2024年北京市各区高三年级一模数学专题分类汇编——解析几何

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1.（2024房山一模11）双曲线的离心率是_________.
【答案】
2.（2024延庆一模11）已知双曲线的离心率为，则双曲线的渐近线方程为________.
【答案】
3.（2024东城一模3）已知双曲线的离心率为，则
A.B.C.D.
【答案】B
4.（2024丰台一模3）已知双曲线的离心率为，则
A.B.
C.D.
【答案】B
5.（2024门头沟一模4）已知双曲线经过点，离心率为，则的标准方程为
A.B.
C.D.
【答案】C
6.（2024顺义一模5）已知双曲线的离心率，则的取值范围是
A.B.C.D.
【答案】A
7.（2024海淀一模5）若双曲线上的一点到焦点的距离比到焦点的距离大，则该双曲线的方程为
A.B.C.D.
【答案】D
8.（2024平谷一模12）已知双曲线的左、右焦点分别为，并且经过
点，则________；双曲线的渐近线方程为________.
【答案】；
9.（2024朝阳一模7）已知双曲线的右焦点为，过点作垂直于轴的直线，分别是与双曲线及其渐近线在第一象限内的交点. 若是线段的中点，则的渐近线方程为
A.B.C.D.
【答案】C
10.（2024西城一模13）双曲线的渐近线方程为_________；若与
圆交于四点，且这四个点恰有正方形的四个顶点，
则_________.
【答案】；
二、抛物线
1.（2024房山一模2）抛物线的准线方程是
A.B.C.D.
【答案】D
2.（2024西城一模4）已知抛物线与抛物线关于直线对称，则的准线方程是
A.B.
C.D.
【答案】C
3.（2024延庆一模4）已知抛物线的焦点为，点在上. 若到直线的距离为，则
A.B.C.D.
【答案】B
4.（2024门头沟一模12）已知抛物线的焦点为，点在上，若，则到直线的距离为_________.
【答案】
5.（2024平谷一模6）已知抛物线的焦点为，是坐标原点，点在上. 若，则
A.B.C.D.
【答案】A
6.（2024朝阳一模12）已知抛物线的焦点为，准线方程为，则
_________；设为原点，点在抛物线上，若，则_________.
【答案】；
7.（2024丰台一模13）已知是抛物线的焦点，是该抛物线上的两点，
，则线段的中点到轴的距离为_________.
【答案】
8.（2024石景山一模12）斜率为的直线经过抛物线的焦点，且与该抛物线相交于两点，则_________.
【答案】
9.（2024东城一模14）已知抛物线的焦点为，则的坐标为________；
抛物线的焦点为，若直线分别与交于两点，
且，则________.
【答案】；
三、直线与圆
1.（2024朝阳一模5）已知直线和圆相交于两点.
若，则
A.B.C.D.
【答案】D
2.（2024房山一模6）直线截圆所得劣弧所对的圆心角
为，则的值为
A.B.C.D.
【答案】B
3.（2024海淀一模12）已知，线段是过点的弦，则的最小值为_________.
【答案】
4.（2024石景山一模6）直线与圆相交于两点，则线段的长度可能为
A.B.C.D.
【答案】B
5.（2024丰台一模7）在平面直角坐标系中，直线有且仅有一点，
使，则直线被圆截得的弦长为
A.B.
C.D.
【答案】D
6.（2024延庆一模9）在等边中，，为所在平面内的动点，
且，为边上的动点，则线段长度的最大值是
A.B.C.D.
【答案】D
7.（2024门头沟一模9）在平面直角坐标系中，记为点到直线
的距离，则当变化时，的最大值与最小值之差为
A.B.C.D.
【答案】D
8.（2024平谷一模10）设点，动直线，作于点，则点
到坐标原点距离的最小值为
A.B.C.D.
【答案】C
四、曲线与方程
1.（2024房山一模9）在平面直角坐标系中，已知，两点. 若曲线上存在一点，使，则称曲线为“合作曲线”，给出下列曲线：
①；②；③.
其中“合作曲线”是
A.①②B.②③C.①D.②
【答案】A
2.（2024石景山一模10）对于曲线，给出下列三个命题：
①关于坐标原点对称；
②曲线上任意一点到坐标原点的距离不小于；
③曲线与曲线有四个交点.
其中正确的命题个数是
A.B.C.D.
【答案】C
五、大题
1.（2024平谷一模19）
已知椭圆过点，离心率为.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过椭圆的右焦点作斜率为的直线交椭圆于点，直线交直线
于点，过点作轴的垂线，垂足为，直线交轴于，直线交轴于，求证：点为线段的中点.
【答案】
解：（Ⅰ）由题意得
解得，.
所以椭圆的方程是.
（Ⅱ）椭圆的右焦点的坐标为，
由题意，设直线的方程为 .
，整理得
设直线交椭圆于点，则
，.
由直线的方程，令解得，
所以，.
所以直线的方程为，.
令解得，所以.
直线的方程为，.
令解得，所以.
.
由于，.
则
==2.
所以线段的中点为.
2.（2024西城一模19）
已知椭圆的一个顶点为，离心率为.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设为原点. 直线与椭圆交于两点（不是椭圆的顶点），与直线交于点. 直线分别与直线交于点. 求证：.
【答案】
解：（Ⅰ）由题设， ………3分
解得．
所以椭圆的方程为．………5分
（Ⅱ）由题设，直线的斜率存在，设其方程为．
则,直线的方程为．………6分
由 得．………7分
由，得．
设，，则，．………8分
直线的方程为．………9分
联立直线和得．
解得．………11分
同理可得．
所以．………12分
因为
所以，即点和点关于原点对称．
所以． ………15分
3.（2024东城一模20）
已知椭圆的短轴长为，离心率.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设为坐标原点，直线是圆的一条切线，且直线与椭圆交于
两点，若平行四边形的顶点恰好在椭圆上，求平行四边形的面积.
【答案】
解：（ = 1 \* ROMAN I）由已知可得，解得，
所以椭圆的方程为. 分
（ = 2 \* ROMAN II）当直线斜率存在时，设直线，
由直线与圆相切得，化简得.
设，则，
，
，.
因为在椭圆上，
所以，即，
即，解得，，.
此时弦长，
因为到直线的距离,
所以平行四边形的面积.
当直线斜率不存在时，不妨设直线，则 ，
所以不在椭圆上,不合题意. 分
4.（2024房山一模19）
已知椭圆的离心率为，左焦点为，过的直线交
椭圆于两点，点为弦的中点，是坐标原点，且不与重合.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若是延长线上一点，且的长度为，求四边形面积的取值范围.
5.（2024丰台一模19）
已知椭圆的焦距为，以椭圆的四个顶点的四边形的周长
为.
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）过点的直线交椭圆于两点，线段的中点为. 是否存在定点，
使得？若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】
解：（Ⅰ）由题意得解得
所以椭圆的方程为．………………5分
（Ⅱ）若存在定点D，使得，等价于以为直径的圆恒过定点．
当直线的斜率不存在时，为直径的圆的方程为①，
当直线的斜率为0时，令，得，
因此为直径的圆的方程为②．
联立①②得猜测点的坐标为．
设直线的方程为，
由得．
设，则
．
所以
综上，存在定点D，使得．………………14分
6.（2024顺义一模19）
已知椭圆过点，且.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设斜率为的直线与交于两点（异于点），直线分别与轴交于点，求的值.
【答案】
7.（2024门头沟一模19）
已知椭圆的离心率为，椭圆的上顶点为，右顶点为，点为坐标原点，的面积为.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若过点且不过点的直线与椭圆交于两点，直线与直线
交于点，试判断直线的斜率是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明
理由.
8.（2024延庆一模19）
已知椭圆的离心率为，分别是的上、下顶点，
，分别是的左、右顶点.
（Ⅰ）求的方程；
（Ⅱ）设为第二象限内上的动点，直线与直线交于点，直线与直线交于点，求证：.
【答案】
（Ⅰ）由题设， …………3分
解得． …………4分
所以的方程为． …………5分
（Ⅱ）方法一：
因为椭圆的方程为，所以，
因为为第二象限上的动点，设．…………6分
所以，即． …………7分
直线的方程为，即． …………8分
直线的方程为，即． …………9分
由 得． …………10分
直线的方程为，即． …………11分
直线的方程为，即． …………12分
由 得． …………13分
， ………15分
（）
所以，即．
方法二：
因为椭圆的方程为，所以，
设直线的方程为，其中． …………7分
由 得． …………9分
直线的方程为，即． …………10分
由 得． …………11分
直线的方程为，即． …………12分
直线的方程为，即． …………13分
由 得． …………14分
因为，所以． …………15分
9.（2024海淀一模19）
已知椭圆的离心率为，分别是的左、右顶点，是的右焦点.
（Ⅰ）求的值及点的坐标；
（Ⅱ）设是椭圆上异于顶点的动点，点在直线上，且，直线与轴交于点. 比较与的大小.
【答案】
解：（Ⅰ）由题意知. 设，，则.
因为的离心率为，所以，即．
所以，.
所以的值为，点的坐标为．
（Ⅱ）由题意可设 （），，，则，. ①
因为,
所以.
所以. ②
因为，，三点共线，，
所以. ③
由①②③可得.
由（Ⅰ）可知，.
所以
.
所以，即.
10.（2024朝阳一模19）
已知椭圆的离心率为，分别是的左、右顶点，是上异于的点，的面积的最大值为.
（Ⅰ）求的方程；
（Ⅱ）设为原点，点在直线上，分别在轴的两侧，且与的
面积相等.
（ⅰ）求证：直线与直线的斜率之积为定值；
（ⅱ）是否存在点使得. 若存在，求出点的坐标，若不存在，
说明理由.
【答案】
解：（Ⅰ）由题知的最大值为，
依题意解得
所以的方程为．5分
（Ⅱ）设，，则．
（ⅰ）由题知，所以，
即，故．
设直线的斜率为，直线的斜率为，
所以．
所以直线与直线的斜率之积为定值．
（ⅱ）假设存在点使得，
因为，，，
所以．
由（ⅰ）可知．
所以，
即．
所以．
又，所以．
所以，
整理得，解得，与矛盾．
所以不存在点使得．15分
11.（2024石景山一模20）
已知椭圆的离心率为，短轴长为.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设为坐标原点，过点分别作直线，直线与椭圆相切于第三象限内
的点，直线交椭圆于两点. 若，判断直线与直线的位置关系，并说明理由.