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    2024年黑龙江省牡丹江市普通高中协同发展共同体高考数学一模试卷(含解析)

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    2024年黑龙江省牡丹江市普通高中协同发展共同体高考数学一模试卷(含解析)

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    这是一份2024年黑龙江省牡丹江市普通高中协同发展共同体高考数学一模试卷(含解析),共18页。试卷主要包含了单选题,多选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
    1.已知集合A={sinπ2,e−ln3},B={−3,−1,0,13,1},则A∩B=( )
    A. {−3,1}B. {13,1}C. {−3,0}D. {0,13}
    2.5名应届高中毕业生报考三所高校,每人报且仅报一所高校,则不同的报名方法种数是( )
    A. 35B. 53C. A53D. C53
    3.一份新高考数学试卷中有8道单选题,小胡对其中5道题有思路,3道题完全没有思路.有思路的题做对的概率是0.9,没有思路的题只能猜一个答案,猜对答案的概率为0.25,则小胡从这8道题目中随机抽取1道做对的概率为( )
    A. 79160B. 35C. 2132D. 58
    4.已知i为虚数单位,复数z=a+bi,a,b∈R且满足|z−i|= 2,求点Z(a,b)到直线y=x+3距离的最大值为( )
    A. 0B. 2 2−2C. 2D. 2 2
    5.酒驾是严重危害交通安全的违法行为,为了保障交通安全,根据国家有关规定:100mL血液中酒精含量达到20~79mg的驾驶员即为酒后驾车,80mg及以上认定为醉酒驾车.假设某驾驶员喝了一定量的酒后,其血液中的酒精含量上升到了0.6mg/mL.如果停止喝酒以后,他血液中酒精含量会以每小时30%的速度减少,那么他至少经过几个小时才能驾驶?(结果取整数,参考数据:lg3≈0.48,lg7≈0.85)( )
    A. 1B. 2C. 3D. 4
    6.已知a,b,c为不共线的平面向量,|b|=|c|,若a+b+c=0,则b在a方向上的投影向量为( )
    A. 14aB. −14aC. 12aD. −12a
    7.已知g(x)=x3f(x)是定义在R上的奇函数,且f(x)在区间(−∞,0]上单调递减,若关于实数m的不等式f(lg2m)+f(lg0.5m)≥2f(3)恒成立,则m的取值范围是( )
    A. (0,13]B. [8,+∞)C. (0,13]∪[8,+∞)D. (0,18]∪[8,+∞)
    8.已知函数f(x)=(x−1)ex,x4)=P(X0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,双曲线C的虚轴长为2,有一条渐近线方程为y= 33x,如图,点A是双曲线C上位于第一象限内的点,过点A作直线l与双曲线的右支交于另外一点B,连接AO并延长交双曲线左支于点P,连接PF1与PF2,其中l垂直于∠F1PF2的平分线m,垂足为D.
    (Ⅰ)求双曲线C的标准方程;
    (Ⅱ)求证:直线m与直线OA的斜率之积为定值;
    (Ⅲ)求S△APBS△APD的最小值.
    19.(本小题17分)
    设f(x)=ax2+csx−1,a∈R.
    (1)当a=1π时,求函数f(x)的最小值;
    (2)当a≥12时.证明:f(x)≥0;
    (3)证明:cs12+cs13+⋯+cs1n>n−43(n∈N*,n>1).
    答案和解析
    1.【答案】B
    【解析】解:因为sinπ2=1,e−ln3=eln13=13,
    所以A={sinπ2,e−ln3}={1,13},
    因为B={−3,−1,0,13,1},
    所以A∩B={13,1}.
    故选:B.
    求出集合A,再求交集即可.
    本题考查集合的运算,属于基础题.
    2.【答案】A
    【解析】解:分析可得,这是一个分步计数原理问题,
    根据题意,5个人,每人都有3种不同的选法,
    则有3×3×3×3×3=35种,
    故选:A.
    根据题意,5个人,每人都有3种不同的选法,由分步计数原理计算可得答案.
    本题考查排列的应用,解题时要首先分析题意,明确时排列,还是组合问题.
    3.【答案】C
    【解析】解:设事件A表示“考生答对”,设事件B表示“考生选到有思路的题”.
    则小胡从这8道题目中随机抽取1道做对的概率为:
    P(A)=P(B)P(A|B)+P(B−)P(A|B−)=58×0.9+38×0.25=2132.
    故选:C.
    利用全概率公式求解即可.
    本题主要考查全概率公式,属于基础题.
    4.【答案】D
    【解析】解:z=a+bi,|z−i|= 2,
    则|a+(b−1)i|= 2,即a2+(b−1)2=2,圆心为(0,1),半径为r= 2,
    圆心(0,1)到直线x−y+3=0的距离d=|0−1+3| 1+1= 2,
    故点Z(a,b)到直线y=x+3距离的最大值为d+r= 2+ 2=2 2.
    故选:D.
    结合复数模公式,求出圆心、半径,再结合点到直线的距离公式,即可求解.
    本题主要考查复数的模,属于基础题.
    5.【答案】D
    【解析】解:设此人至少经过x个小时才能驾驶,
    则有0.6×(1−0.3)x1−2(15−17),⋯,cs1n>1−2(12n−1−12n+1),
    相加,可得cs12+cs13+⋯+cs1n>(n−1)−2(13−12n+1)=n−43−2n−53(2n+1),
    因为n≥3,所以2n−53(2n+1)>0,所以cs12+cs13+⋯+cs1n>n−43,
    综上,cs12+cs13+⋯+cs1n>n−43(n∈N*,n>1).
    【解析】(1)由题意可知,f(x)为偶函数,则仅需研究x≥0的部分,求导,分x>π2和0≤x1−1n2(n≥2),分n=2和n≥3两种情况,结合裂项相消法证明不等式即可;
    本题考查了利用导数研究函数的单调性与最值,不等式的证明和裂项相消法求和,考查了分类讨论思想和转化思想,属难题.X
    40
    60
    80
    100
    P
    8125
    36125
    54125
    27125

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