2024年陕西省西安市曲江第一中学中考五模数学试题（原卷版+解析版）

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1. 中国是最早采用正负数表示相反意义的量，并进行负数运算的国家．若零上记作，则零下记作（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查相反意义的量，正数与负数表示意义相反的两种量，解题的关键是看清规定哪一个为正，则和它意义相反的就为负．零上温度记为正，则零下温度就记为负，则可得出结论．
【详解】解：若零上记作，则零下可记作．
故选：C．
2. 如图，，，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】此题考查平行线的性质，关键是掌握平行线的性质定理．根据“两直线平行，同旁内角互补”得出，进而解答即可．
【详解】解：，，
，
，
，
故选：A．
3. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据零指数幂，二次根式的加法以及二次根式的性质，二次根式的混合运算进行计算即可求解．
【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，故该选项不正确，不符合题意；
C. ，故该选项不正确，不符合题意；
D. ，故该选项正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了零指数幂，二次根式的加法以及二次根式的性质，二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
4. 如图，已知是圆柱底面的直径，是圆柱的高，过点A，C嵌有一圈路径最短的金属丝，所得的圆柱侧面展开图是（ ）

A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题主要考查了圆柱的展开图，熟练掌握根据圆柱的侧面展开是长方形，线段的性质，是解决问题的关键．
根据圆柱的侧面展开是长方形，“两点之间，线段最短”的特点解题．
【详解】∵圆柱的侧面展开是长方形，“两点之间，线段最短”，
∴展开后A与C的金属丝应是两条线段，且有公共点C．
故选：B．
5. 如图，在中，，、分别是边上的中线和高，，，则（ ）
A. －1B. －1C. 1D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，求三角形的面积，先根据三角形的面积公式求出，再根据直角三角形斜边中线等于斜边一半得，然后根据勾股定理求出，进而得出答案．
【详解】∵，，
∴，
解得．
∵是的中线，
∴．
在中，，
∴．
故选：A．
6. 若直线l1经过（0，4），l2经过点（2，6），且l1与l2关于y轴对称，则l1与l2的交点坐标是（ ）
A. （3，2）B. （2，3）C. （0，4）D. （4，0）
【答案】C
【解析】
【分析】根据对称的性质得出两个点关于y轴对称的对称点，再根据待定系数法确定函数关系式，求出一次函数与x轴的交点即可．
【详解】解：∵直线l1经过点（0，4），l2经过点（2，6），且l1与l2关于y轴对称，
∴两直线相交于y轴上，
∴l1与l2的交点坐标是（0，4）；
故选：C．
【点睛】此题主要考查了一次函数图象与几何变换，正确得出l1与l2的交点坐标为l1与l2与y轴的交点是解题关键．
7. 如图，是的直径，半径与弦垂直于点，连接．若，，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了垂径定理及圆周角定理，三角形中位线的性质，勾股定理，先根据垂径定理求出的长，设的半径为，在中利用勾股定理求出的值，连接，由是直径，根据圆周角定理得到，利用是的中位线得到，然后在中利用勾股定理即可计算出，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：如图，连接，
∵，，
∴，
设的半径，则，
在中，，
解得，
∵，，
∴，
∵是直径，
∴,
∵是的中位线，
∴，
在中，
，
故选：．
8. 若抛物线（m是常数）的图象只经过第一、二、四象限，则m的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质；
将抛物线解析式化成顶点式，可得抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，然后根据题意得出关于m不等式组，求解即可．
【详解】解：∵，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，
∵抛物线（m是常数）的图象只经过第一、二、四象限，
∴，
∴，
故选：C．
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
9. 比较大小：3_________ （填＜，＞或＝）．
【答案】＜
【解析】
【分析】根据实数大小比较的方法进行比较即可得答案．
【详解】∵32＝9，9＜10，
∴3＜，
故答案为：＜．
【点睛】本题考查了实数大小的比较，熟练掌握实数大小比较的方法是解题的关键．
10. 如图，将正五边形纸片折叠，使点与点重合，折痕为，展开后，再将纸片折叠，使边落在线段上，点的对应点为点，折痕为，则的大小为__________度．

【答案】
【解析】
【分析】根据题意求得正五边形的每一个内角为，根据折叠的性质求得在中，根据三角形内角和定理即可求解．
【详解】解：∵正五边形的每一个内角为，
将正五边形纸片折叠，使点与点重合，折痕，
则，
∵将纸片折叠，使边落在线段上，点的对应点为点，折痕为，
∴，，
在中，，
故答案为：．
【点睛】本题考查了折叠的性质，正多边形的内角和的应用，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
11. 如图，点P是的对角线上一点，过点P作，分别交于点E，F，连接，若，则图中阴影部分面积为__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据平行四边形的性质和直角三角形的性质，计算出的高，从而得出的面积，再根据相似三角形的性质，计算出的面积，从而完成求解．
【详解】
过点B作，交EF于点N；过点D作，交EF于点M
∵平行四边形ABCD
∴，，
∵
∴
∴
∵
∴
∴
∵，
∴平行四边形AEFD
∴DF=AE=2
∴
∵
∴
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∵，
∴
∵，
∴平行四边形EBCF
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∴图中阴影部分面积
故答案为：．
【点睛】本题主要考查平行线、平行四边形、相似三角形和直角三角形的知识，解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质，从而完成求解．
12. 如图，将腰长为4的等腰放置在平面直角坐标系中，斜边在轴上，直角边的中点在轴正半轴上，则过点的反比例函数的解析式为____．
【答案】
【解析】
【分析】过点作轴于点，首先证明为等腰直角三角形，进而可得，再证明，由全等三角形的性质可得，，进而确定点，设该反比例函数解析式为，利用待定系数法求解即可．
【详解】解：如下图，过点作轴于点，
∵为等腰直角三角形，且，
∴，
∵，
∴，
∴，即为等腰直角三角形，
∵点为的中点，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴，
设该反比例函数解析式为，
将点代入，可得，
解得，
∴该反比例函数解析式为．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了求反比例函数解析式、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、坐标与图形等知识，确定点的坐标是解题关键．
13. 如图，在四边形中， ，，，当四边形面积最大时，作平分该四边形面积交于点E，则此时线段的长为_____．
【答案】##
【解析】
【分析】连接，过点A作于点F，由，，得是等边三角形，由等边三角形的性质求出，，根据，得出、、C、D四点共圆，点D在的外接圆上，根据当时，点O到的距离最小，此时点D到的距离最大，的面积最大，得出此时四边形的面积最大，求出，，由平分四边形的面积，求出即可．
【详解】解：如图，连接，过点A作于点F，如图所示：
∵，，
∴是等边三角形，
∴，，，
∴，
∵，，
∴，
∴、、C、D四点共圆，
∴点D在的外接圆上，
∴当时，点O到的距离最小，此时点D到的距离最大，的面积最大，
∴此时四边形的面积最大，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
，
∴，
∴，
∵平分四边形的面积，
∴，
∴，
解得：．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了勾股定理、等边三角形判定的性质、四点共圆，圆周角定理、三角形的面积公式，解直角三角形等知识点，灵活应用相关知识解决问题是解答本题的关键．
三、解答题（本大题共13小题，共81分）
14. 计算：
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了立方根、算术平方根、化简绝对值、特殊角度三角函数值．熟练掌握立方根，算术平方根，化简绝对值，零指数幂是解题的关键．
先分别计算立方根、算术平方根、化简绝对值、特殊角度三角函数值、零指数幂，然后进行加减运算即可．
【详解】原式：
．
15. 求满足不等式的正整数解．
【答案】1，2，3
【解析】
【分析】首先利用不等式的基本性质解不等式，再从不等式的解集中找出适合条件的正整数即可．
【详解】解：，
∴，
∴，
∴，
∴满足不等式的正整数解为：1，2，3．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的整数解，正确解不等式，求出解集是解答本题的关键．
16. 解方程：．
【答案】无解
【解析】
【分析】将分式去分母，然后再解方程即可．
【详解】解：去分母得：
整理得，解得，
经检验，是分式方程的增根，
故此方程无解．
【点睛】本题考查的是解分式方程，要注意验根，熟悉相关运算法则是解题的关键．
17. 已知中，，．请利用尺规作图的方法在边上取一点，使得．（保留作图痕迹，不用写作法）

【答案】见解析
【解析】
【分析】作的中垂线，交于点，点即为所求．
【详解】解：如图所示，点即为所求．

由作图可知：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查基本作图—作垂线，含30度角的直角三角形.熟练掌握30度所对的直角边是斜边的一半，是解题的关键．
18. 已知：在中，D为的中点，，，垂足分别为点E、F，且．求证：是等腰三角形．

【答案】见解析
【解析】
【分析】易得，，即可根据证明，则，即可求证．
【详解】证明：∵，，垂足分别为点E，F，
∴，
∵D为的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形对应角相等，等角对等边．
19. 某公司去年10月份的营业额为2500万元，按计划12月的营业额要达到3600万元，那么该公司11月、12月两个月营业额的月均增长率是多少？（请列方程解答）
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用中的增长率问题，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键；
根据该公司10月份和12月份的营业额，即可得到关于x的一元二次方程，解方程取其正值即可．
【详解】解：设该公司11月、12月两个月营业额的月均增长率是x，根据题意得：
解得：，（不合题意，舍去），
答：该公司11月、12月两个月营业额的月均增长率是．
20. 小亮、小明两人都握有分别标记为A、B、C、D的四张牌，两人做游戏，游戏规则是：每人每次各出一张牌，规定A胜B，B胜C，C胜D，D胜A，其他情况均无法分出胜负．
（1）若小亮出“A”牌，则小亮获胜概率为 ；
（2）求小亮、小明各出一次牌就能分出胜负的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了概率公式、列表法或树状图法求概率；
（1）若小亮出“A”牌获胜，则小明需要亮出“B”牌，根据概率公式可得答案；
（2）画出相应的树状图，由树状图可得：一共有16种等可能的情况，其中各出一次牌能分出胜负的有8种情况，然后根据概率公式可得答案．
【小问1详解】
解：若小亮出“A”牌获胜，则小明需要亮出“B”牌，
∵小明亮出的牌有4种等可能性，
∴小明亮出“B”牌的概率为，即小亮获胜的概率为，
故答案为：；
【小问2详解】
解：画树状图如下：

由树状图可得：一共有16种等可能的情况，其中各出一次牌能分出胜负的有8种情况，分别为 、、、、，、、，
故小亮、小明各出一次牌就能分出胜负的概率为．
21. 小清和小华练习射箭，第一局12支箭射完后，两人的成绩依次统计如下（单位：环）：
成绩统计表：
分析数据如下：
根据以上信息，解答下列问题：
（1）上述表格中： ， ，请根据折线统计图判断小清和小华本次射击成绩方差的大小关系是 （填“＞”“＜”或“＝”）；
（2）求小清成绩的平均数（结果保留一位小数）；
（3）你认为小清和小华相比，谁的射击成绩整体表现更好？并说明理由．
【答案】（1）8，7，
（2）
（3）小清射击成绩整体表现更好，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据众数、中位数、方差的性质，对小清和小华的射击成绩分别计算，即可得到答案；
（2）结合题意，根据平均数的性质计算，即可得到答案；
（3）通过比较两人射击成绩的平均数、方差数据，即可完成求解．
【小问1详解】
根据题意，小清成绩8环次数最多，即，
∵小华成绩的中间两位数分别为6和8，
∴小华成绩的中位数，
根据折线统计图可知，小华成绩的波动较大，即，
故答案为：8，7，；
【小问2详解】
小清成绩的平均数；
【小问3详解】
小清和小华相比，小清成绩的方差小，并且小清成绩的平均数高，
∴小清射击成绩整体表现更好．
【点睛】本题考查了众数、中位数、平均数和方差的知识；掌握方差是用来衡量一组数据波动大小的量是解题的关键．
22. 为了吸引游客，某市动物园推出了甲、乙两种购票方式．设某人一年内去动物园的次数为x，所需费用为y元，且y与x的函数关系如图所示：
甲：按照次数收费，门票每人每次20元；
乙：购买一张动物园年卡后，门票每人每次按一定折扣优惠．

（1）分别求出选择甲、乙两种购票方式时，y关于x的函数表达式；
（2）洋洋准备利用暑假多次去动物园完成“生物多样性”课题实践活动，请问他选择哪种购票方式更划算？请说明理由．
【答案】（1），
（2）当时，选择甲种购票方式更划算；当时，选择甲种购票方式或乙种购票方式同样划算；当时，选择乙种购票方式更划算；理由见解析
【解析】
【分析】本题考查了一次函数的实际应用，待定系数法求一次函数解析式；
（1）根据题意可直接得出选择甲购票方式时y关于x的函数表达式；利用待定系数法可求出选择乙购票方式时y关于x的函数表达式；
（2）求出两直线的交点，结合图象可得答案．
【小问1详解】
解：由题意得：；
设选择乙种购票方式时，y关于x的函数表达式为，
将，代入，得，
解得，
∴选择乙种购票方式时，y关于x的函数表达式为；
【小问2详解】
解：联立，解得，
∴直线与直线的交点为，
∴由图象可知：
当时，直线在直线的下方，
即此时选择甲种购票方式更划算；
当时，，
即此时选择甲种购票方式或乙种购票方式同样划算；
当时，直线在直线的上方，
即此时选择乙种购票方式更划算．
23. 为了增强学生体质、锤炼学生意志，某校组织一次定向越野拉练活动．如图，A点为出发点，途中设置两个检查点，分别为点和点，行进路线为．点在点的南偏东方向处，点在A点的北偏东方向，行进路线和所在直线的夹角为．

（1）求行进路线和所在直线的夹角的度数；
（2）求检查点和之间的距离（结果保留根号）．
【答案】（1）行进路线和所在直线的夹角为
（2）检查点和之间的距离为
【解析】
【分析】（1）根据题意得，，，再由各角之间的关系求解即可；
（2）过点A作，垂足为，由等角对等边得出，再由正弦函数及正切函数求解即可．
【小问1详解】
解：如图，根据题意得，，，
，
．
在中，，
．
答：行进路线和所在直线的夹角为．
【小问2详解】
过点A作，垂足为．

，
，
．
,
在中，
，
．
,
在中，，
，
．
答：检查点和之间的距离为．
【点睛】题目主要考查解三角形的应用，理解题意，作出相应辅助线求解是解题关键．
24. 如图，内接于，，是的直径，交于点E，过点D作，交的延长线于点F，连接．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）见详解 （2）
【解析】
【分析】（1）根据，得到，再根据圆周角定理，得到，即可得到，根据是的直径，得到，最后通过和角度的等量代换，即可解答．
（2）证明，根据三角形相似的性质可求出的长，再利用等腰三角形三线合一的性质得出，最后证明，根据三角形相似的性质，即可解答．
【小问1详解】
证明：，
，
，
，
是的直径，
，
即，
，
，
，
是的切线
【小问2详解】
，，，
，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵是的切线，是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即：，
∴，
∴
【点睛】本题考查了圆的切线的判定，圆周角定理，等腰三角形的性质，相似三角形的判定及性质，综合性强，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键．
25. 如图①：是古代的一种远程投石机，其投出去的石块运动轨迹是抛物线的一部分．据《范蠡兵法》记载：“飞石重二十斤，为机发，行三百步”，其原理蕴含了物理中的“杠杆原理”，在如图②：所示的平面直角坐标系中，将投石机置于斜坡的底部（原点O处），石块从投石机竖直方向上的点C处被投出，在斜坡上的点A处建有垂直于水平面的城墙AB，已知，石块运动轨迹所在抛物线的顶点坐标是，，， ；
（1）求石块运动轨迹所在抛物线的表达式；
（2）请判断石块能否飞越城墙，并说明理由．
【答案】（1）
（2）石块不能飞越城墙，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据可得点，根据抛物线的顶点坐标，设表达式为，代入点C的坐标求解即可；
（2）先求出的长度，再求出，最后求出当时的函数值，于的长度进行比较即可．
【小问1详解】
解：∵抛物线的顶点坐标是，
∴设抛物线的表达式为：，
将点代入得：，解得：，
∴石块运动轨迹所在抛物线的表达式为：．
【小问2详解】
当时，，
∴当到城墙时，石块高度为，
，
∵，
∴石块不能飞越城墙．
【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，解题的关键是熟练掌握根据二次函数的顶点求出表达式，以及明确在实际问题中二次函数的实际应用．
26. 【问题提出】
唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马问题：
（1）如图1，中，，E是的中点，P是边上的一动点，则的最小值为 ；
【问题探究】
（2）如图2，已知和都是等腰直角三角形，．，在直线上运动时，求最小值；
【拓展应用】
（3）如图3，是某公园的示意图，是三处栅栏，是该公园附近的一条道路（宽度不计），半圆及其内部是一个带舞台的广场．已知，所对的圆心角为，与所在的圆相切于点C，点E、G在上，点F、H在上，点M在上，矩形是一条河流在该公园内的一段（），其中半圆的直径为， ，河岸离的距离为，河宽为，为方便运输设备，现计划垂直于河岸造桥，使得与之和最短，求出此时 的长．（结果保留根号）
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】
【分析】（1）如图所示，过点E作于D，作点A关于的对称点，连接，则，，故当三点共线时，最小，即此时最小，最小值为的长，证明，求出，则，，则由勾股定理可得，即的最小值为；
（2）如图所示，连接，过点D作于G，交直线于，先得到；可证明四边形是平行四边形，得到，，则；再证明点D在与平行，且与之间的距离为的直线上，过点D作分别交直线于M、N，则点D在直线上运动，证明四边形是平行四边形，得到，则；如图所示，作点B关于直线的对称点，连接，则，，可得，当三点共线时，最小，即此时最小，最小值为，即可得到的最小值为；
（3）如图所示，过点M作于R，则四边形是矩形，可得，将点P沿着垂直于的方向平移到，使得，则四边形是平行四边形，可得；如图所示，以为直径画圆，圆心设为O，连接，可得四边形是平行四边形，则，，即可证明四边形是平行四边形，得到；过点C作交延长线于T，在上取一点使得，则即为所在圆圆心，证明四边形是矩形，得到，解直角三角形得到；如图所示，连接，可得当最小时，最小，进而推出当五点共线时有最小值，最小值为；过点O作于K，则四边形是矩形，则，，，得到，则的最小值为米．设此时与交于V，与交于W，证明，可得，则，即．
【详解】解：（1）如图所示，过点E作于D，作点A关于的对称点，连接，
∴，，
∴，
∴当三点共线时，最小，即此时最小，最小值为的长，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵E是的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的最小值为，
故答案为：；
（2）如图所示，连接，过点D作于G，交直线于，
∵和都是等腰直角三角形，．，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∴；
∵，即点D到直线的距离为定值，
∴点D在与平行，且与之间的距离为的直线上，
过点D作分别交直线于M、N，则点D在直线上运动，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
如图所示，作点B关于直线的对称点，连接，
∴，，，
∴，
∵，
∴当三点共线时，最小，即此时最小，最小值为，
∴最小值为；
（3）如图所示，过点M作于R，则四边形是矩形，
∴，
将点P沿着垂直于的方向平移到，使得，
∴四边形是平行四边形，
∴；
如图所示，以为直径画圆，圆心设为O，连接，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴；
过点C作交延长线于T，在上取一点使得，
∵与所在的圆相切与点C，
∴的圆心在射线上，
又∵所对的圆心角为，
∴即为所在圆圆心，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
设，则，
∵，
∴，
∴，
∴；
如图所示，连接，
∵，
∴当最小时，最小，
∵，，
∴，
∴当五点共线时有最小值，最小值为；
过点O作于K，则四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
∴的最小值为米．
设此时与交于V，与交于W，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质与判定，一点到圆上一点距离的最值问题，平行四边形的性质与判定，勾股定理，解直角三角形，轴对称的性质，相似三角形的性质与判定等等，解题的关键在于构造将军饮马模型，确定取得最值的情形．编号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
小清
6
8
8
9
7
8
7
7
8
9
8
7
小华
9
6
2
6
9
10
4
8
6
8
2
9
平均数
中位数
众数
方差
小清
8
a
小华
6.6
b
6或9