2024年北京市各区高三年级一模数学专题分类汇编——概率统计

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1.（2024石景山一模3）一袋中有大小相同的个红球和个白球. 若从中不放回地取球
次，每次任取个球，记“第一次取到红球”为事件，“第二次取到红球”为事件，则
A.B.C.D.
【答案】C
2.（2024顺义一模9）地铁某换乘站设有编号为的五个安全出口. 若同时开放其中的两个安全出口，疏散名乘客所需的时间如下；
用表示安全出口的疏散效率（疏散时间越短，疏散效率越高），给出下列四个说法：①；②；③；④. 其中，正确说法的个数有
A.个B.个C.个D.个
【答案】B
3.（2024石景山一模9）中国民族五声调式音阶的各音依次为：宫、商、角、徵、羽，如果用这五个音，排成一个没有重复音的五音音列，且商、角不相邻，徵位于羽的左侧，则可排成的不同音列有
A.种B.种C.种D.种
【答案】C
二、大题
1.（2024东城一模17）
某中学为了解本校高二年级学生阅读水平现状，从该年级学生中随机抽取人进行一般现代文阅读速度的测试，以每位学生平均每分钟阅读的字数作为该学生的阅读速度，将测试结果整理得到如下频率分布直方图：
（Ⅰ）若该校高二年级有人，试估计阅读速度达到字分钟及以上的人数；
（Ⅱ）用频率估计概率，从该校高二学生中随机抽取人，设这人中阅读速度达到
字分钟及以上的人数为，求的分布列与数学期望；
（Ⅲ）若某班有名学生参加测试，他们的阅读速度如下：506，516，553，592，617，632，667，693，723，776，从这名学生中随机抽取人，设这人中阅读速度达到字分钟及以上的人数为，试判断数学期望与（Ⅱ）中的的大小.（结论不要求证明）
【答案】
解:（Ⅰ）由频率分布直方图可得，100人的样本中阅读速度达到620字/分钟及以上的频率为，估计该校高二学生阅读速度达到620字/分钟及以上的频率为0.4,故人数的估计值为1500×0.4=600人. 分
（Ⅱ）从该校高二学生中随机抽取1人，则此人阅读速度达到540字/分钟及以上的概率为
.
又的可能取值为，
由题意可得，则
，
，
，
.
所以的分布列为
的数学期望为. 分
（Ⅲ）. 分
2.（2024朝阳一模18）
为提升学生用数学知识解决现实生活或其他学科领域中的问题的能力，发展学生数学建模素养，某市面向全市高中学生开展数学建模论文征文活动. 对于参加征文活动的每篇论文，由两位评委独立评分，取两位评委评分的平均数作为该篇论文的初评得分. 从评委甲和评委乙负责评审的论文中随机抽取篇，这篇论文的评分情况如下表所示.
（Ⅰ）从这篇论文中随机抽取篇，求甲、乙两位评委的评分之差的绝对值不超过的
概率；
（Ⅱ）从这篇论文中随机抽取篇，甲、乙两位评委对同一篇论文的评分之差的绝对值
不超过的篇数记为，求的分布列及数学期望；
（Ⅲ）对于序号为的论文，设评委甲的评分为，评委乙的评分为，
分别记甲、乙两位评委对这篇论文评分的平均数为，标准差为，以
作为序号为的论文的标准化得分. 对这篇论文按照初评得分与标准化得分分别从高到低进行排名，判断序号为的论文的两种排名结果是否相同？
（结论不要求证明）
【答案】
解：（Ⅰ）设事件为“从这10篇论文中随机抽取1篇，甲、乙两位评委的评分之差的绝对值不超过5”，
在这篇论文中，甲、乙两位评委的评分之差的绝对值不超过5的有2篇，
所以．4分
（Ⅱ）依题意，的可能取值为．
，
，
．
所以的分布列为
所以的数学期望为．10分
（Ⅲ）相同．13分
3.（2024丰台一模18）
某医学小组为了比较白鼠注射两种药物后产生的皮肤疱疹的面积，选只健康白鼠做试验. 将这只白鼠随机分成两组，每组只，其中第组注射药物A，第组注射药物B. 试验结果如下表所示.
（Ⅰ）现分别从第组，第组的白鼠中各随机选取只，求被选出的只白鼠皮肤疱疹面积均小于的概率；
（Ⅱ）从两组皮肤疱疹面积在区间内的白鼠中随机选取只抽血化验，求第组中被抽中白鼠只数的分布列和数学期望；
（Ⅲ）用“”表示第组白鼠注射药物后皮肤疱疹面积在区间内，“”
表示第组白鼠注射药物后皮肤疱疹面积在区间内，写出方差的
大小关系.（结论不要求证明）
【答案】
解：（Ⅰ）设事件C =“被选出的2只白鼠皮肤疱疹面积均小于60mm2”，
则．………………4分
（Ⅱ）的可能取值为1,2,3.
， ，
，
所以的分布列如下：
．………………11分
（Ⅲ）．………………13分
4.（2024延庆一模17）
第十四届全国冬季运动会雪橇项目比赛于年月日至日在北京延庆举行，赛程时间安排如下表：
（Ⅰ）若小明在每天各随机观看一场比赛，求他恰好看到单人雪橇和双人雪橇的概率；
（Ⅱ）若小明在这两天的所有比赛中随机观看三场，记为看到双人雪橇的次数，求
的分布列及期望；
（Ⅲ）若小明在每天各随机观看一场比赛，用“”表示小明在周六看到单人雪橇，
“”表示小明在周六没看到单人雪橇，“”表示小明在周日看到单人雪橇，
“”表示小明在周日没看到单人雪橇，写出方差，的大小关系.
【答案】
（Ⅰ）记“小明在每天各随机观看一场比赛，恰好看到单人雪橇和双人雪橇”为事件. 由表可知，每天随机观看一场比赛，共有种不同方法，其中恰好看到单人雪橇和双人雪橇，共有种不同方法．
所以． ……4分
（Ⅱ）随机变量的所有可能取值为． ……5分
根据题意，， ……6分
， ……7分
． ……8分
随机变量的分布列是：
……9分
数学期望． ……11分
（Ⅲ） ……13分
5.（2024石景山一模18）
为研究北京西部地区2次生林和油松人工林的森林群落植物多样性问题，某高中研究性学习小组暑假以妙峰山油松次生林和老山油松人工林为研究对象进行调查，得到两地区林下灌木层，乔木层，草本层的抽样调查数据. 其中两地区林下灌木层获得数据如表，表所示：
表1：老山油松人工林林下灌木层 表2：妙峰山油松次生林林下灌木层
（Ⅰ）从抽取的老山油松人工林林下灌木层的植物样本中任选株，求株植物的类型都是乔木幼苗的概率；
（Ⅱ）以表格中植物类型的频率估计概率，从妙峰山油松次生林林下灌木层的所有植物中随机抽取株（假设每次抽取的结果互不影响），记这株植物的植物类型是灌木的株数为.求的分布列和数学期望；
（Ⅲ）从老山油松人工林的林下灌木层所有符合表1中植物名称的植物中任选株，记此株植物属于不同植物名称的概率估计值为；从妙峰山油松次生林的林下灌木层所有符合表2中植物名称的植物中任选株，记此株植物属于不同植物名称的概率估计值为. 请直接写出与大小关系.（结论不要求证明）
6.（2024门头沟一模18）
2024年1月11日，记者从门头沟区两会上获悉，目前国道109新线高速公路（简称新高速）全线35座桥梁主体结构已全部完成，项目整体进度已达到，预计今年上半年开始通车，通车后从西六环到门头沟区清水镇车程将缩短到40分钟. 新高速全线设置主线收费站两处（分别位于安家庄和西台子）和匝道收费站四处（分别位于雁翅、火村、清水和斋堂）. 新高速的建成为市民出行带来了很大便利，为此有关部门特意从门头沟区某居民小区中随机抽取了200位打算利用新高速出行的居民，对其出行的原因和下高速的出口进行了问卷调查（问卷中每位居民只填写一种出行原因和对应的一个下高速的出口），具体情况如下：
（假设该小区所有打算利用新高速出行的居民的出行相对独立，且均选择上表中的一个高速出口下高速）.
（Ⅰ）从被调查的居民中随机选1人，求该居民利用新高速出行探亲且在清水出口下高速的概率；
（Ⅱ）用上表样本的频率估计概率，从该小区所有打算利用新高速出行上班的人中随机抽取2人，从出行旅游的人中随机抽取1人，这三人中从斋堂出口下高速的人数记为，求的分布列和数学期望；
（Ⅲ）用上表样本的频率估计概率，从该小区所有打算利用新高速出行上班的人中随机抽取1人，用“”表示此人从斋堂出口下高速，“”表示此人不从斋堂出口下高速；从该小区所有打算利用新高速出行旅游的人中随机抽取1人，用“”表示此人从斋堂出口下高速，“”表示此人不从斋堂出口下高速，写出方差的大小关系.
（结论不要求证明）
7.（2024房山一模18）
《中华人民共和国体育法》规定，国家实行运动员技术等级制度. 下表是我国现行
《田径运动员技术等级标准》（单位：m）（部分摘抄）：
在某市组织的考级比赛中，甲、乙、丙三名同学参加了跳远考级比赛，其中甲、乙为男生，丙为女生. 为预测考级能达到国家二级及二级以上运动员的人数，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：m）：
甲：，，，，，，，，，；
乙：，，，，，；
丙：，，，.
假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立.
（Ⅰ）估计甲在此次跳远考级比赛中成绩达到二级及二级以上运动员的概率；
（Ⅱ）设是甲、乙、丙在此次跳远考级比赛中成绩达到二级及二级以上运动员的总人数，估计的数学期望；
（Ⅲ）在跳远考级比赛中，每位参加者按规则试跳次，取次试跳中的最好成绩作为其最终成绩. 本次考级比赛中，甲已完成次试跳，丙已完成次试跳，成绩（单位：m）如下表：
若丙第6次试跳的成绩为，用分别表示甲、丙试跳6次成绩的方差，当时，写出的值.（结论不要求证明）
8.（2024海淀一模18）
某学校为提升学生的科学素养，要求所有学生在学年中完成规定的学习任务，并获得相应过程性积分. 现从该校随机抽取名学生，获得其科普测试成绩（百分制，且均为整数）及相应过程性积分数据，整理如下表：
（Ⅰ）当时，
（ⅰ）从该校随机抽取一名学生，估计这名学生的科普过程性积分不少于分的概率；
（ⅱ）从该校科普测试成绩不低于分的学生中随机抽取名，记为这名学生
的科普过程性积分之和，估计的数学期望；
（Ⅱ）从该校科普过程性积分不高于分的学生中随机抽取一名，其科普测试成绩记为，上述名学生科普测试成绩的平均值记为. 若根据表中信息能推断恒成立，直接写出的最小值.
【答案】
解：（Ⅰ）当时，
（ⅰ）由表可知，科普过程性积分不少于分的学生人数为.
所以从该校随机抽取一名学生，这名学生的科普过程性积分不少于分的频率为．
所以从该校随机抽取一名学生，这名学生的科普过程性积分不少于分的概率估计为．
（ⅱ）根据题意，从样本中成绩不低于分的学生中随机抽取一名，这名学生的科普过程性积分为分的频率为.
所以从该校学生活动成绩不低于分的学生中随机抽取一名，这名学生的科普过程性积分为分的概率估计为. 同理，从该校学生活动成绩不低于分的学生中随机抽取一名，这名学生的科普过程性积分为分的概率估计为.
由表可知的所有可能取值为．
，，
．
所以的数学期望．
（Ⅱ）．
9.（2024西城一模18）
米气步枪是国际射击联合会的比赛项目之一，资格赛比赛规则如下：每位选手采用立姿射击发子弹，总环数排名前的选手进入决赛. 三位选手甲、乙、丙的资格赛成绩如下：
假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的射击成绩相互独立.
（Ⅰ）若丙进入决赛，试判断甲是否进入决赛，说明理由；
（Ⅱ）若甲、乙各射击次，估计这次射击中出现个“环”和个“环”的概率；
（Ⅲ）甲、乙、丙各射击次，用分别表示甲、乙、丙的次射击中大于环的次数，其中. 写出一个的值，使.
（结论不要求证明）
【答案】
解：（Ⅰ）甲进入决赛，理由如下：
丙射击成绩的总环数为，
甲射击成绩的总环数为．
因为，所以甲进入决赛． ………3分
（Ⅱ）根据题中数据，“甲命中环”的概率可估计为；
“甲命中环” 的概率可估计为；
“乙命中环” 的概率可估计为；
“乙命中环” 的概率可估计为．………5分
所以这次射击中出现个“环”和个“环”的概率可估计为：
．………10分
（Ⅲ）和．（写出一个即可） ………13分
10.（2024平谷一模18）
某超市随机选取位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买.
（Ⅰ）试估计顾客同时购买了甲、乙两种商品的概率；
（Ⅱ）假设每位顾客是否购买这四种商品是相互独立的，在近期内再对这四种商品购买
情况进行调查，随机抽取名顾客，试估计恰有名顾客购买了两种商品，名顾客购买
了一种商品，名顾客购买了三种商品的概率；
（Ⅲ）如果顾客购买了甲商品，则该顾客同时购买丙、丁中哪种商品的可能性最大.
（结论不要求证明）
【答案】解：（Ⅰ）从统计表可以看出，在这位顾客中有位顾客同时购买了甲、乙两种商品，所以顾客只购买了甲、乙两种商品的概率可以估计为．
（Ⅱ）设事件：顾客购买了两种商品，事件：顾客个购买一种商品，事件：顾客购买了三种商品．
从统计表可以看出，可估计为，可估计为，可估计为．
依题意，在随机抽取4名顾客中，求恰有2名顾客购买了两种商品，1名顾客个购买一种商品，一名顾客购买了三种商品的概率为．
因此所求的概率可估计为．
（Ⅲ）该顾客购买丙的可能性最大．
11.（2024顺义一模17）
某学生在上学路上要经过三个路口，在各个路口遇到红灯的概率及停留的时间如下：
假设在各路口是否遇到红灯相互独立.
（Ⅰ）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；
（Ⅱ）求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间大于分钟的概率；
（Ⅲ）假设交管部门根据实际路况，月日之后将上述三个路口遇到红灯停留的时间都变为分钟. 估计月日之后这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间的变化情况，是
“增加，不变还是减少”.（结论不要求证明）
【答案】
安全出口编号
疏散乘客时间
120
220
160
140
200
0
1
2
3
序号
评委甲评分
评委乙评分
初评得分
1
67
82
74.5
2
80
86
83
3
61
76
68.5
4
78
84
81
5
70
85
77.5
6
81
83
82
7
84
86
85
8
68
74
71
9
66
77
71.5
10
64
82
73
疱疹面积（单位：）
第1组（只）
3
4
1
2
0
第2组（只）
1
3
2
3
1
1
2
3
P
月日
星期六
9:30
单人雪橇第轮
10:30
单人雪橇第轮
15:30
双人雪橇第轮
16:30
双人雪橇第轮
月日
星期日
9:30
单人雪橇第轮
10:30
单人雪橇第轮
15:30
团体接力
植物名称
植物类型
株数
黄栌
乔木幼苗
6
朴树
乔木幼苗
7
栾树
乔木幼苗
4
鹅耳枥
乔木幼苗
7
葎叶蛇葡萄
木质藤本
8
毛樱桃
灌木
9
三裂绣线菊
灌木
11
胡枝子
灌木
10
大花溲疏
灌木
10
丁香
灌木
8
植物名称
植物类型
株数
酸枣
灌木
28
荆条
灌木
41
孩儿拳头
灌木
22
河朔荛花
灌木
4
臭椿
乔木幼苗
1
黑枣
乔木幼苗
1
构树
乔木幼苗
2
元宝槭
乔木幼苗
1
项目
斋堂出口
清水出口
安家庄出口
雁翅出口
火村出口
西台子出口
上班
40
8
2
5
3
2
旅游
30
20
10
10
12
8
探亲
16
10
10
5
5
4
项目
国际级运动健将
运动健将
一级运动员
二级运动员
三级运动员
男子跳远
8.00
7.80
7.30
6.50
5.60
女子跳远
6.65
6.35
5.85
5.20
4.50
第1跳
第2跳
第3跳
第4跳
第5跳
第6跳
甲
丙
科普测试成绩
科普过程性积分
人数
4
10
3
2
1
0
环数
6环
7环
8环
9环
10环
甲的射击频数
1
1
10
24
24
乙的射击频数
3
2
10
30
15
丙的射击频数
2
4
10
18
26
商品
顾客人数
甲
乙
丙
丁
100
√
×
×
√
217
√
√
×
×
200
√
√
√
×
250
√
×
√
×
100
×
×
×
√
133
√
×
√
×
路口
路口一
路口二
路口三
遇到红灯的概率
遇到红灯停留的时间
3分钟
2分钟
1分钟