2023-2024学年北京市日坛中学高一（下）月考数学试卷（4月份）（含解析）

这是一份2023-2024学年北京市日坛中学高一（下）月考数学试卷（4月份）（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知复数z=1+ii(其中i是虚数单位)，则z在复平面内对应的点的坐标是( )
A. (1,1)B. (1,−1)C. (−1,1)D. (−1,−1)
2.下列关于向量的命题正确的是( )
A. 若|a|=|b|，则a=bB. 若|a|=|b|，则a/​/b
C. 若a=b，b=c，则a=cD. 若a/​/b，b/​/c，则a/​/c
3.向量a=(cs50°,sin50°)与b=(cs10°,sin10°)的夹角为( )
A. 30°B. 40°C. 60°D. 90°
4.向量a，b，e1，e2在正方形网格中的位置如图所示，若a−b=λe1+μe2(λ,μ∈R)，则λμ=( )
A. 3
B. 13
C. −3
D. −13
5.在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD=60∘,E为CD的中点，则AE⋅BD的值为
( )
A. 1B. 3C. 5D. 7
6.在△ABC中， 3asinB=3bcsA，则∠A=( )
A. 5π6B. 2π3C. π3D. π6
7.已知平面向量a，b，c均为非零向量，则“(a⋅b)c=(b⋅c)a”是“向量a，c同向”的( )
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
8.△ABC外接圆的半径为1，圆心为O，且2OC+CB+CA=0，|OC|=|CB|，则AC⋅AB等于( )
A. 32B. 3C. 3D. 2 3
9.已知单位向量e1，e2满足e1⋅e2=−12，若非零向量a=xe1+ye2，其中x，y∈R，则|x||a|的最大值为( )
A. 43B. 23C. 22D. 2 33
10.已知不共线的平面向量a，b，c两两的夹角相等，且|a|=1，|b|=2，|c|=3，实数λ1，λ2，λ3∈[−1,1]，则|λ1a+λ2b+λ3c|的最大值为( )
A. 3B. 2 3C. 21D. 5
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
11.向量a=(1,2)，b=(2,λ)，且a⊥b，则实数λ= ______．
12.设α为锐角，a=(sinα,1),b=(1,2)，若a与b共线，则角α= ______．
13.设a∈R，复数z=(1−i)(a−i).若复数z是纯虚数，则a=______；若复数z在复平面内对应的点位于实轴上，则a=______．
14.设复数z=1+2i3−i，则|z|= ．
15.已知等边△ABC的边长为2，D为边BC的中点，点M是AC边上的动点，则MD⋅MC的最大值为 ，最小值为 ．
16.如图，△AB1C1，△B1B2C2，△B2B3C3是三个边长为2的等边三角形，且有一条边在同一直线上，边B3C3上有5个不同的点P1，P2，P3，P4，P5，设mi=AC2⋅APi(i=1,2,…,5)，则m1+m2+…+m5= ．
三、解答题：本题共5小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题13分)
已知向量a=(1,2)，b=(3,−2)．
(1)求|a−b|;
(2)求向量a与向量b的夹角θ的余弦值;
(3)若|c|= 10，且(2a+c)⊥c，求向量a与向量c的夹角．
18.(本小题13分)
如图，在平行四边形ABCD中，AB=4，AD=2，∠BAD=60°，E，F分别为AB，BC上的点，且AE=2EB，CF=2FB．
(1)若DE=xAB+yAD，求x，y的值；
(2)求AB⋅DE的值；
(3)求cs∠BEF．
19.(本小题14分)
在△ABC中，b2+c2− 62bc=a2．
(Ⅰ)求csA的值；
(Ⅱ)若B=2A，b= 6，求a的值．
20.(本小题15分)
如图，在锐角△ABC中，A=π6,BC= 7,D,E分别是边AB，AC上的点，且DE=2，再从条件①、条件②、条件③中选择两个能解决下面问题的条件作为已知，并求：
条件①：AB=3 3
条件②：csB= 2114
条件③：EC=3
(1)sinC的值；
(2)∠BDE的大小；
(3)四边形BCED的面积．
21.(本小题15分)
将平面直角坐标系中的一列点A1(1,a1)，A2(2,a2)，…，An(n,an)，…记为{An}，设f(n)=AnAn+1⋅j，其中j为与y轴正方向相同的单位向量．若对任意的正整数n，都有f(n+1)>f(n)，则称{An}为T点列．
(Ⅰ)判断A1(1,1),A2(2,12),A3(3,13),⋅⋅⋅,An(n,1n),⋅⋅⋅是否为T点列，并说明理由；
(Ⅱ)若{An}为T点列，且a2>a1.任取其中连续三点Ak，Ak+1，Ak+2，证明△AkAk+1Ak+2为钝角三角形；
(Ⅲ)若{An}为T点列，对于正整数k，l，m(k答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】
直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．
【解答】
解：∵z=1+ii=(1+i)·(−i)−i2=1−i，
∴z在复平面内对应的点的坐标是(1,−1)．
故选：B．
2.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了向量的定义，向量共线的定义，相等向量的定义，共线向量的定义，属于基础题．
根据向量的定义即可判断A错误，根据向量共线的定义即可判断B错误，C显然正确，对于选项D，当b=0时，便得不出a/​/c，即得出选项D错误．
【解答】解：对于A：向量的长度相等，方向不一定相同，从而得不出a=b，即该选项错误；
对于B：长度相等不能得出向量相互平行，故该选项错误；
对于C：若a=b，b=c，显然可得出a=c，故该选项正确；
对于D：若b=0，a，c不共线，虽然a/​/b，b/​/c，但得不到a/​/c，则该选项错误．
故选：C．
3.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查向量的夹角，涉及三角函数的恒等变形，属于基础题．
根据题意，设两个向量的夹角为θ，由向量的坐标可得a、b的模以及a⋅b的值，由向量夹角公式计算可得答案．
【解答】
解：根据题意，设两个向量的夹角为θ，
向量a=(cs50°,sin50°)与b=(cs10°,sin10°)，
则|a|=1，|b|=1，a⋅b=cs50°cs10°+sin50°sin10°=cs40°，
则csθ=a⋅b|a||b|=cs40°，
又由0°≤θ≤180°，故两个向量的夹角为40°，
故选：B．
4.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了向量的线性运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
由图可知：a−b=e1−3e2，即可得出．
【解答】解：由图可知：a−b=e1−3e2，
则λ=1，μ=−3，所以λμ=−13．
故选：D．
5.【答案】A
【解析】【分析】
将AE表示为AD+DE，再利用向量的运算法则，两个向量的数量积的定义求解．
本题考查向量的数量积运算．关键是将AE表示为AD+DE.易错点在于将有关向量的夹角与三角形内角不加区别，导致结果出错．本题还可以以AB，AD为基底，进行转化计算，属于中档题．
【解答】
解：在菱形ABCD中，∠BAD=60°，
∴△ABD为正三角形，
由=60°，可得=180°−60°=120°．
∴AE⋅BD=(AD+DE)⋅BD=AD⋅BD+DE⋅BD
═2×2×cs60°+1×2×cs120°=2−1=1，
故选：A．
6.【答案】C
【解析】【分析】
根据已知条件，运用正弦定理，可得tanA= 3，再结合A角的范围，即可求解．
本题考查了正弦定理，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．
【解答】解：∵ 3asinB=3bcsA，
∴由正弦定理，可得 3sinAsinB=3sinBcsA，
∵B∈(0,π)，
∴sinB≠0，tanA= 3，
又∵A∈(0,π)，
∴A=π3．
故选：C．
7.【答案】B
【解析】解：向量a，c同向⇒(a⋅b)c=(b⋅c)a，反之不成立，可能向量a，c反向．
∴“(a⋅b)c=(b⋅c)a”是“向量a，c同向”的必要不充分条件．
故选：B．
向量a，c同向⇒(a⋅b)c=(b⋅c)a，反之不成立，可能向量a，c反向．即可判断出结论．
本题考查了向量共线定理、数量积运算性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
8.【答案】C
【解析】解：∵2OC+CB+CA=0，
∴OC+CB+OC+CA=0，
∴OB=−OA，则O，B，A共线，
∴AB为圆的直径，则AC⊥BC，
又△ABC外接圆的半径为1，圆心为O，且|OC|=|CB|，
∴∠A=30°，BC=1，AC= 3，
∴AC⋅AB=|AC||AB|cs30°= 3×2× 32=3．
故选：C．
利用向量的运算法则将已知等式化简得到OB=−OA，得到AB为直径，故△ABC为直角三角形，求出三边长可得A的值，利用两个向量的数量积的定义求得答案．
本题主要考查向量在几何中的应用、向量的数量积，向量垂直的充要条件等基本知识，求出△ABC为直角三角形及三边长是解题的关键，是中档题．
9.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查向量的运算，最值，解题中需要理清思路，属于中档题．
由单位向量e1，e2满足e1⋅e2=−12，推出=2π3，设e1=(1,0)，e2=(−12, 32)，进而可得a=(x−y2, 32y)，则|x||a|= x2x2−xy+y2，分两种情况：当x=0时，当x≠0时，求出|x||a|的最大值．
【解答】解：因为单位向量e1，e2满足e1⋅e2=−12，
所以=2π3，
设e1=(1,0)，e2=(−12, 32)，
所以a=xe1+ye2=x(1,0)+y(−12, 32)=(x−y2, 32y)，
所以|a|= (x−y2)2+( 32y)2= x2−xy+y2，
所以|x||a|=|x| x2−xy+y2= x2x2−xy+y2
当x=0时，|x||a|=0，
当x≠0时，|x||a|= 11−yx+y2x2，
令t=yx，
则1−t+t2=(t−12)2+34≥34，
所以 11−t+t2≤2 33，
所以|x||a|的最大值为2 33．
故选：D．
10.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查向量的数量积的应用，向量的模，属于中档题．
根据向量之间的夹角和模长求解两两之间的数量积，然后把目标式平方，结合λ1，λ2，λ3的取值范围，即可求解．
【解答】解：∵不共线的平面向量a，b，c两两的夹角相等，
∴平面向量a，b，c两两的夹角都为120°，
∵|a|=1，|b|=2，|c|=3，
∴a⋅b=−1，a⋅c=−32，b⋅c=−3，
|λ1a+λ2b+λ3c|2=λ12+4λ22+9λ32−2λ1λ2−6λ2λ3−3λ1λ3=(λ1−λ2)2+(3λ3−λ2)2+2λ22−3λ1λ3，
∵λ1，λ2，λ3∈[−1,1]，
∴当λ1=1，λ2=1，λ3=−1 时，|λ1a+λ2b+λ3c|2取得最大值为21，
∴|λ1a+λ2b+λ3c|的最大值为 21．
故选：C．
11.【答案】−1
【解析】解：因为a=(1,2)，b=(2,λ)，且a⊥b，
所以a⋅b=0，即a⋅b=1×2+2λ=0，解得λ=−1．
故答案为：−1
依题意可得a⋅b=0，根据数量积的坐标表示得到方程，解得即可．
本题考查向量垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
12.【答案】π6
【解析】解：a=(sinα,1),b=(1,2)，若a与b共线，则2sinα−1=0，解得sinα=12，
注意到α为锐角，所以α=π6．
故答案为：π6．
由向量平行的坐标表示列方程即可得出sinα的值，进一步即可求解．
本题考查了共线向量的坐标关系，是基础题．
13.【答案】1 −1
【解析】解：z=(1−i)(a−i)=(a−1)+(a+1)i，
若复数z是纯虚数，则a−1=0a+1≠0，∴a=1，
若复数z在复平面内对应的点位于实轴上，则a+1=0，∴a=−1．
故答案为：1，−1．
利用复数的运算法则、几何意义即可得出．
本题考查了复数的运算法则、几何意义，属于基础题．
14.【答案】 22
【解析】【分析】
本题考查了复数的运算法则、复数模的求法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
利用复数的运算法则即可得出．
【解答】
解：因为z=1+2i3−i=(1+2i)(3+i)(3−i)(3+i)=3+7i−29+1=110+710i，
所以|z|= (110)2+(710)2= 22，
故答案为： 22．
15.【答案】3
−116

【解析】【分析】
本题主要考查了平面向量的数量积公式，建立平面直角坐标系是解本题的关键，属于中档题．
以AC所在的直线为x轴，AC的中点为坐标原点，建立直角坐标系，再结合平面向量的数量积公式和三角函数的单调性，即可求解．
【解答】
解：以AC所在的直线为x轴，AC的中点为坐标原点，建立如图所示直角坐标系，
∵等边△ABC的边长为2，D为边BC的中点，
∴A(−1,0)，B(0, 3)，C(1,0)，D(12, 32)，
设点M的坐标为M(x,0)，−1≤x≤1，
∴MC=(1−x,0)，MD=(12−x, 32)，
∴MD⋅MC=(1−x)(12−x)=x2−32x+12，
设f(x)=x2−32x+12，−1≤x≤1，
∵函数f(x)的对称轴为x=34，
∴f(x)在区间[−1,34] 单调递减，在区间[34,1] 单调递增，
当x=−1时，f(x)max=f(−1)=3，
当x=34时，f(x)min=f(34)=−116．
故答案为：3，−116．
16.【答案】90
【解析】【分析】
本题考查向量的数量积的坐标表示，注意运用直线方程，考查化简整理的运算能力，属于中档题．
建立坐标系，求出直线B3C3的方程，得出Pi的坐标的关系，代入数量积公式计算即可．
【解答】
解：以A为原点，以AB3所在直线为x轴建立平面直角坐标系，如图所示：
则A(0,0)，C2(3, 3)，B3(6,0)，C3(5, 3)，
∴直线B3C3所在直线方程为y=− 3(x−6)，即 3x+y−6 3=0，
设Pi(xi,yi)，则 3xi+yi=6 3．
∴AC2⋅APi=3xi+ 3yi=18，∴m1+m2+…+m5=18×5=90．
故答案为90．
17.【答案】解：(Ⅰ)因为a=(1,2)，b=(3,−2)，
所以a−b=(−2,4)．
所以|a−b|= (−2)2+42=2 5．
(Ⅱ)因为a⋅b=1×3+2×(−2)=−1，|a|= 12+22= 5，|b|= 32+(−2)2= 13，
所以csθ=a⋅b|a||b|=−1 5× 13=− 6565．
(Ⅲ)因为(2a+c)⊥c，
所以(2a+c)⋅c=0．
即2a⋅c+c2=0．
所以2|a||c|cs〈a,c〉+|c|2=0．
即2× 5× 10×cs〈a,c〉+10=0，
所以cs〈a,c〉=− 22．
因为〈a,c〉∈[0,π]，
所以〈a,c〉=3π4．
【解析】(Ⅰ)根据题意，求出a−b的坐标，进而计算可得答案；
(Ⅱ)根据题意，由向量夹角公式计算可得答案；
(Ⅲ)根据题意，由向量垂直的判断方法可得(2a+c)⋅c=0.即2a⋅c+c2=0，据此计算可得答案．
本题考查向量数量积的性质以及应用，涉及向量夹角、向量模的计算，属于基础题．
18.【答案】解：(1)∵DE=AE−AD=23AB−AD，
又DE=xAB+yAD，
∴x=23,y=−1．
(2)∵AB=4，AD=2，∠BAD=60°，DE=23AB−AD，
∴AB⋅DE=AB⋅(23AB−AD)
=23AB2−AB⋅AD
=23×42−4×2×12=203．
(3)连接AC，设EB,EF的夹角为θ，
∵AE=2EB，CF=2FB，
∴EF//AC且EF=13AC，
∴EF=13AC=13AB+AD，
∴|EF|2=|13(AB+AD)|2=289，
∴|EF|=2 73，|EB|=43，
又∵EF⋅EB=EB+BF⋅EB
=EB2+BF⋅EB=169+49=209，
∴csθ=EB⋅EF|EF||EB|=2092 73×43=5 714，
即cs ∠BEF=5 714．
【解析】本题考查向量的加法、减法、数乘运算，考查向量的数量积，考查向量的夹角，考查计算能力，属于中档题．
(1)利用向量的减法、数乘运算，即可求出x，y的值；
(2)利用(1)的结果，通过数量积的运算，求解即可；
(3)求出EF⋅EB，通过向量的夹角公式求解cs∠BEF即可．
19.【答案】解：(Ⅰ)∵在△ABC中，b2+c2=a2+ 62bc，
由余弦定理csA=b2+c2−a22bc，
∴csA= 62bc2bc= 64．
(Ⅱ)由(Ⅰ)知，0∴sinA= 1−cs2A= 104．
∵B=2A，
∴sinB=sin2A=2sinAcsA=2× 104× 64= 154，
又∵b= 6,asinA=bsinB，
∴a=bsinAsinB= 6× 104 154=2．
【解析】(I)根据已知条件，结合余弦定理，即可求解．
(II)由已知条件csA= 64，运用三角函数的同角公式，可得sinA= 104，再结合正弦定理和二倍角公式，即可求解．
本题主要考查了正弦定理和余弦定理的运用．考查了学生对三角函数基础知识的综合运用，属于中档题．
20.【答案】解：选条件①，③．
(1)因为A=π6，BC= 7，AB=3 3，
在△ABC中，由正弦定理得ABsinC=BCsinA．
所以sinC=ABsinABC=3 3×12 7=3 2114．
(2)因为△ABC是锐角三角形，
由(1)知sinC=3 2114，所以csC= 1−sin2C= 714，
在△ABC中，由余弦定理得AB2=BC2+AC2−2BC⋅AC⋅csC，
所以27=7+AC2−2 7AC× 714.即AC2−AC−20=0，解得AC=5(舍负)．
又因为EC=3，所以AE=2.又因为DE=2，所以∠ADE=A=π6，故∠BDE=5π6；
(3)因为AB=3 3，A=π6，由(2)知AC=5，所以S△ABC=12AB⋅ACsinA=15 34．
又因为∠AED=∠BDE−A=2π3，所以S△ADE=12AE⋅DEsin∠AED= 3，
所以四边形BCED的面积为S△ABC−S△ADE=11 34．
选条件②，③.(1)因为A=π6，csB= 2114，
所以0所以sinC=sin(B+A)=sinBcsA+csBsinA=5 714× 32+ 2114×12=3 2114．
(2)由(1)及正弦定理得ACsinB=BCsinA，sinB=5 714，AC=BCsinBsinA= 7×5 71412=5，
又因为EC=3，所以AE=2.又因为DE=2，所以∠ADE=A=π6，故∠BDE=5π6；
(3)因为△ABC是锐角三角形，由(1)知sinC=3 2114，所以csC= 1−sin2C= 714，
由余弦定理得AB2=BC2+AC2−2BC⋅AC⋅csC=7+25−2× 7×5× 714=27，
解得AB=3 3，所以S△ABC=12AB⋅ACsinA=15 34.又因为∠AED=∠BDE−A=2π3，
所以S△ADE=12AE⋅DEsin∠AED= 3，所以四边形BCED的面积为S△ABC−S△ADE=11 34．
选条件①，②，点D的位置不确定，△ADE无法确定，不能求解．
【解析】根据正弦定理，余弦定理即可逐项求解．
本题考查正弦定理，余弦定理，同角函数关系，两角和差公式，属于中档题．
21.【答案】解：(Ⅰ){An}为T点列．理由如下：
由题意可知，AnAn+1=(1,1n+1−1n),j=(0,1)，
所以f(n)=AnAn+1⋅j=1n+1−1n，
f(n+1)−f(n)=1n+2−1n+1−(1n+1−1n)=2n(n+1)(n+2)>0，
即f(n+1)>f(n)，n=1，2，…，
所以A1(1,1),A2(2,12),A3(3,13),An(n,1n),⋅⋅⋅为T点列；
(Ⅱ)由题意可知，AnAn+1=(1,an+1−an),j=(0,1)，
所以f(n)=AnAn+1⋅j=an+1−an，
因为{An}为T点列，
所以f(n+1)−f(n)=an+2−an+1−(an+1−an)>0，n=1，2，⋅⋅⋅，
又因为a2>a1，所以a2−a1>0，
所以对{An}中连续三点Ak，Ak+1，Ak+2，都有ak+2−ak+1>ak+1−ak>0，ak+2>ak+1>ak，
又|AkAk+1|2=1+(ak+1−ak)2,|AkAk+2|2=4+(ak+2−ak)2,|Ak+1Ak+2|2=1+(ak+2−ak+1)2，
所以|AkAk+2|2>|Ak+1Ak+2|2>|AkAk+1|2，
所以∠AkAk+1Ak+2为△AkAk+1Ak+2的最大内角，
由余弦定理可得，cs∠AkAk+1Ak+2=|Ak+1Ak+2|2+|AkAk+1|2−|AkAk+2|22|Ak+1Ak+2|⋅|AkAk+1|
=2ak+12−2ak+1ak−2ak+1ak+2+2ak+2ak−22|Ak+1Ak+2|⋅|AkAk+1|
=2(ak+1−ak)(ak+1−ak+2)−22|Ak+1Ak+2|⋅|AkAk+1|<0，
故∠AkAk+1Ak+2为钝角，所以△AkAk+1Ak+2为钝角三角形；
(Ⅲ)由正整数k，l，m满足k因为{An}为T点列，由(Ⅱ)知an+2−an+1>an+1−an，n=1，2，⋅⋅⋅，
所以am+k−am+k−1>am+k−1−am+k−2，
am+k−1−am+k−2>am+k−2−am+k−3，
⋅⋅⋅⋅⋅⋅
am+1−am>am−am−1，
两边分别相加可得am+k−am>am+k−1−am−1，
所以am+k−1−am−1>am+k−2−am−2>al−al−k，
则am+k−am>al−al−k，
所以am+k−al>am−al−k，
又AlAm+k=(m+k−l,am+k−al),Al−kAm=(m−l+k,am−al−k)，
所以AlAm+k⋅j=am+k−al,Al−kAm⋅j=am−al−k，
所以AlAm+k⋅j>Al−kAm⋅j．
【解析】(Ⅰ)利用T点列的定义进行判断即可；
(Ⅱ)利用{An}为T点列，得到对|An|中连续三点Ak，Ak+1，Ak+2，都有ak+2−ak+1>ak+1−ak>0，ak+2>ak+1>ak，分析得出|AkAk+2|2>|Ak+1Ak+2|2>|AkAk+1|2，∠AkAk+1Ak+2为△AkAk+1Ak+2的最大内角，然后由余弦定理判断即可；
(Ⅲ)利用{An}为T点列，an+2−an+1>an+1−an，n=1，2，⋅⋅⋅，则列举不等式后，利用不等式的基本性质左右分别相加，可得am+k−al>am−al−k，再由AlAm+k⋅j=am+k−al,Al−kAm⋅j=am−al−k，即可判断得到答案．
本题考查了新定义问题，解决此类问题，关键是读懂题意，理解新定义的本质，把新情境下的概念、法则、运算化归到常规的数学背景中，运用相关的数学公式、定理、性质进行解答即可，属于难题．