2024年广东省汕头市金平区汕头市下蓬中学中考一模数学试题（原卷版+解析版）

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1. 的绝对值是（ ）
A. 2024B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查求一个数的绝对值，根据负数的绝对值是它的相反数，即可得出结果．
【详解】解：的绝对值是2024．
故选：A．
2. “你以为你已经很爱很爱妈妈了，但妈妈远比你想象中更爱更爱更爱你”．这是2021年2月12日大年初一全国上映的电影《你好，李焕英》中的一句话，这部电影首日票房就达298000000元，数字298000000用科学记数法可表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
【详解】解：，
故选：C．
【点睛】本题考查科学记数法的表示方法，解题的关键是掌握科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要确定的值以及的值．
3. 下列说法不正确的是（ ）
A. 长方体四棱柱B. 八棱柱有16条棱
C. 五棱柱有7个面D. 直棱柱的每个侧面都是长方形
【答案】B
【解析】
【分析】根据棱柱的性质与定义进行逐一判断即可．
【详解】、解：A、长方体是四棱柱，说法正确，不符合题意；
B、八棱柱有24条棱，说法错误，符合题意；
C、五棱柱有7个面，说法正确，不符合题意；
D、直棱柱的每个侧面都是长方形，说法正确，不符合题意；
故选B．
【点睛】本题主要考查了棱柱的定义与性质，熟知棱柱的定义与性质是解题的关键．
4. 在一次数学测验中，一学习小组七人的成绩如图所示，则这七人成绩的中位数是（ ）
A. 22B. 89C. 92D. 96
【答案】D
【解析】
【分析】利用中位数的定义即可求解．
【详解】解：将这7人的成绩从小到大排列为：70，89，89，96，96，96，100，
∴中位数为96，
故选：D．
【点睛】本题考查求中位数，掌握中位数的定义是解题的关键．
5. 已知x=-2是关于x的方程3x+a=0的解，则a的值是（ ）
A. 3B. 6C. -3D. -6
【答案】B
【解析】
【分析】把x＝-2代入已知方程后，列出关于a的新方程，通过解新方程来求a的值．
【详解】解：∵x＝-2是关于x的方程3x+a=0的解，
∴3×（-2）+a＝0，
解得a＝6．
故选：B．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解的定义．把方程的解代入原方程，等式左右两边相等．
6. 若二次根式有意义，则a的值不可以是（ ）
A. 0B. 1C. 10D. 2023
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟知二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0是解题的关键．
【详解】解：∵二次根式有意义，
∴，
∴，
∴四个选项中，只有A选项中的0符合题意，
故选A．
7. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，将线段平移得到线段．已知平移后点的对应点的坐标是，则点的对应点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据点平移前后的坐标确定线段的平移方式，进而确定点的坐标．
【详解】由题意，得线段的平移方式是向左平移4个单位长度，向上平移2个单位长度，
所以点的对应点的坐标是，即．
故选A．
【点睛】本题考查坐标与图形变化——平移，解题的关键是确定线段的平移方式．
8. 如图，直线经过点，则关于的不等式的解集是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】写出函数图象在x轴下方所对应的自变量的范围即可．
【详解】解：当x＞2时，y＜0．
所以关于x的不等式kx+3＜0的解集是x＞2．
故选B．
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
9. 如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，BC＝2.以BC的中点O为圆心的圆分别与AB，AC相切于D，E两点，则弧DE的长为( ).
A. B. C. D. π
【答案】C
【解析】
【分析】连接OE、OD，由切线的性质可知OE⊥AC，OD⊥AB，又由∠A=90°可得四边形AEOD是矩形，得出∠DOE=90°，由于O是BC的中点，从而可知OD是中位线，所以可知∠B=45°，从而可知半径r的值，最后利用弧长公式即可求出答案．
【详解】解：连接OE、OD，
设半径为r，
∵⊙O分别与AB，AC相切于D，E两点，
∴OE⊥AC，OD⊥AB，
∵∠A=90°，
∴四边形AEOD是矩形，
∴∠DOE=90°，
∵O是BC的中点，
∴OD是中位线，
∴OD=AE=AC，
∴AC=2r，
同理可知：AB=2r，
∴AB=AC，
∴∠B=45°，
∵BC=，
∴由勾股定理可知AB=2，
∴r=1，
∴==．
故选C．
【点睛】本题考查了切线的性质，勾股定理，中位线定理，解题的关键是连接OE、OD后利用中位线的性质求出半径r的值．
10. 二次函数的图象的最高点坐标是，则的值分别是（ ）
A. 2，4B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】首先根据根据题意得到对称轴为，然后求出，然后将代入表达式求出c的值即可．
【详解】∵二次函数的图象的最高点坐标是，
∴对称轴为，解得，
∴将代入得，，
∴解得．
故选：D．
【点睛】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是熟练掌握待定系数法求二次函数解析式．
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11. 因式分解：x2+3xy＝_____．
【答案】．
【解析】
【分析】直接提公因式，即可得到答案．
【详解】解：；
故答案为：．
【点睛】本题考查了因式分解的方法，解题的关键是掌握提公因式法进行因式分解．
12. 某单位组织抽奖活动，共准备了150张奖券，设一等奖5个，二等奖20个，三等奖80个．已知每张奖券获奖的可能性相同，则1张奖券中一等奖的概率是____________．
【答案】
【解析】
【分析】直接利用概率公式求解．
【详解】解：根据随机事件概率公式得；
1张奖券中一等奖的概率为，
故答案是：．
【点睛】本题考查了概率公式，解题的关键是：理解随机事件的概率等于事件可能出现的结果数除以所有的可能出现的结果数．
13. 如图，在中，点，分别在，上，若，，，则的长为 _______．
【答案】15
【解析】
【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，根据得，再根据相似三角形对应边成比例即可求解．根据“平行于三角形一边的直线和其它两边或两边的延长线相交所构成的三角形与原三角形相似”证明是解题的关键．
【详解】解：，
，
∴，
∵，
∴，
即，
，
故答案为：15．
14. 在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+2与反比例函数y＝的图象有唯一公共点，若直线y＝﹣x+b与反比例函数y＝ 的图象有2个公共点，则b的取值范围是_____．
【答案】b＞2或b＜-2.
【解析】
【详解】试题解析：解方程组得：x2-bx+1=0，
∵直线y=-x+b与反比例函数y=的图象有2个公共点，
∴方程x2-bx+1=0有两个不相等的实数根，
∴△=b2-4＞0，
∴b＞2或b＜-2，
考点：反比例函数与一次函数的交点问题．
15. 如图，在矩形中，若点E是边的中点，连接，过点B作于点F，则的长为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了矩形的性质、勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质，先根据矩形的性质得出运用勾股定理列式计算，得出，再证明代入数值进行计算，即可作答．
【详解】解：∵四边形是矩形
∴，
∵E是边的中点，
∴
∴
∵，
∴，，
∴，
∴
∴，
∴，
∴．
故答案为：
三．解答题（共8小题，满分75分）
16. 解方程组．
【答案】
【解析】
【分析】法一：代入消元法解方程组即可，法二：加减消元法解方程组即可．
【详解】解：由①得：③，
将③代入②得：，
解得：，
把代入③得：，
∴方程组的解为：．
方法二：解：①得：③
②+③得：
解得：
把代入①得：
∴方程组的解为：．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握消元法解方程组．
17. 如图，在中， .
（1）作边上的高线（作图工具不限）
（2）若平分，求的度数.
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）过点A作于D，垂足为D即可；
（2）先根据三角形外角的性质求得，再由三角形内角和定理可得，然后由角平分线的定义求得，最后根据即可解答．
【小问1详解】
解：如图：过点A作于D，垂足为D，线段即为所求．
【小问2详解】
解：∵
∴，即
∵
∴
∵平分
∴
∴ ．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理、三角形外角性质、三角形的角平分线等知识点，灵活运用相关定理、性质是解答本题的关键．
18. 先化简，再求值
，从-2，-1，0中选取一个你喜欢的数作为的值
【答案】，-1
【解析】
【分析】先将括号里分式的分母进行因式分解，再进行通分，然后进行减法运算，再根据分式除法法则进行计算即可．
【详解】解：原式=
=
=
=
=，
∵-2，-1，0中，x只能取值-1，
∴原式=．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，涉及分式有意义的条件，异分母分式的减法，分式的除法等知识．掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
19. 一只不透明的袋子中装有1个白球、2个黄球和3个红球，每个球除颜色外都相同，将球摇匀．
（1）从中任意摸出1个球；
①判断摸到什么颜色的球可能性最大？
②求摸到黄颜色的球的概率；
（2）如果把白球拿出来，将剩下的5个球摇匀，从中任意摸出2个球，求摸到2个都是黄颜色球的概率．
【答案】（1）①红；②
（2）
【解析】
【分析】本题考查了可能性大小的判断、概率公式的计算、画树状图求概率，熟练掌握概率公式的计算、画树状图求概率是解题的关键．
（1）①哪种球的数量最多，摸到哪种球的概率就最大，得出答案即可；②利用概率公式计算即可；
（2）根据题意画出树状图，求概率即可．
【小问1详解】
解：①∵一只不透明的袋子中装有1个白球、2个黄球和3个红球，
∴红球的数量最多，
∴摸到红颜色的球可能性最大；
②∵一只不透明袋子中装有1个白球、2个黄球和3个红球，每个球除颜色外都相同，将球摇匀，
∴摸到黄颜色的球的概率；
【小问2详解】
解：如图，画树状图，
共有20个等可能的结果，摸到2个都是黄颜色球的结果有2个，
∴摸到2个都是黄颜色球的概率．
20. 某校数学实践小组利用所学数学知识测量某塔的高度．
下面是两个方案及测量数据：
（1）根据“方案一”的测量数据，直接写出塔的高度为 ；
（2）根据“方案二”的测量数据，求出塔的高度；（参考数据：，，，，，）
【答案】（1）
（2）m
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的性质和锐角三角函数的实际应用
（1）由题意可知，从而得出，代入测量的平均值进行求解即可；
（2）根据锐角三角函数的正切值分别得出，，再根据进行求解即可
【小问1详解】
解：如图，
由题意可知，
∴，即，
解得，
∴塔的高度为米；
【小问2详解】
解：如图，
在中，，
∴，
在中，，
∴，
∵，
∴，即．
∴米
∴塔的高度为米．
21. 数学源于生活，寓于生活，用于生活．在人类历史发展和社会生活中，数学发挥着不可替代的作用．为了激发学生学习数学的兴趣，某校计划购进《什么是数学》和《古今数学思想》若干套，已知5000元可购买《什么是数学》的数量比《古今数学思想》多60套，且《古今数学思想》的单价是《什么是数学》单价的2.5倍．
（1）求每套《古今数学思想》的价格；
（2）学校计划用不超过4000元购进这两套书共70套，此时正赶上书城8折销售所有书籍，求《古今数学思想》最多能买几套？
【答案】（1）125元
（2）20套
【解析】
【分析】本题主要考查了不等式和分式方程的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程，根据不等关系，列出不等式，准确计算．
（1）设每套《什么是数学》的价格是x元，则每套《古今数学思想》的价格是元，根据5000元可购买《什么是数学》的数量比《古今数学思想》多60套，列出方程，解方程即可；
（2）设可以购进m套《古今数学思想》，则购进套《什么是数学》，根据用不超过4000元购进这两套书共70套，列出不等式，解不等式即可．
小问1详解】
解：设每套《什么是数学》的价格是x元，则每套《古今数学思想》的价格是元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
∴，
答：每套《古今数学思想》的价格是125元；
【小问2详解】
解：设可以购进m套《古今数学思想》，则购进套《什么是数学》，
根据题意得：，
解得：，
∴m的最大值为20．
答：《古今数学思想》最多能买20套．
22. 已知：如图，AB是⊙O的直径，点C是过点A的⊙O的切线上一点，连接OC，过点A作OC的垂线交OC于点D，交⊙O于点E，连接CE．
（1）求证：CE与⊙O相切；
（2）连结BD并延长交AC于点F，若OA=5，sin∠BAE=，求AF的长．

【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】（1）连接OE、BE，先证明OD∥BE，得到OC垂直平分AE，再证明△AOC≌△EOC，求出∠CEO=∠CAO=90°，即可得到结论；
（2）作DM⊥AB于M，先利用三角函数求出BE得到AE，根据垂径定理求出AD，根据三角函数求出DM，利用勾股定理求出AM得到BM，根据DM∥AF证明△DMB∽△FAB，列比例线段由此求出AF.
【详解】（1）连接OE、BE，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB=90°，
∵AE⊥OC，
∴∠ADO=∠AEB=90°，
∴OD∥BE，
∵OA=OB，
∴AD=DE，
∴OC垂直平分AE，
∴AC=CE，
∴△AOC≌△EOC，
∴∠CEO=∠CAO=90°，
即OE⊥CE，
∴CE与⊙O相切；

（2）作DM⊥AB于M，
∵OA=5，
∴AB=10，
∵sin∠BAE=，
∴,
∴,
∴，
∴DM=，
∴,
∵OA=5，
∴OM=1，
∴BM=6，
∵AC是⊙O的切线，
∴∠CAB=∠DMB=90°，
∴DM∥AF，
∴△DMB∽△FAB，
∴，
∴，
∴AF=.
【点睛】此题考查圆的性质，切线的判定定理及性质定理，三角函数，勾股定理，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质.
23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2＋bx＋c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点 C．
（1）直接写出抛物线的解析式为： ；
（2）点D为第一象限内抛物线上的一动点，作DE⊥x轴于点E，交BC于点F，过点F作BC的垂线与抛物线的对称轴和y轴分别交于点G，H，设点D的横坐标为m．
①求DF＋HF的最大值；
②连接EG，若∠GEH＝45°，求m的值．
【答案】(1) (2)①②1或
【解析】
【分析】（1）将点的坐标代入解析式列二元一次方程组即可；
（2）①用含有m的式子表示HF、DF得到新的二次函数，再利用二次函数的增减性和自变量的取值范围，得到最大值．
②根据条件找到相似三角形，用含有m的式子表示HE、OE、OH再利用勾股定理列方程解出m
【详解】(1)将点A(-1，0)，B(3，0)代入抛物线
y=-x2+bx+c得
解得：
则抛物线的解析式为
故答案为：；
(2)①当x=0时， =3.
∴C(0，3)，
又∵B(3，0)，
所以直线BC的解析式为y=-x+3，
∵OB=OC=3，
∴∠OB C=∠OC B=45°
过点F作FK⊥y轴于点K，如下图
又∵FH⊥BC，
∴∠ KFH=∠K HF=45°，
∴.FH= KF=OE
∴DF+HF=DE-EF+OE
＝ (-m2+2m+3) - (-m+3) +m
＝－m2+ (3+) m
由题意得，0又-1<0
∴当m= 时，DF+HF取得最大值，
DF+HF的最大值为：；
②过点G作GM⊥y轴于点M,记直线FH与x轴交于点N,
∵FK⊥y轴，DE⊥x轴，∠ KFH=45°,
∴∠EFH=∠ENF=45°,
∴EF=EN,
∵ ∠KHF= ∠ONH=45°,
∴OH=ON,
∵的对称轴为直线x=1,
∴ MG=1,
∴HG=MG=,
∵ ∠GEH=45°,
∴∠GEH=∠EFH,
∵ ∠EHF=∠GHE,
∴△EHG~△FHE,
∴
∴
在Rt△OEH中，
OH=ON=|OE-EN| =|OE-EF|＝｜m- (-m+3) |=|2m-3|
又OE=m,
∴HE2=OE2+OH2,即
2m=m2+ (2m-3) 2,
解得：m=1或；
【点睛】本题考查二次函数解析式、线段和最短问题、相似三角形，能够灵活使用方程思想解决问题是解题的关键，常用勾股定理、相似比列方程．成绩
70
89
96
100
人数
1
2
3
1
项目
测量某塔的高度
方案
方案一：借助太阳光线构成相似三角形．测量：标杆长，影长，塔影长．
方案二：利用锐角三角函数，测量：距离，仰角，仰角．
测量示意图
测量项目
第一次
第二次
平均值
测量项目
第一次
第二次
平均值
测量数据