2024部分名校（抚松县一中等）高二下学期期中联考试题数学含解析

这是一份2024部分名校（抚松县一中等）高二下学期期中联考试题数学含解析，共11页。试卷主要包含了本试卷主要考试内容，已知椭圆C，在等差数列中，，，下列函数求导正确的有等内容，欢迎下载使用。

1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
4．本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一册占30%，选择性必修第二册，第三册6.1占70%．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．5名同学分别报名参加学校的足球队、篮球队、排球队，每人限报其中的一个运动队，不同报法的种数为（ ）
A．15B．8C．D．
2．已知函数的导函数为，若，则（ ）
A．1B．2C．－1D．－2
3．若圆M：与双曲线C：的渐近线相切，则（ ）
A．1B．2C．D．
4．已知数列的通项公式为，若为递增数列，则k的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
5．已知数列是递增数列，则其通项公式可以是（ ）
A．B．
C．D．
6．已知函数的部分图象如图所示，为的导函数，则（ ）
A．B．
C．D．
7．已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，上顶点为A，过作的垂线，与y轴交于点P，若，则椭圆C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
8．在等差数列中，，．设，记为数列的前n项和，若，则（ ）
A．5B．6C．7D．8
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列函数求导正确的有（ ）
A．B．
C．D．
10．某同学在研究“有一个角为的三角形中，如果这个角的正弦值或余弦值恰好是另外两个角的正弦值或余弦值的等差中项或等比中项，那么该三角形是否为等边三角形”的问题中，得出以下结论，其中正确的是（ ）
A．若这个角的正弦值是另外两个角正弦值的等差中项，则该三角形为等边三角形
B．若这个角的余弦值是另外两个角余弦值的等差中项，则该三角形不一定是等边三角形
C．若这个角的正弦值是另外两个角正弦值的等比中项，则该三角形不一定是等边三角形
D．若这个角的余弦值是另外两个角余弦值的等比中项，则该三角形是等边三角形
11．已知函数，对定义域内任意，都有，则正实数m的取值可能是（ ）
A．B．C．1D．e
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在答题卡中的横线上．
12．一个柜台销售的智能手机中，国产品牌有5种，国外品牌有3种，要从中选择1个品牌进行购买，不同的选法种数为______．
13．在数列中，，，且，则______．
14．过直线上一点P向圆引两条切线，切点分别为M，N，则的最小值为______；已知直线MN过定点Q，则点Q的坐标为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）
设数列的前n项和为，，．
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前n项和．
16．（15分）
如图，在正方体中，E，F分别为，AB的中点，点G在DC的延长线上，且．
（1）证明：平面．
（2）求平面与平面DEF的夹角的余弦值．
17．（15分）
已知函数在处取得极值－2．
（1）求a，b的值；
（2）求经过点与曲线相切的切线方程．
18．（17分）
已知抛物线C：的焦点F到准线l的距离为6．
（1）求抛物线C的方程；
（2）已知点，（）是l上的两点，点是抛物线C上一动点，原点到直线PA，PB的距离均为3，求面积的最小值．
19．（17分）
已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若恒成立，求实数a的取值范围；
（3）证明：方程至多只有一个实数解．
高二数学试卷参考答案
1．C 因为每名同学都有3种选择，所以由分步乘法计数原理可知不同报法的种数为．
2．C ．
3．A 双曲线C的渐近线方程为，不妨取，点到直线的距离为．因为圆M与双曲线C的渐近线相切，所以．
4．D 结合二次函数的性质可得，解得．
5．A 对于选项A，，是递增数列，A正确．对于选项B，，，不是递增数列，B不正确．对于选项C，，，不是递增数列，C不正确．对于选项D，，不是递增数列，D不正确．
6．D 由导数的几何意义可知，表示曲线在处的切线斜率，表示曲线在处的切线斜率，表示，两点连线的斜率，由图可知D正确．
7．B 设，则直线的斜率为，直线的斜率为，直线的方程为．令，得，即．因为，所以，解得．
8．B 设的公差为d．因为，所以，，则，，．因为，所以，解得．
9．BC ，A不正确．，B正确．，C正确．，D不正确．
10．AD 设，对于A，因为，所以，所以，所以，故A正确；
对于B，因为，所以，所以，故B错误；
对于C，因为，所以，所以，所以，所以，故C错误；
对于D，因为，，所以，所以，所以，故D正确．
11．ACD 因为，所以．
令函数，则在上单调递减，所以在上恒成立，所以，即．
令函数，则，
所以在上单调递减，在上单调递增．
当时，，当时，，且，
所以，所以，即．
令函数，则，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，所以．
12．8 根据分类加法计数原理，不同的选法种数为．
13．1 ，，，，，，，，，，，…，可知从第5项起是以3为周期的数列，则，，则．
14．； 由题知，圆心为，半径，圆心到直线的距离．因为为直角三角形，且，所以，当且仅当PO与直线垂直时，等号成立，所以的最小值为．设，因为，以点P为圆心，为半径的圆的方程为，即，将圆P的方程与作差，可得直线MN的方程为．因为点在直线上，所以，即，整理得．由，解得，所以直线MN过定点．
15．解：（1）由，得，
两式相减，得，即．
因为，所以，得，满足，
所以是首项为3，公比为3的等比数列，．
（2）因为，所以．
因为，
所以，
两式相减，得，
所以．
16．（1）证明：以D为原点，DA，DC，所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．设，则，，，，，
，，．
∵，，∴，．
∵，∴平面．
（2）解：由（1）可知平面的一个法向量为，
易得，，，
设平面DEF的法向量为，则，
取，则，，得平面DEF的一个法向量为，
∴平面与平面DEF的夹角的余弦值为．
17．解：（1）因为，所以．
因为函数在处取得极值－2，
所以，解得．
验证：当，时，．
由，得或，由，得，
所以在处取得极小值，满足题意．
（2）设切点坐标为．
因为，
所以切线方程为．
因为切线过点，所以，
即，解得或，
所以经过点与曲线相切的切线方程为或．
18．解：（1）因为焦点到准线的距离为p，所以，
所以抛物线C的方程为．
（2）由题知直线PA的方程为，
化简得．
因为原点到直线PA的距离为3，所以，
所以．
因为，所以化简得．
同理，有，
所以m，n是关于t的方程的两个实数根．
根据韦达定理得，．
所以．
因为，所以．
因为点到准线的距离，
所以，
令，
则．
因为，，
当且仅当时，等号成立．
所以．故的最小值为．
19．（1）解：．
当时，，令，得，令，得，
所以在上单调递增，在上单调递减；
当时，恒成立，所以在上单调递减；
当时．令，得，令，得，
所以在上单调递减，在上单调递增．
（2）解：当时，因为，所以不满足，所以．
由（1）知当时，在上单调递减，在上单调递增，
所以．
由，得，解得，
即实数a的取值范围是．
（3）证明：令，
则．
当时，令，得，令，得，
所以在上单调递增，在上单调递减，所以，
所以恒成立，此时方程没有实数解．
当时，令，得或，令，得，
所以在和上单调递增，在上单调递减．
因为，
所以至多只有一个零点，即方程至多只有一个实数解．
当时，恒成立，所以在上单调递增，
所以至多只有一个零点，即方程至多只有一个实数解．
当时，令，得或，令，得，
所以在和上单调递增，在上单调递减．
因为，
所以至多只有一个零点，即方程至多只有一个实数解，
故方程至多只有一个实数解．