资料中包含下列文件，点击文件名可预览资料内容
还剩5页未读，
继续阅读
2024年山东省临沂市初中学业水平考试数学模拟试题（A）（原卷版+解析版）
展开
这是一份2024年山东省临沂市初中学业水平考试数学模拟试题（A）（原卷版+解析版），文件包含2024年山东省临沂市初中学业水平考试数学模拟试题A原卷版docx、2024年山东省临沂市初中学业水平考试数学模拟试题A解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共37页， 欢迎下载使用。
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），共8页，满分120分，考试时间120分钟．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座号填写在试卷和答题卡规定的位置．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题注意事项见答题卡，答在本试卷上不得分．
第Ⅰ卷（选择题 共30分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的．
1. 计算（ ）
A. 2B. C. 0.5D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了有理数的混合运算．先计算乘方，再计算除法即可．
【详解】解：
．
故选：B．
2. 地铁标志作为城市地铁的形象和符号，是城市与文化的缩影，下列图案分别为北京、台州、深圳、温州四个城市的地铁标志，其中是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】中心对称是指把一个图形绕着某一点旋转，如果它能够与原来图形重合，那么就说这个图形关于这个点成中心对称，由此即可求解．
【详解】解：解：选项，不是中心对称图形，故错误，不符合题意；
选项，不是中心对称图形，故错误，不符合题意；
选项，是中心对称图形，故正确，符合题意；
选项，不是中心对称图形，故错误，不符合题意；
故选：．
【点睛】本题主要考查中心对称图形的识别，掌握中心对称图形的定义，找出对称中心，图形结合分析是解题的关键．
3. 2021年政府工作报告指出，过去五年来，我国经济实力跃上新台阶．国内生产总值从8.32万亿元增加到11.4亿亿元，稳居世界第二，11.4亿亿用科学记数法表示为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可．
【详解】解：因为亿=，所以亿亿=；
故选：B．
【点睛】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，确定a与n的值是解题的关键．
4. 如图是某种零件模型的示意图，则它的俯视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查简单几何体的俯视图，俯视图即从上面看几何体，据此解题．
【详解】解：该零件模型是一个空心圆柱，从上面看俯视图是两个同心圆（都用实线）．
故选：C．
5. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据完全平方公式计算并判定A；根据积的乘方计算并判定B；根据积的乘方和单项式乘以单项式法则、同底数幂相乘法则、负整指数幂运算法则计算并判定C；根据用平方差公式因式分解计算并判定D．
【详解】解：A、，原计算错误，故此选项不符合题意；
B、，原计算错误，故此选项不符合题意；
C、，原计算错误，故此选项不符合题意；
D、，原计算正确，故此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查完全平方公式，单项式乘以单项式法则，积的乘方、幂的乘方、同底数幂相乘、负整指数幂的运算法则，用平方差公式进行因式分解．熟练掌握幂的运算法则，完全平方公式和平方差公式是解题的关键．
6. 如图，△ABC≌△ADE，且AE//BD，∠BAD＝96°，则∠BAC的度数的值为（ ）
A. 84°B. 60°C. 48°D. 42°
【答案】D
【解析】
【分析】根据全等三角形的性质得到AB＝AD，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理求出∠ADB，根据平行线的性质求出∠DAE，得到答案．
详解】解：∵△ABC≌△ADE，∠BAD＝96°，
∴AB＝AD，∠BAC＝∠DAE，
∴∠ABD＝∠ADB＝×（180°﹣96°）＝42°，
∵AE//BD，
∴∠DAE＝∠ADB＝42°，
∴∠BAC＝∠DAE＝42°．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的定制、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理以及平行线的性质，灵活运用相关性质定理成为解答本题的关键．
7. 已知点，，都在抛物线上，且点A在点B左侧，则下列选项正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
首先根据题意得到对称轴为，且开口向上，进而得到当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大，然后求出点A在对称轴左边，点B在对称轴右边，且到对称轴距离相等，然后分和两种情况讨论，分别根据二次函数的性质求解即可．
【详解】∵抛物线
∴对称轴为，且开口向上
∴当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大，
∵点，，都在抛物线上，且点A在点B左侧，
∴点A在对称轴左边，点B在对称轴右边，且到对称轴距离相等，
∴当时，
∵，
∵；
∴当时，
∵，
∴．
故选：D．
8. 在同一平面内，从①，②，③，④，这四个条件中任意选取两个能使四边形是平行四边形的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的判定，用概率公式求概率，掌握平行四边形的判定方法和概率公式是解题的关键．
根据从①，②，③，④，这四个条件中任意选取两个，共有6种方法，由平行四边形的判定方法，可得①②、②④、①③、③④共有4种可判定是平行四边形．再根据概率公式求解即可．
【详解】解：从①，②，③，④，这四个条件中任意选取两个，共有6种方法，
由平行四边形的判定方法，可得①②、②④、①③、③④共有4种可判定是平行四边形．
∴这四个条件中任意选取两个能使四边形是平行四边形的概率为．
故选：A．
9. 如图，在平面直角坐标系中，将直线向上平移3个单位，与轴、轴分别交于点A、B，以线段AB为斜边在第一象限内作等腰直角三角形ABC．若反比例函数的图象经过点C，则的值为（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】过点C作CE⊥x轴于点E，作CF⊥y轴于点F，根据等腰直角三角形的性质可证出△ACF≌△BCE（AAS），从而得出S矩形OECF＝S四边形OBCA＝S△AOB＋S△ABC，根据直线AB的表达式利用一次函数图象上点的坐标特征可得出点A、B的坐标，结合勾股定理可得出AB的长度，再根据三角形的面积结合反比例函数系数k的几何意义，即可求出k值，此题得解．
【详解】解：过点C作CE⊥x轴于点E，作CF⊥y轴于点F，如图所示，
∵CE⊥x轴，CF⊥y轴，
∴∠ECF＝90°．
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴∠ACF＋∠FCB＝∠FCB＋∠BCE＝90°，AC＝BC，
∴∠ACF＝∠BCE．
在△ACF和△BCE中，
，
∴△ACF≌△BCE（AAS），
∴S△ACF＝S△BCE，
∴S矩形OECF＝S四边形OBCA＝S△AOB＋S△ABC．
∵将直线y＝−3x向上平移3个单位可得出直线AB，
∴直线AB的表达式为y＝−3x＋3，
∴点A（0，3），点B（1，0），
∴，
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴，
∴S矩形OECF＝S△AOB＋S△ABC＝×1×3＋＝4．
∵反比例函数（x＞0）的图象经过点C，
∴k＝4，
故选C．
【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义、全等三角形的判定与性质、一次函数图象上点的坐标特征、一次函数图象与几何变换、等腰直角三角形以及三角形的面积，根据等腰直角三角形的性质结合角的计算，证出△ACF≌△BCE（AAS）是解题的关键．
10. 如图，四边形是边长为1的正方形，点E是射线上的动点（点E不与点A，点B重合），点F在线段的延长线上，且，连接，将绕点E顺时针旋转得到，连接．设，四边形的面积为y，下列图象能正确反映出y与x的函数关系的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】分两种情况求出函数的解析式，再由函数解析式对各选项进行判断．
【详解】解：∵四边形ABCD是边长为1的正方形，
∴∠DAB=90°，AD=AB，
△ADE和△ABF中，
∴△ADE≌△ABF（SAS），
∴∠ADE=∠ABF，DE=BF，
∵∠DEG=90°，
∴∠ADE+∠AED=∠AED+∠BEG，
∴∠BEG=∠ADE，
∴∠BEG=∠ABF，
∴EGBF，
∵DE=BF，DE=GE，
∴EG=BF，
∴四边形BFEG平行四边形，
∴四边形EFBG的面积=2△BEF的面积=2BE•AF，
设AE=x，四边形EFBG面积为y，
当0≤x≤1时，y=（1-x）•x=-x2+x；
当x＞1时，y=（x-1）•x=x2-x；
综上可知，当0≤x≤1时，函数图象是开口向下的抛物线；当x＞1时，函数图象是开口向上的抛物线，
符合上述特征的只有B，
故选：B．
【点睛】本题综合考查了正方形的性质和二次函数图象及性质，分段求出函数的解析式是解题的关键．
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
注意事项：
1．第Ⅱ卷分填空题和解答题．
2．第Ⅱ卷所有题目的答案，考生须用0.5毫米黑色签字笔答在答题卡规定的区域内，在试卷上答题不得分．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11. 分解因式：________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查因式分解—公式法．熟练掌握用平方差公式分解因式是解题的关键．
用平方差公式分解因式即可．
【详解】解：
故答案为：．
12. 若平行四边形的两条边长分别为和，且一边上的高为，则该平行四边形的面积为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查平行四边形的性质，解题的关键是掌握是掌握平行四边形的性质，平行四边形的面积公式，即可．
【详解】如图所示，平行四边形的两条边长分别为和，且一边上的高为4，
∴，，
∵平行四边形一边上的高为，
∴，
∴平行四边形的面积为：．
故答案为：．
13. 已知关于x的方程有至少一个实数解，则a的取值范围是_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查根据方程的解的情况求字母系数取值范围．熟练掌握一元二次方程有解，则是银题的关键．注意分类讨论．
分两种情况讨论：当时，方程为一元一次方程，有一个实数解；当时，方程是一元二次方程，则当时，方程有实数解，求解即可．
【详解】解：当时，原方程为：，则方程为一元一次方程，有一个实数解；
当时，方程是一元二次方程，则当时，方程有实数解，
解得：，
综上，关于x的方程有至少一个实数解，则a的取值范围是．
故答案为：．
14. 在数的学习过程中，我们总会对其中一些具有某种特性的数充满好奇，如学习自然数时，我们发现一种特殊的自然数---“好数”．定义：对于三位自然数n，各位数字都不为0，且百位数字与十位数字之和恰好能被个位数字整除，则称这个自然数为“好数”，如426是“好数”，因为4，2，6都不为0，且4+2=6，6能被6整除；643不是“好数”，因为6+4=10，10不能被3整除，问百位数字比十位数字大5的所有“好数”有__________个．
【答案】7
【解析】
【分析】设十位数数字为a，则百位数字为a+5（0＜a≤4的整数），得出百位数字和十位数字的和为2a+5，再分别取a=1，2，3，4，计算判断即可得出结论．
【详解】611，617，721，723，729，831，941共7个，
理由：设十位数数字为a，则百位数字为a+5（0＜a≤4的整数），
∴百位数字和十位数字的和为a+a+5=2a+5，
当a=1时，2a+5=7，
∵7能被1，7整除，
∴满足条件的三位数有611，617；
当a=2时，2a+5=9，
∵9能被1，3，9整除，
∴满足条件的三位数有721，723，729；
当a=3时，2a+5=11，
∵11能被1整除，
∴满足条件的三位数有831；
当a=4时，2a+5=13，
∵13能被1整除，
∴满足条件的三位数有941；
∴满足条件的三位自然数为611，617，721，723，729，831，941共7个．
故答案为7．
【点睛】此题主要考查了数的整除问题，新定义，理解并灵活运用新定义是解本题的关键．
15. 如图，等腰中，顶角，用尺规按①到④的步骤操作：
①以O为圆心，OA为半径画圆；
②在上任取一点P（不与点A，B重合），连接AP；
③作AB的垂直平分线与交于M，N；
④作AP的垂直平分线与交于E，F.
结论Ⅰ：顺次连接M，E，N，F四点必能得到矩形；
结论Ⅱ：上只有唯一的点P，使得.
对于结论Ⅰ和Ⅱ正确的是______．
【答案】结论Ⅰ
【解析】
【分析】如图，连接EM，EN，MF．NF．根据矩形的判定证明四边形MENF是矩形，再说明∠MOF=∠AOB时，S扇形FOM=S扇形AOB，观察图形可知，这样的点P不唯一，可知（Ⅱ）错误．
【详解】解：如图，连接EM，EN，MF．NF．
∵MN垂直平分AB，EF垂直平分AP，由“垂径定理的逆定理”可知，MN和EF都是⊙O的直径，
∴OM=ON，OE=OF，
∴四边形MENF是平行四边形，
∵EF=MN，
∴四边形MENF是矩形，故（Ⅰ）正确，
观察图形可知当∠MOF=∠AOB，
∴S扇形FOM=S扇形AOB，
观察图形可知，这样的点P不唯一（如下图所示），故（Ⅱ）错误，
故答案为：结论Ⅰ．
【点睛】本题考查作图——复杂作图，线段的垂直平分线的性质，矩形的判定，扇形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．
16. 2021年诺贝尔物理学奖是有关于“复杂系统的理解”，我们可以用动力系统的方法来研究复杂系统．已知直线，双曲线，点，我们从点出发构造无穷点列，…构造规则为：若点在直线上，那么下一个点就在双曲线上，且；若点在双曲线上，那么下一个点就在直线上，且，根据规则，点的坐标为____．无限进行下去，无限接近的点的坐标____．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】先根据题意求出从而可以求出的坐标，从而求出，， ，的坐标，可以发现结合函数图像可知此时这个点列慢慢的向一次函数与反比例函数的交点靠近，则无限进行下去，无限接近的点的坐标即为一次函数与反比例函数的交点，由此求解即可．
【详解】解：∵点满足一次函数解析式，即点在直线上，
∴点的横坐标为1且点在反比例函数上，
∴点的纵坐标为，
∴点的纵坐标为3，且点在直线上，
∴点的横坐标为5，
∴点的坐标为，
同理点的坐标为，， ，，
结合函数图像可知此时这个点列慢慢的向一次函数与反比例函数的交点靠近，
∴无限进行下去，无限接近的点的坐标即为一次函数与反比例函数的交点，
联立，
解得或（舍去），
故答案为：，．
【点睛】本题主要考查了点的坐标规律探索，一次函数与反比例函数综合，正确理解题意是解题的关键．
三、解答题（本大题共8小题，共72分）
17. （1）计算：．
（2）解不等式组：，并写出其所有非负整数解．
【答案】（1）；（2），0，1
【解析】
【分析】本题主要考查了求特殊角三角函数值，零指数幂，负整数指数幂，解一元一次不等式组，求不等式组的整数解：
（1）先计算零指数幂，负整数指数幂和特殊角三角函数值，再计算加减法即可；
（2）先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，进而求出其非负整数解即可．
【详解】解：（1）
．
（2），
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为：，
∴所有非负整数解为0，1．
18. 某书店在图书批发中心选购A，B两种科普书，A种科普书每本进价比B种科普书每本进价多20元，若用2400元购进A种科普书的数量是用950元购进B种科普书数量的2倍．
（1）求A，B两种科普书每本进价各是多少元；
（2）该书店计划A种科普书每本售价为126元，B种科普书每本售价为86元，购进A种科普书的数量比购进B种科普书的数量的还多4本，若A，B两种科普书全部售出，使总获利超过1560元，则至少购进B种科普书多少本？
【答案】（1）A种科普书每本的进价为96元，B种科普书每本的进价为76元；
（2）至少购进B种科普书75本
【解析】
【分析】（1）设B种科普书的进价为x元/本，则A种的进价为元/本，根据用2400元购进A种科普书的数量是用950元购进B种科普书数量的2倍列分式方程解答；
（2）设购进B种科普书m本，则购进A种科普书本，根据总获利超过1560元列不等式解答．
【小问1详解】
解：设B种科普书的进价为x元/本，则A种的进价为元/本，
根据题意得：，
解得：，
经检验：是所列分式方程的解，且符合题意，
∴，
答：A种科普书每本的进价为96元，B种科普书每本的进价为76元；
【小问2详解】
设购进B种科普书m本，则购进A种科普书本，
根据题意得：，
解得：，
∵m为正整数，且为正整数，
∴m为3的倍数，
∴m的最小值为75，
答：至少购进B种科普书75本．
【点睛】此题考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意列得方程或不等式是解题的关键．
19. 某校对全校学生进行了一次党史知识测试，成绩评定共分为A、B、C、D四个等级，随机抽取了部分学生的成绩进行调查，将获得的数据整理绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．
（1）在这次调查中一共抽取了 名学生；
（2）请根据以上信息补全条形统计图；
（3）扇形统计图中，C等级对应的圆心角是 度；
（4）根据抽样调查的结果，请你估计该校2000名学生中有多少名学生的成绩评定为C等级．
【答案】（1）80 （2）见解析
（3）108 （4）600名
【解析】
【分析】（1）根据等级的人数以及所占的百分比即可求出本次调查中共抽取的学生数；
（2）根据（1）中的结果和扇形统计图中的数据，可以计算出等级的人数，然后即可将条形统计图补充完整；
（3）根据C等级的人数以及抽取的学生数计算出C等级所对应的扇形圆心角的度数；
（4）求出等级所占整体的百分比即可求出相应的人数．
【小问1详解】
解： （名，
【小问2详解】
解：等级的学生为（人
补全条形统计图如下：
【小问3详解】
解：扇形统计图中，C等级对应的圆心角的度数为：，
【小问4详解】
解： （人），
答：估计该校2000学生中有600名学生的成绩评定为等级．
【点睛】本题考查样本容量，扇形统计图，条形统计图，用样本估计总体，理解两个统计图中数量关系是解决问题的关键．
20. 下面是工程师孙师傅的工作日志，请你仔细阅读，完成相应任务．
解决问题：请你根据孙师傅的方法，求出信号塔的高度．（参考数据：，，）
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，作出辅助线构造直角三角形是解答本题的关键．作于F，于G．在中，设米，米，利用勾股定理求出，从而求出米，米，在中求出米，进而可求出求出信号塔的高度．
【详解】解：作于F，于G．
在中，设米，
∵
∴米，
∴米
∴，
∴米，
∴米，
∴米，米，
在中，
米
米．
答：信号塔的高度为．
21. 如图所示，一次函数与反比例函数的图象交于点，与轴交于点．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若点是轴上的一个动点，连接，，当最小时，求点的坐标．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查反比例函数与几何的综合，解题的关键是掌握反比例函数，移项函数的图象与性质，最短路径的求解，即可．
（1）把点代入一次函数，求出；把点代入反比例函数，即可；
（2）作点关于轴的对称点，连接，与轴的交点即为点，连接；当三点共线时，的值最小，根据点对称的性质，一次函数的性质，即可．
【小问1详解】
∵点在一次函数图象上，
∴，
∴点，
∵点在反比例函数图象上，
∴，
解得：，
∴反比例函数的解析式为：．
【小问2详解】
作点关于轴的对称点，连接，与轴的交点即为点，连接，
∴，
当，，三点共线时，的值最小，即，
∴设直线的解析式为：，
∵在直线上，
∴，
解得：，
∴设直线的解析式为：，
∵点在直线上，
∴，
解得：，
∴点．
22. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AO是△ABC的角平分线．以O为圆心，OC为半径作⊙O．
（1）求证：AB是⊙O的切线．
（2）已知AO交⊙O于点E，延长AO交⊙O于点D，tanD=，求的值．
（3）在（2）的条件下，设⊙O的半径为3，求AB的长．
【答案】（1）证明见解析（2） （3）
【解析】
【分析】（1）过O作OF⊥AB于F，由角平分线上的点到角两边的距离相等即可得证；
（2）连接CE，证明△ACE∽△ADC可得= tanD＝；
（3）先由勾股定理求得AE的长，再证明△BOF∽△BAC，得，设BO=y，BF=z，列二元一次方程组即可解决问题．
【详解】（1）证明：作OF⊥AB于F
∵AO是∠BAC的角平分线，∠ACB=90º
∴OC=OF
∴AB是⊙O的切线
（2）连接CE
∵AO是∠BAC的角平分线，
∴∠CAE=∠CAD
∵∠ACE所对的弧与∠CDE所对的弧是同弧
∴∠ACE=∠CDE
∴△ACE∽△ADC
∴= tanD＝
（3）先在△ACO中，设AE=x,
由勾股定理得
(x＋3)²=(2x) ²＋3² ，解得x=2,
∵∠BFO=90°=∠ACO
易证Rt△BOF∽Rt△BAC
得，
设BO=y BF=z
即4z=9＋3y，4y=12＋3z
解得z=y=
∴AB=＋4=
考点：圆的综合题．
23. 根据以下素材，探索完成任务．
【答案】任务1：，D坐标为；任务2：；任务3：
【解析】
【分析】(1)把原点代入解析式，求得m值，将抛物线化成顶点式即可确定顶点坐标．
(2)先根据抛物线确定点，再确定A，B，E的坐标，根据等腰直角三角形的性质，对称的性质，计算求解即可．
(3) 设P的坐标为，则，过点D作x轴的平行线，过点P作于点F，根据题意计算求解即可．
【详解】任务1：∵二次函数的图像过原点
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为
其顶点D坐标为．
任务2：由任务1可知，抛物线的解析式为
令，得，
解得，，
∴．
将代入直线，
得，
∴，
∴
∵直线与坐标轴交于A，B两点，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，且，
又∵C，是关于对称轴直线的一对对称点，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
解得．
∴ ．
任务3：∵点P在抛物线上，
∴设P的坐标为，则
过点D作x轴的平行线，过点P作于点F，则依题意有，
∴，即，
解得（舍去）
∴，
∴直线的解析式为
在图5中，，
代入，
得，
∴图5中的二次函数解析式为，
∵点Q在直线上，
∴设点，代入，
则
解得或，
∴或，
∵幼苗是越长越张开，
∴不符合题意，舍去．
过点Q作于H，
在中，
∴幼苗叶子的长度为．
【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，等腰直角三角形的判定和性质，抛物线与坐标轴的交点，对称思想，两点间的距离公式，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
24. 几何探究与实践
（1）【模型认识】如图1所示，已知在中，，分别以为直角边构造等腰直角三角形和，连接，则与的关系是： ；
（2）【初步应用】如图2所示，连接，求证：；
（3）【深入研究】在（2）的条件下，试判断和的面积有何关系，并加以证明；
（4）【拓广探索】如图3，在中，，，，以为直角边构造等腰直角三角形，且，连接，试直接写出的长度．
【答案】（1）且
（2）见解析 （3）和的面积相等，理由见解析
（4）
【解析】
【分析】（1）根据等腰三角形的判定和性质证明即可求解；
（2）在中，，在中，，再根据，即可求解；
（3）如图所示，延长到点，使得，连接，根据题意可证，再根据三角形中线平分三角形面积可求解；
（4）如图所示，以为边作等腰直角三角形，连接，设交于点，证明，易得，则可得的长；延长，过点Q作延长线于点T，则可求得的长，在中，由勾股定理可求得的长，从而得到的长．
【小问1详解】
解：∵，都是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
在中，
，
∴，
∴，，
在中，，
∴在中，，
∴，即，
故答案为：且；
【小问2详解】
证明：由（1）可知，且，
在中，，
在中，，
∵，
∴
，
∴；
【小问3详解】
解：和的面积相等，理由如下，
如图所示，延长到点，使得，连接，
∵，
∴，
∵，即，
∴，
∴，
∵，，
∴，
在中，
，
∴，
∴，
在中，点是中点，
∴，
∴，
∴和面积相等；
【小问4详解】
解：如图所示，以为边作等腰直角三角形，连接，设交于点，
∴，
∴，即，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，即，垂足为，
在中，，
∴，
如图所示，延长，过点Q作延长线于点T，
∵，
∴，
在中，，，
∴，，
在中，，
∴，
∴，
∴的长度为．
【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，中线平分三角形面积，勾股定理等知识的综合，含角的直角三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质是解题的关键．
工作日志
今天，我们要在一座山上修建一座信号塔，修建完成后需要再次校准信号塔的高度．为完成此任务，我们进行了如下操作：
我们把它抽象为一个数学问题：如图，垂直于水平面的信号塔建在垂直于水平面的悬崖边B点处，我们从山脚C点出发沿水平方向前行78米到D点（点A，B，C在同一直线上），再沿斜坡方向前行78米到E点（点A，B，C，D，E在同一平面内），在点E处测得信号塔顶端A的仰角为，悬崖的高为144.5米，斜坡的坡度，然后通过计算求出了信号塔的高度．
通过今天的经历，我认识到了数学在实际生活中的强大能力，数学来源于生活又高于生活，我们遇到问题要想办法，用所学的数学知识解决问题．
运用二次函数来研究植物幼苗叶片的生长状况
1．在大自然里，有很多数学的奥秘．一片美丽的心形叶片、一棵生长的幼苗都可以看作把一条抛物线的一部分沿直线折叠而形成．
2．幼苗在生长过程中，叶片是越长越张开．
素材
问题解决
任务1
确定心形叶片的形状
如图3建立平面直角坐标系，心形叶片下部轮廓线可以看作是二次函数图像的一部分，且过原点，求抛物线的解析式及顶点D的坐标．
任务2
研究心形叶片的尺寸
如图3，心形叶片的对称轴直线与坐标轴交于A，B两点，抛物线与x轴交于另一点C，过点C作x轴的垂线交直线于点E，点C，是叶片上的一对对称点，交直线于点G．求叶片此处的宽度．
任务3
探究幼苗叶片的生长
小李同学在观察幼苗生长的过程中，发现幼苗叶片下方轮廓线都可以看作是二次函数图像的一部分．
如图4，幼苗叶片下方轮廓线正好对应任务1中的二次函数．已知直线（点P为叶尖）与水平线的夹角为．三天后，叶片根部D长到与点P同一水平位置的处时，叶尖Q落在射线上（如图5所示），求此时幼苗叶片的长度．
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），共8页，满分120分，考试时间120分钟．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座号填写在试卷和答题卡规定的位置．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题注意事项见答题卡，答在本试卷上不得分．
第Ⅰ卷（选择题 共30分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的．
1. 计算（ ）
A. 2B. C. 0.5D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了有理数的混合运算．先计算乘方，再计算除法即可．
【详解】解：
．
故选：B．
2. 地铁标志作为城市地铁的形象和符号，是城市与文化的缩影，下列图案分别为北京、台州、深圳、温州四个城市的地铁标志，其中是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】中心对称是指把一个图形绕着某一点旋转，如果它能够与原来图形重合，那么就说这个图形关于这个点成中心对称，由此即可求解．
【详解】解：解：选项，不是中心对称图形，故错误，不符合题意；
选项，不是中心对称图形，故错误，不符合题意；
选项，是中心对称图形，故正确，符合题意；
选项，不是中心对称图形，故错误，不符合题意；
故选：．
【点睛】本题主要考查中心对称图形的识别，掌握中心对称图形的定义，找出对称中心，图形结合分析是解题的关键．
3. 2021年政府工作报告指出，过去五年来，我国经济实力跃上新台阶．国内生产总值从8.32万亿元增加到11.4亿亿元，稳居世界第二，11.4亿亿用科学记数法表示为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可．
【详解】解：因为亿=，所以亿亿=；
故选：B．
【点睛】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，确定a与n的值是解题的关键．
4. 如图是某种零件模型的示意图，则它的俯视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查简单几何体的俯视图，俯视图即从上面看几何体，据此解题．
【详解】解：该零件模型是一个空心圆柱，从上面看俯视图是两个同心圆（都用实线）．
故选：C．
5. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据完全平方公式计算并判定A；根据积的乘方计算并判定B；根据积的乘方和单项式乘以单项式法则、同底数幂相乘法则、负整指数幂运算法则计算并判定C；根据用平方差公式因式分解计算并判定D．
【详解】解：A、，原计算错误，故此选项不符合题意；
B、，原计算错误，故此选项不符合题意；
C、，原计算错误，故此选项不符合题意；
D、，原计算正确，故此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查完全平方公式，单项式乘以单项式法则，积的乘方、幂的乘方、同底数幂相乘、负整指数幂的运算法则，用平方差公式进行因式分解．熟练掌握幂的运算法则，完全平方公式和平方差公式是解题的关键．
6. 如图，△ABC≌△ADE，且AE//BD，∠BAD＝96°，则∠BAC的度数的值为（ ）
A. 84°B. 60°C. 48°D. 42°
【答案】D
【解析】
【分析】根据全等三角形的性质得到AB＝AD，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理求出∠ADB，根据平行线的性质求出∠DAE，得到答案．
详解】解：∵△ABC≌△ADE，∠BAD＝96°，
∴AB＝AD，∠BAC＝∠DAE，
∴∠ABD＝∠ADB＝×（180°﹣96°）＝42°，
∵AE//BD，
∴∠DAE＝∠ADB＝42°，
∴∠BAC＝∠DAE＝42°．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的定制、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理以及平行线的性质，灵活运用相关性质定理成为解答本题的关键．
7. 已知点，，都在抛物线上，且点A在点B左侧，则下列选项正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
首先根据题意得到对称轴为，且开口向上，进而得到当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大，然后求出点A在对称轴左边，点B在对称轴右边，且到对称轴距离相等，然后分和两种情况讨论，分别根据二次函数的性质求解即可．
【详解】∵抛物线
∴对称轴为，且开口向上
∴当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大，
∵点，，都在抛物线上，且点A在点B左侧，
∴点A在对称轴左边，点B在对称轴右边，且到对称轴距离相等，
∴当时，
∵，
∵；
∴当时，
∵，
∴．
故选：D．
8. 在同一平面内，从①，②，③，④，这四个条件中任意选取两个能使四边形是平行四边形的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的判定，用概率公式求概率，掌握平行四边形的判定方法和概率公式是解题的关键．
根据从①，②，③，④，这四个条件中任意选取两个，共有6种方法，由平行四边形的判定方法，可得①②、②④、①③、③④共有4种可判定是平行四边形．再根据概率公式求解即可．
【详解】解：从①，②，③，④，这四个条件中任意选取两个，共有6种方法，
由平行四边形的判定方法，可得①②、②④、①③、③④共有4种可判定是平行四边形．
∴这四个条件中任意选取两个能使四边形是平行四边形的概率为．
故选：A．
9. 如图，在平面直角坐标系中，将直线向上平移3个单位，与轴、轴分别交于点A、B，以线段AB为斜边在第一象限内作等腰直角三角形ABC．若反比例函数的图象经过点C，则的值为（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】过点C作CE⊥x轴于点E，作CF⊥y轴于点F，根据等腰直角三角形的性质可证出△ACF≌△BCE（AAS），从而得出S矩形OECF＝S四边形OBCA＝S△AOB＋S△ABC，根据直线AB的表达式利用一次函数图象上点的坐标特征可得出点A、B的坐标，结合勾股定理可得出AB的长度，再根据三角形的面积结合反比例函数系数k的几何意义，即可求出k值，此题得解．
【详解】解：过点C作CE⊥x轴于点E，作CF⊥y轴于点F，如图所示，
∵CE⊥x轴，CF⊥y轴，
∴∠ECF＝90°．
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴∠ACF＋∠FCB＝∠FCB＋∠BCE＝90°，AC＝BC，
∴∠ACF＝∠BCE．
在△ACF和△BCE中，
，
∴△ACF≌△BCE（AAS），
∴S△ACF＝S△BCE，
∴S矩形OECF＝S四边形OBCA＝S△AOB＋S△ABC．
∵将直线y＝−3x向上平移3个单位可得出直线AB，
∴直线AB的表达式为y＝−3x＋3，
∴点A（0，3），点B（1，0），
∴，
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴，
∴S矩形OECF＝S△AOB＋S△ABC＝×1×3＋＝4．
∵反比例函数（x＞0）的图象经过点C，
∴k＝4，
故选C．
【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义、全等三角形的判定与性质、一次函数图象上点的坐标特征、一次函数图象与几何变换、等腰直角三角形以及三角形的面积，根据等腰直角三角形的性质结合角的计算，证出△ACF≌△BCE（AAS）是解题的关键．
10. 如图，四边形是边长为1的正方形，点E是射线上的动点（点E不与点A，点B重合），点F在线段的延长线上，且，连接，将绕点E顺时针旋转得到，连接．设，四边形的面积为y，下列图象能正确反映出y与x的函数关系的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】分两种情况求出函数的解析式，再由函数解析式对各选项进行判断．
【详解】解：∵四边形ABCD是边长为1的正方形，
∴∠DAB=90°，AD=AB，
△ADE和△ABF中，
∴△ADE≌△ABF（SAS），
∴∠ADE=∠ABF，DE=BF，
∵∠DEG=90°，
∴∠ADE+∠AED=∠AED+∠BEG，
∴∠BEG=∠ADE，
∴∠BEG=∠ABF，
∴EGBF，
∵DE=BF，DE=GE，
∴EG=BF，
∴四边形BFEG平行四边形，
∴四边形EFBG的面积=2△BEF的面积=2BE•AF，
设AE=x，四边形EFBG面积为y，
当0≤x≤1时，y=（1-x）•x=-x2+x；
当x＞1时，y=（x-1）•x=x2-x；
综上可知，当0≤x≤1时，函数图象是开口向下的抛物线；当x＞1时，函数图象是开口向上的抛物线，
符合上述特征的只有B，
故选：B．
【点睛】本题综合考查了正方形的性质和二次函数图象及性质，分段求出函数的解析式是解题的关键．
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
注意事项：
1．第Ⅱ卷分填空题和解答题．
2．第Ⅱ卷所有题目的答案，考生须用0.5毫米黑色签字笔答在答题卡规定的区域内，在试卷上答题不得分．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11. 分解因式：________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查因式分解—公式法．熟练掌握用平方差公式分解因式是解题的关键．
用平方差公式分解因式即可．
【详解】解：
故答案为：．
12. 若平行四边形的两条边长分别为和，且一边上的高为，则该平行四边形的面积为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查平行四边形的性质，解题的关键是掌握是掌握平行四边形的性质，平行四边形的面积公式，即可．
【详解】如图所示，平行四边形的两条边长分别为和，且一边上的高为4，
∴，，
∵平行四边形一边上的高为，
∴，
∴平行四边形的面积为：．
故答案为：．
13. 已知关于x的方程有至少一个实数解，则a的取值范围是_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查根据方程的解的情况求字母系数取值范围．熟练掌握一元二次方程有解，则是银题的关键．注意分类讨论．
分两种情况讨论：当时，方程为一元一次方程，有一个实数解；当时，方程是一元二次方程，则当时，方程有实数解，求解即可．
【详解】解：当时，原方程为：，则方程为一元一次方程，有一个实数解；
当时，方程是一元二次方程，则当时，方程有实数解，
解得：，
综上，关于x的方程有至少一个实数解，则a的取值范围是．
故答案为：．
14. 在数的学习过程中，我们总会对其中一些具有某种特性的数充满好奇，如学习自然数时，我们发现一种特殊的自然数---“好数”．定义：对于三位自然数n，各位数字都不为0，且百位数字与十位数字之和恰好能被个位数字整除，则称这个自然数为“好数”，如426是“好数”，因为4，2，6都不为0，且4+2=6，6能被6整除；643不是“好数”，因为6+4=10，10不能被3整除，问百位数字比十位数字大5的所有“好数”有__________个．
【答案】7
【解析】
【分析】设十位数数字为a，则百位数字为a+5（0＜a≤4的整数），得出百位数字和十位数字的和为2a+5，再分别取a=1，2，3，4，计算判断即可得出结论．
【详解】611，617，721，723，729，831，941共7个，
理由：设十位数数字为a，则百位数字为a+5（0＜a≤4的整数），
∴百位数字和十位数字的和为a+a+5=2a+5，
当a=1时，2a+5=7，
∵7能被1，7整除，
∴满足条件的三位数有611，617；
当a=2时，2a+5=9，
∵9能被1，3，9整除，
∴满足条件的三位数有721，723，729；
当a=3时，2a+5=11，
∵11能被1整除，
∴满足条件的三位数有831；
当a=4时，2a+5=13，
∵13能被1整除，
∴满足条件的三位数有941；
∴满足条件的三位自然数为611，617，721，723，729，831，941共7个．
故答案为7．
【点睛】此题主要考查了数的整除问题，新定义，理解并灵活运用新定义是解本题的关键．
15. 如图，等腰中，顶角，用尺规按①到④的步骤操作：
①以O为圆心，OA为半径画圆；
②在上任取一点P（不与点A，B重合），连接AP；
③作AB的垂直平分线与交于M，N；
④作AP的垂直平分线与交于E，F.
结论Ⅰ：顺次连接M，E，N，F四点必能得到矩形；
结论Ⅱ：上只有唯一的点P，使得.
对于结论Ⅰ和Ⅱ正确的是______．
【答案】结论Ⅰ
【解析】
【分析】如图，连接EM，EN，MF．NF．根据矩形的判定证明四边形MENF是矩形，再说明∠MOF=∠AOB时，S扇形FOM=S扇形AOB，观察图形可知，这样的点P不唯一，可知（Ⅱ）错误．
【详解】解：如图，连接EM，EN，MF．NF．
∵MN垂直平分AB，EF垂直平分AP，由“垂径定理的逆定理”可知，MN和EF都是⊙O的直径，
∴OM=ON，OE=OF，
∴四边形MENF是平行四边形，
∵EF=MN，
∴四边形MENF是矩形，故（Ⅰ）正确，
观察图形可知当∠MOF=∠AOB，
∴S扇形FOM=S扇形AOB，
观察图形可知，这样的点P不唯一（如下图所示），故（Ⅱ）错误，
故答案为：结论Ⅰ．
【点睛】本题考查作图——复杂作图，线段的垂直平分线的性质，矩形的判定，扇形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．
16. 2021年诺贝尔物理学奖是有关于“复杂系统的理解”，我们可以用动力系统的方法来研究复杂系统．已知直线，双曲线，点，我们从点出发构造无穷点列，…构造规则为：若点在直线上，那么下一个点就在双曲线上，且；若点在双曲线上，那么下一个点就在直线上，且，根据规则，点的坐标为____．无限进行下去，无限接近的点的坐标____．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】先根据题意求出从而可以求出的坐标，从而求出，， ，的坐标，可以发现结合函数图像可知此时这个点列慢慢的向一次函数与反比例函数的交点靠近，则无限进行下去，无限接近的点的坐标即为一次函数与反比例函数的交点，由此求解即可．
【详解】解：∵点满足一次函数解析式，即点在直线上，
∴点的横坐标为1且点在反比例函数上，
∴点的纵坐标为，
∴点的纵坐标为3，且点在直线上，
∴点的横坐标为5，
∴点的坐标为，
同理点的坐标为，， ，，
结合函数图像可知此时这个点列慢慢的向一次函数与反比例函数的交点靠近，
∴无限进行下去，无限接近的点的坐标即为一次函数与反比例函数的交点，
联立，
解得或（舍去），
故答案为：，．
【点睛】本题主要考查了点的坐标规律探索，一次函数与反比例函数综合，正确理解题意是解题的关键．
三、解答题（本大题共8小题，共72分）
17. （1）计算：．
（2）解不等式组：，并写出其所有非负整数解．
【答案】（1）；（2），0，1
【解析】
【分析】本题主要考查了求特殊角三角函数值，零指数幂，负整数指数幂，解一元一次不等式组，求不等式组的整数解：
（1）先计算零指数幂，负整数指数幂和特殊角三角函数值，再计算加减法即可；
（2）先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，进而求出其非负整数解即可．
【详解】解：（1）
．
（2），
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为：，
∴所有非负整数解为0，1．
18. 某书店在图书批发中心选购A，B两种科普书，A种科普书每本进价比B种科普书每本进价多20元，若用2400元购进A种科普书的数量是用950元购进B种科普书数量的2倍．
（1）求A，B两种科普书每本进价各是多少元；
（2）该书店计划A种科普书每本售价为126元，B种科普书每本售价为86元，购进A种科普书的数量比购进B种科普书的数量的还多4本，若A，B两种科普书全部售出，使总获利超过1560元，则至少购进B种科普书多少本？
【答案】（1）A种科普书每本的进价为96元，B种科普书每本的进价为76元；
（2）至少购进B种科普书75本
【解析】
【分析】（1）设B种科普书的进价为x元/本，则A种的进价为元/本，根据用2400元购进A种科普书的数量是用950元购进B种科普书数量的2倍列分式方程解答；
（2）设购进B种科普书m本，则购进A种科普书本，根据总获利超过1560元列不等式解答．
【小问1详解】
解：设B种科普书的进价为x元/本，则A种的进价为元/本，
根据题意得：，
解得：，
经检验：是所列分式方程的解，且符合题意，
∴，
答：A种科普书每本的进价为96元，B种科普书每本的进价为76元；
【小问2详解】
设购进B种科普书m本，则购进A种科普书本，
根据题意得：，
解得：，
∵m为正整数，且为正整数，
∴m为3的倍数，
∴m的最小值为75，
答：至少购进B种科普书75本．
【点睛】此题考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意列得方程或不等式是解题的关键．
19. 某校对全校学生进行了一次党史知识测试，成绩评定共分为A、B、C、D四个等级，随机抽取了部分学生的成绩进行调查，将获得的数据整理绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．
（1）在这次调查中一共抽取了 名学生；
（2）请根据以上信息补全条形统计图；
（3）扇形统计图中，C等级对应的圆心角是 度；
（4）根据抽样调查的结果，请你估计该校2000名学生中有多少名学生的成绩评定为C等级．
【答案】（1）80 （2）见解析
（3）108 （4）600名
【解析】
【分析】（1）根据等级的人数以及所占的百分比即可求出本次调查中共抽取的学生数；
（2）根据（1）中的结果和扇形统计图中的数据，可以计算出等级的人数，然后即可将条形统计图补充完整；
（3）根据C等级的人数以及抽取的学生数计算出C等级所对应的扇形圆心角的度数；
（4）求出等级所占整体的百分比即可求出相应的人数．
【小问1详解】
解： （名，
【小问2详解】
解：等级的学生为（人
补全条形统计图如下：
【小问3详解】
解：扇形统计图中，C等级对应的圆心角的度数为：，
【小问4详解】
解： （人），
答：估计该校2000学生中有600名学生的成绩评定为等级．
【点睛】本题考查样本容量，扇形统计图，条形统计图，用样本估计总体，理解两个统计图中数量关系是解决问题的关键．
20. 下面是工程师孙师傅的工作日志，请你仔细阅读，完成相应任务．
解决问题：请你根据孙师傅的方法，求出信号塔的高度．（参考数据：，，）
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，作出辅助线构造直角三角形是解答本题的关键．作于F，于G．在中，设米，米，利用勾股定理求出，从而求出米，米，在中求出米，进而可求出求出信号塔的高度．
【详解】解：作于F，于G．
在中，设米，
∵
∴米，
∴米
∴，
∴米，
∴米，
∴米，米，
在中，
米
米．
答：信号塔的高度为．
21. 如图所示，一次函数与反比例函数的图象交于点，与轴交于点．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若点是轴上的一个动点，连接，，当最小时，求点的坐标．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查反比例函数与几何的综合，解题的关键是掌握反比例函数，移项函数的图象与性质，最短路径的求解，即可．
（1）把点代入一次函数，求出；把点代入反比例函数，即可；
（2）作点关于轴的对称点，连接，与轴的交点即为点，连接；当三点共线时，的值最小，根据点对称的性质，一次函数的性质，即可．
【小问1详解】
∵点在一次函数图象上，
∴，
∴点，
∵点在反比例函数图象上，
∴，
解得：，
∴反比例函数的解析式为：．
【小问2详解】
作点关于轴的对称点，连接，与轴的交点即为点，连接，
∴，
当，，三点共线时，的值最小，即，
∴设直线的解析式为：，
∵在直线上，
∴，
解得：，
∴设直线的解析式为：，
∵点在直线上，
∴，
解得：，
∴点．
22. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AO是△ABC的角平分线．以O为圆心，OC为半径作⊙O．
（1）求证：AB是⊙O的切线．
（2）已知AO交⊙O于点E，延长AO交⊙O于点D，tanD=，求的值．
（3）在（2）的条件下，设⊙O的半径为3，求AB的长．
【答案】（1）证明见解析（2） （3）
【解析】
【分析】（1）过O作OF⊥AB于F，由角平分线上的点到角两边的距离相等即可得证；
（2）连接CE，证明△ACE∽△ADC可得= tanD＝；
（3）先由勾股定理求得AE的长，再证明△BOF∽△BAC，得，设BO=y，BF=z，列二元一次方程组即可解决问题．
【详解】（1）证明：作OF⊥AB于F
∵AO是∠BAC的角平分线，∠ACB=90º
∴OC=OF
∴AB是⊙O的切线
（2）连接CE
∵AO是∠BAC的角平分线，
∴∠CAE=∠CAD
∵∠ACE所对的弧与∠CDE所对的弧是同弧
∴∠ACE=∠CDE
∴△ACE∽△ADC
∴= tanD＝
（3）先在△ACO中，设AE=x,
由勾股定理得
(x＋3)²=(2x) ²＋3² ，解得x=2,
∵∠BFO=90°=∠ACO
易证Rt△BOF∽Rt△BAC
得，
设BO=y BF=z
即4z=9＋3y，4y=12＋3z
解得z=y=
∴AB=＋4=
考点：圆的综合题．
23. 根据以下素材，探索完成任务．
【答案】任务1：，D坐标为；任务2：；任务3：
【解析】
【分析】(1)把原点代入解析式，求得m值，将抛物线化成顶点式即可确定顶点坐标．
(2)先根据抛物线确定点，再确定A，B，E的坐标，根据等腰直角三角形的性质，对称的性质，计算求解即可．
(3) 设P的坐标为，则，过点D作x轴的平行线，过点P作于点F，根据题意计算求解即可．
【详解】任务1：∵二次函数的图像过原点
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为
其顶点D坐标为．
任务2：由任务1可知，抛物线的解析式为
令，得，
解得，，
∴．
将代入直线，
得，
∴，
∴
∵直线与坐标轴交于A，B两点，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，且，
又∵C，是关于对称轴直线的一对对称点，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
解得．
∴ ．
任务3：∵点P在抛物线上，
∴设P的坐标为，则
过点D作x轴的平行线，过点P作于点F，则依题意有，
∴，即，
解得（舍去）
∴，
∴直线的解析式为
在图5中，，
代入，
得，
∴图5中的二次函数解析式为，
∵点Q在直线上，
∴设点，代入，
则
解得或，
∴或，
∵幼苗是越长越张开，
∴不符合题意，舍去．
过点Q作于H，
在中，
∴幼苗叶子的长度为．
【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，等腰直角三角形的判定和性质，抛物线与坐标轴的交点，对称思想，两点间的距离公式，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
24. 几何探究与实践
（1）【模型认识】如图1所示，已知在中，，分别以为直角边构造等腰直角三角形和，连接，则与的关系是： ；
（2）【初步应用】如图2所示，连接，求证：；
（3）【深入研究】在（2）的条件下，试判断和的面积有何关系，并加以证明；
（4）【拓广探索】如图3，在中，，，，以为直角边构造等腰直角三角形，且，连接，试直接写出的长度．
【答案】（1）且
（2）见解析 （3）和的面积相等，理由见解析
（4）
【解析】
【分析】（1）根据等腰三角形的判定和性质证明即可求解；
（2）在中，，在中，，再根据，即可求解；
（3）如图所示，延长到点，使得，连接，根据题意可证，再根据三角形中线平分三角形面积可求解；
（4）如图所示，以为边作等腰直角三角形，连接，设交于点，证明，易得，则可得的长；延长，过点Q作延长线于点T，则可求得的长，在中，由勾股定理可求得的长，从而得到的长．
【小问1详解】
解：∵，都是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
在中，
，
∴，
∴，，
在中，，
∴在中，，
∴，即，
故答案为：且；
【小问2详解】
证明：由（1）可知，且，
在中，，
在中，，
∵，
∴
，
∴；
【小问3详解】
解：和的面积相等，理由如下，
如图所示，延长到点，使得，连接，
∵，
∴，
∵，即，
∴，
∴，
∵，，
∴，
在中，
，
∴，
∴，
在中，点是中点，
∴，
∴，
∴和面积相等；
【小问4详解】
解：如图所示，以为边作等腰直角三角形，连接，设交于点，
∴，
∴，即，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，即，垂足为，
在中，，
∴，
如图所示，延长，过点Q作延长线于点T，
∵，
∴，
在中，，，
∴，，
在中，，
∴，
∴，
∴的长度为．
【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，中线平分三角形面积，勾股定理等知识的综合，含角的直角三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质是解题的关键．
工作日志
今天，我们要在一座山上修建一座信号塔，修建完成后需要再次校准信号塔的高度．为完成此任务，我们进行了如下操作：
我们把它抽象为一个数学问题：如图，垂直于水平面的信号塔建在垂直于水平面的悬崖边B点处，我们从山脚C点出发沿水平方向前行78米到D点（点A，B，C在同一直线上），再沿斜坡方向前行78米到E点（点A，B，C，D，E在同一平面内），在点E处测得信号塔顶端A的仰角为，悬崖的高为144.5米，斜坡的坡度，然后通过计算求出了信号塔的高度．
通过今天的经历，我认识到了数学在实际生活中的强大能力，数学来源于生活又高于生活，我们遇到问题要想办法，用所学的数学知识解决问题．
运用二次函数来研究植物幼苗叶片的生长状况
1．在大自然里，有很多数学的奥秘．一片美丽的心形叶片、一棵生长的幼苗都可以看作把一条抛物线的一部分沿直线折叠而形成．
2．幼苗在生长过程中，叶片是越长越张开．
素材
问题解决
任务1
确定心形叶片的形状
如图3建立平面直角坐标系，心形叶片下部轮廓线可以看作是二次函数图像的一部分，且过原点，求抛物线的解析式及顶点D的坐标．
任务2
研究心形叶片的尺寸
如图3，心形叶片的对称轴直线与坐标轴交于A，B两点，抛物线与x轴交于另一点C，过点C作x轴的垂线交直线于点E，点C，是叶片上的一对对称点，交直线于点G．求叶片此处的宽度．
任务3
探究幼苗叶片的生长
小李同学在观察幼苗生长的过程中，发现幼苗叶片下方轮廓线都可以看作是二次函数图像的一部分．
如图4，幼苗叶片下方轮廓线正好对应任务1中的二次函数．已知直线（点P为叶尖）与水平线的夹角为．三天后，叶片根部D长到与点P同一水平位置的处时，叶尖Q落在射线上（如图5所示），求此时幼苗叶片的长度．
相关试卷
2024年云南省初中学业水平考试数学模拟预测题(二)（原卷版+解析版）： 这是一份2024年云南省初中学业水平考试数学模拟预测题(二)（原卷版+解析版），文件包含2024年云南省初中学业水平考试数学模拟预测题二原卷版docx、2024年云南省初中学业水平考试数学模拟预测题二解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共22页， 欢迎下载使用。
2024年云南省初中学业水平考试数学模拟预测题(三)（原卷版+解析版）： 这是一份2024年云南省初中学业水平考试数学模拟预测题(三)（原卷版+解析版），文件包含2024年云南省初中学业水平考试数学模拟预测题三原卷版docx、2024年云南省初中学业水平考试数学模拟预测题三解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共23页， 欢迎下载使用。
2024年云南省初中学业水平考试数学模拟预测题(一)（原卷版+解析版）： 这是一份2024年云南省初中学业水平考试数学模拟预测题(一)（原卷版+解析版），文件包含2024年云南省初中学业水平考试数学模拟预测题一原卷版docx、2024年云南省初中学业水平考试数学模拟预测题一解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共25页， 欢迎下载使用。
