2024年北京市东城区高三年级一模数学试卷及参考答案

这是一份2024年北京市东城区高三年级一模数学试卷及参考答案，文件包含2024年北京市东城区高三一模数学试卷docx、2024年北京市东城区高三一模数学试卷pdf、2024年北京市东城区高三一模数学答案docx、2024年北京市东城区高三一模数学答案pdf等4份试卷配套教学资源，其中试卷共30页， 欢迎下载使用。
本试卷共10页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合
题目要求的一项。
1. 如图所示，是全集，是的子集，则阴影部分所表示的集合是
A.
B.
C.
D.
2. 已知，，且，则
A.B.
C.D.
3. 已知双曲线的离心率为，则
A.B.C.D.
4. 设函数，则
A.B.
C.D.
5. 已知函数的最小正周期为，最大值为，则函数的图象
A.关于直线对称B.关于点对称
C.关于直线对称D.关于点对称
6. 已知，若，则的取值可以为
A.B.C.D.
7. 《天工开物》是我国明代科学家宋应星所著的一部综合性科学技术著作，书中记载了一种制造瓦片的方法. 某校高一年级计划实践这种方法，为同学们准备了制瓦用的粘土和圆柱形的木质圆桶，圆桶底面外圆的直径为cm，高为. 首先，在圆桶的外侧面均匀包上一层厚度为的粘土，然后，沿圆桶母线方向将粘土层分割成四等份（如图），等粘土干后，即可得到大小相同的四片瓦. 每位同学制作四片瓦，全年级共人，需要准备的粘土量
（不计损耗）与下列哪个数字最接近. （参考数据：）
A.
B.
C.
D.
8. 设等差数列的公差为，则“”是“为递增数列”的
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
9. 如图1，正三角形与以为直径的半圆拼在一起，是的中点，为的中心. 现将沿翻折为，记的中心为，如图2. 设直线与平面所成的角为，则的最大值为
图1 图2
A.B.C.D.
10. 已知是定义在上的函数，其图象是一条连续不断的曲线，设函数
，下列说法正确的是
A.若在上单调递增，则存在实数，使得在上单调递增
B.对于任意实数，若在上单调递增，则在上单调递增
C.对于任意实数，若存在实数，使得，则存在实数，使得
D.若函数满足：当时，，当时，，则
为的最小值
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
11. 若复数，则________.
12. 设向量，，且，则________.
13. 已知角的终边关于直线对称，且，则的一组取值可以是
________，________.
14. 已知抛物线的焦点为，则的坐标为________；抛物线
的焦点为，若直线分别与交于两点，且，
则________.
15. 已知数列的各项均为正数，满足，其中常数. 给出下列四个判断：
①若，，则；
②若，则；
③若，，则；
④，存在实数，使得.
其中所有正确判断的序号是________.
三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
16.（本小题13分）
在中，.
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）若，为边的中点，且，求的值.
17.（本小题13分）
某中学为了解本校高二年级学生阅读水平现状，从该年级学生中随机抽取人进行一般现代文阅读速度的测试，以每位学生平均每分钟阅读的字数作为该学生的阅读速度，将测试结果整理得到如下频率分布直方图：
（Ⅰ）若该校高二年级有人，试估计阅读速度达到字分钟及以上的人数；
（Ⅱ）用频率估计概率，从该校高二学生中随机抽取人，设这人中阅读速度达到
字分钟及以上的人数为，求的分布列与数学期望；
（Ⅲ）若某班有名学生参加测试，他们的阅读速度如下：506，516，553，592，617，632，667，693，723，776，从这名学生中随机抽取人，设这人中阅读速度达到字分钟及以上的人数为，试判断数学期望与（Ⅱ）中的的大小.（结论不要求证明）
18.（本小题14分）
如图，在五面体中，底面为正方形，，.
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）若为的中点，为的中点，，，再从条件①、
条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线与平面所成角的正弦值.
条件①：；
条件②：.
注：如果选择条件①、条件②分别解答，
按第一个解答计分.
19.（本小题15分）
已知函数.
（Ⅰ）求曲线在处的切线方程；
（Ⅱ）设，求函数的最小值；
（Ⅲ）若，求实数的值.
20.（本小题15分）
已知椭圆的短轴长为，离心率.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设为坐标原点，直线是圆的一条切线，且直线与椭圆交于
两点，若平行四边形的顶点恰好在椭圆上，求平行四边形的面积.
21.（本小题15分）
有穷数列中，令
当时，规定.
（Ⅰ）已知数列. 写出所有的有序数对，且，使得；
（Ⅱ）已知整数列，为偶数，若，满足：当为奇数时，
；当为偶数时，. 求的最小值；
（Ⅲ）已知数列满足，定义集合.
若且为非空集合，求证：.