上海市崇明区2024届高三二模数学试题及参考答案

这是一份上海市崇明区2024届高三二模数学试题及参考答案，共17页。试卷主要包含了填空题，单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、填空题
1．若集合，或，则 ．
2．不等式的解为 ．
3．已知向量，若，则 .
4．若复数满足（为虚数单位），则 ．
5．若等差数列的首项，前5项和，则 ．
6．已知幂函数的图象经过点，则 ．
7．若的二项式展开式中的系数为10，则 ．
8．已知底面半径为1的圆柱，是其上底面圆心，、是下底面圆周上两个不同的点，是母线．若直线与所成角的大小为，则 ．
9．已知函数为奇函数，则 ．
10．某学习小组共有10名学生，其中至少有2名学生在同一月份的出生的概率是 ．（默认每月天数相同，结果精确到0.001）
11．已知A、B、C是半径为1的圆上的三个不同的点，且，则的最小值是 ．
12．已知实数满足：，则的最大值是 ．
二、单选题
13．若，，则下列不等式成立的是（ ）
A．B．C．D．
14．某单位共有A、B两部门，1月份进行服务满意度问卷调查，得到两部门服务满意度得分的频率分布条形图如下.设A、B两部门的服务满意度得分的第75百分位数分别为，，方差分别为，，则（ ）
A．，B．，
C．，D．，
15．设函数，若对于任意，在区间上总存在唯一确定的，使得，则m的最小值为
A．B．C．D．
16．已知函数的定义域为．
命题：若当时，都有，则函数是D上的奇函数．
命题：若当时，都有，则函数是D上的增函数．
下列说法正确的是（ ）
A．p、q都是真命题B．p是真命题，q是假命题
C．p是假命题，q是真命题D．p、q都是假命题
三、解答题
17．如图，在三棱锥中，，，为的中点．
（1）证明：平面；
（2）若点在棱上，且，求点到平面的距离．
18．在锐角三角形中，角的对边分别为，为在方向上的投影向量，且满足.
(1)求的值；
(2)若，求的周长.
19．某疾病预防中心随机调查了340名50岁以上的公民，研究吸烟习惯与慢性气管炎患病的关系，调查数据如表所示．
(1)是否有95%的把握认为患慢性气管炎与吸烟有关？
(2)常用表示在事件A发生的条件下事件B发生的优势，在统计中称为似然比．现从340人中任选一人，A表示“选到的人是吸烟者”，B表示“选到的人患慢性气管炎者”请利用样本数据，估计的值；
(3)现从不患慢性气管炎者的样本中，按分层抽样的方法选出7人，从这7人里再随机选取3人，求这3人中，不吸烟者的人数X的数学期望．
附：，．
20．已知椭圆，为的上顶点，是上不同于点的两点．
(1)求椭圆的离心率；
(2)若是椭圆的右焦点，是椭圆下顶点，是直线上一点.若有一个内角为，求点的坐标；
(3)作，垂足为．若直线与直线的斜率之和为，是否存在轴上的点，使得为定值？若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由．
21．已知.
(1)若，求曲线在点处的切线方程；
(2)若函数存在两个不同的极值点，求证：；
(3)若，，数列满足，．求证：当时，．
不吸烟者
吸烟者
总计
不患慢性气管炎者
120
160
280
患慢性气管炎者
15
45
60
总 计
135
205
340
参考答案：
1．/
【分析】根据交运算，结合已知集合，直接求解即可.
【详解】根据题意，.
故答案为：.
2．
【分析】利用一元二次不等式的求解方法可得答案.
【详解】因为，所以.
故答案为：
3．
【分析】由空间向量数量积垂直的坐标表示列出方程即可求解.
【详解】已知向量，若，则，解得.
故答案为：.
4．
【详解】分析：由复数的除法运算可得解.
详解：由，得.
故答案为.
点睛：本题考查了复数的除法运算，属于基础题.
5．
【分析】根据题意，利用等差数列的求和公式，列出方程，即可求解.
【详解】因为等差数列的首项，前5项和，
由等差数列的求和公式，可得，解得.
故答案为：.
6．9
【分析】设，代入点坐标确定，即可求得.
【详解】依题意，设，将代入解得：，故，则.
故答案为：9.
7．1
【分析】由多项式的二项展开式的通项公式列出方程，求解即得.
【详解】由的通项公式可知二项式展开式中的系数为，则得，解得.
故答案为：1.
8．
【分析】因为，且，得到直线与所成角即为直线与所成角在直角中，即可求解.
【详解】如图所示，因为，且
则直线与所成角即为直线与所成角的大小为，可得,
在直角中，可得，即.
故答案为：.
9．/
【分析】考查分段函数奇偶性，先根据函数奇偶性求出函数解析式即可求出函数值.
【详解】令，则由题意为奇函数，
所以当时，，
此时，
故，所以.
故答案为：.
10．0.996
【分析】利用对立事件的概率关系可得答案.
【详解】设事件“至少有2名学生在同一月份的出生的”，
，
故答案为：0.996
11．
【分析】根据题意，由正弦定理可得，然后分与讨论，再由平面向量数量积的定义展开，结合三角恒等变换公式代入计算，即可得到结果.
【详解】由正弦定理可得，所以，
所以，且，则或，
则或，
当时，，
所以
，，则，
当时，即时，取得最小值；
当时，，
所以
，，则，
则无最值；
综上所述，的最小值是
故答案为：
12．6
【分析】根据已知条件及三角换元，利用三角方程的解法及三角函数的性质即可求解.
【详解】因为
故令，且，
因为，
所以，
所以
，仅当时等号成立.
【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用三角换元及三角方程，结合三角函数的性质即可.
13．A
【解析】根据不等式的性质求解
【详解】对于A. ，，则，成立
对于B. ，，；
对于C. ，；
对于D. 若，则不成立
故选A.
14．C
【分析】利用频率分布条形图可读出，，且A部门数据更为集中，即可得出结论.
【详解】根据频率分布条形图可知，，即；
显然A部门得分数据较B部门更为集中，其方差更小，即；
故选：C
15．B
【解析】先求，再由存在唯一确定的，使得，得，从而得解.
【详解】当时，有，所以.
在区间上总存在唯一确定的，使得，
所以存在唯一确定的，使得.
，所以.
故选B.
【点睛】本题主要考查了三角函数的图像和性质，考查了函数与方程的思想，正确理解两变量的关系是解题的关键，属于中档题.
16．C
【分析】根据题意，结合函数奇偶性与单调性的定义及判定方法，即可求解.
【详解】对于命题，令函数，
则，此时，当函数不是奇函数，
所以命题为假命题，
对于命题，当时，都有，即，不可能，
即当时，可得，满足增函数的定义，所以命题为真命题.
故选：C.
17．（1）证明见解析；（2）．
【分析】（1）连接，欲证平面，只需证明即可；
（2）方法一：过点作，垂足为，只需论证的长即为所求，再利用平面几何知识求解即可.
【详解】（1）因为AP=CP=AC=4，O为AC的中点，所以OP⊥AC，且OP=．
连结OB．因为AB=BC=，，所以△ABC为等腰直角三角形，且OB⊥AC，OB==2．由知，OP⊥OB．
由OP⊥OB，OP⊥AC，，知PO⊥平面ABC．
（2）［方法一］：【最优解】定义法
作CH⊥OM，垂足为H．又由（1）易知平面，从而OP⊥CH，
所以CH⊥平面POM．故CH的长为点C到平面POM的距离．
由题设可知OC==2，CM==，∠ACB=45°．
所以OM=，CH==．
所以点C到平面POM的距离为．
［方法二］：等积法
设C到平面的距离为h，由（1）知即为P到平面的距离，且．又，在中，，则由余弦定理得，
则，即，则．即点C到平面POM的距离为．
［方法三］：向量法
如图，以O为原点，建立直角坐标系，设，，，，，，，．
设平面的一个法向量，则，令，则，所以，点C到平面的距离为．
【整体点评】（2）方法一：根据定义法求点到面的距离，是解决点面距问题的首选方法，特别是题目中含有面面垂直的条件，计算简单，是该题的最优解；
方法二：根据等积法求点到面的距离，也是解决点面距问题的常用方法；
方法三：当题目中有较好的建系条件，利用向量法解决点面距，思想简单，过程稍繁．
18．(1)
(2)
【分析】（1）依题意可得，即可得到，利用正弦定理将边化角，即可得到，再由平方关系计算可得；
（2）利用正弦定理将边化角，结合两角和的正弦公式及（1）的结论得到，从而求出、，再由正弦定理求出，即可求出，从而得解.
【详解】（1）由为在方向上的投影向量，则，
又，即，
根据正弦定理，，
在锐角中，，则，即，
由，则，整理可得，解得（负值舍去）.

（2）由，根据正弦定理，可得，
在中，，则，
所以，所以，
由（1）可知，则，
由，则，解得（负值舍去），
根据正弦定理，可得，则，，
故的周长.
19．(1)有95%的把握认为患慢性气管炎与吸烟有关
(2)
(3)
【分析】（1）根据的列联表中的数据，求得的值，结合附表，即可得到结论；
（2）根据表格中的数据，结合条件概率的计算公式，即可求解；
（2）根据分层抽样，得到不吸烟者3人，吸烟者4人， 结合题意的可能值为0，1，2，3，求得相应的概率，列出分布列，利用期望的公式求得数学期望.
【详解】（1）假设：患慢性气管炎与吸烟无关，
根据的列联表中的数据，可得，从而否定原假设，
所以有95%的把握认为患慢性气管炎与吸烟有关.
（2）根据表格中的数据，可得：
.
（3）根题意，按分层抽样，得到不吸烟者人，吸烟者人，
这7人里再随机选取3人，可得随机变量的可能值为0，1，2，3，
则，
，
则随机变量的分布列为：
所以，随机变量的数学期望为.
20．(1)
(2)或；
(3)存在，
【分析】（1）根据离心率公式直接求解；
（2）由题设设，进而分或两种情况讨论求解即可；
（3）假设存在定点满足题意，先讨论的斜率存在时，设的方程为，，首先与椭圆方程联立并结合直线与直线的斜率之和为得，其次求得直线的方程为并于直线的方程联立求得点，再次根据得当时，为定值，最后说明直线的斜率存在也满足即可..
当直线斜率不存在时，设，，
则，，此时，满足题意．
所以存在定点，使得为定值且定值为．
【详解】（1）由题意，，所以离心率
（2）由题意，，，，所以直线的方程为：，
设，显然有或两种情况，
①当时，直线的倾斜角为，其与轴的交点为，则，
因为，
由，得：，解得（舍去）或，
所以，点的坐标是
②当时，此时， 则，
因为，
由，得：，
解得（舍去）或
综上所述，点的坐标是或
（3）假设存在定点满足题意，
当的斜率存在时，设直线的方程为，，
由得，
由题意，，即①．
，
，
所以，代入①，得：，
所以或，即存在直线使得直线与直线的斜率之和为2
直线的方程为，直线的方程为
由，得：，即
所以
所以当时，为定值，.
当直线斜率不存在时，设，，
则，，此时，满足题意．
所以存在定点，使得为定值且定值为．
【点睛】关键点点睛：本题第二问解题的关键在于利用分类讨论的思想，求得对应的的范围，进而舍去不满足的解；第三问解题的关键在于根据已知条件求得直线的方程为中的参数，点，难点在于数学运算.
21．(1)；
(2)证明见解析；
(3)证明见解析.
【分析】（1）先对函数求导，结合导数的几何意义求出切线斜率，进而可求切线方程；
（2）由已知结合导数与单调性及极值关系先表示，然后结合二次方程根的存在条件即可证明；
（3）结合导数分析的单调性，结合已知递推关系及函数单调性即可证明.
【详解】（1）当时，，
所以曲线在点处的切线方程为.；
（2）由，得：，令，则，
原方程可化为：①，则是方程①的两个不同的根，
所以，解得，
所以
，
因为，所以，所以；
（3）由题意可知，，所以，
当时，，所以函数在区间上严格减，
当时，，所以函数在区间上严格增，
因为，所以，，
以此类推，当时，，
又，
所以函数在区间上严格减，
当时，，所以，
所以，即，故.
【点睛】关键点点睛：本题主要考查了导数的几何意义在切线方程求解中的应用，还考查了导数与单调性在不等式证明中的应用，解题关键在于根据定义域判断导函数的正负性，从而得出函数的单调性，得到最值进行比较.