云南省玉溪市玉溪第四中学2023-2024学年九年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

这是一份云南省玉溪市玉溪第四中学2023-2024学年九年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版），文件包含云南省玉溪市玉溪第四中学2023-2024学年九年级下学期期中数学试题原卷版docx、云南省玉溪市玉溪第四中学2023-2024学年九年级下学期期中数学试题解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共27页， 欢迎下载使用。
（全卷三个大题，共27个小：满分100分，考试用时120分钟）
一、选择题（本大题共15个小题，每小题只有一个正确选项，每小题2分，共30分）
1. 如果有意义，那么x的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．
【详解】解：如果有意义，
故，
解得，
故选：D．
2. 下列根式中，是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了最简二次根式即被开方数中不含有开方不尽的因数，被开方数不含有分母，熟练掌握定义是解题的关键．
【详解】解：A、，不是最简二次根式，不符合题意；
B、，符合定义，是最简二次根式，符合题意；
C、，不最简二次根式，不符合题意；
D、，不是最简二次根式，不符合题意．
故选：B．
3. 三边分别为下列长度的三角形中，不能组成直角三角形的是（ ）
A. 5，13，12B. 3，4，5C. 4，7，5D. 6，8，10
【答案】C
【解析】
【分析】根据勾股定理逆定理来判断能否组成三角形即可得到答案．
【详解】解：，能组成直角三角形，故选项A不符合题意；
能组成直角三角形，故选项B不符合题意；
不能组成直角三角形，故选项C符合题意；
能组成直角三角形，故选项D不符合题意．
故选C．
【点睛】本题主要考查通过勾股定理逆定理来判定直角三角形，熟练掌握勾股定理逆定理是解题的关键．
4. 下列各式中计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的性质和运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键．
【详解】解：A、，故本选项计算错误；
B、，故本选项计算错误；
C、，故本选项计算正确；
D、，故本选项计算错误；
故选：C．
5. 下列二次根式中，不能与合并的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】各式化简为最简二次根式后，利用同类二次根式定义判断即可．
【详解】】解：A、=2，能与合并，故此选项不符合题意；
B、，不能与合并，故此选项符合题意；
C、=3，能与合并，故此选项不符合题意；
D、=4，能与合并，故此选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】此题考查了同类二次根式，以及最简二次根式，熟练掌握同类二次根式的概念和二次根式的化简是解本题的关键．
6. 要使成为矩形，下列添加条件正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据矩形的判定方法进行判断．
【详解】解：添加，可证明四边形为菱形，故选项A不符合题意；
添加，可证明四边形为菱形，故选项B不符合题意；
添加，可证明四边形为矩形，故选项C符合题意；
添加，不可证明四边形为菱形，故选项D不符合题意．
故选C．
【点睛】本题考查了矩形的判定，关键是掌握矩形的判定方法．
7. 如图所示，一场暴雨过后，垂直于地面的一棵树在距地面3米处折断，树尖B恰好碰到地面，经测量米，则树高为（ ）
A. 4米B. 5米C. 7米D. 8米
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，树高等于，在直角中，用勾股定理求出即可．解题的关键是在实际问题的图形中得到直角三角形．
【详解】解：根据题意得：米，米，，
由勾股定理得， 米，
所以树高为米．
故选：D．
8. 如图所示，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB=90°，若AB=6，BC=8，则EF的长为（ ）
A. 1B. 2C. 1.5D. 2.5
【答案】A
【解析】
【分析】先根据三角形中位线定理求出DE的长，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出DF的长即可得到答案．
【详解】解：∵DE是△ABC的中位线，BC=8，
∴，D是AB的中点，
∵∠AFB=90°，
∴，
∴EF=DE-DF=1，
故选A．
【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理，直角三角形斜边上的中线，熟知三角形中位线定理和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
9. 下列命题的逆命题是真命题的是（ ）
A. 对顶角相等B. 菱形的对角相等
C. 对角线互相平分的四边形是平行四边形D. 全等三角形的对应角相等
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了判断一个命题的逆命题的真假，平行四边形的性质，全等三角形的判定，菱形的判定，正确写出对应命题的逆命题是解题的关键．
【详解】解：A、逆命题为：相等的角是对顶角，是假命题，不符合题意；
B、逆命题为：对角相等的四边形是菱形，是假命题，不符合题意；
C、逆命题为：平行四边形的对角线互相平分，是真命题，符合题意；
D、逆命题为：对应角相等的三角形是全等三角形，是假命题，不符合题意；
故选：C．
10. 顺次连接矩形四边中点所得的四边形一定是（ ）
A. 正方形B. 矩形C. 菱形D. 等腰梯形
【答案】C
【解析】
【分析】矩形的性质，三角形中位线定理，菱形的判定．
【详解】解：如图，连接AC、BD
在△ABD中，∵AH=HD，AE=EB
∴EH=BD
同理FG=BD，HG=AC，EF=AC
又∵在矩形ABCD中，AC=BD
∴EH=HG=GF=FE
∴四边形EFGH为菱形
故选C．
【点睛】本题考查了菱形的判定，解题的关键是掌握菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据，常用三种方法：①定义，②四边相等，③对角线互相垂直平分．
11. 如果，那么（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次根式的非负性，构造不等式求解即可.
【详解】∵是二次根式，
∴≥0，
∴≥0，
解得 ，
故选D.
【点睛】本题考查了二次根式的非负性，熟练将二次根式的非负性转化成对应的不等式是解题的关键.
12. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，交BD于点E，，则的度数为（ ）
A. 40°B. 35°C. 30°D. 25°
【答案】B
【解析】
【分析】根据矩形的性质可得OA=OD，从而得到∠ADO=55°，再由，即可求解．
【详解】解：在矩形ABCD中，OA=OD，
∴∠ADO=∠DAO，
∵∠AOB=∠ADO+∠DAO，，
∴∠ADO=55°，
∵，即∠AED=90°，
∴∠DAE=35°．
故选：B
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，熟练掌握矩形的对角线相等且互相平分是解题的关键．
13. 如图，在矩形中，，，将矩形沿折叠，点D落在点处，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查矩形的性质，根据折叠的性质，直角三角形的勾股定理，根据折叠可知，，可得与全等，设，则，在中，可求出的值．理解和掌握矩形的性质，折叠的性质，勾股定理是解题的关键．
【详解】∵矩形，沿折叠，，，
∴， ， ， ，
∴ ，
∴，，
设，则，
在中，，即，
∴，即，
故选：B．
14. 如图，在中，E，F是对角线上不同的两点，下列条件中，不能得出四边形一定为平行四边形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据平行线的性质和判定方法，逐一进行判断即可．
【详解】解：四边形是平行四边形，
，
，
，
，
；
，
，
，
又，
四边形是平行四边形．故A正确；
四边形是平行四边形，
，
，
又，
，
，，
，
，
四边形是平行四边形．故B正确；
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
四边形是平行四边形．故D正确；
C选项中由，不能得出，故C不能判断四边形是平行四边形．
故选：C
【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质．解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质和判定方法．
15. 如图，在正方形ABCD中，点O为对角线AC的中点，过O点的射线OM，ON分别交AB，BC于点E，F，且∠EOF=90°，BO，EF交于点P，则下面结论：
①图形中全等的三角形只有三对；②△EOF是等腰直角三角形；③正方形ABCD的面积等于四边形OEBF面积的4倍；④BE＋BF=OA．
其中正确结论的个数是（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】由正方形的性质和已知条件得出图形中全等的三角形有四对，得出①不正确；由△AOE≌△BOF，得出对应边相等OE=OF，得出②正确；由△AOE≌△BOF，得出四边形OEBF的面积=△ABO的面积=正方形ABCD的面积，③正确；由△BOE≌△COF，得出BE=CF，得出BE+BF=AB=OA，④正确；
【详解】解：①不正确；
图形中全等的三角形有四对：△ABC≌△ADC，△AOB≌△COB，△AOE≌△BOF△BOE≌△COF；
理由如下：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=DA，∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠D=90°，∠BAO=∠BCO=45°，
在△ABC和△ADC中， ，
∴△ABC≌△ADC（SSS）；
∵点O为对角线AC的中点，
∴OA=OC，
在△AOB和△COB中，
，
∴△AOB≌△COB（SSS）；
∵AB=CB，OA=OC，∠ABC=90°，
∴∠AOB=90°，∠OBC=45°，
又∵∠EOF=90°，
∴∠AOE=∠BOF，
在△AOE和△BOF中，

∴△AOE≌△BOF（ASA）；
同理：△BOE≌△COF；
②正确；理由如下：
∵△AOE≌△BOF，
∴OE=OF，
∴△EOF是等腰直角三角形；
③正确．理由如下：
∵△AOE≌△BOF，
∴四边形OEBF的面积=△ABO的面积=正方形ABCD的面积；
④正确．理由如下：
∵△BOE≌△COF，
∴BE=CF，
∴BE+BF=CF+BF=BC=AB=OA；
故选：C．
【点睛】此题参考四边形综合题目，全等三角形的判定与性质，正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，本题难度较大，综合性强，解题关键在于需要证明三角形全等才能得出结论．
二、填空题（（本大题共4个小题，每小题2分，共8分）
16. 在平行四边形ABCD中，∠A＋∠C＝240°，则∠B＝______°．
【答案】60
【解析】
【分析】根据平行四边形的对角相等即可求出∠A的度数，再根据平行四边形的邻角互补求出∠B的度数．
【详解】解：在▱ABCD中，∠A＝∠C，
∵∠A＋∠C＝240°，
∴∠A＝∠C＝120°
∴∠B＝180°−∠A＝180°−120°＝60°．
故答案为：60．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的对角线相等，邻角互补的性质，比较简单，熟记性质是解题的关键．
17. 如图，在平行四边形中，平分，，，则_________．
【答案】4
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的性质以及等腰三角形的判定与性质，首先由在平行四边形中，，，求得的长，然后由平分，可证，即可求解．注意证得是解此题的关键．
【详解】∵在平行四边中，，
∴，，
∴，，
∴平分，
∴，
∴，
∴，
故答案为：4．
18. 如图，矩形的对角线和相交于点，过点的直线分别交和于点、，，，则图中阴影部分的面积为________．

【答案】3
【解析】
【分析】矩形的对角线相等且互相平分，所以过交点的把矩形分成面积相等的两部分，通过面积的等量代换可求出解．
【详解】解：矩形的对角线和相交于点，
四边形里面的空白三角形的面积和四边形中阴影三角形的面积相等．
求阴影部分的面积可看成求四边形的面积．
阴影部分的面积为：．
故答案为：．
【点睛】本题考查矩形的性质，矩形的对角线相等且互相平分，过交点的线段把矩形分成面积相等的两部分．
19. 已知一个平行四边形的一条对角线将其分为全等的两个等腰直角三角形，且这条对角线的长为8，则另一条对角线的长为___．
【答案】8或8
【解析】
【分析】分两种情形①平行四边形是正方形，②这个平行四边形的四个角分别为45°，135°，45°，135°．
【详解】①当平行四边形是正方形时，满足条件，
∵一条对角线的长为8，
∴另一条对角线长为：8．
②当这个平行四边形的四个角分别为45°，135°，45°，135°．
此时另外一条对角线的长度=2•．
故另一条对角线长为8或8．
故答案为： 8或8．
【点睛】此题考查平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质，解题的关键是学会用分类讨论是思想思考问题，注意一题多解．
三、解答题（本大题共8个小题，共62分）
20. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的混合计算，熟练掌握二次根式的性质，二次根式的乘法和除法法则、乘法公式是解决问题的关键．
（1）直接利用二次根式的加减乘除运算规则进行计算；
（2）先计算完全平方式及平方差公式，最后再计算加减法即可．
【小问1详解】
解：原式
；
【小问2详解】
解：原式
．
21. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查的是分式的化简求值，根据分式的混合运算法则把原式化简，代入计算即可．掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
【详解】解：
，
当时，
原式．
22. 如图所示，网格中的每个小正方形边长均为1，的三个顶点均在格点上．
（1）直接写出_________，_________，________，并求出的周长；
（2）判断的形状，并说明理由．
【答案】（1）5，10，，的周长为
（2）是直角三角形，理由见解析
【解析】
【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，理解并掌握勾股定理及其逆定理是解决问题的关键．
（1）利用勾股定理进行求解即可得到结论；
（2）根据勾股定理的逆定理进行判断即可得到结论．
【小问1详解】
解：由勾股定理可得：，，，
则周长为，
故答案为：5，10，；
【小问2详解】
是直角三角形，理由如下：
∵，，
∴，
∴是直角三角形．
23. 已知：如图，点P是ABCD的对角线AC的中点，经过点P的直线EF交AB于点E，交DC于点F．求证：AE＝CF．
【答案】证明见解析．
【解析】
【分析】由四边形是平行四边形，易得点是的中点，可得又由对顶角相等，可得即可利用证得即可证得
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
又∵点是的中点，
在和中，
24. 已知：如图，在中，，是的角平分线，，，垂足分别为E、F．求证：四边形是正方形．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查了正方形的判定，角平分线的性质和矩形的判定，要注意的一个四边形是正方形，必须先证明这个四边形为矩形或菱形．
要证明四边形是正方形，则要先证明四边形是矩形，已知平分，，，故可根据由三个角是直角的四边形是矩形判定，再根据正方形的判定方法判定四边形是正方形．
【详解】证明：∵平分，，，
∴，，，
又∵，
∴四边形是矩形，
∵，
∴矩形是正方形．
25. 勾股定理是初等几何中最重要的定理之一，它的证明方法很多，如图1是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，通过对图形的切割、拼接，巧妙的利用面积关系证明了勾股定理．

（1）定理证明：
图1是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间的部分是一个小正方形（阴影）．如果直角三角形较小的直角边长为a，较大的直角边长为b，斜边长为c，请你根据图1证明勾股定理；
（2）问题解决：
如图2，圆柱底面半径为，高为，蚂蚁在圆柱表面爬行，从点A爬到点B的最短路程是多少厘米？（结果保留π）
【答案】（1）见解析 （2）从点A爬到点B的最短路程是厘米
【解析】
【分析】（1）利用阴影部分的面积大正方形面积直角三角形面积额即可得答案；
（2）画出圆柱侧面展开图矩形，利用勾股定理即可得答案．
【小问1详解】
阴影部分的面积大正方形面积直角三角形面积，
，
，
；
【小问2详解】
画出圆柱侧面展开图：

根据圆柱底面半径为，得出，
高为，
，
从点爬到点的最短路程是厘米．
【点睛】本题考查勾股定理证明，掌握面积法是解题关键．
26. 如图，在四边形中，，，对角线，相交于点O，平分，过点C作交延长线于点E．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了菱形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，等腰三角形的判定，勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
（1）先判断出，进而判断出，得出，此题得证；
（2）根据菱形的性质得到，，，由勾股定理可以求出的长，进而可得的长，然后通过菱形的面积公式可以求出的长．
【小问1详解】
证明：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴四边形是菱形；
【小问2详解】
∵四边形是菱形，，，
∴，，，
∴，
在中，根据勾股定理可知，
，则，
∴菱形的面积，
∵，
∴菱形面积，
∴．
27. 如图，在中，，，，点D从点A出发沿方向以/秒的速度向点C匀速运动，同时点E从点B出发沿方向以/秒的速度向点A匀速运动，设点D、E运动的时间是t秒（），过点D作于点F，连接．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）当t为何值时，四边形为菱形？说明理由；
（3）当t为何值时，为直角三角形？请说明理由．
【答案】（1）见解析 （2），见解析
（3）或，见解析
【解析】
【分析】（1）由题意知BE＝2t、AD＝4t，根据Rt△ABC中∠A＝60°得CD＝60﹣4t、AE＝30﹣2t，由DF⊥BC知DF∥AE、DF＝ DC＝30﹣2t，从而得出DF＝AE，据此可得证；
（2）由AD＝AE即可得；
（3）分、两种情况，根据四边形是矩形及四边形是平行四边形，即可得解．
【小问1详解】
解：由题意知，、，
则，，
∵、，
∴，即，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形；
【小问2详解】
解：∵四边形是平行四边形，且、，
∴当，即时，四边形是菱形，
解得：，
故当时，四边形为菱形；
【小问3详解】
解：如图1，当时，
∵，
∴四边形是矩形
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
解得：；
如图2，当时，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
解得：；
综上，当或时，为直角三角形．
【点睛】本题主要考查了菱形判定、直角三角形的判定以及平行四边形的判定及性质，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．