江西省上饶市2024届高三第二次高考模拟考试数学试卷及参考答案

这是一份江西省上饶市2024届高三第二次高考模拟考试数学试卷及参考答案，共23页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知复数满足，则复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．“”是“且”的（ ）
A．必要不充分条件B．充分不必要条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
4．已知平面向量，，且，则（ ）
A．1B．3C．D．
5．记数列的前项和为，若是等差数列，，则（ ）
A．B．C．1D．2
6．已知角，满足，，则（ ）
A．B．C．D．
7．定义在上的奇函数满足，且在上单调递减，若方程在上有实数根，则方程在区间上所有实根之和是（ ）
A．28B．16C．20D．12
8．设为双曲线：（，）的右焦点，直线：（其中为双曲线的半焦距）与双曲线的左、右两支分别交于，两点，若，则双曲线的离心率是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．若（为正整数）的展开式中存在常数项，则下列选项中的取值可能是（ ）
A．3B．5C．6D．7
10．已知函数的部分图象如图所示，则（ ）

A．
B．的图象过点
C．函数的图象关于直线对称
D．若函数在区间上不单调，则实数的取值范围是
11．在四棱锥中，是正方形，，，，为棱上一点，则下列结论正确的是（ ）
A．点到平面的距离为1
B．若，则过点，，的平面截此四棱锥所得截面的面积为
C．四棱锥外接球的表面积为
D．直线与平面所成角的正弦值的最大值为
三、填空题
12．将一枚质地均匀的骰子连续拋掷6次，得到的点数分别为，则这6个点数的中位数为3的概率为 ．
13．在中，，，依次成等差数列，，的取值范围为 ．
14．已知关于的不等式恒成立，的最小值为，则的最小值为 .（其中为自然对数的底数）
四、解答题
15．赣南脐橙，果大形正，橙红鲜绝，光洁美观，已被列为全国十一大优势农产品之一，是江西省赣州市特产，中国国家地理标志产品．荣获“中华名果”等称号．有甲、乙两个脐橙种植基地，按果径（单位：）的大小分级，其中为特级果，为一级果，为二级果，为三级果，一级果与特级果统称为优质果，现从甲、乙两基地所采摘的所有脐橙中各随机抽取300个，测量这些脐橙的果径，所得数据整理如下：
(1)根据以上统计数据完成下表，并回答是否有以上的把握认为“脐橙果径与所在基地有关？”
(2)以样本估计总体，用频率代替概率，从甲种植基地采摘的所有优质果中随机抽取3个，设被抽取的3个脐橙中特级果的个数为，求的分布列和数学期望.
附：，．
16．已知函数的图象在处的切线与直线垂直.
（1）求的值；
（2）若函数在上无零点，求的取值范围.
17．如图，三棱柱中，四边形均为正方形，分别是棱的中点，为上一点.
(1)证明：平面；
(2)若，求直线与平面所成角的正弦值.
18．已知离心率为的椭圆与抛物线有相同的焦点，且抛物线经过点，是坐标原点.
（1）求椭圆和抛物线的标准方程；
（2）已知直线与抛物线交于两点，与椭圆交于两点，若的内切圆圆心始终在直线上，求面积的最大值.
19．对于数列，定义“变换”：将数列变换成数列，其中，且．这种“变换”记作，继续对数列进行“变换”，得到数列，依此类推，当得到的数列各项均为0时变换结束．
(1)写出数列，经过6次“变换”后得到的数列；
(2)若不全相等，判断数列经过不断的“变换”是否会结束，并说明理由；
(3)设数列经过次“变换”得到的数列各项之和最小，求的最小值．
果径分组（单位：）
甲基地频数
5
15
100
150
25
5
乙基地频数
10
25
110
120
25
10
甲基地
乙基地
优质果
非优质果
0.10
0.05
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
参考答案：
1．C
【分析】先求出集合，然后利用集合的交集运算即可求解.
【详解】由题意知，，
所以，故C正确.
故选：C.
2．D
【分析】利用复数除法求出复数，再求出即可得解.
【详解】依题意，，
所以在复平面内对应的点位于第四象限.
故选：D
3．A
【分析】通过特例说明充分性不成立，根据不等式的性质说明必要性是成立的.
【详解】可令，，，则满足，但“且”不成立，所以“”不是“且”的充分条件；
根据不等式的性质：由且，可得：.所以“”是“且”的必要条件.
故选：A
4．C
【分析】先求出的坐标，再根据垂直的坐标表示求得即可.
【详解】由题意知：，，所以，
因为，所以，即，
解得：，所以A、 B、 D错误，
故选：C.
5．D
【分析】首先根据因为是等差数列，可得为等差数列，再利用等差数列的求和公式及其性质即可得解.
【详解】因为是等差数列，
所以可设，所以，
所以为等差数列，
，
所以，
所以.
故选：D
6．A
【分析】根据商数关系得到，再利用两角和与差的余弦公式计算即可.
【详解】，，
，，
，
故选：A.
7．A
【分析】根据条件可得出的图象关于对称，的周期为4，从而可考虑的一个周期，利用，根据在上是减函数，可得出在上是增函数，又是R上的奇函数，所以在上是减函数，在上是增函数，然后根据在上有实数根，可判断该实数根是唯一的，并可判断在一个周期内有两个实数根，并得这两实数根和为2，从而得出在区间这三个周期内上有4个实数根，和为28.
【详解】由知函数的图象关于直线对称，
∵，是R上的奇函数，
∴，
∴，
∴的周期为4，
考虑的一个周期，例如，
由在上是减函数知在上是增函数，
在上是减函数，在上是增函数，
对于奇函数有，，
故当时，，当时，，
当时，，当时，，
因为方程在上有实数根，
函数在上是单调函数，则这实数根是唯一的，
所以方程在上有唯一的实数根，
则由于，函数的图象关于直线对称，
故方程在上有唯一实数根，
因为在和上，
则方程在和上没有实数根，
从而方程在一个周期内有且仅有两个实数根，
当，方程的两实数根之和为，
当，方程的所有4个实数根之和为
.
故选：A.
8．D
【分析】取M的中点，利用向量的中点公式和向量数量积为零的几何意义，得到为线段MN的中垂线，，然后结合双曲线的定义得到，进而利用勾股定理求得，于是根据直线l的斜率，得到a,c的关系，从而求得离心率
【详解】设双曲线的左焦点为，如图，取线段的中点，连接，则．因为，所以，即，则．设．因为，所以，则，从而，故，解得．因为直线的斜率为，所以，整理得，即，
故选：D．

【点睛】本题考查双曲线的几何性质——离心率的求法，涉及向量的运算和数量积，关键是取M的中点，利用向量的中点公式和向量数量积为零的几何意义，得到为线段MN的中垂线，结合双曲线的定义得到是关键，根据直线l的斜率，得到a,c的关系是求得离心率的方向.
9．AC
【分析】根据二项式定理的通项公式求解.
【详解】展开式的通项为：，
因为存在常数项，所以.
经验证，时，；时，符合条件.
故选：AC
10．BCD
【分析】根据函数图象所经过的点，结合正切型函数的对称性、单调性逐一判断即可.
【详解】对于A：设该函数的最小正周期为，则有，
即，由函数的图象可知：，又，所以，
即，由图象可知：，所以，因此A不正确；
对于B：，所以B正确；
对于C：因为，
，所以，
所以函数的图象关于直线对称，因此C正确；
对于D：
当时，，
当，
，
当函数在区间上不单调时，则有，D正确.
故选：BCD
【点睛】关键点睛：运用函数对称性、函数单调性的性质是解题的关键.
11．ABD
【分析】设点到平面的距离为，结合，求得，可判定A正确；取中点为，连接，，可得截面为直角梯形，进而可判定B正确；结合球的截面的性质，可求得四棱锥外接球的半径为，结合球的表面积公式，可判定C不正确；作和 ，证得平面平面，将与平面所成的角转化为，设，求得，结合二次函数的性质，可判定D正确.
【详解】对于A选项，因为，，又，且，面，
所以面，又因为，所以平面，
因为，且，
可得到平面的距离为，即三棱锥的高为，
设点到平面的距离为，且，
由，可得，得.
所以点到平面的距离为1，所以A正确；
对于B选项，因为，所以点为棱的中点，
取中点为，连接，，则平面即为平面截此四棱锥所得的截面.
且点是的中点，点为棱的中点，
所以在中，是的中位线，则，且，
又因为四边形是正方形，则，所以，
因为面，且面，面，所以.
所以四边形是以为下底、为上底，为高的直角梯形，
因为，在等腰中，，且平分，
可得，
则平面截此四棱锥所得截面的面积为，所以B正确；
对于C选项，又因为，，且，
所以，即，其中为外接圆半径，
因为正方形的中心到面的距离等于其边长的一半，即，故四棱锥外接球的半径为.
所以四棱锥外接球的表面积为，所以C不正确；
对于D选项，过点作，再过点作，使得分别在线段上，连接.
根据线面平行的判定定理，可得平面，平面，
因为，且平面，所以平面平面，
又因为平面，所以平面，即平面.
所以即为与平面所成的角，即为与平面所成的角.
由于平面，在平面内，故.
从而在直角中，可得.
设，由，可得，
所以，所以.
由于，故在中，由余弦定理可得，
在中，由余弦定理可得，
在直角中，可得，且当时，不等号取等.
所以的最大值是，所以D正确.
故选：ABD.
【点睛】解题方法点拨：
1、立体几何中的动态问题主要包括：空间动点轨迹的判断，求解轨迹的长度及动角的范围等问题；
2、解答方法：一般时根据线面平行，线面垂直的判定定理和性质定理，结合圆或圆锥曲线的定义推断出动点的轨迹，有时也可以利用空间向量的坐标运算求出动点的轨迹方程；
3、对于线面位置关系的存在性问题，首先假设存在，然后再该假设条件下，利用线面位置关系的相关定理、性质进行推理论证，寻找假设满足的条件，若满足则肯定假设，若得出矛盾的结论，则否定假设；
4、对于探索性问题用向量法比较容易入手，一般先假设存在，设出空间点的坐标，转化为代数方程是否有解的问题，若由解且满足题意则存在，若有解但不满足题意或无解则不存在.
12．
【分析】根据的六种取值情况分别得出中位数，再利用古典概型概率公式即得.
【详解】当为时，这6个点数的中位数为3，
当时，这6个点数的中位数为，
当时，这6个点数的中位数为，
当为时，这6个点数的中位数为，
所以这6个点数的中位数为3的概率为.
故答案为：.
13．
【分析】根据题意可得，利用数量积公式得，进一步由正弦定理、结合三角恒等变换将所求转换为求三角函数值域即可.
【详解】根据题意，又，
所以，
而，
由正弦定理有，
所以，
所以
，
而的取值范围是，
所以的取值范围是，的取值范围是，
所以的取值范围是，
所以的取值范围为.
故答案为：.
14．
【分析】由导数判断函数单调性，求函数的最值解决恒成立问题，再根据函数单调性求函数的最小值.
【详解】不等式恒成立，等价于，
令，
所以在是增函数，
且趋近于0时，趋近于，趋近于时，趋近于，即.
令，则，
当时，，是增函数，
当时，，是减函数，
所以，所以，即，故.
所以，，
因为，所以时，是增函数，时，是减函数，
即时取得最小值，此时；
当时，，此时；
当时，，此时.
综上可知的最小值为.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题求解的关键有两个：一是利用函数同构和分离参数法求出；二是利用导数求解三角函数的最值.
15．(1)表格见解析，有以上的把握认为“脐橙果径与所在基地有关”
(2)分布列见解析，
【分析】（1）列出列联表，计算可，可得结论；
（2）求得甲种植基地优质果中特级果的概率，进而可得，进而可得的分布列和数学期望.
【详解】（1）根据题中所给数据可得到如下列联表：
，
因此，有以上的把握认为“脐橙果径与所在基地有关”.
（2）由题意得甲种植基地优质果中特级果的概率，
的所有可能取值为．
，
，
，
，
的分布列表如下：
（或）．
16．（1）；（2）
【分析】（1）首先求出导函数，由即可求解.
（2）由题意可得在上无解，分离参数，转化为两个函数无交点即可求解.
【详解】（1）由函数，，
，所以可得，解得.
（2）若函数在上无零点，即在上无解，
即在上无解，
令，，
，在上，
所以在上单调递增，
所以，
即，
若在上无解，
则或，
即或.
所以的取值范围为
17．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）连接,则有平面平面，可得平面；
（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量进行计算即可.
【详解】（1）连接.
因为，且，
又分别是棱的中点，
所以，且，
所以四边形为平行四边形，所以，
又平面平面，
所以平面，
因为，且，
所以四边形为平行四边形，所以，
又平面平面，
所以平面，
因为平面，
所以平面平面，
因为平面，所以平面.
（2）四边形均为正方形，所以.
所以平面.
因为，
所以平面.
从而.
又，
所以为等边三角形.
因为是棱的中点，
所以.
即两两垂直.
以为原点，所在直线为轴，
建立如图所示的空间直角坐标系.
设，
则，
所以.
设为平面的法向量，
则，即，可取.
因为，所以.
设直线与平面所成角为，
则，
即直线与平面所成角正弦值为.
18．（1）椭圆；抛物线；（2）.
【分析】（1）将代入抛物线可求得，得到抛物线方程；由抛物线方程得，结合离心率和椭圆之间关系可求得椭圆方程；
（2）根据内切圆圆心特点可确定平分，得到斜率之和为，由此可构造方程得到，进而求得；将与抛物线和椭圆方程联立可求得范围，并得到韦达定理的形式；利用弦长公式和点到直线距离公式表示出和到距离，将所求面积表示为关于的函数，由函数最值的求解方法可求得结果.
【详解】（1）在抛物线上，，解得：，抛物线方程为：；
由抛物线方程知：，即，，解得：，，
椭圆的标准方程为：；
（2）的内切圆圆心始终在直线上，平分，
设直线斜率为，又轴，；
设，，则，
又，，整理可得：；
，，；
由得：，则，解得：；
由得：，则，解得：；
综上所述：；
设，，则，，
，又到直线距离，
，
由得：，
当时，，的最大值为.
【点睛】思路点睛：求解直线与椭圆综合应用中的三角形面积最值（取值范围）问题的基本思路如下：
①假设直线方程，与椭圆方程联立，整理为关于或的一元二次方程的形式；
②利用求得变量的取值范围，得到韦达定理的形式；
③利用韦达定理和点到直线距离表示出所求三角形的面积；
④将所求三角形面积转化为关于某一变量的函数的形式，利用函数的单调性或基本不等式求解出最值（范围）.
19．(1)；
(2)不可能结束，理由见解析；
(3)64.
【分析】（1）根据数列的新定义写出经过6次“变换”后得到的数列即可；
（2）先假设数列经过不断的"变换"结束，不妨设最后的数列设数列，，，且，，则非零数量可能通过“变换”结束，或者数列为常数列，进而得到可能出现的情况，推出矛盾，故假设不成立，即可证明；
（3）先往后推几项，发现规律，假设1次“变换"后得到的通项，多写几项推出规律，往后继续进行，推到使数字按近时，再继续推，往后会发现次“变换”得到的数列是循环的，得到最小值，进而推出次数即可.
【详解】（1）依题意，6次变换后得到的数列依次为
；；；；；，
所以，数列，经过6次“变换”后得到的数列为.
（2）数列经过不断的“变换”不可能结束
设数列，，，且，，
依题意，，，所以，
即非零常数列才能通过“变换”结束．
设（为非零自然数）．
为变换得到数列的前两项，数列只有四种可能
，，；，，；，，；，，．
而任何一种可能中，数列的第三项是0或．
即不存在数列，使得其经过“变换”成为非零常数列，
由①②得，数列经过不断的“变换”不可能结束．
（3）数列经过一次“变换”后得到数列，其结构为．
数列经过6次“变换”得到的数列分别为：
；；；
；；．
所以，经过6次“变换”后得到的数列也是形如“”的数列，
变化的是，除了3之外的两项均减小18．
因为，所以，数列经过次“变换”后得到的数列为2，5，3．
接下来经过“变换”后得到的数列分别为：
3，2，1；1，1，2；0，1，1；1，0，1；1，1，0；0，1，1；1，0，1，，
至此，数列和的最小值为2，以后数列循环出现，数列各项和不会更小，
所以经过次“变换”得到的数列各项和达到最小，
即的最小值为64．
【点睛】思路点睛：本题考查数列的新定义问题.关于数列的新定义一般思路为：（1）根据定义写出几项；（2）找出规律；（3）写成通项；（4）证明结论.
甲基地
乙基地
优质果
250
230
非优质果
50
70
0
1
2
3