江苏省苏州市苏州工业园区青剑湖实验中学2022-2023学年七年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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1. 2﹣1等于（ ）
A. 2B. ﹣2C. D. ﹣
【答案】C
【解析】
【分析】根据，可得答案．
【详解】解：
故选：C．
【点睛】本题考查的是负整数指数幂的意义，掌握负整数指数幂的意义是解题的关键．
2. 近来，中国芯片技术获得重大突破，芯片已经量产，一举打破以美国为首的西方世界的技术封锁，已知，则用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数的绝对值小于时，是负数．
【详解】解：,
用科学记数法表示为：．
故选：A．
【点睛】本题考查用科学记数法绝对值ju较小的数，表示形式为的形式，解题的关键是要注意确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于等于时，是正数；当原数的绝对值小于时，是负数．
3. 下列运算中，正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查积的乘方、合并同类项、同底数幂的乘除法，根据相关运算法则逐项计算，即可得出答案．
【详解】解：A，，运算正确；
B，，运算错误；
C，，运算错误；
D，，运算错误；
故选：A．
4. 已知三角形的三边长分别为，，，则符合条件的有 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查三角形的知识，解题的关键是掌握三角形三边的关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，即可．
【详解】∵，
∴．
故选：B．
5. 如图，直线直线b，一个含角的直角三角尺的两个锐角顶点分别落在直线a、b上．若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】此题考查平行线的性质，根据平行线的性质和含角的直角三角尺得．关键是根据平行线的性质和直角三角形的性质解答．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
故选：D．
6. 如图，四个等腰直角三角形拼成一个正方形，则阴影部分的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用正方形的面积减去四个三角形的面积即可得到．
【详解】解：，
故选：C．
【点睛】本题考查了完全平方公式与面积的关系，解题的关键是通过数形结合的思想求解．
7. 如果多项式是一个完全平方式，则的值是 （ ）
A. B. C. 或D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查完全平方公式的知识，解题的关键是掌握，即可．
【详解】∵是一个完全平方公式，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：C．
8. 已知方程组，则（x+y）（x﹣y）的值为（ ）
A. 16B. ﹣16C. 2D. ﹣2
【答案】D
【解析】
【分析】①+②得出4x+4y＝8，求出x+y＝2，①﹣②得出2x﹣2y＝﹣2，求出x﹣y＝﹣1，再代入求出即可．
【详解】解：，
①+②得：4x+4y＝8，
除以4得：x+y＝2，
①﹣②得：2x﹣2y＝﹣2，
除以2得：x﹣y＝﹣1，
所以（x+y）（x﹣y）＝2×（﹣1）＝﹣2，
故选：D．
【点睛】本题主要考查二元一次方程组的解，关键是根据方程组求出x+y和x﹣y的值，然后整体代入求解即可．
9. 《算法统宗》中有一道题为“隔沟计算”，其原文是：甲乙隔沟放牧，二人暗里参详，多你一倍之上；乙说得甲九只羊，两人闲坐恼心肠，画地算了半晌．这个题目的意思是：甲、乙两个牧人隔着山沟放羊，甲对乙说：“我若得你9只羊，我的羊多你一倍．”乙对甲说：“我若得你9只羊，我们两家的羊数就一样多．” 设甲有x只羊，乙有y只羊，根据题意列出二元一次方程组为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，根据等量关系列出方程组是解题的关键．根据“我若得你9只羊，我的羊多你一倍．”和“我若得你9只羊，我们两家的羊数就一样多”为等量关系，列出方程组即可．
【详解】解：由题意得：
，
故选：B．
10. 如图，在中，，，，若四边形的面积为14，则的面积为（ ）
A 24B. 28C. 35D. 30
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了三角形的中线的性质，掌握三角形的中线的性质是解题关键．
连接、，过点作于点，设，根据同高的三角形的面积的比等于底边的比，分别得到、、、、、，再根据四边形的面积，求出的值，即可得出的面积．
【详解】解：连接、，过点作于点，
设，
，，，
，
，
，
同理可得：，
，
，
，
，
同理可得：，
是的中点，
同理可得：，
，
，
同理可得：，
四边形的面积为28，
，
，
，
故选：D．
二、填空题∶本大题共8小题，每小题2分，共16分．把答案直接填在答题卡相应位置上．
11. 若，，则______．
【答案】3
【解析】
【分析】根据同底数幂除法的逆运算可得，即可进行解答．
【详解】解：∵，，
∴，
故答案为：3．
【点睛】本题主要考查了同底数幂除法的逆运算，解题的关键是掌握同底数幂相除，底数不变，指数相减．
12. 已知，用含x的代数式表示y为_________．
【答案】
【解析】
【分析】将x看做已知数，解关于y的一元一次方程即可．
【详解】解：，解得：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二元一次方程的变形，这是进行代入消元法时用到的变形，将x看做未知数，y看做未知数是解题的关键．
13. 已知，则______．
【答案】8
【解析】
【分析】本题考查幂的乘方的逆用，同底数幂的乘法，根据已知，得到，根据，整体代入求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴；
故答案为：8．
14. 若，，则_____．
【答案】19
【解析】
【分析】首先把等式a+b=5的等号两边分别平方，即得a2+2ab+b2=25，然后根据题意即可得解．
【详解】解：∵a+b=5，
∴a2+2ab+b2=25，
∵ab=3，
∴a2+b2=19．
故答案为：19．
【点睛】本题考查了完全平方公式的变形应用，解题的关键是掌握完全平方的变形公式．
15. 若，则代数式的值为______．
【答案】49
【解析】
【分析】先计算的值，再将所求代数式利用平方差公式分解前两项后，将的值代入化简计算，然后再代入计算即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴
=
=
=
=
=49．
故答案：49．
【点睛】本题主要考查因式分解的应用，通过平方差公式分解因式后整体代入是解题的关键．
16. 如图，在五边形中，若，则______°．
【答案】230
【解析】
【分析】本题考查多边形的知识，解题的关键是掌握多边形的外角和，即可．
【详解】∵，
∴，
∵多边形的外角和为，
∴，
故答案为：．
17. 如图，轮船在岛屿的南偏东方向和岛屿的北偏东方向，岛屿在岛屿的南偏西方向，则_____°．
【答案】85
【解析】
【分析】本题考查了方向角，平行线的性质和三角形的内角和定理，关键是求出和的度数．如图，利用平行线的性质，，由角的和差可得，从而得到的度数，再由三角形的内角和定理可得结果．
【详解】解：如图，
，，，，
，
，，
，
故答案为：85．
18. 如果三角形的两个内角α与β满足，那么我们称这样的三角形为“准直角三角形”．如图，B、C为直线l上两点，且．若P是l上一点，且是“准直角三角形”，则的所有可能的度数为_________________．
【答案】或或
【解析】
【分析】根据“准直角三角形”的定义，分类讨论即可解决问题．本题考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，“准直角三角形”的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题．
【详解】当点P在点 B右侧时：∵，且，
∴，
①，，由得：，
∴，
；
②，，由得：，
∴，
∴；
③，， 得：，
∴，
这与已知矛盾，假设不成立；
④，， 得：，
∴，
这与已知矛盾，假设不成立；
当点P在点B的左侧时，
⑤，， 得：，
∴，
解得：，
∴；
⑥，，得：，
∴，
解得：，
∴；
综上，的所有可能的度数为或或，
故答案为：15°或22.5°或120°．
三、解答题∶本大题共8小题，共64分．请将解答过程写在答题卡相应位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明．作图时用2B铅笔或黑色墨水签字笔．
19. 计算：
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了有理数的混合运算．直接利用零指数幂的性质以及有理数的混合运算法则分别化简得出答案．
【详解】解：
．
20. 因式分解
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）提取公因式m，运用平方差公式即可得；
（2）提取公因数2，运用完全平方公式即可得．
【小问1详解】
解：原式＝
＝；
【小问2详解】
解：原式＝
＝．
【点晴】本题考查了因式分解，解题的关键是掌握因式分解，平方差公式，完全平方公式．
21. 先化简，再求值：，其中．
【答案】
【解析】
【分析】先按照完全平方公式，多项式乘以多项式，平方差公式进行整式的乘法运算，再合并同类项得到化简的结果，再把代入化简后的代数式进行求值即可．
【详解】解：


当时，
原式
【点睛】本题考查的是整式的混合运算，化简求值，掌握“利用完全平方公式，平方差公式进行简便运算”是解本题的关键．
22. 如图，每个小正方形的边长为1个单位，每个小方格的顶点叫格点．
（1）画出△ABC向下平移1个单位，再向右平移4个单位后的图形△；
（2）画出△ABC的AB边上的高CD，垂足为D；
（3）求出△ABC的面积为 ；
（4）图中，能使S△QBC＝3格点Q，共有 个．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）8；（4）7
【解析】
【分析】（1）首先确定A、B、C三点平移后的位置，再连接即可；
（2）利用方格纸画图即可；
（3）利用矩形的面积减去周围多余三角形及矩形的面积可得答案；
（4）利用等高模型寻找满足条件点Q即可．
【详解】（1）如图所示：△A1B1C1为所求；
（2）如图所示：CD即为所求；
（3），
故答案为：8．
（4）如图，满足条件的点Q共有7个，
故答案为7．
【点睛】本题考查了作图-平移变换：确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离；作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．
23. 观察下列等式：
…
（1）请直接写出第⑩个等式；
（2）根据上述等式的排列规律，猜想第个等式（是正整数），并验证它的正确性．
【答案】（1）第⑩个等式：
（2）
【解析】
【分析】本题考查整式的知识，解题的关键是掌握根据上述等式，找到规律，进行解答，即可．
（1）根据上述等式，找到知识规律探究，即可；
（2）根据（1）中的规律，进行验证，即可．
【小问1详解】
∵，
，
…，
∴第个式子为：，
∴第第⑩个等式为：．
【小问2详解】
题目中的式子用含的形式分别表示出来是：，
验证，如下：
∵等式左边等式右边，
∴结论正确．
24. 如图，中，，平分，
（1）若于，，求的大小；
（2）若交于，求证：．
【答案】（1） （2）证明，见解析
【解析】
【分析】本题考查三角形的知识，解题的关键是掌握三角形的内角和，三角形的外角和，角平分线的性质，即可．
（1）根据题意，则，求出的角度；再根据角平分线的性质，则，根据，三角形内角和，求出，即可求出；
（2）根据角平分线的性质，三角形内角和，则，根据，则，再根据，即可．
【小问1详解】
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
【小问2详解】
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
25. 北京时间2022年4月16日9时56分，神舟十三号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆．某超市为了满足广大航天爱好者需求，销售每件进价分别为80元和60元的A，下表是近两周的销售情况：
（进价、售价均保持不变，利润销售收入进价）
（1）求A，B两种型号运载火箭模型销售单价；
（2）若超市准备用不超过1400元的金额再采购这两种型号的运载火箭模型共20件，求A种型号的运载火箭模型最多能采购多少件？
（3）在（2）的条件下，超市销售完这20件运载火箭模型能否实现利润为800元的目标？请说明理由．
【答案】（1）A种型号的销售单价为120元，B种型号的销售单价为95元
（2）A种型号最多能采购10件
（3）超市销售完这20件运载火箭模型能实现利润为700元的目标，理由见解析
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，读懂题意，找出数量有关系是解题的关键．
（1）设A种型号的销售单价为x元，B种型号的销售单价为y元，根据表格中的销售收入列方程即可解答；
（2）设A种型号采购m件，则B种型号为件，根据题意列出一元一次不等式，即可解答；
（3）由（2）可知A种型号最多能采购10件，代入求解即可．
【小问1详解】
解：设A种型号的销售单价为x元，B种型号的销售单价为y元，
根据题意列方程组得，
解得，
答：A种型号的销售单价为120元，B种型号的销售单价为95元；
【小问2详解】
解：设A种型号采购m件，则B种型号为件，
根据题意得，
解得，
答：A种型号最多能采购10件；
【小问3详解】
解：超市销售完这20件运载火箭模型能实现利润为700元的目标．理由如下：
由（2）可知A种型号最多能采购10件，
（元），
，
∴超市销售完这20件运载火箭模型能实现利润为700元的目标．
26. 如图1，已知直线，且和之间的距离为，小明同学制作了两块直角三角形硬纸片和，其中，，，，．小明利用这两块三角板进行了如下的操作探究：
（1）如图1，点在上，边在上，边在直线上
①将直角三角形沿射线的方向平移，当点在上时，如图2；求的度数
②将直角三角形从图2的位置继续沿射线的方向平移，当以，，为顶点的三角形是直角三角形时，求度数；
（2）将直角三角形如图3放置，若点在直线上，点在和之间（不含，上），边和与直线分别交于点，．在绕着点旋转的过程中，设，，则的取值范围为 ．
【答案】（1）；的度数为或
（2）
【解析】
【分析】本题考查直角三角形、平行线、一元一次方程的知识，解题的关键是掌握直角三角形的性质，平行线的性质，一元一次方程的运用，即可．
（1）根据直角三角形的性质，则，；根据平行线的性质，则，再根据三角形的外角，即可；根据以，，为顶点的三角形是直角三角形，则当，分类讨论，即可；
（2）先根据四边形的内角和为，则，求出，根据旋转的性质，当点在直线上时，点，，重合，；当点在直线上时，点，，重合则；点在直线和之间，即，即可．
【小问1详解】
∵三角形和三角形是直角三角形，，，，，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
∵以，，为顶点的三角形是直角三角形，
当时，
∴
∵
∴
∵
∴；
当时，
∴，
∵，
∴，
综上所述：的度数为或．
【小问2详解】
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
当点在直线上时，点，，重合，；
当点在直线上时，点，，重合则；
∵点在直线和之间（不含，上），即，
∴，
∴，
∴的取值范围为：．
销售时段
销售数量
销售收入
A种型号
B种型号
第一周
4件
5件
955元
第二周
2件
6件
810元