2023-2024学年浙江省杭州市西湖区保俶塔申花学校九年级（下）月考数学试卷（3月份）（含解析）

这是一份2023-2024学年浙江省杭州市西湖区保俶塔申花学校九年级（下）月考数学试卷（3月份）（含解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.有4,−92,−3,0四个数，其中最小的是( )
A. 4B. −92C. −3D. 0
2.下列计算正确的是( )
A. a5−a3=a2B. (−a5)2=a10C. a5⋅a3=a15D. a6a3=a2
3.“两岸猿声啼不住，轻舟已过万重山”.2023年8月29日，华为搭载自研麒麟芯片的mate60系列低调开售.据统计，截至2023年10月21日，华为mate60系列手机共售出约160万台，将数据1600000用科学记数法表示应为( )
A. 0.16×107B. 1.6×106C. 1.6×107D. 16×106
4.如图，测量小玻璃管口径的量具ABC，AB的长为3cm，AC被分为5等份.若小玻璃管口DE正好对着量具上2等份处(DE/​/AB)，那么小玻璃管口径DE的长为( )
A. 95cmB. 2cmC. 32cmD. 1cm
5.在平面直角坐标系中，已知线段AB的两个端点分别是A(−3,−2)，B(1,2)，将线段AB平移后得到线段A′B′，若点A′坐标为(−4,2)，则点B′的坐标为( )
A. (0,6)B. (2,2)C. (6,0)D. (5,6)
6.下表是某校合唱团成员的年龄分布表：
对于不同的x，下列关于年龄的统计量不会发生改变的是( )
A. 平均数、中位数B. 众数、中位数C. 平均数、方差D. 中位数、方差
7.如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，AB= 2AC，∠ODC=12°，则∠DBC的度数为( )
A. 80°
B. 102°
C. 120°
D. 135°
8.如图是简化后的冬奥会跳台滑雪的雪道示意图，AB段为助滑道，BC段为着陆坡，着陆坡的坡角为α，A点与B点的高度差为120米，A点与C点的高度差为h米，则着陆坡BC的长度为( )
A. (h−120)sinα米B. (120−h) csα米
C. 120−ℎcsα米D. ℎ−120sinα米
9.已知二次函数y=ax2−2(b−1)x+1(a≠0)，当−2≤x≤−1时，y随x的增大而增大，则( )
A. 当a>0时，ab的最大值为14B. 当a>0时，ab的最大值为18
C. 当a<0时，ab的最大值为14D. 当a<0时，ab的最大值为18
10.如图，在正方形ABCD中，点G是BC上一点，且GCBG=12，连接DG交对角线AC于F点，过D点作DE⊥DG交CA的延长线于点E，若AE=3，则DF的长为( )
A. 2 2
B. 4 53
C. 92
D. 3 52
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11. 9−1= ______．
12.若x2−4=(x−2)(x+a)，则a= ______．
13.从一组数−3，−2，−1，0，1，2，3中随机选一个数，恰好是非负数的概率为______．
14.如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，D均在格点上，且点B，C在AD上，∠BAC=30°，则BC的长为______．
15.关于x的一元二次方程ax2+3x+c=0的两根是−4，2，则抛物线y=ax2+3x+c的对称轴是______．
16.如图，在△ABC中，D是BC上一点，连接AD，点E在AD上，且DE=DC，F为AC中点，且∠BEC=∠AEF，若BC=2AE，BE=4，则EF= ______．
三、解答题：本题共8小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
在化简分式2xx2−1−1x−1时，甲同学的解法如下．阅读甲同学的解法，完成下列问题．
解：原式=2x(x+1)(x−1)−1x−1……①
=2x(x+1)(x−1)⋅(x+1)(x−1)−1x−1⋅(x+1)(x−1)……②
=2x−(x+1)……③
=2x−x−1……④
=x−1.……⑤
(1)甲同学从第______步开始出错(填序号)；
(2)请你写出正确的解法．
18.(本小题8分)
为了了解同学们每月零花钱的数额，校园小记者随机调查了本校部分同学，根据调查结果，绘制出了如下两个尚不完整的统计图表．
调查结果扇形统计图：
调查结果统计表：
请根据以上图表，解答下列问题：
(1)这次被调查的同学共有______人，a+b= ______，m= ______；
(2)求扇形统计图中扇形C的圆心角度数；
(3)该校共有学生1000人，请估计每月零花钱的数额在60≤x<120范围的人数．
19.(本小题8分)
随着技术进步和成果转化，在我国无人机的用武之地越来越多，农林植保、应急救援、文物保护、电力巡检…，加速赋能千行百业.如图，某农业示范基地用无人机对一块试验田进行监测作业时，无人机在点A处，无人机距地面高度AO为120米，此时测得试验田一侧边界点C处俯角为52°，无人机垂直下降40米至点B处，又测得试验田另一侧边界点D处俯角为40°，且点C，O，D在同一条直线上，求点C与点D的距离.(参考数据：sin52°≈0.8，cs52°≈0.6，tan52°≈1.3，sin40°≈0.6，cs40°≈0.8，tan40°≈0.8，结果保留整数)
20.(本小题8分)
如图，在四边形ABCD中，AD=CD，BD⊥AC于点O，点E是DB延长线上一点，OE=OD，BF⊥AE于点F．
(1)求证：四边形AECD是菱形；
(2)若AB平分∠EAC，OB=3，BE=5，求S△ABD．
21.(本小题8分)
如图，反比例函数y=8x的图象与一次函数图象y=kx−5(k为常数，且k≠0)的图象交于A、B(−2,m)两点．
(1)求一次函数的表达式；
(2)若将直线AB向上平移n(n>0)个单位长度后与反比例函数的图象有且只有一个公共点，求n的值．
22.(本小题8分)
已知四边形ABCD内接于⊙O，C是DBA的中点，FC⊥AC于C，与⊙O及AD的延长线分别交于点E，F，且DE=BC．
(1)求证：△CBA∽△FDC；
(2)如果AC=9，AB=4，求tan∠ACB的值．
23.(本小题8分)
已知二次函数y=ax2+bx−3a(a,b是常数，a≠0)，它的图象过点(1,1)．
(1)用含a的代数式表示b；
(2)若a=−1，此二次函数的自变量x满足m≤x≤m+2时，函数y的最大值为3，求m的值；
(3)若该函数图象的顶点在第二象限，当a24.(本小题8分)
【基础巩固】(1)如图①，在矩形ABCD中，AB=6，BC=4，E为线段CD的中点，连结BE，P为线段BE上一点，且满足∠CPD=90°，BP的长；
【尝试应用】(2)如图②，在(1)的条件下延长DP交BC于点H，求BH的长；
【拓展延伸】(3)如图③，在▱ABCD中AB=10，BC=3 5，tan∠ABC=2，Q是▱ABCD内部一动点，且满足∠BCQ+∠ADQ=90°，当线段BQ取最小值时，DQ延长线交线段BC于T，求BT的长．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】
此题主要考查有理数的大小比较，熟练掌握比较方法是解题关键．
根据有理数比较大小的方法求解即可．
【解答】
解：−92<−3<0<4，
故最小的数为−92，
故选：B．
2.【答案】B
【解析】解：A、a5−a3≠a2，本选项错误；
B、(−a5)2=a10，本选项正确；
C、a5⋅a3=a8≠a15，本选项错误；
D、a6a3=a3≠a2，本选项错误．
故选B．
结合幂的乘方与积的乘方、同底数幂的乘法的概念和运算法则进行求解即可．
本题考查了幂的乘方与积的乘方、同底数幂的乘法的知识，解答本题的关键在于熟练掌握各知识点的概念和运算法则．
3.【答案】B
【解析】解：1600000=1.6×106，
故选：B．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值≥10时，n是正整数，当原数绝对值<1时，n是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4.【答案】A
【解析】解：∵DE//AB，
∴∠BAC=∠EDC，∠B=∠CED，
∴△ABC∽△DEC，
∴DEAB=CDCA，
∴DE3=35，
∴DE=95，
故选：A．
根据平行线的性质可得∠BAC=∠EDC，∠B=∠CED，从而可得△ABC∽△DEC，然后利用相似三角形的性质进行计算，即可解答．
本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握A字模型相似三角形是解题的关键．
5.【答案】A
【解析】解：∵点A(−3,−2)向左平移1个单位，再向上平移4个单位得到A′(−4,2)，
∴点B(1,2)向左平移1个单位，再向上平移4个单位得到的对应点B′的坐标为(0,6)．
故选：A．
先利用点A和点A′的坐标得到线段平移的规律，然后利用点的坐标平移规律写出点B的对应点B′的坐标．
此题主要考查了坐标与图形的变化−平移，解决本题的关键是根据已知对应点找到各对应点之间的变化规律．
6.【答案】B
【解析】解：由表可知，年龄为14岁与年龄为15岁的频数和为x+10−x=10，
则总人数为：5+15+10=30，
故该组数据的众数为13岁，中位数为：13+132=13岁，
即对于不同的x，关于年龄的统计量不会发生改变的是众数和中位数，
故选：B．
由频数分布表可知后两组的频数和为10，即可得知总人数，结合前两组的频数知出现次数最多的数据及第14、15个数据的平均数，可得答案．
本题主要考查频数分布表及统计量的选择，由表中数据得出数据的总数是根本，熟练掌握平均数、中位数、众数及方差的定义和计算方法是解题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
又∵AB= 2AC，
∴∠BAC=∠ABC=45°，
∴∠BDC=45°，
∴∠ODB=∠ODC+∠CDB=57°，
∵OD=OB，
∴∠OBD=∠ODB=57°，
∴∠DBC=∠OBD+∠ABC=57°+45°=102°．
故选：B．
由AB是⊙O的直径，AB= 2AC，可得∠BAC=∠ABC=45°，根据同弧所对的圆周角相等求出得∠BDC=45°，从而得到∠ODB=57°，根据等腰△ODB求出∠OBD，再加上∠ABC的度数即可．
本题考查圆周角定理，解题的关键是抓住两个特殊三角形：等腰△ODB和等腰直角△ABC．
8.【答案】D
【解析】解：过点A作AG⊥CD，交DC的延长线于点G，过点B作BE⊥CG，垂足为E，过点B作BF⊥AG，垂足为F，则四边形BFGE矩形，
∴FG=BE，
∵AF=120米，AG=h米，
∴FG=BE=(h−120)米，
在Rt△BEC中，BC=BEsinα=h−120sinα米，
故选：D．
过点A作AG⊥CD，交DC的延长线于点G，过点B作BE⊥CG，垂足为E，过点B作BF⊥AG，垂足为F，可得四边形BFGE矩形，从而得FG=BE，然后在Rt△BEC中，利用锐角三角函数的定义，进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
9.【答案】B
【解析】解：∵y=ax2−2(b−1)x+1，
∴抛物线对称轴为直线x=−−2(b−1)2a=b−1a，
①当a>0时，
∵当−2≤x≤−1时，y随x的增大而增大，
∴b−1a≤−2，
∴b−1≤−2a，即b≤1−2a，
∴ab≤a(1−2a)=−2a2+a=−2(a−14)2+18，
∴ab最大值为18，故A选项错误，B选项正确；
②当a<0时，
∵当−2≤x≤−1时，y随x的增大而增大，
∴b−1a≥−1，
∴b−1≤−a，即b≤1−a，
∴ab≥a(1−a)=−a2+a=−(a−12)2+14，
此时ab无最大值，故C、D选项错误．
故选：B．
根据抛物线解析式求得其对称轴为直线x=b−1a，分两种情况：当a>0时，由当−2≤x≤−1时，y随x的增大而增大可得b≤1−2a，进而得到ab≤a(1−2a)=−2(a−14)2+18，以此判断A、B选项；当a<0时，当−2≤x≤−1时，y随x的增大而增大可得b≤1−a，进而得到ab≥a(1−a)=−(a−12)2+14，以此判断C、D选项．
本题考查了二次函数的性质，解题关键是熟知二次函数的性质，掌握通过配方求最值问题．
10.【答案】D
【解析】解：过点E作EH⊥AD，交DA延长线于H，
∴∠H=90°，
在正方形ABCD中，AB=BC=CD=AD，∠BAD=∠B=∠BCD=∠ADC=90°，
∴∠2+∠3=90°，∠H=∠BCD，
∵DE⊥DG，
∴∠EDG=90°，
∴∠2+∠1=90°，
∴∠1=∠3，
∴△DEH∽△DGC，
∴EHGC=DHDC，
∵GCBG=12，
∴设GC=x，则BG=2x，DC=BC=3x，
∴EHGC=DH3x，
∴DH=3EH，
∵AC是正方形ABCD对角线，
∴∠DAC=45°，
∵∠EAH=∠DAC=45°，
∴∠HEA=45°，
∴EH=HA，
∴EH2+HA2=9，
∴EH=HA=3 22，
∴DH=9 22，
∴AD=3 2，
∴GC= 2，
∴DG= CD2+CG2=2 5，
∵在正方形ABCD中，AD//BC，
∴CGAD=GFDF=13，
∴DF=3GF，
∴DF=3 52；
故选：D．
过点E作EH⊥AD，交延长线于H，再根据正方形的性质，推出∠H=∠BCD，根据同角的余角相等，推出∠1=∠3，证明△DEH∽△DGC，推出EHGC=DHDC，AC是正方形ABCD对角线，推出∠EAH=∠DAC=45°，求出EH=HA=3 22，进而求出DF=3 52．
本题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质，掌握相似三角形的判定与性质、正方形的性质的综合应用，其中辅助线的做法、相似的证明、勾股定理的应用是解题关键．
11.【答案】2
【解析】解：原式=3−1
=2．
故答案为：2．
直接利用二次根式的性质化简，进而得出答案．
此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
12.【答案】2
【解析】解：x2−4=(x−2)(x+2)=(x−2)(x+a)，
则a=2，
故答案为：2
利用平方差公式的结构特征判断即可确定出a的值．
此题考查了因式分解−运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
13.【答案】47
【解析】解：∵0，1，2，3均为非负数，
∴随机选一个数，恰好是非负数的概率为：47，
故答案为：47
确定非负数的个数即可求解．
本题考查了概率的求解，熟练掌握概率公式是解题的关键．
14.【答案】53π
【解析】解：如图，圆心为O，连接OA，OB，OC，OD．
∵OA=OB=OD=5，∠BOC=2∠BAC=60°，
∴BC的长=60π×5180=5π3．
故答案为：5π3．
如图，圆心为O，连接OA，OB，OC，OD.利用弧长公式求解即可．
本题考查弧长公式，解题的关键是正确寻找圆心O的位置，属于中考常考题型．
15.【答案】直线x=−1
【解析】解：∵关于x的一元二次方程ax2+3x+c=0的两根是−4，2，
∴抛物线y=ax2+3x+c与x轴的交点坐标为(−4,0)，(2,0)，
∴抛物线对称轴为直线x=−4+22=−1，
故答案为：直线x=−1．
根据关于x的一元二次方程ax2+3x+c=0的两根是−4，2，可得抛物线y=ax2+3x+c的对称轴为直线x=−4+22=−1．
本题考查抛物线与x轴的交点，关键是掌握抛物线对称轴和抛物线与x轴交点的关系．
16.【答案】 2
【解析】解：如图，过C作AD的平行线交EF的延长线于G，
∵DE=DC，
∴∠DEC=∠DCE，
∵CG//AD，
∴∠GCE=∠DEC，∠AEG=∠G，
∴∠DCE=∠GCE，
∵∠BEC=∠AEF，
∴∠BEC=∠G，
∴△BEC∽△EGC，
∴CGCE=CEBC=EGBE，
∵F为AC中点，
∴AF=CF，
∵∠AEG=∠G，∠AFE=∠CFG，
∴△AEF≌△CGF(AAS)，
∴AE=CG，EF=GF，
∴EF=12EG，
∵BC=2AE，BE=4，
∴CE2=CG⋅BC=AE×2AE=2AE2，
∴CE= 2AE，
∴ 2AE2AE=EG4，
∴EG=2 2，
∴EF=12EG= 2．
故答案为： 2．
过C作AD的平行线交EF的延长线于G，先判断出△BEC∽△EGC，得出CGCE=CEBC=EGBE，再判断出△AEF≌△CGF(AAS)，得出AE=CG，EF=GF，即可得出答案．
此题考查相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，作出辅助线构造出全等三角形是解本题的关键．
17.【答案】(1)②；
(2)原式=2x(x+1)(x−1)−1x−1
=2x(x+1)(x−1)−1⋅(x+1)(x+1)(x−1)
=2x−x−1(x+1)(x−1)
=x−1(x+1)(x−1)
=1x+1．
【解析】(1)根据分式的加减计算得出结论即可；
(2)根据分式加减计算的运算法则得出结论即可．
本题主要考查分式的加减计算，熟练掌握分式的加减计算是解题的关键．
18.【答案】50 28 8
【解析】解：(1)调查的总人数是16÷32%=50(人)，
则b=50×16%=8，a=50−4−16−8−2=20，
A组所占的百分比是450=8%，则m=8．
a+b=8+20=28．
故答案为：50，28，8；
(2)扇形统计图中扇形C的圆心角度数是360°×2050=144°；
(3)每月零花钱的数额x在60≤x<120范围的人数估计是1000×2850=560(人)．
(1)根据B组的频数是16，对应的百分比是32%，据此求得调查的总人数，利用百分比的意义求得b，然后求得a的值，m的值；
(2)利用360°乘以对应的比例即可求解；
(3)利用总人数1000乘以对应的比例即可求解．
本题考查了扇形统计图，观察统计表、扇形统计图获得有效信息是解题关键，扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
19.【答案】解：延长AB交CD于点O，

由题意得：∠C=52°，∠D=40°，AO=120米，AB=40米，
∴BO=AO−AB=80(米)，
在Rt△AOC中，
tanC=AOOC=tan52°，
∴OC=1201.3≈92.31(米)，
在Rt△BOD中，
tanD=OBOD=tan40°，
∴OD=800.8≈100.0(米)，
∴CD=OC+OD=92.31+100.0≈192(米)．
答：点C与点D的距离为192米．
【解析】根据题意得两个直角△AOC、△BOD，通过解这两个直角三角形求得OB、OC、OD的长度，进而即可求出答案．
本题考查解直角三角形的应用−仰角俯角问题．解决本题的关键是结合图形利用三角函数解直角三角形．
20.【答案】(1)证明：∵AD=CD，BD⊥AC，
∴OA=OC，
∵OE=OD，
∴四边形AECD是平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴平行四边形AECD是菱形；
(2)解：∵四边形AECD是菱形，
∴OE⊥OA，
∵CF⊥AE，AB平分∠EAC，
∴BF=OB，
∴Rt△AFB≌Rt△AOB(HL)，
∴AF=OA=OC，
∵BF=OB=3，BE=5，
∴EF= BE2−BF2= 52−32=4，
∴OE=OB+BE=3+5=8，
∴BD=BO+OD=3+8=11，
∵∠EFB=∠AOE=90°，∠∠FEB=∠∠AEO，
∴△AEO∽△EBF，
∴BFEF=AEOE，
即54=AE8，
∴AE=10，
∴AD=AE=10，
∴AO= AD2−DO2= 102−82=6，
∴S△ABD=12×BD×AO=12×11×6=33．
【解析】(1)根据菱形的判定解答即可；
(2)根据菱形的性质和相似三角形的判定和性质，进而解答即可．
此题考查菱形的判定和性质，关键是根据菱形的性质和判定以及相似三角形的判定和性质解答．
21.【答案】解：(1)把A(−2,m)代入y=8x，
得m=−8−2=4，
所以B点坐标为(−2,−4)，
把B(−2,−4)代入y=kx−5，
得−2k−5=−4，解得k=−12，
所以一次函数解析式为y=−12x−5；
(2)将直线AB向上平移n(n>0)个单位长度得直线解析式为y=−12x−5+n，
根据题意得方程组y=8x y=−12x−5 只有一组解，
消去y得8x=−12x−5+n，
整理得12x2−(n−5)x+8=0，
Δ=(n−5)2−4×12×8=0，
解得n=9或n=1，
即n的值为1或9．
【解析】(1)先利用反比例函数解析式y=8x求出m=−4，得到B点坐标为(−2,−4)，然后把B点坐标代入y=kx−5中求出k，从而得到一次函数解析式为y=−12x−5；
(2)由于将直线AB向上平移n(n>0)个单位长度得直线解析式为y=−12x−5+n，则直线y=−12x−5+n与反比例函数有且只有一个公共点，即方程组y=8x y=−12x−5 只有一组解，然后消去y得到关于x的一元二次方程，再根据判别式的意义得到关于n的方程，最后解方程求出n的值．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，若方程组无解，则两者无交点．也考查了一次函数与几何变换．
22.【答案】(1)证明：∵DE=BC，
∴∠FCD=∠CAB．
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠FDC=∠ABC，
∴△CBA∽△FDC；
(2)解：∵C是DBA的中点，
∴DC=AC，
∴DC=AC=9．
∵△CBA∽△FDC，
∴ACAB=FCCD，
∴94=FC9，
∴FC=814．
∵△CBA∽△FDC，
∴∠ACB=∠CFD．
∵FC⊥AC，
∴tan∠CFA=ACCF=9814=49．
∴tan∠ACB=tan∠CFA=49．
【解析】(1)利用圆周角定理，圆的内接四边形的性质和相似三角形的判定定理解答即可；
(2)利用相似三角形的性质，圆心角，弧，弦与弦心距的关系定理和直角三角形的边角关系定理解答即可．
本题主要考查了圆周角定理，圆的内接四边形的性质，相似三角形的判定和性质，圆心角，弧，弦与弦心距的关系定理和直角三角形的边角关系定理，熟练掌握圆的有关性质和相似三角形的判定方法是解题的关键．
23.【答案】解：(1)将(1,1)代入函数表达式得1=a+b−3a，
∴b=2a+1．
(2)∵a=−1，
∴b=2a+1=−1，
∴y=−x2−x+3，
∵a=−1<0，
∴抛物线开口向下，对称轴为：x=−b2a=−12，
∵y有最大值为3，
∴当y=3时，有−x2−x+3=3，
解得：x1=0，x2=−1，
∵m≤x≤m+2，
又∵在x=−12的左侧，y随x的增大而增大，
∴当m+2=−1时，y有最大值为3，
∴m=−3．
∵在x=−12的右侧，y随x的增大而减小，
∴当m=0时，y有最大值为3，
∴m=0．
综上所述，m=−3或m=0．
(3)∵a∴a<2a+1，
∴a>−1，
∵二次函数为：y=ax2+(2a+1)x−3a，
∴Δ=(2a+1)2−4×a×(−3a)=(2a+1)2+12a2>0，
∴函数图象与x轴有2个不同的交点，
∵图象顶点在第二象限，
∴抛物线开口向下，即a<0，
∴−b2a<0
∴−2a+12a<0，
∴a<−12，
∴−1∵a+2b=a+2(2a+1)=5a+2，
∴−3【解析】(1)将(1,1)代入函数表达式即可；
(2)将a=−1代入函数表达式可得：y=−x2−x+3，求出对称轴，再根据当m≤x≤m+2时，y有最大值为3，分对称轴左侧和对称轴右侧求m即可；
(3)由a−1，再由Δ=(2a+1)2−4×a×(−3a)=(2a+1)2+12a2>0，可得函数图象与x轴有2个不同的交点，判断出抛物线的开口方向，再根据对称轴即可求出a的范围，进一步可求a+2b的取值范围．
本题主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数图象上点的坐标的特征以及抛物线的最值问题，熟练掌握二次函数的各个知识点是解决本题的关键．
24.【答案】解：(1)∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD=6，∠BCD=90°，
∵E为线段CD的中点，
∴CE=DE=3，
在Rt△BCE中，由勾股定理得：BE= BC2+CE2= 42+32=5，
∵∠CPD=90°，E为线段CD的中点，
∴PE=12CD=3，
∴BP=BE−PE=5−3=2；
(2)如图②，过E作EF/​/BC交DH于点F，

∴△DEF∽△DCH，
∴DECD=EFCH=12，
同理：△EFP∽△BHP，
∴EFBH=PEPB=32，
∴12CH4−CH=32，则CH=3，
∴BH=BC−CH=4−3=1；
(3)如图③，

∵在▱ABCD中，
∴∠BCD+∠ADC=90°，AB=CD=10，
∵∠BCQ+∠ADQ=90°，
∴∠DCQ+∠CDQ=90°，
∴∠CQD=90°，
∴点Q在以CD中点O为圆心的圆上运动，则当点B、Q、O三点共线时，线段BQ最小值，
∴CO=OD=OQ=12CD=5，
过C作CM⊥AB于点M，过B作BH⊥DC交DC延长线于点H，
∴四边形BMCH是矩形，
∵BC=3 5，tan∠ABC=2，
∴BM=CH=3，CM=BH=6，
∴OH=OC+CH=8，
∴OB= BH2+OH2= 62+82=10，
过O作OF/​/BC交DT于点F，
同(2)理得：CT=2 5，
∴BT=BC−CT=3 5−2 5= 5．
【解析】(1)由四边形ABCD是矩形得AB=CD=6，∠BCD=90°，由勾股定理求出BE=5，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出PE=3，最后通过线段和差即可求解；
(2)过E作EF/​/BC交DH于点F，证明△DEF∽△DCH和△EFP∽△BHP，得出DECD=EFCH=12，EFBH=PEPB=32，因而求解；
(3)由∠BCQ+∠ADQ=90°，则∠DCQ+∠CDQ=90°，故∠CQD=90°，所以点Q在以CD中点O为圆心的圆上运动，则当点B、Q、O三点共线时，线段BQ最小值，过C作CM⊥AB于点M，过B作BH⊥DC交DC延长线于点H，由BC=3 5，tan∠ABC=2，得BM=CH=3，CM=BH=6，再同(2)理即可求解．
本题考查了矩形和平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，四点共圆，解直角三角形，熟练掌握以上知识点的应用是解题的关键．年龄/岁
12
13
14
15
频数
5
15
x
10−x
组别
分组(单位：元)
人数
A
0≤x<30
4
B
30≤x<60
16
C
60≤x<90
a
D
90≤x<120
b
E
x>120
2