2024年初中数学竞赛专题3：数轴与绝对值

这是一份2024年初中数学竞赛专题3：数轴与绝对值，共13页。试卷主要包含了若均为整数，且，则的值为，设，则的最小值为等内容，欢迎下载使用。
1．（2004年四川省竞赛题）若，则等于（ ）．
A．B．C．D．
2．（第15届希望杯竞赛题）有理数，，的大小关系如图6-3，则下列式子中一定成立的是（ ）．
A．B．C．D．
3．（太原市竞赛题）若，，则的值是（ ）．
A．0B．C．D．
4．若均为整数，且，则的值为（ ）。
A.1B.2C.3D.4
5．如图，已知数轴上点A，B，C所对应的数都不为0，且C是AB的中点。如果，那么原点O的位置在（ ）。
A.线段AC上B.线段CA的延长线上C.线段BC上D.线段CB的延长线上
6．设，则的最小值为（ ）。
A.0B.1C.-1D.2
7．（第19届江苏省初中数学竞赛题）如图6-4，已知数轴上点，，所对应的数，，都不为0，且是的中点．如果，那么原点的位置在（ ）．
A．线段上B．线段的延长线上
C．线段上D．线段的延长线上
8．（山东省竞赛题）如果，，是非零有理数，且，那么的所有可能值为（ ）．
A．0B．1或C．2或D．0或
9．（第17届希望杯竞赛题）已知，，都是整数，，那么（ ）．
A．一定是奇数B．一定是偶数
C．仅当，，同奇或同偶时，是偶数D．的奇偶性不能确定
10．（2004年重庆初中数学竞赛题）设，则的最小值是（ ）．
A．0B．1C．D．2
11．（第15届希望杯竞赛题）已知，则是（ ）
A．合数B．质数C．偶数D．负数
12．（1）如图，数轴上标出若干个点，每相邻两点相距1个单位，点对应的数分别是整数，且，那么数轴的原点应是（ ）。
A.A点B.B点C.C点D.D点
13．将一刻度尺如图所示放在数轴上（数轴的单位长度是1cm），刻度尺上的“0cm”“15cm”分别对应数轴上的-3.6和，则（ ）。
A.B.C.D.
14．在数轴上任取一条长度为的线段，则此线段在这条数轴上最多能盖住的整数点的个数是（ ）。
A.1998B.1999C.2000D.2001
15．如图，四个有理数在数轴上的对应点分别是M，P，N，Q. 若点M，N表示的有理数互为相反数，则图中表示绝对值最小的数的点是（ ）。
A.点MB.点NC.点PD.点P
16．数值上A，B，C三点所代表的数分别是，且，若下列选项中，有一个表示A，B，C三点在数轴上的位置关系，则此选项是（ ）。
17．点为正整数）都在数轴上，点在原点O的左边，且，点在点的右边，且；点在点的左边，且，点在点的右边，且，……，依照上述规律，点所表示的数分别为（ ）。
A.2008，-2009B.-2008，2009C.1004，-1005D.1004，-1004
18．如图：，数轴上标出若干个点，每相邻两点相距1个单位，点A，B，C，D对应的数分别是整数，且，那么数轴的原点对应点是（ ）。
A.A点B.B点C.C点D.D点
19．有理数在数轴上的位置如图，式子化简结果为（ ）。
A.B.C.D.
20．不相等的有理数在数轴上对应点分别为A，B，C，若，那么点B（ ）。
A.在A，C点右边B.在A，C点左边C.在A，C点之间D.以上均有可能
21．（第17届“希望杯”竞赛题）设是有理数，用表示不超过的最大整数，如，，，，则以下四个结论中，正确的是（ ）．
A．B．等于0或1
C．D．等于0或
22．若是有理数，则一定是（ ）。
A.零B.非负数C.正数D.负数
23．有理数的大小关系如图：，则下列式子中一定成立的是（ ）。
A.B.C.D.
24．式子的所有可能的值有（ ）。
A.2个B.3个C.4个D.无数个
25．（第15届江苏省初中数学竞赛题）如图5-7，数轴上标出若干个点，每相邻两点相距1个单位，点，，，对应的数分别是整数，，，，且，那么数轴的原点应是（ ）．
A．点B．点C．点D．点
26．（江苏省竞赛题）已知数轴上的三点，，所对应的数，，满足，和，那么线段与的大小关系是（ ）．
A．B．C．D．不确定的
27．（2002年希望杯竞赛题）不相等的有理数，，在数轴上对应点分别为，，，若，那么点（ ）．
A．在，点右边B．在，点左边C．在，点之间D．以上均有可能
28．（第14届希望杯竞赛题）数轴上的点，，分别对应数：0，，．且与的距离大于与的距离，则（ ）．
A．B．C．D．
29．已知整数满足以下条件：，依次类推，则的值为（ ）。
A.-1005B.-1006C.-1007D.-2012
30．已知，化简所得的结果是（ ）。
A.-1B.1C.D.
填空题
1．已知为有理数，且，将四个数按由小到大的顺序排列 是________。
2．已知数轴上有两点，之间的距离为1，点A与原点O的距离为3，那么点B对应的数是________。
3．已知两数，如果比大，试判断与的大小。
4．数轴上有A，B两点，若点A对应的数是-2，且A，B两点的距离为3，则点B对应的数是________。
5．点A，B，C在同一条数轴上，其中点A，B表示的数分别为-3，1，若BC=2，则AC=________。
6．化简；________。
7．（北京市竞赛题）化简__________．
8．已知，其中，那么的最小值为________。
9．已知，且，那么________。
10．在数轴上，点A表示的数是，点B表示的数是，且A，B两点的距离为8，则________。
11．已知，若，则________。
12．的最小值为________。
13．的最小值为________。
14．（2005年江苏省数学文化节基础闯关题）非零整数，满足，所有这样的整数组共有__________组．
15．（北京市迎春杯竞赛题）已知，，，且，那么__________．
16．（第16届希望杯竞赛题）如果，，那么的绝对值等于__________．
17．（2004年重庆市竞赛题）计算：__________．
18．（2004年广西竞赛题）已知，化简式子：得__________．
19．（第16届北京市迎春杯竞赛题）已知，，那么__________．
20．（2004年上海南汇竞赛题）的相反数是最大的负整数，的绝对值是最小的正整数，则__________．
21．（第14届希望杯竞赛题）与互为相反数，且，那么__________．
22．（北京市第18届迎春杯竞赛题）代数式的最小值为__________．
23．（2005年河南省数学竞赛题）已知：三个数，，的积为负数，和为正数，且，则的值为__________．
24．在数轴上，点A，B分别表示和，则线段AB的中点所表示的数是________。
25．在数轴上，表示数的点M与表示数的点N关于原点对称，则的值为________。
26．数形相伴
（1）如图所示：，点A，B所代表的数分别为-1，2，在数轴上画出与A，B两点的距离和为5的点（并标上字母）。
（2）若数轴上点A，B所代表的数分别为，则A，B两点之间的距离可表示为，那么，当时，________；当时，数所对应的点在数轴上的位置是在________。
27．点A，B分别是数在数轴上对应的点，使线段AB沿数轴向右移动，且线段的中点对应的数是3，则点对应的数是________，若A移动的距离是________。
28．（江苏省竞赛题）如图5-9，数轴上线段（为原点）的七等份点，，，，，中，只有两点对应的数是整数，点对应的数，那么可以取的不同值有__________个，的最小值是__________．
29．（山东省竞赛题）已知数轴上表示负有理数的点是点，那么在数轴上与相距个单位的点中，与原点距离较远的点对应的数是__________．
30．（2005年江苏省首届数学文化节基础闯关题）已知，为有理数，且，，，将四个数，，，按由小到大的顺序排列是__________．
31．（武汉市竞赛题）若，，则使成立的取值范围是__________．
32．（2004年上海南汇竞赛题）数轴上坐标是整数的点称为整点，某数轴的单位长度是1 cm，若在这个数轴上随意画出一条长为2004 cm的线段，则线段盖住的整点是__________．
33．已知，且，那么________。
34．已知有理数在数轴上的对应位置如图所示：，则化简后的结果是________。
35．（第15届江苏省竞赛题）设，，分别是一个三位数的百位、十位和个位数字，并且，则可能取得的最大值是__________．
解答题
1．电子跳蚤落在数轴上的某点，第一步从向左跳1个单位到，第二步由向右跳2个单位到，第三步由向左跳3个单位到，第四步由向右跳4个单位到，……，按以上规律跳了100步时，电子跳蚤落在数轴上的点所表示的数恰是19.94，试求电子跳蚤的初始位置点所表示的数。
2．已知数轴上的点A和点B之间的距离为28个单位长度，点A在原点的左边，距离原点8个单位长度，点B在原点的右边。
（1）求两点所对应的数。
（2）数轴上点以每秒1个单位长度出发向左运动，同时点B以每秒3个单位长度的速度向左运动，在向C处追上了点A，求C点对应的数。
（3）已知在数轴上点M从点A出发向右运动，速度为每秒1个单位长度，同时点N从点B出发向右运动，速度为每秒2个单位长度，设线段NO的中点为P（O为原点），在运动的过程中线段的值是否变化？若不变，求其值；若变化，请说明理由。
3．李老师从油条的制作中受到启发，设计了一个数学问题。如图，在数轴上截取从原点到1的对应点的线段AB，对折后（点A与点B重合），固定左端向右均匀地拉成1个单位长度的线段，这一过程称为一次操作（例如，在第一次操作后，原线段AB上的，均变成变成1；等等）。那么在线段AB上（除点A，B外）的点中，在第二次操作后，求恰好被拉到与1重合的点所对应的数字之和。
4．一个跳蚤在一条直线上，从O点开始，第1次向右跳1个单位，紧接着第2次向左跳2个单位，第3次向右跳3个单位，第4次向左跳4个单位……依此规律下去，当它跳第100次落下时，求落点处离O点的距离（用单位表示）。
5．已知数轴上有A，B两点，A，B之间的距离为1，点A与原点O的距离为3，求所有满足条件的点B与原点O的距离的和。
6．在数轴上，N点与O点的距离是N点与30所对应点之间的距离的4倍，那么N点表示的数是多少？
7．已知数轴上有A，B，C三点，分别代表-24，-10，10，两只电子蚂蚁甲、乙分别从A，C两点同时相向而行，甲的速度为4个单位/秒。
（1）问多少秒后甲到A，B，C的距离和为40个单位？
（2）若乙的速度为6个单位/秒，两只电子蚂蚁甲、乙分别从A，C两点同时相向而行，问甲，乙在数轴上的哪个点相遇？
（3）在（1）（2）的条件下，当甲到A，B，C的距离和为40个单位时，甲调头返回，问甲，乙还能在数轴上相遇吗？若能，求出相遇点；若不能，请说明理由。
8．操作与探究
对数轴上的点P进行如下操作：先把点P表示的数乘以，再把所得数对应的点向右平移1个单位，得到点P的对应点。
点A，B在数轴上，对线段AB上的每个点进行上述操作后得到线段，其中，点A，B的对应点分别为。如图所示，若点A表示的数是-3，则点表示的数是________；若点表示的数是2，则点B表示的数是________；已知线段AB上的点E经过上述操作后得到的对应点与点E重合，则点E表示的数是________。
9．如图，在数轴上，点A表示1，现将点A沿数轴做如下移动：第1次点A向左移动3个单位长度到达点，第2次从点向右移动6个单位长度到达点，第3次从点向左移动9个单位长度到达点，……，按照这种移动规律进行下去，第次移动到达点。如果点与原点的距离为20，求的最小值。
10．（2004年河南省竞赛题）在数轴上，点与的距离是点与30所对应点之间的距离的4倍，那么点表示的数是多少？
11．（北京市迎春杯竞赛题）已知数轴上有，两点，，之间的距离为1，点与原点的距离为3，求所有满足条件的点与原点的距离的和．
12．（第19届江苏省初中数学竞赛题）如图5-10，已知数轴上点，，所对应的数，，都不为0，且是的中点．如果，试确定原点的大致位置．
13．（1）已知，求的值。
（2）设为整数，且，求的值。
14．阅读下列材料并解决有关问题：
我们知道现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式时，可令和，分别求得（称-1，2分别为与的零点值）。在有理数范围内，零点值和可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：
（1）；（2）；（3）。从而化简代数式可分以下3种情况：
（1）当时，原式；
（2）当时，原式=；
（3）当时，原式=。
综上讨论，原式=
通过以上阅读，请你解决以下问题：
（1）分别求出和的零点值；
（2）化简代数式。
15．（1）当取何值时，有最小值？这个最小值是多少？
（2）当取何值时，有最大值？这个最大值是多少？
（3）求的最小值。
（4）求的最小值。
16．少年科技组制成一台单项功能计算器，对任意两个整数只能完成求差后再取绝对值的运算，其运算过程是：输入第一个整数，只显示不运算，接着再输入整数后则显示的结果，此后每输入一个整数都是与前次显示的结果进行求差取绝对值的运算。现小明将从1到1991这1991个整数随意地一个一个地输入，全部输入完毕之后显示的最后结果设为P，试求出P的最大值，并说明理由。
17．化简：
（1）；（2）
18．距离
距离能够产生美。
唐代著名文学家韩愈曾赋诗：“天街小雨润如酥，草色遥看近却无。”
当代印度著名诗人泰戈尔在《世界上最遥远的距离》中写道：
“世界上最遥远的距离
不是瞬间便无处寻觅
而是尚未相遇
便注定无法相聚”
距离，是数学、天文学、物理学中的热门话题，唯有对宇宙距离进行测量，人类才能掌握世界尺度。
阅读下面材料并回答问题。
点A，B在数轴上分别表示实数两点之间的距离表示为
当A，B两点中有一定在原点时，不妨设点A在原点，如图①，
当A，B两点都不在原点时，（1）如图②，点A，B都在原点的右边，
（2）如图③，点A，b都在原点的左边，
（3）如图④，点A，b在原点的两边，
综上，数轴上A，B两点之间的距离
请回答：
①数轴上表示2和5的两点之间的距离是________，数轴上表示-2和-5的两点之间的距离是________，数轴上表示1和-3的两点之间的距离是________；
②数轴上表示和-1的两点A和B之间的距离是________，如果，那么为________；
③当代数式取最小值时，相应的的取值范围是________。
④互不相等的有理数在数轴上的对应点分别为.若，则在点中居中的是点________。
19．已知数轴上两点A，B对应的数分别是6，-8，M，N，P为数轴上三个动点，点M从A点出发速度为每秒2个单位，点N从B点出发速度为点M的3倍，点P从原点出发速度为每秒1个单位。
（1）若点M向右运动，同时点N向左运动，求多长时间后，点M与点N相距54个单位？
（2）若点M，N，P同时都向右运动，求多长时间后，点P到点M，N的距离相等？
20．已知，且都不等于0，求的所有可能性。
21．设为有理数，比较与的大小。
22．已知是有理数，且求的值。
23．有一台单功能计算器，对任意两个整数只能完成求并后再取绝对值的运算，其运算过程是：输入第一个整数，只显示不运算，接着再输入整数后则显示的结果。比如依次输入1，2，则输出的结果是；此后每输入一个整数都是与前次显示的结果进行求差后再取绝对值的运算。
（1）若小明依次输入1，2，3，4，则最后输出的结果是多少？
（2）若将1，2，3，4这4个整数任意地一个一个地输入，全部输入完毕后显示的结果的最大值是多少？最小值是多少？
（3）若随意地一个一个地输入三个互不相等的正整数，全部输入完毕后显示的最后结果设为的最大值为10，求的最小值。
24．（全国初中数学联赛题）求满足的非负整数对的值．
25．（希望杯竞赛题）已知，，，是有理数，，，且，求的值．