2024年北京市各区高三年级一模数学专题分类汇编——综合

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复数--------------------------------------------------4
二项式------------------------------------------------6
函数--------------------------------------------------8
导数-------------------------------------------------15
双三角-----------------------------------------------30
平面向量---------------------------------------------46
数列-------------------------------------------------48
立体几何---------------------------------------------54
解析几何---------------------------------------------80
统计概率--------------------------------------------105
集合
1.（2024门头沟一模1）已知集合，集合，则
A.B.C.D.
【答案】A
2.（2024石景山一模1）已知集合，，则
A.B.C.D.
【答案】D
3.（2024平谷一模1）已知集合，，则
A.B.
C.D.
【答案】B
4.（2024西城一模1）已知全集，集合，，则
A.B.
C.D.
【答案】B
5.（2024延庆一模1）已知集合，，则
A.B.C.D.
【答案】B
6.（2024丰台一模1）已知集合，，则
A.B.
C.D.
【答案】A
7.（2024房山一模1）已知全集，集合，则
A.B.
C.D.
【答案】B
8.（2024朝阳一模1）已知全集，，则
A.B.C.D.
【答案】D
9.（2024海淀一模1）已知全集，集合，则
A.B.C.D.
【答案】D
10.（2024东城一模1）如图所示，是全集，是的子集，则阴影部分所表示的集合是
A.
B.
C.
D.
【答案】D
11.（2024顺义一模2）已知集合，，则下列结论正确的是
A.B.
C.D.
【答案】D
复数
1.（2024丰台一模11）_________.
【答案】
2.（2024延庆一模2）若复数满足，则
A.B.C.D.
【答案】C
3.（2024石景山一模11）复数在复平面内对应的点为，则_________.
【答案】
4.（2024西城一模11）若复数满足，则_________.
【答案】
5.（2024东城一模11）若复数，则________.
【答案】
6.（2024平谷一模2）已知复数，则
A.B.C.D.
【答案】D
7.（2024门头沟一模2）在复平面内，复数满足，则的虚部为
A.B.C.D.
【答案】D
8.（2024海淀一模2）若复数满足，则的共轭复数
A.B.C.D.
【答案】A
9.（2024房山一模3）已知是虚数单位，若复数是纯虚数，则实数的值是
A.B.C.D.
【答案】C
10.（2024顺义一模1）在复平面内，复数对应的点位于
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
【答案】A
11.（2024朝阳一模2）复数在复平面内对应的点位于
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
【答案】A
二项式
1.（2024平谷一模3）在的展开式中，的系数为
A.B.C.D.
【答案】A
2.（2024朝阳一模11）在的展开式中，的系数为_________.
【答案】
3.（2024顺义一模11）在的展开式中，的系数为_________.（用数字作答）
【答案】
4.（2024延庆一模3）在的展开式中，的系数为
A.B.C.D.
【答案】D
5.（2024丰台一模4）的展开式中，的系数为
A.B.C.D.
【答案】A
6.（2024门头沟一模11）的展开式中常数项为_________.（用数字作答）
【答案】
7.（2024西城一模3）在的展开式中，常数项为
A.B.
C.D.
【答案】A
8. （2024东城一模6）已知，若，则的取值可以为
A.B.C.D.
【答案】A
9.（2024房山一模13）设，则_________；
当时，_________.
【答案】；
10.（2024海淀一模13）若，则_________；
_________.
【答案】；
函数
一、函数概念与性质
1.（2024平谷一模11）函数的定义域是________.
【答案】
2.（2024顺义一模3）已知在上单调递减，且，则下列结论中一定成立的是
A.B.
C.D.
【答案】B
3.（2024石景山一模2）下列函数中，在区间上为减函数的是
A.B.C.D.
【答案】D
4.（2024西城一模2）下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是
A.B.
C.D.
【答案】D
5.（2024门头沟一模3）下列函数中，既是奇函数又在上单调递增的是
A.B.C.D.
【答案】D
6.（2024平谷一模4）下列函数中，在区间上单调递减的是
A.B.
C.D.
【答案】C
7.（2024顺义一模12）已知是奇函数，当时，，则_________.
【答案】
8.（2024朝阳一模4）已知，则“”是“函数在上单调递增”的
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
【答案】A
二、函数与不等式
1.（2024东城一模2）已知，，且，则
A.B.
C.D.
【答案】C
2.（2024西城一模5）设，，，其中，则
A.B.
C.D.
【答案】C
3.（2024顺义一模7）已知，，则“”是“”的
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
4.（2024房山一模7）“”是“”的
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
【答案】A
5.（2024房山一模8）已知，则下列命题为假命题的是
A.若，则
B.若，则
C.若，则
D.若，，则
【答案】D
6.（2024海淀一模9）函数是定义在上的偶函数，其图象如图所示，.
设是的导函数，则关于的不等式的解集是
A.
B.
C.
D.
【答案】D
三、指对计算、比大小、指对函数及应用
1.（2024海淀一模11）已知，则_________.
【答案】
2.（2024东城一模4）设函数，则
A.B.
C.D.
【答案】A
3.（2024门头沟一模6）设，，则“”是“”的
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
【答案】B
4.（2024延庆一模7）已知函数，则不等式的解集是
A.B.
C.D.
【答案】A
5.（2024石景山一模8）设，，，则
A.B.C.D.
【答案】B
6.（2024延庆一模8）设，，，则
A.B.C.D.
【答案】D
7.（2024顺义一模8）设，，，则
A.B.C.D.
【答案】A
8.（2024西城一模10）德国心理学家艾宾浩斯研究发现，人类大脑对事物的遗忘是有规律
的，他依据实验数据绘制出“遗忘曲线”. “遗忘曲线”中记忆率随时间（小时）变化的趋势可由函数近似描述，则记忆率为时经过的时间约为
（参考数据：，）
A.小时B.小时C.小时D.小时
【答案】C
四、开放性问题
1.（2024延庆一模13）已知函数在区间上单调递减，则的一个取值为________.
【答案】
2.（2024房山一模14）若对任意，函数满足，且当
时，都有，则函数的一个解析式是_________.
【答案】（答案不唯一，均可）
3.（2024丰台一模14）已知函数具有下列性质：
①当，都有；
②在区间上，单调递增；③是偶函数.
则_________；函数可能的一个解析式为_________.
【答案】，（答案不唯一）
4.（2024朝阳一模14）已知函数. 若曲线在点处的切线与其在点处的切线相互垂直，则的一个取值为_________.
【答案】（答案不唯一）
五、分段函数
1.（2024朝阳一模13）已知函数，若实数满足
，则_________；的取值范围是_________.
【答案】；
2.（2024西城一模7）已知函数，若存在最小值，则的最大
值为
A.B.C.D.
【答案】A
3.（2024海淀一模7）已知，函数的零点个数为，过点与
曲线相切的直线的条数为，则的值分别为
A.B.C.D.
【答案】B
4.（2024石景山一模14）设函数.
①若有两个零点，则实数的一个取值可以是_________；
②若是上的增函数，则实数的取值范围是_________.
【答案】；
5.（2024房山一模10）若函数，则函数零点的
个数为
A.B.C.或D.或
【答案】A
六、压轴
1.（2024海淀一模15）已知函数，给出下列四个结论：
①函数是奇函数；
②，且，关于的方程恰有两个不相等的实数根；
③已知是曲线上任意一点，，则；
④设为曲线上一点，为曲线上一点. 若，则.
其中所有正确结论的序号是_________.
【答案】②③④
2.（2024平谷一模15）已知函数，设.
给出下列四个结论：
①当时，不存在最小值；
②当，在为增函数；
③当时，存在实数，使得有三个零点；
④当时，存在实数，使得有三个零点.
其中正确结论的序号是________.
【答案】②④
3.（2024门头沟一模15）设，函数，给出下列四个结论：
①当时，的最小值为；
②存在，使得只有一个零点；
③存在，使得有三个不同零点；
④，在上是单调递增函数.
其中所有正确结论的序号是_________.
【答案】②③
4.（2024延庆一模15）已知函数，给出下列四个结论：
①存在实数，使得函数的最小值为；
②存在实数，使得函数的最小值为；
③存在实数，使得函数恰有个零点；
④存在实数，使得函数恰有个零点.
其中所有正确结论的序号是________.
【答案】①③
5.（2024东城一模10）已知是定义在上的函数，其图象是一条连续不断的曲线，设函数，下列说法正确的是
A.若在上单调递增，则存在实数，使得在上单调递增
B.对于任意实数，若在上单调递增，则在上单调递增
C.对于任意实数，若存在实数，使得，则存在实数，使得
D.若函数满足：当时，，当时，，则
为的最小值
【答案】D
6.（2024朝阳一模10）已知个大于的实数，对任意，存在
满足，且，则使得成立的最大正整数为
A.B.C.D.
【答案】D
导数
1.（2024石景山一模19）
已知函数.
（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）求在区间上的最大值与最小值；
（Ⅲ）当时，求证：.
2.（2024东城一模19）
已知函数.
（Ⅰ）求曲线在处的切线方程；
（Ⅱ）设，求函数的最小值；
（Ⅲ）若，求实数的值.
【答案】解：（Ⅰ）.
曲线在处的切线的斜率.
又因为，所以切点为．
曲线在处的切线方程为. 分
（Ⅱ）设,
.
当变化时，和的变化如下表：
当 时，. 分
（Ⅲ）若，则，不合题意；
若， 设，
由（II）知，，
所以在上单调递增.
又，所以
当时，；
当时，.
所以符合题意.
综上所述. 分
3.（2024平谷一模20）
设函数，曲线在点处的切线斜率为.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）设函数，求的单调区间；
（Ⅲ）求证：.
解：（Ⅰ）. 因为.
所以，解得.
（Ⅱ）因为，的定义域为
令，得．
与在区间上的情况如下：
所以在的单调递减区间为，单调递增区间为.
（Ⅲ= 3 \* ROMAN）由（Ⅱ）得，在时，取得最小值，所以恒成立，所以在为增函数，又因为，
当时，，所以；
当时，，所以.
所以.
4.（2024丰台一模20）
已知函数，曲线在点处的切线为
，记.
（Ⅰ）当时，求切线的方程；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求函数的零点并证明；
（Ⅲ）当时，直接写出函数的零点个数.（结论不要求证明）
【答案】
解：（Ⅰ）函数的定义域为，
当时，；
，；
故切线l的方程为．………………5分
（Ⅱ），
．
解法1：令，则．
当时，，，故，，
因此，当时，单调递减，；
当时，，，故，，
因此，当时，单调递增，；
综上，恒成立，也就是恒成立，
所以在上单调递增．
又因为，故函数有唯一零点．
且当时，；当时，；
因此当时，；当时，；
故；
解法2：，
令，则．
当时，，，，故，
因此，当时，单调递减，；
当时，，，，故，
因此，当时，单调递增，；
综上，恒成立，也就是恒成立，
以下同解法1．………………13分
（Ⅲ）2．………………15分
5.（2024海淀一模20）
已知函数.
（Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ）若函数，存在最大值，求的取值范围.
【答案】解：（Ⅰ）因为，
所以.
令，得．
与的变化情况如下表：
所以，函数的单调递增区间是；单调递减区间是．
（Ⅱ）令，则.
由（Ⅰ）可得：函数的单调递增区间是；单调递减区间是．
所以在时取得最大值.
所以当时，；当时，，即当时，.
所以在上存在最大值的充分必要条件是
，即.
令，则.
因为，所以是增函数.
因为，
所以的充要条件是.
所以的取值范围为.
6.（2024西城一模20）
已知函数.
（Ⅰ）当时，求曲线在点处切线的斜率；
（Ⅱ）当时，讨论的单调性；
（Ⅲ）若集合有且只有一个元素，求的值.
【答案】解：（Ⅰ）当时，，
所以． ………2分
所以．
所以曲线在点处切线的斜率为．………4分
（Ⅱ）当时，，的定义域为．
．………6分
因为，
所以时，；时，．
所以的单调递增区间为；单调递减区间为.………9分
（Ⅲ）．
当时，的定义域为．
所以，在上单调递增．
因为，所以不合题意．………11分
当时，的定义域为．
因为时，；时，．
所以的单调递增区间为；单调递减区间为．
所以．………13分
设，则，
因为时，；时，，
所以的单调递减区间为；单调递增区间为．
所以．所以集合有且只有一个元素时． ………15分
7.（2024朝阳一模20）
已知函数.
（Ⅰ）讨论的单调性；
（Ⅱ）若关于的不等式无整数解，求的取值范围.
【答案】解：函数的定义域为．
（Ⅰ）当时，，则函数在区间上单调递增．
当时，．
= 1 \* GB3 ①若，当时，，函数在区间上单调递减，
当时，，函数在区间上单调递增．
②若，当时，，函数在区间上单调递增，
当时，，函数在区间上单调递减.8分
（Ⅱ）由可得．
设函数，则．
令，则，
所以函数在区间上单调递增．又，，
所以函数在区间上存在唯一零点．
所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增．
所以当时，，当时，．
= 1 \* GB3 ①若，当时，，
此时有无穷多个整数解，不符合题意．
= 2 \* GB3 ②若，因为函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以当时，．
所以无整数解，符合题意．
= 3 \* GB3 ③若，因为，
所以是的两个整数解，不符合题意．综上，的取值范围是．15分
8.（2024顺义一模20）
已知函数，其中.
（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）若在上存在极值，求实数的取值范围；
（Ⅲ）写出的零点个数.（直接写出结论即可）
【答案】
9.（2024延庆一模20）
已知函数.
（Ⅰ）若曲线的一条切线方程为，求的值；
（Ⅱ）若函数在区间上为增函数，求的取值范围；
（Ⅲ）若，无零点，求的取值范围.
（Ⅰ）函数的定义域为，设切点为，
因为， ………………1分
所以，即， ………………2分
因为，， ………………4分
所以，即，
所以，即. ………………5分
（Ⅱ）因为，在区间上为增函数，
所以在内恒成立， ………………7分
因为，所以， ………………8分
所以，即. ………………10分
（Ⅲ）因为，，
当，即时，，
所以在上单调递减，
因为，
所以在上无零点，符合题意； ……11分
当时，令，则，
当时，；当时，，
所以的单调递减区间是；单调递增区间是，
的最小值为， ……12分
当，即时，无零点，符合题意； ……13分
当时，有一个零点，不符合题意； ……14分
当时，的最小值，
因为，
所以，使得，不符合题意； ……15分
综上所述，当时，，无零点.
10.（2024房山一模20）
已知函数.
（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）设，求函数的极大值；
（Ⅲ）若，求函数的零点个数.
11.（2024门头沟一模20）
已知函数.
（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）当时，求的极值；
（Ⅲ）当时，判断零点个数，并说明理由.
双三角
一、三角函数小题
1.（2024房山一模4）已知角的终边经过点，把角的终边绕原点逆时针旋转得到角的终边，则
A.B.C.D.
【答案】D
2.（2024东城一模5）已知函数的最小正周期为，最大
值为，则函数的图象
A.关于直线对称B.关于点对称
C.关于直线对称D.关于点对称
【答案】C
3.（2024门头沟一模13）若函数的最大值为，
则_________，_________.
【答案】；
4.（2024石景山一模7）已知函数的部分图象如图所示，则的值是
A.
B.
C.
D.
【答案】A
5.（2024延庆一模6）“”是“为第一或第三象限角”的
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
【答案】C
6.（2024西城一模12）已知. 使成立的一组的值为
_________，_________.
【答案】，
7.（2024东城一模13）已知角的终边关于直线对称，且，则的
一组取值可以是________，________.
【答案】，
8.（2024平谷一模13）设，. 若对任意的实数都有
，则满足条件的所有可能的取值为________.
【答案】；
9.（2024顺义一模14）已知，若存在，使，则正整数
的一个取值是_________.
【答案】的整数即可
10.（2024海淀一模14）已知函数，则_________；函数的图象的一个对称中心的坐标为_________.
【答案】；
11.（2024丰台一模8）已知函数，则“”是“
是偶函数，且是奇函数”的
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
【答案】A
12.（2024海淀一模8）在平面直角坐标系中，角以为始边，终边在第三象限. 则
A.B.
C.D.
【答案】C
13.（2024西城一模9）关于函数，给出下列三个命题：
①是周期函数；
②曲线关于直线对称；
③在区间上恰有个零点.
其中真命题的个数为
A.B.C.D.
【答案】D
二、三角函数大题
1.（2024延庆一模16）
已知函数，的最大值为.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）将的图象向右平移个单位得到的图象，求函数的单调增区间.
【答案】
16. 解：
（Ⅰ）因为 …………2分
其中， …………3分
所以， …………5分
又因为，
所以. …………6分
（Ⅱ）因为 …………8分
所以 …………10分
则， …………12分
， …………13分
所以函数的单调增区间为 …………14分

没有出现扣一分,结果不写区间形式扣一分。
2.（2024顺义一模16）
已知函数.
（Ⅰ）求的最小正周期和单调递增区间；
（Ⅱ）设函数，求在区间上的最大值.
【答案】
3.（2024丰台一模17）
已知函数.
（Ⅰ）若，求的值；
（Ⅱ）若在区间上单调递减，，求的值.
解：（Ⅰ）因为，
所以．………………4分
（Ⅱ）
因为在区间上单调递减，
所以，即，
所以．
因为，
所以，即，
所以．………………14分
4.（2024朝阳一模16）
已知函数的最小正周期为.
（Ⅰ）若，，求的值；
（Ⅱ）从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，确定的解析式，
并求函数的单调递增区间.
条件①：的最大值为；
条件②：的图象关于点中心对称；
条件③：的图象经过点.
注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】解：因为的最小正周期，所以．
所以．
（Ⅰ）因为，所以．
又，且，
所以．5分
（Ⅱ）选条件①②：
因为的最大值为2，所以．
因为的图象关于点中心对称，
所以，即．
因为，所以．
所以．
所以

．
令，
得．
所以的单调递增区间为．13分
选条件①③：
因为的最大值为2，所以．
因为函数的图象经过点，
所以，即．
因为，所以．
所以，即．
下同选条件①②．13分
选条件②③：
因为的图象关于点中心对称，
所以，即．
因为，所以．
所以．
因为函数的图象经过点，
所以．
所以．
下同选条件①②．13分
5.（2024平谷一模16）
已知函数，其中. 再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知条件，使存在，并完成下列两个问题.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若，函数在区间上最小值为，求实数的取值范围.
条件①：对任意的，都有成立；
条件②：；
条件③：.
注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得分；如果选择多个符合要求的条件
分别解答，按第一个解答计分.
【答案】
（16）（本小题13分）
解：因为，所以．
（Ⅰ）选择条件 = 1 \* GB3 ①：对任意的，都有成立，
所以为函数最大值，
得．解得，
又因为，所以．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知
当时，.
因为在上单调递增，在单调递减，且，
所以，解得，实数的取值范围是．
（Ⅰ）选择条件③：
因为，，所以为函数最大值，为函数最小值，以下解法同选择条件 = 1 \* GB3 ①．
6.（2024门头沟一模17）
设函数，已知，，在区间
上单调，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）当时，若曲线与直线恰有一个公共点，求的取值范围.
条件①：为函数的图象的一个对称中心；
条件②：直线为函数的图象的一条对称轴；
条件③：函数的图象可由的图象平移得到.
注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.
三、解三角形小题
1.（2024朝阳一模3）在中，，则
A.B.或C.D.或
【答案】D
2.（2024平谷一模5）在，“”是“”的
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
【答案】B
3.（2024延庆一模12）的内角的对边分别为，已知，
，，则________，的面积为________.
【答案】；
4.（2024丰台一模12）在中，若，，，则_________.
【答案】
5.（2024顺义一模13）在中，，，则_________；
_________.
【答案】，
6.（2024门头沟一模7）在中，，，，则的面积为
A.B.C.D.
【答案】A
7.（2024平谷一模14）若的面积为，且为钝角，
则________；的取值范围是________.
【答案】；
四、解三角形大题
1.（2024海淀一模16）
在中，.
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）若，，求的面积.
【答案】
解：（Ⅰ）由正弦定理及，得
.
因为，所以.
所以.
所以.
因为，
所以，即.
（Ⅱ）由余弦定理得.
因为，
所以.
因为，
所以.
所以的面积为.
2.（2024东城一模16）
在中，.
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）若，为边的中点，且，求的值.
【答案】
解：（Ⅰ）因为，
根据正弦定理得.
所以.
因为，所以，
从而得.
又因为，所以，
所以，可得. 分
（Ⅱ）在中，，，.
由正弦定理得，
所以，.
所以.
在中，由余弦定理得
.
所以. 分
3.（2024石景山一模16）
在锐角中，角的对边分别为，且.
（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）求的取值范围.
4.（2024西城一模17）
在中，.
（Ⅰ）求的大小；
（Ⅱ）若，再从下列三个条件中选择一个作为已知，使存在，求的面积.
条件①：边上中线的长为；
条件②：；
条件③：.
注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】
解：（Ⅰ）由，得．………1分
在中，由正弦定理得．………3分
因为，
所以．………4分
又，………5分
所以．………6分
（Ⅱ）选条件①：边上中线的长为．………7分
设边中点为，连接，则，．
在中，由余弦定理得，………9分
即．
整理得．
解得或（舍）．………11分
所以的面积为． ………13分
5.（2024房山一模17）
在中，，，且.
（Ⅰ）求的大小；
（Ⅱ）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求的面积.
条件①：，为锐角；
条件②：；
条件③：.
注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得分；如果选择多个符合要求的条件
分别解答，按第一个解答计分.
平面向量
1.（2024东城一模12）设向量，，且，则________.
【答案】
2.（2024海淀一模4）已知向量满足，，且，则
A.B.C.D.
【答案】C
3.（2024房山一模12）如图，已知矩形中，，，分别是
的中点，则_________.
【答案】
4.（2024延庆一模5）已知正方形的边长为，点满足，
则
A.B.C.D.
【答案】C
5.（2024顺义一模4）已知向量，，若与共线，则实数
A.B.C.D.
【答案】C
6.（2024丰台一模5）已知向量满足，，且，则
A.B.C.D.
【答案】D
7.（2024西城一模6）已知向量在正方形网格中的位置如图所示. 若网格纸上小
正方形的边长为，则
A.
B.
C.
D.
【答案】A
8.（2024石景山一模13）已知向量满足，与的夹角为，则当实数变化时，
的最小值为_________.
【答案】
9.（2024门头沟一模8）在中，，，且，
则
A.B.C.D.
【答案】B
10.（2024朝阳一模8）在中，，，点在线段上.
当取得最小值时，
A.B.C.D.
【答案】B
11.（2024平谷一模9）已知，，是曲线上一个动点，则的最大值是
A.B.C.D.
【答案】D
数列
1.（2024丰台一模2）已知公差为的等差数列满足：，且，则
A.B.C.D.
【答案】C
2.（2024海淀一模3）已知为等差数列，为其前项和. 若，公差，
，则的值为
A.B.C.D.
【答案】B
3.（2024门头沟一模5）已知等差数列的前项和为，若，，则
A.B.C.D.
【答案】B
4.（2024石景山一模5）等差数列的首项为，公差不为. 若成等比数列，则
的前项和为
A.B.C.D.
【答案】A
5.（2024顺义一模6）设为等差数列的前项和. 若，公差，
，则
A.B.C.D.
【答案】C
6.（2024朝阳一模6）已知等比数列的前项和为，且，，则
A.B.C.D.
【答案】C
7.（2024房山一模5）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其大意为：“有一个人走里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了天后到达目的地.”则该人第三天走的路程为
A.里B.里C.里D.里
【答案】C
8.（2024丰台一模6）按国际标准，复印纸幅面规格分为A系列和B系列，其中A系列以
A0，A1，等来标记纸张的幅面规格，具体规格标准为：
①A0规格纸张的幅宽和幅长的比例关系为；
②将纸张平行幅宽方向裁开成两等份，便称为
规格纸张（如图）.
某班级进行社会实践活动汇报，要用A0规格纸张裁剪其他规格
纸张. 共需A4规格纸张张，A2规格纸张张，A1规格纸张
张. 为满足上述要求，至少提供A0规格纸张的张数为
A.B.
C.D.
【答案】C
9.（2024平谷一模7）已知等差数列和等比数列，，，，，则满足的数值
A.有且仅有个值B.有且仅有个值
C.有且仅有个值D.有无数多个值
【答案】A
10.（2024东城一模8）设等差数列的公差为，则“”是“为递增数列”的
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
【答案】A
11.（2024西城一模8）在等比数列中，. 则“”是“”的
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
【答案】B
12.（2024门头沟一模14）已知数列是各项均为正数的等比数列，为其前项和，
，，则_________；记，若存在使得最大，则的值为_________.
【答案】；
13.（2024西城一模14）在数列中，，. 数列满足.
若是公差为的等差数列，则的通项公式为_________，的最小值为
_________.
【答案】；
14.（2024延庆一模14）北京天坛的圜丘坛分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板（称
为天心石），环绕天心石砌块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加块，下一层的第
一环比上一层的最后一环多块，向外每环依次也增加块. 已知每层环数相同，且三层共
有扇面形石板（不含天心石）块，则上层有扇形石板________块.
【答案】
15.（2024丰台一模10）已知数列满足，则
A.当时，为递增数列，且存在常数，使得恒成立
B.当时，为递减数列，且存在常数，使得恒成立
C.当时，存在正整数，当时，
D.当时，对于任意正整数，存在，使得
【答案】D
16.（2024海淀一模10）某生物兴趣小组在显微镜下拍摄到一种黏菌
的繁殖轨迹，如图. 通过观察发现，该黏菌繁殖符合如下规律：
①黏菌沿直线繁殖一段距离后，就会以该直线为对称轴分叉
（分叉的角度约为），再沿直线繁殖，；
②每次分叉后沿直线繁殖的距离约为前一段沿直线繁殖的距离的一半.
于是，该组同学将整个繁殖过程抽象为如图所示的一个数学模型：
黏菌从圆形培养皿的中心开始，沿直线繁殖到，然后
分叉向与方向继续繁殖，其中，且
与关于所在直线对称，.
若，为保证黏菌在繁殖过程中不会碰到培养皿壁，则培养皿的半径
至少为
A.B.C.D.
【答案】C
17.（2024东城一模15）已知数列的各项均为正数，满足，其中常数.
给出下列四个判断：
①若，，则；
②若，则；
③若，，则；
④，存在实数，使得.
其中所有正确判断的序号是________.
【答案】②③④
18.（2024顺义一模15）已知数列满足，给出下列四个结论：
①若，则数列中有无穷多项等于；
②若，则对任意，有；
③若，则存在，当时，有；
④若，则对任意，有.
其中，所有正确结论的序号是_________.
【答案】①②③
19.（2024丰台一模15）目前发射人造天体，多采用多级火箭作为运载工具. 其做法是在前一级火箭燃料燃烧完后，连同其壳体一起抛掉，让后一级火箭开始工作，使火箭系统加速到一定的速度时将人造天体送入预定轨道. 现有材料科技条件下，对于一个级火箭，在第级火箭的燃烧耗尽时，火箭的速度可以近似表示为
其中.
注：表示人造天体质量，表示第级火箭结构和燃料的总质量.
给出下列三个结论：
①；
②当时，；
③当时，若，则.
其中所有正确结论的序号是_________.
【答案】②③
20.（2024石景山一模15）黎曼函数在高等数学中有着广泛应用，其一种定义为：
时，. 若数列，，
给出下列四个结论：
①；
②；
③；
④.
其中所有正确结论的序号是_________.
【答案】②③④
立体几何
一、小题
1.（2024石景山一模4）设是三个不同平面，且，，则“”是“”的
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
【答案】B
2.（2024海淀一模6）设是两个不同的平面，是两条直线，且，.
则“”是“”的
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
【答案】A
3.（2024东城一模7）《天工开物》是我国明代科学家宋应星所著的一部综合性科学技术著作，书中记载了一种制造瓦片的方法. 某校高一年级计划实践这种方法，为同学们准备了制瓦用的粘土和圆柱形的木质圆桶，圆桶底面外圆的直径为cm，高为. 首先，在圆桶的外侧面均匀包上一层厚度为的粘土，然后，沿圆桶母线方向将粘土层分割成四等份（如图），等粘土干后，即可得到大小相同的四片瓦. 每位同学制作四片瓦，全年级共人，需要准备的粘土量（不计损耗）与下列哪个数字最接近. （参考数据：）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
4.（2024平谷一模8）一个边长为的正方形铁片，把图中所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，则这个容器侧面与底面的夹角正切值为
A.B.
C.D.
【答案】B
5. （2024朝阳一模9）在棱长为的正方体中，分别为棱的中点，动点在平面内，且. 则下列说法正确的是
A.存在点，使得直线与直线相交
B.存在点，使得直线平面
C.直线与平面所成角的大小为
D.平面被正方体所截得的截面面积为
【答案】C
6.（2024门头沟一模10）如图，正方体中，点为线段上的动点，则下列结论正确的个数是
①三棱锥的体积为定值；
②直线与平面所成的角的大小不变；
③直线与所成的角的大小不变；
④.
A.B.C.D.
【答案】C
7.（2024东城一模9）如图1，正三角形与以为直径的半圆拼在一起，是的
中点，为的中心. 现将沿翻折为，记的中心为，
如图2. 设直线与平面所成的角为，则的最大值为
图1 图2
A.B.C.D.
【答案】C
8.（2024丰台一模9）正月十五元宵节，中国民间有观赏花灯的习俗. 在年元宵节，小明制作了一个“半正多面体”形状的花灯（图1）. 半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美. 图2是一个棱数为的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为. 关于该半正多面体的四个结论：
①棱长为；
②两条棱所在直线异面时，这两条异面直线所成角的大小是；
③表面积为；
④外接球的体积为.

图1 图2
其中所有正确结论的序号是
A.①②B.①③C.②④D.③④
【答案】B
9.（2024延庆一模10）已知在正方体中，，是正方形内的动点，，则满足条件的点构成的图形的面积等于
A.B.C.D.
【答案】A
10.（2024顺义一模10）《九章算术》中将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”. 现有一“阳马”，平面，，为底面及其内部的一个动点且满足，则的取值范围是
A.B.
C.D.
【答案】D
11.（2024西城一模15）如图，正方形和矩形所在的平面互相垂直. 点在正方形及其内部运动，点在矩形及其内部运动. 设，，给出下列
四个结论：
①存在点，使；
②存在点，使；
③到直线和的距离相等的点有无数个；
④若，则四面体体积的最大值为.
其中所有正确结论的序号是_________.
【答案】①③④
12.（2024房山一模15）如图，在棱长为的正方体中，点是对角线上的动点（点与点不重合）. 给出下列结论：
①存在点，使得平面平面；
②对任意点，都有；
③面积的最小值为；
④若是平面与平面的夹角，是平面
与平面的夹角，则对任意点，都有.
其中所有正确结论的序号是_________.
【答案】①②③
二、大题
1.（2024西城一模16）
如图，在三棱柱中，侧面为正方形，，，
为的中点.
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）若，求二面角的余弦值.
【答案】
解：（Ⅰ）连接，设，连接．………1分
因为在三棱柱中，四边形是平行四边形，
所以为的中点．………2分
因为为的中点，
所以．………3分
又因为平面，平面，
所以平面． ………5分
（Ⅱ）因为，，
所以平面．………6分
所以．
又，所以两两相互垂直．
如图建立空间直角坐标系．………7分
则，，，．
所以，．
设平面的法向量为，则 即
令，则，．于是．………10分
因为平面，
所以是平面的一个法向量． ………11分
所以．………13分
由题设，二面角的平面角为钝角，
所以二面角的余弦值为． ………14分
2.（2024房山一模16）
如图，在五面体中，四边形是矩形，平面平面，是正三角形，，，.
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求二面角的余弦值.
3.（2024朝阳一模17）
如图，在三棱锥中，侧面底面，，.
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）已知，，，是线段上一点，当时，
求二面角的余弦值.
【答案】
解：（Ⅰ）取中点，连接．
因为，所以．
又因为，所以．
又因为，
所以平面．
又平面，
所以．5分
（Ⅱ）因为侧面底面，且，平面，
平面平面，
所以平面．
又平面，所以．
又因为，
如图，建立空间直角坐标系．
因为，所以．
则．
所以．
因为是线段上一点，设．
所以．
因为，所以，解得．
所以．
设平面的法向量为，则
即
令，则．于是．
因为平面，所以平面的法向量为．
所以．
由题知，二面角为锐角，所以其余弦值为．14分
4.（2024门头沟一模16）
如图，在四棱锥中，平面，，，，，为棱的中点.
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）当时，求直线与平面所成角的正弦值.
5.（2024平谷一模17）
如图，在三棱柱中，侧面和均为正方形，，
平面平面，点是的中点，为线段上的动点.
（Ⅰ）若直线平面，求证：为线段的中点；
（Ⅱ）若直线与平面所成角的正弦值为，
求线段的长.
【答案】
z
x
y
解：（ = 1 \* ROMAN I）在△中，过点作//交于点，连接.
因为//，所以//，
所以，，，四点共面.
因为直线平面，平面，
平面平面，
所以//所以四边形是平行四边形.
所以所以为的中点. （ = 2 \* ROMAN II） 因为侧面为正方形，所以，又因平面平面，平面平面，平面，所以平面，所以，，又因为正方形，，以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系（如图）．
设，
所以，则
所以．
设平面的一个法向量为，
由 得即
取，得．
设，则．
设，则，
因为，所以．
所以，所以点坐标为．
因为，所以．
设直线与平面所成角为，
则，解得
,所以，即线段的长为．
6.（2024丰台一模16）
如图，在直三棱柱中，，为中点.
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，
求二面角的余弦值.
条件①：；
条件②：.
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.
【答案】
解：（Ⅰ）证明：连接，设，连接，
z
y
x
在三角形中，、分别为、的中点，
所以∥．
因为平面，
平面，
所以∥平面．
…………………4分
（Ⅱ）选择条件①：
在直三棱柱中，底面，
所以，，
因为，，
所以面，所以．
如图建立空间直角坐标系，因为，
所以．
因为为中点，所以．
易知是平面的法向量．
在平面内，．
设是平面的法向量，
因为，，
所以，，即，
取，得，所以．
因为，
因为二面角为锐二面角，
所以二面角的余弦值为．
选择条件②：
在直三棱柱中，底面，
所以．
因为，
所以，
因为为中点，所以，
所以，所以．
因为底面，故可如图建立空间直角坐标系．
以下同解法1．………………14分
7.（2024顺义一模18）
如图，在三棱柱中，分别为的中点，.
（Ⅰ）求证；平面；
（Ⅱ）若，平面平面，从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，求与平面所成角的正弦值.
条件①：；
条件②：；
条件③：.
注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，
按第一个解答计分.
【答案】
8.（2024石景山一模17）
如图，在四棱锥中，平面，，，.
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，
求平面与平面所成锐二面角的大小.
条件①：；
条件②：平面.
注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.
9.（2024延庆一模18）
如图，四棱柱的底面是边长为的正方形，
侧面底面，，是的中点.
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个
条件作为已知，使二面角唯一确定，并求二面角
的余弦值.
条件①：；
条件②：；
条件③：.
注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】
解：（Ⅰ）证明：
方法一：在四棱柱中，连结，设，连结，在中，因为、分别为的中点，
所以， …………2分
又因为平面，平面， …………3分
所以. …………4分
方法二：在四棱柱中，设中点为，连结，，，
因为，
所以为平行四边形，
所以， ……1分
因为，
所以为平行四边形，
所以， ……2分
因为
所以平面， ……3分
因为平面
所以． ……4分
（Ⅱ）解:
选择条件①： 本问记为分．
选择条件②：
连结，因为底面是正方形，
所以，
又因为侧面底面，且侧面底面，
所以，
所以，
在中，因为，，
所以，
在中，因为，，
所以，
所以，即，，
又因为，
所以如图建立空间直角坐标系， …………6分
其中，，，，且，， …………7分
因为侧面底面，，
所以，
因为平面
所以，故，…9分
设为平面的一个法向量，则即 .
不妨设，则,可得． …………12分
所以， …………14分
因为二面角的平面角是钝角,
所以二面角的余弦值为. …………15分
选择条件③：
因为底面是正方形，
所以，
因为，
所以，
因为
所以，
因为侧面底面，且侧面底面，
所以，即，，
又因为，
所以如图建立空间直角坐标系， …………6分
下面同选择条件②.
10.（2024东城一模18）
如图，在五面体中，底面为正方形，，.
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）若为的中点，为的中点，，，再从条件①、
条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线与平面所成角的正弦值.
条件①：；
条件②：.
注：如果选择条件①、条件②分别解答，
按第一个解答计分.
【答案】解：（Ⅰ）因为四边形是正方形，
所以.
又，
所以.
又平面平面，，
所以. 分
（Ⅱ）选取条件 = 1 \* GB3 ①: .
取的中点，的靠近点的四等分点，
连接，
因为是中点，是中点，
所以，.
因为，所以.
又，且，
所以.
又因为,所以.
又且，所以.
又,
所以.
如图，建立空间直角坐标系，
由题意得，，
所以，，.
设平面的法向量，则
即
令，则.于是.
设直线与平面所成角为，则
．
所以与平面所成角的正弦值为. 分
选取条件 = 2 \* GB3 ②: .
在中，，，
,
于是，.
因为，于是，，所以.
又，且，
所以.
取的中点，取的靠近点的四等分点,
连接，如图建系,
下同条件①，可得与平面所成角的正弦值为. 分
11.（2024海淀一模18）
如图，在四棱锥中，，为的中点，平面.
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）若，，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中
选择一个作为已知，使四棱锥存在且唯一确定.
（ⅰ）求证：平面；
（ⅱ）设平面平面，求二面角的余弦值.
条件①：；
条件②：；
条件③：.
注：如果选择的条件不符合要求，第（ⅰ）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】
解：（Ⅰ）取的中点，连接，.
因为为的中点，
所以，.
因为，
所以.
所以，，，四点共面.
因为平面，平面平面，
所以.
所以.
所以.
（Ⅱ）取的中点，连接，.
由（Ⅰ）知.
所以.
因为，
所以四边形是平行四边形.
所以，.
因为，所以.
所以，即.
选条件①：.
（ⅰ）因为，，
所以.
所以.
因为，所以.
所以，即.
所以平面.
（ⅱ）由（ⅰ）知平面.
所以.
因为，，
如图建立空间直角坐标系.
则，，.
所以，，.
设平面的法向量为 ，则
即
令，则，.于是.
因为为平面的法向量，且，
所以二面角的余弦值为.
选条件③：.
（ⅰ）所以.
因为，，
所以.
所以，即.
因为，所以平面.
（ⅱ）同选条件①．
解析几何
一、双曲线
1.（2024房山一模11）双曲线的离心率是_________.
【答案】
2.（2024延庆一模11）已知双曲线的离心率为，则双曲线的渐近线方程为________.
【答案】
3.（2024东城一模3）已知双曲线的离心率为，则
A.B.C.D.
【答案】B
4.（2024丰台一模3）已知双曲线的离心率为，则
A.B.
C.D.
【答案】B
5.（2024门头沟一模4）已知双曲线经过点，离心率为，则的标准方程为
A.B.
C.D.
【答案】C
6.（2024顺义一模5）已知双曲线的离心率，则的取值范围是
A.B.C.D.
【答案】A
7.（2024海淀一模5）若双曲线上的一点到焦点的距离比到焦点的距离大，则该双曲线的方程为
A.B.C.D.
【答案】D
8.（2024平谷一模12）已知双曲线的左、右焦点分别为，并且经过
点，则________；双曲线的渐近线方程为________.
【答案】；
9.（2024朝阳一模7）已知双曲线的右焦点为，过点作垂直于轴的直线，分别是与双曲线及其渐近线在第一象限内的交点. 若是线段的中点，则的渐近线方程为
A.B.C.D.
【答案】C
10.（2024西城一模13）双曲线的渐近线方程为_________；若与
圆交于四点，且这四个点恰有正方形的四个顶点，
则_________.
【答案】；
二、抛物线
1.（2024房山一模2）抛物线的准线方程是
A.B.C.D.
【答案】D
2.（2024西城一模4）已知抛物线与抛物线关于直线对称，则的准线方程是
A.B.
C.D.
【答案】C
3.（2024延庆一模4）已知抛物线的焦点为，点在上. 若到直线的距离为，则
A.B.C.D.
【答案】B
4.（2024门头沟一模12）已知抛物线的焦点为，点在上，若，则到直线的距离为_________.
【答案】
5.（2024平谷一模6）已知抛物线的焦点为，是坐标原点，点在上. 若，则
A.B.C.D.
【答案】A
6.（2024朝阳一模12）已知抛物线的焦点为，准线方程为，则
_________；设为原点，点在抛物线上，若，则_________.
【答案】；
7.（2024丰台一模13）已知是抛物线的焦点，是该抛物线上的两点，
，则线段的中点到轴的距离为_________.
【答案】
8.（2024石景山一模12）斜率为的直线经过抛物线的焦点，且与该抛物线相交于两点，则_________.
【答案】
9.（2024东城一模14）已知抛物线的焦点为，则的坐标为________；
抛物线的焦点为，若直线分别与交于两点，
且，则________.
【答案】；
三、直线与圆
1.（2024朝阳一模5）已知直线和圆相交于两点.
若，则
A.B.C.D.
【答案】D
2.（2024房山一模6）直线截圆所得劣弧所对的圆心角
为，则的值为
A.B.C.D.
【答案】B
3.（2024海淀一模12）已知，线段是过点的弦，则的最小值为_________.
【答案】
4.（2024石景山一模6）直线与圆相交于两点，则线段的长度可能为
A.B.C.D.
【答案】B
5.（2024丰台一模7）在平面直角坐标系中，直线有且仅有一点，
使，则直线被圆截得的弦长为
A.B.
C.D.
【答案】D
6.（2024延庆一模9）在等边中，，为所在平面内的动点，
且，为边上的动点，则线段长度的最大值是
A.B.C.D.
【答案】D
7.（2024门头沟一模9）在平面直角坐标系中，记为点到直线
的距离，则当变化时，的最大值与最小值之差为
A.B.C.D.
【答案】D
8.（2024平谷一模10）设点，动直线，作于点，则点
到坐标原点距离的最小值为
A.B.C.D.
【答案】C
四、曲线与方程
1.（2024房山一模9）在平面直角坐标系中，已知，两点. 若曲线上存在一点，使，则称曲线为“合作曲线”，给出下列曲线：
①；②；③.
其中“合作曲线”是
A.①②B.②③C.①D.②
【答案】A
2.（2024石景山一模10）对于曲线，给出下列三个命题：
①关于坐标原点对称；
②曲线上任意一点到坐标原点的距离不小于；
③曲线与曲线有四个交点.
其中正确的命题个数是
A.B.C.D.
【答案】C
五、大题
1.（2024平谷一模19）
已知椭圆过点，离心率为.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过椭圆的右焦点作斜率为的直线交椭圆于点，直线交直线
于点，过点作轴的垂线，垂足为，直线交轴于，直线交轴于，求证：点为线段的中点.
【答案】
解：（Ⅰ）由题意得
解得，.
所以椭圆的方程是.
（Ⅱ）椭圆的右焦点的坐标为，
由题意，设直线的方程为 .
，整理得
设直线交椭圆于点，则
，.
由直线的方程，令解得，
所以，.
所以直线的方程为，.
令解得，所以.
直线的方程为，.
令解得，所以.
.
由于，.
则
==2.
所以线段的中点为.
2.（2024西城一模19）
已知椭圆的一个顶点为，离心率为.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设为原点. 直线与椭圆交于两点（不是椭圆的顶点），与直线交于点. 直线分别与直线交于点. 求证：.
【答案】
解：（Ⅰ）由题设， ………3分
解得．
所以椭圆的方程为．………5分
（Ⅱ）由题设，直线的斜率存在，设其方程为．
则,直线的方程为．………6分
由 得．………7分
由，得．
设，，则，．………8分
直线的方程为．………9分
联立直线和得．
解得．………11分
同理可得．
所以．………12分
因为
所以，即点和点关于原点对称．
所以． ………15分
3.（2024东城一模20）
已知椭圆的短轴长为，离心率.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设为坐标原点，直线是圆的一条切线，且直线与椭圆交于
两点，若平行四边形的顶点恰好在椭圆上，求平行四边形的面积.
【答案】
解：（ = 1 \* ROMAN I）由已知可得，解得，
所以椭圆的方程为. 分
（ = 2 \* ROMAN II）当直线斜率存在时，设直线，
由直线与圆相切得，化简得.
设，则，
，
，.
因为在椭圆上，
所以，即，
即，解得，，.
此时弦长，
因为到直线的距离,
所以平行四边形的面积.
当直线斜率不存在时，不妨设直线，则 ，
所以不在椭圆上,不合题意. 分
4.（2024房山一模19）
已知椭圆的离心率为，左焦点为，过的直线交
椭圆于两点，点为弦的中点，是坐标原点，且不与重合.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若是延长线上一点，且的长度为，求四边形面积的取值范围.
5.（2024丰台一模19）
已知椭圆的焦距为，以椭圆的四个顶点的四边形的周长
为.
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）过点的直线交椭圆于两点，线段的中点为. 是否存在定点，
使得？若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】
解：（Ⅰ）由题意得解得
所以椭圆的方程为．………………5分
（Ⅱ）若存在定点D，使得，等价于以为直径的圆恒过定点．
当直线的斜率不存在时，为直径的圆的方程为①，
当直线的斜率为0时，令，得，
因此为直径的圆的方程为②．
联立①②得猜测点的坐标为．
设直线的方程为，
由得．
设，则
．
所以
综上，存在定点D，使得．………………14分
6.（2024顺义一模19）
已知椭圆过点，且.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设斜率为的直线与交于两点（异于点），直线分别与轴交于点，求的值.
【答案】
7.（2024门头沟一模19）
已知椭圆的离心率为，椭圆的上顶点为，右顶点为，点为坐标原点，的面积为.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若过点且不过点的直线与椭圆交于两点，直线与直线
交于点，试判断直线的斜率是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明
理由.
8.（2024延庆一模19）
已知椭圆的离心率为，分别是的上、下顶点，
，分别是的左、右顶点.
（Ⅰ）求的方程；
（Ⅱ）设为第二象限内上的动点，直线与直线交于点，直线与直线交于点，求证：.
【答案】
（Ⅰ）由题设， …………3分
解得． …………4分
所以的方程为． …………5分
（Ⅱ）方法一：
因为椭圆的方程为，所以，
因为为第二象限上的动点，设．…………6分
所以，即． …………7分
直线的方程为，即． …………8分
直线的方程为，即． …………9分
由 得． …………10分
直线的方程为，即． …………11分
直线的方程为，即． …………12分
由 得． …………13分
， ………15分
（）
所以，即．
方法二：
因为椭圆的方程为，所以，
设直线的方程为，其中． …………7分
由 得． …………9分
直线的方程为，即． …………10分
由 得． …………11分
直线的方程为，即． …………12分
直线的方程为，即． …………13分
由 得． …………14分
因为，所以． …………15分
9.（2024海淀一模19）
已知椭圆的离心率为，分别是的左、右顶点，是的右焦点.
（Ⅰ）求的值及点的坐标；
（Ⅱ）设是椭圆上异于顶点的动点，点在直线上，且，直线与轴交于点. 比较与的大小.
【答案】
解：（Ⅰ）由题意知. 设，，则.
因为的离心率为，所以，即．
所以，.
所以的值为，点的坐标为．
（Ⅱ）由题意可设 （），，，则，. ①
因为,
所以.
所以. ②
因为，，三点共线，，
所以. ③
由①②③可得.
由（Ⅰ）可知，.
所以
.
所以，即.
10.（2024朝阳一模19）
已知椭圆的离心率为，分别是的左、右顶点，是上异于的点，的面积的最大值为.
（Ⅰ）求的方程；
（Ⅱ）设为原点，点在直线上，分别在轴的两侧，且与的
面积相等.
（ⅰ）求证：直线与直线的斜率之积为定值；
（ⅱ）是否存在点使得. 若存在，求出点的坐标，若不存在，
说明理由.
【答案】
解：（Ⅰ）由题知的最大值为，
依题意解得
所以的方程为．5分
（Ⅱ）设，，则．
（ⅰ）由题知，所以，
即，故．
设直线的斜率为，直线的斜率为，
所以．
所以直线与直线的斜率之积为定值．
（ⅱ）假设存在点使得，
因为，，，
所以．
由（ⅰ）可知．
所以，
即．
所以．
又，所以．
所以，
整理得，解得，与矛盾．
所以不存在点使得．15分
11.（2024石景山一模20）
已知椭圆的离心率为，短轴长为.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设为坐标原点，过点分别作直线，直线与椭圆相切于第三象限内
的点，直线交椭圆于两点. 若，判断直线与直线的位置关系，并说明理由.
统计概率
一、小题
1.（2024石景山一模3）一袋中有大小相同的个红球和个白球. 若从中不放回地取球
次，每次任取个球，记“第一次取到红球”为事件，“第二次取到红球”为事件，则
A.B.C.D.
【答案】C
2.（2024顺义一模9）地铁某换乘站设有编号为的五个安全出口. 若同时开放其中的两个安全出口，疏散名乘客所需的时间如下；
用表示安全出口的疏散效率（疏散时间越短，疏散效率越高），给出下列四个说法：①；②；③；④. 其中，正确说法的个数有
A.个B.个C.个D.个
【答案】B
3.（2024石景山一模9）中国民族五声调式音阶的各音依次为：宫、商、角、徵、羽，如果用这五个音，排成一个没有重复音的五音音列，且商、角不相邻，徵位于羽的左侧，则可排成的不同音列有
A.种B.种C.种D.种
【答案】C
二、大题
1.（2024东城一模17）
某中学为了解本校高二年级学生阅读水平现状，从该年级学生中随机抽取人进行一般现代文阅读速度的测试，以每位学生平均每分钟阅读的字数作为该学生的阅读速度，将测试结果整理得到如下频率分布直方图：
（Ⅰ）若该校高二年级有人，试估计阅读速度达到字分钟及以上的人数；
（Ⅱ）用频率估计概率，从该校高二学生中随机抽取人，设这人中阅读速度达到
字分钟及以上的人数为，求的分布列与数学期望；
（Ⅲ）若某班有名学生参加测试，他们的阅读速度如下：506，516，553，592，617，632，667，693，723，776，从这名学生中随机抽取人，设这人中阅读速度达到字分钟及以上的人数为，试判断数学期望与（Ⅱ）中的的大小.（结论不要求证明）
【答案】
解:（Ⅰ）由频率分布直方图可得，100人的样本中阅读速度达到620字/分钟及以上的频率为，估计该校高二学生阅读速度达到620字/分钟及以上的频率为0.4,故人数的估计值为1500×0.4=600人. 分
（Ⅱ）从该校高二学生中随机抽取1人，则此人阅读速度达到540字/分钟及以上的概率为
.
又的可能取值为，
由题意可得，则
，
，
，
.
所以的分布列为
的数学期望为. 分
（Ⅲ）. 分
2.（2024朝阳一模18）
为提升学生用数学知识解决现实生活或其他学科领域中的问题的能力，发展学生数学建模素养，某市面向全市高中学生开展数学建模论文征文活动. 对于参加征文活动的每篇论文，由两位评委独立评分，取两位评委评分的平均数作为该篇论文的初评得分. 从评委甲和评委乙负责评审的论文中随机抽取篇，这篇论文的评分情况如下表所示.
（Ⅰ）从这篇论文中随机抽取篇，求甲、乙两位评委的评分之差的绝对值不超过的
概率；
（Ⅱ）从这篇论文中随机抽取篇，甲、乙两位评委对同一篇论文的评分之差的绝对值
不超过的篇数记为，求的分布列及数学期望；
（Ⅲ）对于序号为的论文，设评委甲的评分为，评委乙的评分为，
分别记甲、乙两位评委对这篇论文评分的平均数为，标准差为，以
作为序号为的论文的标准化得分. 对这篇论文按照初评得分与标准化得分分别从高到低进行排名，判断序号为的论文的两种排名结果是否相同？
（结论不要求证明）
【答案】
解：（Ⅰ）设事件为“从这10篇论文中随机抽取1篇，甲、乙两位评委的评分之差的绝对值不超过5”，
在这篇论文中，甲、乙两位评委的评分之差的绝对值不超过5的有2篇，
所以．4分
（Ⅱ）依题意，的可能取值为．
，
，
．
所以的分布列为
所以的数学期望为．10分
（Ⅲ）相同．13分
3.（2024丰台一模18）
某医学小组为了比较白鼠注射两种药物后产生的皮肤疱疹的面积，选只健康白鼠做试验. 将这只白鼠随机分成两组，每组只，其中第组注射药物A，第组注射药物B. 试验结果如下表所示.
（Ⅰ）现分别从第组，第组的白鼠中各随机选取只，求被选出的只白鼠皮肤疱疹面积均小于的概率；
（Ⅱ）从两组皮肤疱疹面积在区间内的白鼠中随机选取只抽血化验，求第组中被抽中白鼠只数的分布列和数学期望；
（Ⅲ）用“”表示第组白鼠注射药物后皮肤疱疹面积在区间内，“”
表示第组白鼠注射药物后皮肤疱疹面积在区间内，写出方差的
大小关系.（结论不要求证明）
【答案】
解：（Ⅰ）设事件C =“被选出的2只白鼠皮肤疱疹面积均小于60mm2”，
则．………………4分
（Ⅱ）的可能取值为1,2,3.
， ，
，
所以的分布列如下：
．………………11分
（Ⅲ）．………………13分
4.（2024延庆一模17）
第十四届全国冬季运动会雪橇项目比赛于年月日至日在北京延庆举行，赛程时间安排如下表：
（Ⅰ）若小明在每天各随机观看一场比赛，求他恰好看到单人雪橇和双人雪橇的概率；
（Ⅱ）若小明在这两天的所有比赛中随机观看三场，记为看到双人雪橇的次数，求
的分布列及期望；
（Ⅲ）若小明在每天各随机观看一场比赛，用“”表示小明在周六看到单人雪橇，
“”表示小明在周六没看到单人雪橇，“”表示小明在周日看到单人雪橇，
“”表示小明在周日没看到单人雪橇，写出方差，的大小关系.
【答案】
（Ⅰ）记“小明在每天各随机观看一场比赛，恰好看到单人雪橇和双人雪橇”为事件. 由表可知，每天随机观看一场比赛，共有种不同方法，其中恰好看到单人雪橇和双人雪橇，共有种不同方法．
所以． ……4分
（Ⅱ）随机变量的所有可能取值为． ……5分
根据题意，， ……6分
， ……7分
． ……8分
随机变量的分布列是：
……9分
数学期望． ……11分
（Ⅲ） ……13分
5.（2024石景山一模18）
为研究北京西部地区2次生林和油松人工林的森林群落植物多样性问题，某高中研究性学习小组暑假以妙峰山油松次生林和老山油松人工林为研究对象进行调查，得到两地区林下灌木层，乔木层，草本层的抽样调查数据. 其中两地区林下灌木层获得数据如表，表所示：
表1：老山油松人工林林下灌木层 表2：妙峰山油松次生林林下灌木层
（Ⅰ）从抽取的老山油松人工林林下灌木层的植物样本中任选株，求株植物的类型都是乔木幼苗的概率；
（Ⅱ）以表格中植物类型的频率估计概率，从妙峰山油松次生林林下灌木层的所有植物中随机抽取株（假设每次抽取的结果互不影响），记这株植物的植物类型是灌木的株数为.求的分布列和数学期望；
（Ⅲ）从老山油松人工林的林下灌木层所有符合表1中植物名称的植物中任选株，记此株植物属于不同植物名称的概率估计值为；从妙峰山油松次生林的林下灌木层所有符合表2中植物名称的植物中任选株，记此株植物属于不同植物名称的概率估计值为. 请直接写出与大小关系.（结论不要求证明）
6.（2024门头沟一模18）
2024年1月11日，记者从门头沟区两会上获悉，目前国道109新线高速公路（简称新高速）全线35座桥梁主体结构已全部完成，项目整体进度已达到，预计今年上半年开始通车，通车后从西六环到门头沟区清水镇车程将缩短到40分钟. 新高速全线设置主线收费站两处（分别位于安家庄和西台子）和匝道收费站四处（分别位于雁翅、火村、清水和斋堂）. 新高速的建成为市民出行带来了很大便利，为此有关部门特意从门头沟区某居民小区中随机抽取了200位打算利用新高速出行的居民，对其出行的原因和下高速的出口进行了问卷调查（问卷中每位居民只填写一种出行原因和对应的一个下高速的出口），具体情况如下：
（假设该小区所有打算利用新高速出行的居民的出行相对独立，且均选择上表中的一个高速出口下高速）.
（Ⅰ）从被调查的居民中随机选1人，求该居民利用新高速出行探亲且在清水出口下高速的概率；
（Ⅱ）用上表样本的频率估计概率，从该小区所有打算利用新高速出行上班的人中随机抽取2人，从出行旅游的人中随机抽取1人，这三人中从斋堂出口下高速的人数记为，求的分布列和数学期望；
（Ⅲ）用上表样本的频率估计概率，从该小区所有打算利用新高速出行上班的人中随机抽取1人，用“”表示此人从斋堂出口下高速，“”表示此人不从斋堂出口下高速；从该小区所有打算利用新高速出行旅游的人中随机抽取1人，用“”表示此人从斋堂出口下高速，“”表示此人不从斋堂出口下高速，写出方差的大小关系.
（结论不要求证明）
7.（2024房山一模18）
《中华人民共和国体育法》规定，国家实行运动员技术等级制度. 下表是我国现行
《田径运动员技术等级标准》（单位：m）（部分摘抄）：
在某市组织的考级比赛中，甲、乙、丙三名同学参加了跳远考级比赛，其中甲、乙为男生，丙为女生. 为预测考级能达到国家二级及二级以上运动员的人数，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：m）：
甲：，，，，，，，，，；
乙：，，，，，；
丙：，，，.
假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立.
（Ⅰ）估计甲在此次跳远考级比赛中成绩达到二级及二级以上运动员的概率；
（Ⅱ）设是甲、乙、丙在此次跳远考级比赛中成绩达到二级及二级以上运动员的总人数，估计的数学期望；
（Ⅲ）在跳远考级比赛中，每位参加者按规则试跳次，取次试跳中的最好成绩作为其最终成绩. 本次考级比赛中，甲已完成次试跳，丙已完成次试跳，成绩（单位：m）如下表：
若丙第6次试跳的成绩为，用分别表示甲、丙试跳6次成绩的方差，当时，写出的值.（结论不要求证明）
8.（2024海淀一模18）
某学校为提升学生的科学素养，要求所有学生在学年中完成规定的学习任务，并获得相应过程性积分. 现从该校随机抽取名学生，获得其科普测试成绩（百分制，且均为整数）及相应过程性积分数据，整理如下表：
（Ⅰ）当时，
（ⅰ）从该校随机抽取一名学生，估计这名学生的科普过程性积分不少于分的概率；
（ⅱ）从该校科普测试成绩不低于分的学生中随机抽取名，记为这名学生
的科普过程性积分之和，估计的数学期望；
（Ⅱ）从该校科普过程性积分不高于分的学生中随机抽取一名，其科普测试成绩记为，上述名学生科普测试成绩的平均值记为. 若根据表中信息能推断恒成立，直接写出的最小值.
【答案】
解：（Ⅰ）当时，
（ⅰ）由表可知，科普过程性积分不少于分的学生人数为.
所以从该校随机抽取一名学生，这名学生的科普过程性积分不少于分的频率为．
所以从该校随机抽取一名学生，这名学生的科普过程性积分不少于分的概率估计为．
（ⅱ）根据题意，从样本中成绩不低于分的学生中随机抽取一名，这名学生的科普过程性积分为分的频率为.
所以从该校学生活动成绩不低于分的学生中随机抽取一名，这名学生的科普过程性积分为分的概率估计为. 同理，从该校学生活动成绩不低于分的学生中随机抽取一名，这名学生的科普过程性积分为分的概率估计为.
由表可知的所有可能取值为．
，，
．
所以的数学期望．
（Ⅱ）．
9.（2024西城一模18）
米气步枪是国际射击联合会的比赛项目之一，资格赛比赛规则如下：每位选手采用立姿射击发子弹，总环数排名前的选手进入决赛. 三位选手甲、乙、丙的资格赛成绩如下：
假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的射击成绩相互独立.
（Ⅰ）若丙进入决赛，试判断甲是否进入决赛，说明理由；
（Ⅱ）若甲、乙各射击次，估计这次射击中出现个“环”和个“环”的概率；
（Ⅲ）甲、乙、丙各射击次，用分别表示甲、乙、丙的次射击中大于环的次数，其中. 写出一个的值，使.
（结论不要求证明）
【答案】
解：（Ⅰ）甲进入决赛，理由如下：
丙射击成绩的总环数为，
甲射击成绩的总环数为．
因为，所以甲进入决赛． ………3分
（Ⅱ）根据题中数据，“甲命中环”的概率可估计为；
“甲命中环” 的概率可估计为；
“乙命中环” 的概率可估计为；
“乙命中环” 的概率可估计为．………5分
所以这次射击中出现个“环”和个“环”的概率可估计为：
．………10分
（Ⅲ）和．（写出一个即可） ………13分
10.（2024平谷一模18）
某超市随机选取位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买.
（Ⅰ）试估计顾客同时购买了甲、乙两种商品的概率；
（Ⅱ）假设每位顾客是否购买这四种商品是相互独立的，在近期内再对这四种商品购买
情况进行调查，随机抽取名顾客，试估计恰有名顾客购买了两种商品，名顾客购买
了一种商品，名顾客购买了三种商品的概率；
（Ⅲ）如果顾客购买了甲商品，则该顾客同时购买丙、丁中哪种商品的可能性最大.
（结论不要求证明）
【答案】解：（Ⅰ）从统计表可以看出，在这位顾客中有位顾客同时购买了甲、乙两种商品，所以顾客只购买了甲、乙两种商品的概率可以估计为．
（Ⅱ）设事件：顾客购买了两种商品，事件：顾客个购买一种商品，事件：顾客购买了三种商品．
从统计表可以看出，可估计为，可估计为，可估计为．
依题意，在随机抽取4名顾客中，求恰有2名顾客购买了两种商品，1名顾客个购买一种商品，一名顾客购买了三种商品的概率为．
因此所求的概率可估计为．
（Ⅲ）该顾客购买丙的可能性最大．
11.（2024顺义一模17）
某学生在上学路上要经过三个路口，在各个路口遇到红灯的概率及停留的时间如下：
假设在各路口是否遇到红灯相互独立.
（Ⅰ）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；
（Ⅱ）求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间大于分钟的概率；
（Ⅲ）假设交管部门根据实际路况，月日之后将上述三个路口遇到红灯停留的时间都变为分钟. 估计月日之后这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间的变化情况，是
“增加，不变还是减少”.（结论不要求证明）
【答案】
（1，2）
2
（2，+∞）
0
+
↘
极小值
↗
↘
极小
↗
↗
↘
安全出口编号
疏散乘客时间
120
220
160
140
200
0
1
2
3
序号
评委甲评分
评委乙评分
初评得分
1
67
82
74.5
2
80
86
83
3
61
76
68.5
4
78
84
81
5
70
85
77.5
6
81
83
82
7
84
86
85
8
68
74
71
9
66
77
71.5
10
64
82
73
疱疹面积（单位：）
第1组（只）
3
4
1
2
0
第2组（只）
1
3
2
3
1
1
2
3
P
月日
星期六
9:30
单人雪橇第轮
10:30
单人雪橇第轮
15:30
双人雪橇第轮
16:30
双人雪橇第轮
月日
星期日
9:30
单人雪橇第轮
10:30
单人雪橇第轮
15:30
团体接力
植物名称
植物类型
株数
黄栌
乔木幼苗
6
朴树
乔木幼苗
7
栾树
乔木幼苗
4
鹅耳枥
乔木幼苗
7
葎叶蛇葡萄
木质藤本
8
毛樱桃
灌木
9
三裂绣线菊
灌木
11
胡枝子
灌木
10
大花溲疏
灌木
10
丁香
灌木
8
植物名称
植物类型
株数
酸枣
灌木
28
荆条
灌木
41
孩儿拳头
灌木
22
河朔荛花
灌木
4
臭椿
乔木幼苗
1
黑枣
乔木幼苗
1
构树
乔木幼苗
2
元宝槭
乔木幼苗
1
项目
斋堂出口
清水出口
安家庄出口
雁翅出口
火村出口
西台子出口
上班
40
8
2
5
3
2
旅游
30
20
10
10
12
8
探亲
16
10
10
5
5
4
项目
国际级运动健将
运动健将
一级运动员
二级运动员
三级运动员
男子跳远
8.00
7.80
7.30
6.50
5.60
女子跳远
6.65
6.35
5.85
5.20
4.50
第1跳
第2跳
第3跳
第4跳
第5跳
第6跳
甲
丙
科普测试成绩
科普过程性积分
人数
4
10
3
2
1
0
环数
6环
7环
8环
9环
10环
甲的射击频数
1
1
10
24
24
乙的射击频数
3
2
10
30
15
丙的射击频数
2
4
10
18
26
商品
顾客人数
甲
乙
丙
丁
100
√
×
×
√
217
√
√
×
×
200
√
√
√
×
250
√
×
√
×
100
×
×
×
√
133
√
×
√
×
路口
路口一
路口二
路口三
遇到红灯的概率
遇到红灯停留的时间
3分钟
2分钟
1分钟