垂足为C，已知A（a，0），C（0，c），其中a，c满足关系式（a﹣6）2+|c+8|＝0，点P从O点出发沿折线OA﹣AB﹣BC的方向运动到点C停止，运动的速度为每秒2个单位长度，设点P的运动时间为t秒．（1）在运动过程中，当点P到AB的距离为2个单位长度时，t＝　2s或8s　；（2）在点P的运动过程中，用含t的代数式表示P点的坐标；（3）当点P在线段AB上的运动过程中，射线AO上一点E，射线OC上一点F（不与C重合），连接PE，PF，使得∠EPF＝70°，求∠AEP与∠PFC的数量关系．【答案】（1）2s或8s．（2）（2t，0）或（6，6﹣2t）或（20﹣2t，﹣8）．（3）∠PFC+∠PEA＝160°或∠PFC﹣∠AEP＝20°．【分析】（1）由非负数的性质得a﹣6＝0，c+8＝0，解得a＝6，c＝﹣8，由此即可解决问题；（2）分三种情形：①当0≤t≤3时②当3≤t≤7时；③当7≤t≤10时，分别表示即可；（3）结论：∠PEA+∠PFC＝160°或∠PFC﹣∠AEP＝20°．分两种情形分别画出两个图形进行求解即可．【解答】解：（1）∵a，c满足关系式（a﹣6）2+（c+8）2＝0，∴a﹣6＝0，C+8＝0，∴a＝6，c＝﹣8，∴B（6，﹣8）．当点P到AB的距离为2个单位长度时，s＝6﹣2＝4，或s＝6+8+2＝16，∴4÷2＝2s或16÷2＝8s，故答案为：2s或8s．（2）①当0≤t≤3时，点P在OA上，此时，P（2t，0）．②当3≤t≤7时，点P在AB上，此时，PA＝2t﹣6，由于点P在第四象限，纵坐标小于0，则P（6，6﹣2t）．③当7≤t≤10时，点P在BC上，此时PB＝2t﹣OA﹣AB＝2t﹣14，PC＝BC﹣PB＝6﹣（2t﹣14）＝20﹣2t．∴P（20﹣2t，﹣8）．（3）当点P在线段AB上时，分四种情况：①如图1中，∠PFC﹣∠PEA＝20°，理由如下：∵∠PEA＝90°﹣∠APE，∴∠PFC＝180°﹣∠APF＝180°﹣70°﹣∠APE＝110°﹣∠APE，∴∠PFC﹣∠PEA＝110°﹣∠APE﹣（90°﹣∠APE）＝20°；②如图2中，∠PFC﹣∠PEA＝20°，理由如下：∵∠PEA＝90°﹣∠APE，∴∠PFC＝180°﹣∠APF＝180°﹣70°﹣∠APE＝110°﹣∠APE，∴∠PFC﹣∠PEA＝110°﹣∠APE﹣（90°﹣∠APE）＝20°；③如图3中，结论：∠PEA+∠PFC＝160°，理由如下：连接OP，∵∠PFC＝∠FPO+∠FOP，∠AEP＝∠EOP+∠EPO，∴∠PEA+∠PFC＝∠FPO+∠FOP+∠EOP+∠EPO＝∠AOF+∠EPF＝90°+70°＝160°；④如图4中，结论：∠PFC﹣∠AEP＝20°，理由如下：当E在AO延长线上，F在OC上，设PM交OC于G，∵∠AEP+∠EGO＝90°，∠EGO＝∠PGF＝110°﹣∠PFC，∴∠AEP+110°﹣∠PFC＝90°，∴∠PFC﹣∠AEP＝20°，综上所述，∠PFC+∠PEA＝160°或∠PFC﹣∠AEP＝20°．【点评】本题是三角形综合题，考查了矩形的性质、图形与坐标性质、非负数的性质、三角形的外角性质、直角三角形的性质等知识，综合性强，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．2．如图1，已知，点A（1，a），AH⊥x轴，垂足为H，将线段AO平移至线段BC，点B（b，0），其中点A与点B对应，点O与点C对应，a、b满足．（1）填空：①直接写出A、B、C三点的坐标A（ 　1，4　）、B（ 　3，0　）、C（ 　2，﹣4　）；②直接写出三角形AOH的面积 　2　．（2）如图1，若点D（m，n）在线段OA上，证明：4m＝n．（3）如图2，连OC，动点P从点B开始在x轴上以每秒2个单位的速度向左运动，同时点Q从点O开始在y轴上以每秒1个单位的速度向下运动．若经过t秒，三角形AOP与三角形COQ的面积相等，试求t的值及点P的坐标．【答案】（1）①1，4；3，0；2，﹣4．②2．（2）证明见解析部分．（3）t＝1.2时，P（0.6，0），t＝2时，P（﹣1，0）．【分析】（1）①利用非负数的性质求出a，b的值，可得结论．②利用三角形面积公式求解即可．（2）连接DH，根据△ODH的面积+△ADH的面积＝△OAH的面积，构建关系式，可得结论．（3）分两种情形：①当点P在线段OB上，②当点P在BO的延长线上时，分别利用面积关系，构建方程，可得结论．【解答】（1）解：①∵，又∵≥0，（b﹣3）2≥0，∴a＝4，b＝3，∴A（1，4），B（3，0），C（（2，﹣4），故答案为：1，4；3，0；2，﹣4．②△AOH的面积＝×1×4＝2，故答案为：2．（2）证明：如图，连接DH．∵△ODH的面积+△ADH的面积＝△OAH的面积，∴×1×n+×4×（1﹣m）＝2，∴4m＝n．（3）解：①当点P在线段OB上，×（3﹣2t）×4＝×2t，解得t＝1.2．此时P（0.6，0）．②当点P在BO的延长线上时，×（2t﹣3）×4＝×2×t，解得t＝2，此时P（﹣1，0），综上所述，t＝1.2时，P（0.6，0），t＝2时，P（﹣1，0）．【点评】本题考查坐标与图形变化﹣平移，非负数的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．3．如图，在平面直角坐标系中，已知A（a，0），B（b，0），其中a，b满足|a+1|+（b﹣3）2＝0．（1）填空：a＝　﹣1　，b＝　3　；（2）如果在第三象限内有一点M（﹣2，m），请用含m的式子表示△ABM的面积；（3）在（2）条件下，当m＝﹣时，在y轴上有一点P，使得△BMP的面积与△ABM的面积相等，请求出点P的坐标．【答案】见试题解答内容【分析】（1）根据非负数性质可得a、b的值；（2）根据三角形面积公式列式整理即可；（3）先根据（2）计算S△ABM，再分两种情况：当点P在y轴正半轴上时、当点P在y轴负半轴上时，利用割补法表示出S△BMP，根据S△BMP＝S△ABM列方程求解可得．【解答】解：（1）∵|a+1|+（b﹣3）2＝0，∴a+1＝0且b﹣3＝0，解得：a＝﹣1，b＝3，故答案为：﹣1，3；（2）过点M作MN⊥x轴于点N，∵A（﹣1，0）B（3，0）∴AB＝1+3＝4，又∵点M（﹣2，m）在第三象限∴MN＝|m|＝﹣m∴S△ABM＝AB•MN＝×4×（﹣m）＝﹣2m；（3）当m＝﹣时，M（﹣2，﹣）∴S△ABM＝﹣2×（﹣）＝3，点P有两种情况：①当点P在y轴正半轴上时，设点p（0，k）S△BMP＝5×（+k）﹣×2×（+k）﹣×5×﹣×3×k＝k+，∵S△BMP＝S△ABM，∴k+＝3，解得：k＝0.3，∴点P坐标为（0，0.3）；②当点P在y轴负半轴上时，设点P（0，n），S△BMP＝﹣5n﹣×2×（﹣n﹣）﹣×5×﹣×3×（﹣n）＝﹣n﹣，∵S△BMP＝S△ABM，∴﹣n﹣＝3，解得：n＝﹣2.1∴点P坐标为（0，﹣2.1），故点P的坐标为（0，0.3）或（0，﹣2.1）．【点评】本题主要考查坐标与图形的性质，利用割补法表示出△BMP的面积，并根据题意建立方程是解题的关键．4．如图，在平面直角坐标系中，已知A（0，a），B（b，0），C（b，c）三点，其中a、b、c满足关系式|a﹣2|+（b﹣3）2＝0，（c﹣4）2≤0（1）求a、b、c的值；（2）如果在第二象限内有一点P（m，），请用含m的式子表示四边形ABOP的面积；（3）在（2）的条件下，是否存在点P，使四边形ABOP的面积与△ABC的面积相等？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】见试题解答内容【分析】（1）用非负数的性质求解；（2）把四边形ABOP的面积看成两个三角形面积和，用m来表示；（3）△ABC可求，是已知量，根据题意，方程即可．【解答】解：（1）由已知|a﹣2|+（b﹣3）2＝0，（c﹣4）2≤0及（c﹣4）2≥0可得：a＝2，b＝3，c＝4；（2）∵×2×3＝3，×2×（﹣m）＝﹣m，∴S四边形ABOP＝S△ABO+S△APO＝3+（﹣m）＝3﹣m（3）因为×4×3＝6，∵S四边形ABOP＝S△ABC∴3﹣m＝6，则 m＝﹣3，所以存在点P（﹣3，）使S四边形ABOP＝S△ABC．【点评】本题考查了非负数的性质，三角形及四边形面积的求法，根据题意容易解答．5．如图1，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为A（a、0），B（b，0），且a，b满足|a+6|+＝0，现将线段AB先向上平移4个单位长度，再向右平移6个单位长度得到线段CD，其中点A对应点为C，点B对应点为D，连接AC，BD．（1）请直接写出A，B两点的坐标；（2）如图2，点M是线段AC上的一个动点，点N是线段CD的一个定点，连接MN，MO，当点M在线段AC上移动时（不与A，C重合），探究∠DNM，∠OMN，∠MOB之间的数量关系，并说明理由；（3）在坐标轴上是否存在点P，使三角形PBC的面积与三角形ABD的面积相等？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，试说明理由．【答案】（1）A（﹣6，0），B（4，0）；（2）∠DNM+∠OMN+∠MOB＝360°；理由见解答；（3）（14，0）或（﹣6，0）或（0，14）或（0，﹣6）．【分析】（1）根据非负数的性质求出a，b，即可求出答案；（2）过点M作直线ME∥AB，则∠OME+∠MOB＝180°，再判断出∠DNM+∠NME＝180°，即可得出结论；（3）先求出△ABD的面积，再分点P在x轴和y轴上两种情况，建立方程求解，即可得出答案．【解答】解：（1）∵|a+6|+＝0，∴a+6＝0，3a﹣2b+26＝0，∴a＝﹣6，b＝4，∴A（﹣6，0），B（4，0）；（2）∠DNM+∠OMN+∠MOB＝360°，理由：如图2，过点M作直线ME∥AB，∴∠OME+∠MOB＝180°，∵线段CD由线段AB平移得到，∴AB∥CD，∴ME∥CD，∴∠DNM+∠NME＝180°，∴∠DNM+∠OMN+∠MOB＝∠DNM+∠NME+∠OME+∠MOB＝180°+180°＝360°；（3）如图，依题意可得A（﹣6，0），B（4，0），C（0，4），D（10，4），∴S△ABD＝AB•yD＝×10×4＝20，①当点P在x轴上时，设点P（m，0），则S△PBC＝×|m﹣4|×4＝2|m﹣4|，∵S△PBC＝S△ABD，∴m＝14或﹣6；②当点P在y轴上时，设点P（0，n）则S△PBC＝×|n﹣4|×4＝2|n﹣4|，∵S△PBC＝S△ABD，∴n＝14或﹣6，综上所述，存在点P，使三角形PBC的面积与三角形ABD的面积相等，点P的坐标为（14，0）或（﹣6，0）或（0，14）或（0，﹣6）．【点评】此题主要考查了非负数的性质，平行线的性质，三角形的面积公式，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．6．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣3，5）、B（﹣5，﹣2）．（1）把△AOB向右平移4个单位，再向下平移2个单位，画出平移后的△A'O'B′，并写出平移后各顶点的坐标：A'　（1，3）　；O'　（4，﹣2）　；B'　（﹣1，﹣4）　．（2）求△AOB的面积．（3）在x轴上是否存在点P，使△AOP的面积等于△AOB的面积？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）作图见解析部分，（1，3），（4，﹣2，），（﹣1，﹣4）；（2）15.5；（3）P（6.2，0）或（﹣6.2，0）．【分析】（1）利用平移变换的性质分别作出A，B，C是对应点A′，B′，C′即可；（2）把三角形的面积看成矩形的面积减去周围的三个三角形面积即可；（3）设P（m，0），构建方程求解即可．【解答】解：（1）如图，△A'O'B′即为所求，并写出平移后各顶点的坐标：A'（1，3））；O'（4，﹣2）；B'（﹣1，﹣4）．故答案为：（1，3），（4，﹣2，），（﹣1，﹣4）；（2）△AOB的面积＝5×7﹣×7×2﹣×3×5﹣×2×5＝15.5；（3）存在．设P（m，0），则有×|m|×5＝15.5，∴m＝±6.2，∴P（6.2，0）或（﹣6.2，0）．【点评】本题考查作图﹣平移变换，三角形的面积等知识，解题的关键是掌握平移变换的性质，学会利用构建方程解决问题．7．如图所示，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为A（a，0），B（b，0），且a，b满足|a+2|+＝0，点C的坐标为（0，3）．（1）求a，b的值及S△ABC；（2）若点M在x轴上，且S△ACM＝S△ABC，试求点M的坐标．【答案】见试题解答内容【分析】（1）由“|a+2|+＝0”结合绝对值、算术平方根的非负性即可得出a、b的值，再结合三角形的面积公式即可求出S△ABC的值；（2）设出点M的坐标，找出线段AM的长度，根据三角形的面积公式结合S△ACM＝S△ABC，即可得出AM的值，从而得出点M的坐标．【解答】解：（1）∵|a+2|+＝0，∴a+2＝0，b﹣4＝0，∴a＝﹣2，b＝4，∴点A（﹣2，0），点B（4，0）．又∵点C（0，3），∴AB＝|﹣2﹣4|＝6，CO＝3，∴S△ABC＝AB•CO＝×6×3＝9．（2）设点M的坐标为（x，0），则AM＝|x﹣（﹣2）|＝|x+2|，又∵S△ACM＝S△ABC，∴AM•OC＝×9，∴|x+2|×3＝3，∴|x+2|＝2，即x+2＝±2，解得：x＝0或﹣4，故点M的坐标为（0，0）或（﹣4，0）．【点评】本题考查了坐标与图形的性质、绝对值（算术平方根）的非负性以及三角形的面积公式，解题的关键是：（1）根据绝对值、算术平方根的非负性求出a、b的值：（2）根据三角形的面积公式得出关于x的含绝对值符号的一元一次方程．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据绝对值、算术平方根的非负性求出点的坐标是关键．8．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（﹣1，0），（3，0），现同时将点A，B分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，分别得到点A，B的对应点C，D，连接AC，BD．（1）求点C，D的坐标及四边形ABDC的面积S四边形ABDC；（2）在y轴上是否存在一点P，连接PA，PB，使S△PAB＝S四边形ABDC？若存在这样一点，求出点P的坐标；若不存在，试说明理由；（3）点P是线段BD上的一个动点，连接PC，PO，当点P在BD上移动时（不与B，D重合）给出下列结论：①的值不变，②的值不变，其中有且只有一个是正确的，请你找出这个结论并求其值．【答案】见试题解答内容【分析】（1）根据平移规律，直接得出点C，D的坐标，根据：四边形ABDC的面积＝AB×OC求解；（2）存在．设点P到AB的距离为h，则S△PAB＝×AB×h，根据S△PAB＝S四边形ABDC，列方程求h的值，确定P点坐标；（3）结论①正确，过P点作PE∥AB交OC与E点，根据平行线的性质得∠DCP+∠BOP＝∠CPE+∠OPE＝∠CPO，故比值为1．【解答】解：（1）依题意，得C（0，2），D（4，2），∴S四边形ABDC＝AB×OC＝4×2＝8；（2）存在．设点P到AB的距离为h，S△PAB＝×AB×h＝2h，由S△PAB＝S四边形ABDC，得2h＝8，解得h＝4，∴P（0，4）或（0，﹣4）；（3）结论①正确，过P点作PE∥AB交OC与E点，∵AB∥PE∥CD，∴∠DCP+∠BOP＝∠CPE+∠OPE＝∠CPO，∴＝1．【点评】本题考查了坐标与图形平移的关系，坐标与平行四边形性质的关系，平行线的性质及三角形、平行四边形的面积公式．关键是理解平移规律，作平行线将相关角进行转化．9．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（﹣1，0），（3，0），现同时将点A，B分别向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到A，B的对应点C，D，连接AC，BD，CD．（1）直接写出点C，D的坐标，求出四边形ABDC的面积；（2）在x轴上是否存在一点F，使得三角形DFC的面积是三角形DFB面积的2倍，若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】见试题解答内容【分析】（1）根据向右平移横坐标加，向上平移纵坐标加写出点C、D的坐标即可，再根据平行四边形的面积公式列式计算即可得解；（2）存在，当BF＝CD时，三角形DFC的面积是三角形DFB面积的2倍，根据坐标与图形性质求得点F的坐标．【解答】解：（1）C（0，2），D（4，2）S四边形ABDC＝AB•OC＝4×2＝8；（2）存在，当BF＝CD时，三角形DFC的面积是三角形DFB面积的2倍．∵C（0，2），D（4，2），∴CD＝4，BF＝CD＝2．∵B（3，0），∴F（1，0）或（5，0）．【点评】本题考查平移有关知识．平移的基本性质是：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/4/23 19:56:11；用户：因材教育；邮箱：307053203@qq.com；学号：3994153