2024年通用版高考数学二轮复习专题3.1 函数的概念及其表示(教师版)

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题型一已知函数解析式求定义域
例1．（2023·河北·统考模拟预测）设全集，集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由定义域得到，从而求出补集.
【详解】由题意得，，解得，因为，所以，
故．
故选：A．
例2．（2023春·江西·高一校联考期中）函数的定义域为______.
【答案】
【分析】根据代数式有意义，可得，进而结合正切函数的图象及性质和一元二次不等式求解即可.
【详解】由，解得，
所以，
即函数的定义域为.
故答案为：.
练习1．（2022秋·广东佛山·高一佛山市荣山中学校考期中）函数的定义域为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据函数的具体形式，直接列式求函数的定义域.
【详解】根据函数形式可知，函数的定义需满足
，解得：且，
所以函数的定义域为.
故选：B
练习2．（2023·北京朝阳·二模）函数的定义域为________.
【答案】
【分析】解不等式即可得函数的定义域.
【详解】令，可得，解得.
故函数的定义域为.
故答案为:.
练习3．（2023春·辽宁沈阳·高三沈阳市第一二〇中学校考阶段练习）求函数的定义域为__________________.
【答案】
【分析】根据对数以及根式的性质，转化成三角函数的不等式，由三角函数的性质即可求解.
【详解】的定义域需要满足，即，
所以，其中，即，
故答案为：.
练习4．（2023春·广东河源·高三龙川县第一中学校考期中）求函数的定义域为_________．
【答案】
【分析】根据给定的函数有意义，列出不等式组，再利用正余弦函数的性质求解作答.
【详解】函数有意义，则，即，
解，得，
解，得，于是，
所以所求定义域为.
故答案为：
练习5．（2022秋·高三单元测试）函数的定义域为________．
【答案】
【分析】根据根式的性质有，利用指数函数的单调性解不等式求定义域即可.
【详解】由题设，即，
所以，可得，
故函数定义域为.
故答案为：
题型二识别函数及相同函数
例3．（2020秋·安徽芜湖·高三校考阶段练习）下列各图中，不可能是函数图象的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据函数的定义，可得答案.
【详解】对于C，当时，任意对应两个，显然C错误.
故选：C.
例4．（2022秋·山东东营·高三利津县高级中学校考阶段练习）下列四组函数中与是同一函数的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】C
【分析】根据函数的定义域、对应关系等知识确定正确答案.
【详解】A选项，的定义域是，的定义域是，所以不是同一函数.
B选项，的定义域是，的定义域是，所以不是同一函数.
C选项，，两个函数定义域、值域、对应关系完全相同，是同一函数.
D选项，的定义域是，的定义域是，所以不是同一函数.
故选：C
练习6．（2022秋·浙江舟山·高三舟山中学校考阶段练习）设集合，，则下列图象能表示集合到集合且集合Q为值域的函数关系的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由已知结合函数的定义分别检验各选项即可判断.
【详解】对于,由函数的定义知的定义域不是，不符合题意；
对于,的值域不是，不符合题意；
对于,中集合中有的元素在集合中对应两个函数值,不符合函数定义;
对于,能表示集合到集合的函数关系.
故选:.
练习7．（2023春·福建莆田·高三校考期中）下列选项中，表示的不是同一个函数的是（ ）
A．与
B．与
C．与
D．与
【答案】D
【分析】分别判断函数的定义域和对应关系，判断两个函数是否是同一函数.
【详解】对于A选项，的定义域是，解得：，
所以的定义域是，
的定义域是，解得：，
所以的定义域是，
并且，所以两个函数的定义域相同，对应法则相同，所以是同一函数；
对于B选项，，，两个函数的定义域相同，都是，对应法则也相同，所以是同一函数；
对于C选项，两个函数的定义域相同，当与时，，故两个函数对应法则也相同，所以是同一函数；
对于D选项，的定义域是，的定义域是，两个函数的定义域不同，所以不是同一函数.
故选：D
练习8．（2022秋·黑龙江鸡西·高一校考阶段练习）对于函数若，则下列说法正确的个数为（ ）
①
② 有且只有一个
③ 若，则
④ 若，则
A．4B．3C．2D．1
【答案】B
【分析】根据函数的基本概念判断即可.
【详解】解：对于函数，若，，则根据函数的定义可得，且唯一；
故有若，有，故①②④正确；
若，则不一定，如，则，但，故③错误；
故说法正确的个数为3.
故选：B.
练习9．（2021秋·广西崇左·高三崇左高中校考期中）下列函数中，与函数是同一函数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先求出函数的定义域，进而将函数的解析式化简，最后得到答案.
【详解】由题意，，则函数的定义域为，所以，所以与是同一函数的是.
故选：A.
练习10．（2022秋·安徽合肥·高二合肥市第六中学校考阶段练习）（多选）下列对应法则满足函数定义的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【分析】利用换元法结合函数的定义逐项分析判断.
【详解】对A：令，则或，
∴对于自变量对应两个函数值、，A错误；
对B：令，则，，
∴对于自变量对应唯一的函数值，B正确；
对C：令，则或，
∴对于自变量对应两个函数值、，C错误；
对D：令，即，
则，即，
∴对于自变量对应唯一的函数值，D正确；
故选：BD.
题型三抽象函数的定义域
例5．（2022秋·高三单元测试）若函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】定义域为的取值范围，结合同一对应法则下括号内范围相同，求出答案.
【详解】由题意得，故，故函数的定义域为.
故选：D
例6．已知函数的定义域为，求函数的定义域.
【答案】
【分析】根据抽象函数的定义域求法即可解决
【详解】∵函数的定义域为
∴，解之得：
故函数的定义域为：
练习11．（2023春·河北保定·高三保定一中校考期中）函数的定义域为，值域为，那么函数的定义域和值域分别是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】D
【分析】根据复合函数的定义域和值域求解即可.
【详解】因为函数的定义域为，所以，
所以，所以函数的定义域.
将函数的图象向左平移2个单位，
可得的图象，故其值域不变．
故选：D.
练习12．（2022秋·湖南衡阳·高三衡阳市一中校考期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据给定条件，结合抽象函数定义域的意义，列出不等式求解作答.
【详解】函数的定义域为，则，因此在中，，
函数有意义，必有，解得，
所以函数的定义域为.
故选：C
练习13．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据抽象函数和具体函数的定义域可得出关于的不等式组，由此可解得函数的定义域.
【详解】因为函数的定义域为，对于函数，
则有，解得或.
因此，函数的定义域为.
故选：A.
练习14．（2022秋·四川·高三四川省平昌中学校考阶段练习）函数的定义域为，则的定义域为________.
【答案】
【分析】根据抽象函数的定义域求的定义域即可.
【详解】由于函数的定义域为，则，所以函数的定义域为，
则函数中，所以，即的定义域为.
故答案为：.
练习15．（2022秋·高三课时练习）已知的定义域为 ，求的定义域.
【答案】
【分析】令，，根据二次函数的性质求出的范围，即可得的定义域.
【详解】解：令，，
由二次函数的性质可得，
所以的定义域为.
题型四待定系数法求解析式
例7．（2022秋·辽宁·高一辽宁实验中学校考阶段练习）二次函数满足，且.
(1)求的解析式；
(2)求在上的最小值.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）设，由得，由，得，解方程组求出，的值，从而求出函数的解析式；
（2）对讨论，注意对称轴和区间的关系，由单调性即可得到最小值．
【详解】（1）解：设，因为，所以，
即，
根据，即，
解得，，所以；
（2）解：函数，其对称轴为，
当即时，区间为减区间，
最小值为；
当，即时，取得最小值1；
当，即时，区间为增区间，
取得最小值．
综上可得时，最小值为；
时，最小值为1；
时，最小值为．
例8．（2022秋·高三课时练习）已知一次函数f（x）满足f（f（x））＝3x+2，则f（x） 的解析式为_________
【答案】或
【分析】设出一次函数解析式，化简，结合函数相等可得答案.
【详解】设，则
于是有解得或所以或.
故答案为：或.
练习16．（2023·全国·高三专题练习）已知函数（a，b为常数，其中且）的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】D
【分析】由函数在定义域上单调递增，可得，排除A，C；代入,得，从而得答案.
【详解】解：由图象可得函数在定义域上单调递增，
所以，排除A，C；
又因为函数过点,
所以，解得．
故选：D
练习17．（2021秋·高三课时练习）某企业生产某种产品时的能耗y与所生产的产品件数x之间的关系式为，其中，当时，；当时，，且此产品生产件数不超过20．则y关于x的解析式为______________．
【答案】（，且）
【分析】根据已知条件将两组值代入得到二元一次方程组，求解a，b的值，得到函数解析式，并根据应用条件写出定义域的范围即可.
【详解】由题意知，即，解得，
所以所求函数的解析式为（，且）．
练习18．（2020秋·云南昆明·高三校考期中）已知为一次函数，且，则的值为_______．
【答案】
【分析】设，代入已知关系式可构造方程组求得解析式，代入即可得到结果.
【详解】为一次函数，可设，
，
，解得：或，或，
.
故答案为：.
练习19．（2022秋·四川·高一四川省平昌中学校考阶段练习）已知函数为一次函数，若，
(1)求的解析式；
(2)若为定义在R上的增函数，且，.求的最值.
【答案】(1)或
(2)最小值，无最大值
【分析】（1）设 (a)，可得，进而可得解；
（2）由条件得，利用，结合基本不等式即可得解.
【详解】（1）设 (a)，∴，
即，∴且，解得：或
∴或
（2）∵为R上的增函数，∴
∴
∴
当且仅当，即时取“=”
∴有最小值，无最大值.
练习20．已知函数，且.
(1)求的解析式；
(2)求在区间上的取值范围.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根据给定条件，利用待定系数法求解作答.
（2）利用二次函数的单调性，求出函数在给定区间上的最值作答.
【详解】（1）函数，且，则，解得，有，
所以的解析式是.
（2）由（1）知，，函数在上单调递减，在上单调递增，
因此，而，则，
所以在区间上的取值范围是.
题型五换元法求解析式
例9．（2023·全国·模拟预测）已知，则______．
【答案】/2.5
【分析】根据函数解析式，令，得，代入函数解析式计算即可求解.
【详解】由题意得，，
令，由，得，
∴．
故答案为：.
例10．（2023·全国·高三专题练习）已知，则函数_______，=_______．
【答案】 11
【分析】利用换元法可求出，进一步可得.
【详解】令，则，
所以，所以，
所以.
故答案为：；.
练习21．（2023·全国·高三专题练习）若，且，则（ ）
A．3B．C．D．
【答案】C
【分析】应用换元法求函数解析式即可.
【详解】因为,,则
设即
则,即
所以
故选:.
练习22．（2022·全国·高三专题练习）已知，则__．
【答案】
【分析】先令括号里1t，求出的范围，将用表示，求出的解析式，最后在将换成即可．
【详解】设（），则，，（），
则.
故答案为：
练习23．（2023秋·江西吉安·高三统考期末）已知函数，若，则a＝__________．
【答案】
【分析】先用换元法求得函数，然后结合对数的计算，即可求解.
【详解】解：根据题意，设，则，故．
若，则，解得．
故答案为：
练习24．（2022秋·江西上饶·高三校考期中）已知函数，则__________
【答案】
【分析】令，可得，代入可得出的表达式，即可得出函数的解析式.
【详解】令，可得，由可得，因此，.
故答案为：.
练习25．（2023秋·四川成都·高三校考期末）已知，则______．
【答案】，
【分析】用换元法求解函数解析式．
【详解】令，其中，则，即
故答案为：，．
题型六赋值思想求解析式
例11．（2023春·云南文山·高三校联考期中）已知函数的定义域为R，对任意均满足：则函数解析式为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用方程组法求解析式即可.
【详解】由，可得①，
又②，①＋②得：，解得，
故选：A．
例12．（2022秋·高三课时练习）已知函数为奇函数，为偶函数，，则________；______.
【答案】
【分析】根据奇偶性定义，结合已知等式可构造方程组求得结果.
【详解】为奇函数，为偶函数，，
，
由得：，.
故答案为：；.
练习26．（2023·重庆·二模）已知对任意的实数a均有成立，则函数的解析式为________．
【答案】
【分析】先利用方程组思想结合诱导公式求出或，再利用换元法即可得解，注意函数的定义域.
【详解】由，①
得，
即，②
得：，
所以，
令，则，
所以.
故答案为：.
练习27．（2020秋·安徽芜湖·高三校考阶段练习）函数满足，则_________.
【答案】
【分析】利用构造法，整理函数解析式，代值可得答案.
【详解】由题意，建立，消去可得：，
整理可得，则.
故答案为：.
练习28．（2023·全国·高三专题练习）设定义在上的函数满足，则___________.
【答案】
【分析】利用方程组法求函数解析式，将换成，两式联立即可求解.
【详解】因为定义在上的函数满足，
将换成可得：，将其代入上式可得：
，
所以，
故答案为：.
练习29．（2022秋·浙江温州·高一温州中学校考期中）已知奇函数和偶函数满足.
(1)求和的解析式；
(2)若对于任意的，存在，使得，求实数的取值范围.
【答案】(1)，；
(2).
【分析】(1)根据已知条件再用－x替换x再构造一个关于、的方程，与已知方程联立即可求得答案；
(2)设A=，B=，由题可知A，列出不等式组即可求出k的范围．
【详解】（1）由题可知，，，，①
故，即，②
①和②联立解得，，；
（2）设A=，
令，则化为，
易知在上单调递增，故，，
故；
设B=，
令，则化为，
易知在单调递增，故，
则时，．
若对于任意的，存在，使得，
则A，则显然k＞0，则B=，
则，
则，解得．
练习30．（2022秋·河北石家庄·高三石家庄精英中学校考阶段练习）已知定义在上的函数满足，则___________.
【答案】
【分析】分别令，，可构造方程组求得结果.
【详解】令，则；令，则；
由得：.
故答案为：.
题型七单调性法求函数的值域与最值
例13．（2023·内蒙古阿拉善盟·统考一模）已知集合，，则等于（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据对数函数的单调性解出集合A，根据指数函数的性质解得集合B，结合交集的概念和运算即可求解.
【详解】由，得，
解得，即，
由，得，即，
所以.
故选：A.
例14．（2023秋·广东湛江·高三雷州市第一中学校考期末）若定义运算，则函数的值域是___________.
【答案】
【分析】根据给定的定义，求出函数的解析式，再分段求出值域作答.
【详解】依题意，由，得，即，解得，
由解得，因此，
显然函数在上单调递减，取值集合为，在上单调递增，取值集合是，
所以函数的值域为.
故答案为：
练习31．（2023·河北·高二统考学业考试）已知函数，则的最小值是（ ）
A．B．0C．1D．2
【答案】C
【分析】求时函数的最小值及时函数的最小值，最后两个最小值比较，谁最小即为函数的最小值.
【详解】当时，函数在上单调递减，
所以当时，函数有最小值为，
当时，函数在上单调递增，
所以，
综上，当时，函数有最小值为1.
故选：C
练习32．（2023春·湖北咸宁·高三校考开学考试）当时，函数的值域是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据指数函数的单调性得出值域.
【详解】因为指数函数在区间上是增函数，所以，
于是，即
所以函数的值域是.
故选：C.
练习33．（2023秋·内蒙古乌兰察布·高三校考期末）函数（）在上的最大值是（ ）．
A．0B．1C．3D．a
【答案】C
【分析】根据对数的单调性，结合对数的运算性质进行求解即可.
【详解】因为，
所以该函数是单调递增函数，
所以，
故选：C
练习34．（2023·全国·高三专题练习）函数的值域为__________
【答案】
【分析】根据二次函数的单调性直接求解即可.
【详解】为开口方向向上，对称轴为的抛物线，
在上单调递减，在上单调递增，
当时，；当时，，
的值域为.
故答案为：.
练习35．（2022秋·新疆·高三乌鲁木齐市第70中校考期中）若函数的值域是，则实数的取值范围是 __．
【答案】
【分析】先根据基本不等式求出时的取值范围，然后根据的范围得出在上的单调性，求出值域．根据题意，即可得出答案.
【详解】因为函数.
当时，有，当且仅当时等号成立.
当，即时，有，不满足题意；
当，即时，在上单调递减，有，不满足题意；
当，即时，在上单调递增，有.
要使的值域是，则应有，所以.
综上所述，当时，的值域是.
故答案为：.
题型八基本不等式法求函数的值域与最值
例15．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为，是偶函数，是奇函数，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用函数奇偶性的定义可求得函数的解析式，再利用基本不等式可求得的最小值.
【详解】因为函数为偶函数，则，即，①
又因为函数为奇函数，则，即，②
联立①②可得，
由基本不等式可得，
当且仅当时，即当时，等号成立，
故函数的最小值为.
故选：B.
例16．（2023·全国·高三专题练习）对于定义在上的奇函数，当时，，则该函数的值域为________.
【答案】
【分析】根据奇函数的性质求得，再结合基本不等式求时其的取值范围，再结合奇函数的性质求时函数值的范围，由此可得函数值域.
【详解】因为为上的奇函数，
所以，所以，
又当时，，
所以，
当且仅当时等号成立，
即当时，，
因为为上的奇函数，
所以函数的图象关于原点对称，
所以时，，
所以函数的值域为.
故答案为：.
练习36．（2022秋·湖南怀化·高三校联考期末）若对于任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】令,则，利用基本不等式可以求出结果.
【详解】令，由题意可得，
，当且仅当，即时等号成立，
，所以实数的取值范围为.
故选：C.
练习37．（2023秋·江苏苏州·高三统考开学考试）已知为奇函数.求的值及的最大值；
【答案】，
【分析】根据奇函数的性质，求出的值，再代入检验，则，利用基本不等式计算可得；
【详解】解：因为定义域为，且为奇函数，
所以，所以，
当时， 所以，符合题意；
由
，
当且仅当，即，等号成立，
所以的最大值为.
练习38．已知是奇函数．
(1)求的值；
(2)求的值域．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据奇函数的性质，建立方程，可得答案；
（2）利用基本不等式，结合奇函数性质，可得答案.
【详解】（1）因为是奇函数，则，
所以，
可得：，
则恒成立，故．
（2）由（1）可知，，
当时，，当且仅当时，等号成立；
又是奇函数，所以的值域为．
练习39．（2023春·安徽马鞍山·高二安徽省马鞍山市第二十二中学校考阶段练习）已知函数．
(1)求关于的不等式的解集；
(2)若，求函数在上的最小值．
【答案】(1)当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为或；
当时，原不等式的解集为或.
(2)
【分析】（1 ）利用一元二次不等式的解法及对参数分类讨论即可求解；
（2 ）根据已知条件及基本不等式即可求解.
【详解】（1）由可得，即，
当时，不等式，解得，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为或；
当时，不等式的解集为或；
综上：当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为或；
当时，原不等式的解集为或.
（2）由，得，解得，
所以，因为，所以，
则，当且仅当，即时，等号成立，
所以当时，函数在上的最小值为.
练习40．（2023秋·广东河源·高三龙川县第一中学统考期末）求函数的值域．
【答案】
【分析】先转化构造乘积为定值,再分情况应用基本不等式求解即可.
【详解】，
若，则，
∴，
当且仅当，即时等号成立．
若，则，
∴，
∴，当且仅当，即时等号成立，
∴的值域为．
题型九分离变量法求函数的值域与最值
例17．（2022秋·黑龙江哈尔滨·高二校考期中）函数的值域为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】先根据解析式求出定义域,再对函数解析式进行分离常数,最后确定值域即可.
【详解】解:由题知,,
,
,
,
即值域为.
故选:B
例18．（2021·高三课时练习）函数的值域为__．
【答案】[,2]
【分析】先换元令t＝sinx，t∈[-1,1]，再分离常数，然后逐一求式子的范围，即可求函数的值域．
【详解】解：令t＝sinx，t∈[-1,1]，
所以原式可化为：，
∵﹣1≤t≤1，∴2≤t+3≤4，
∴，则，
∴，函数的值域为．
故答案为：．
练习41．（2023·全国·高三专题练习）函数的值域为__________
【答案】
【分析】采用分离常数的方式可直接求得结果.
【详解】，
，，，
即的值域为.
故答案为：.
练习42．（2022秋·江苏盐城·高一盐城市伍佑中学校考阶段练习）（多选）已知函数，则（ ）．
A．的值域是B．的定义域为
C．D．
【答案】ACD
【分析】由分式性质求定义域，分离常量法确定值域，进而得到的对称中心，即可判断C、D正误.
【详解】由，则定义域为，值域为，
所以是的对称中心，则，
综上，A、C、D正确，B错误.
故选：ACD
练习43．（2023秋·重庆南岸·高三重庆市第十一中学校校考期末）（多选）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．函数的定义域为B．函数的值域为
C．函数是奇函数D．函数在上为减函数
【答案】ABC
【分析】根据指数函数的性质，结合偶函数定义、单调性的性质逐一判断即可.
【详解】A：因为，所以，所以函数的定义域为，故A正确；
B：，由
，
所以函数的值域为，故B正确；
C：因为，
所以函数是奇函数，所以C正确；
D：因为函数是增函数，因为，
所以函数是减函数，
所以函数是增函数，
故是增函数，故D不正确，
故选：ABC.
练习44．（2022秋·河北石家庄·高二石家庄市第十八中学校考阶段练习）（多选）点在函数的图象上，当，则可能等于（ ）
A．B．C．D．0
【答案】AD
【分析】由点在线上得，则，，由复合函数性质逐步讨论值域即可
【详解】点在函数的图象上，∴，∴，
∵由得，
.
故选：AD
练习45．（2023·高三课时练习）函数的定义域是______，值域是______．
【答案】
【分析】由题意可得 , 易得函数的定义域, 变形可得 , 由 的范围结合不等式的性质可得值域.
【详解】由 可得 ,
函数的定义域为 ,
又
,
，
所以函数的值域为 ；
故答案为：；.
题型十分段函数求自变量或函数值
例19．（2023春·湖南长沙·高二长沙市明德中学校考期中）已知函数，若，则实数的值是（ ）
A．或5B．3或C．5D．3或或5
【答案】A
【分析】根据函数解析式，分别讨论，两种情况，结合题中条件，即可求出结果.
【详解】若，则，∴（舍去），
若，则，∴，
综上可得，或.
故选：A．
例20．（2023·陕西安康·统考三模）已知函数，则___________．
【答案】/
【分析】求得，结合的解析式可求得的值.
【详解】因为，且，
则.
故答案为：.
练习46．（2023春·河南·高三校联考阶段练习）已知函数若，则实数（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】B
【分析】根据的范围，即可确定单调范围，进而代入即可分情况求解.
【详解】根据题意，当时，，不符合题意；
当时，，解得；
当时，，不符合题意；
当时，，不符合题意．
故选:B．
练习47．（2022秋·贵州毕节·高三统考期末）已知函数，则函数的所有零点之和为___________．
【答案】
【分析】利用分段函数，分类讨论，即可求出函数的所有零点，从而得解．
【详解】设，则，
①当时，，得；
②当时，，得；
综上所述：若，则或.
故或，则有：
①由，可得或，解得或；
②由，可得或，解得或；
综上所述：函数的所有零点为，，，4.
故所有零点的和为．
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：根据题意分和两种情况讨论，运算求解,
练习48．（2023·四川德阳·统考模拟预测）已知函数，则________．
【答案】/
【分析】根据指对数运算直接运算求解即可.
【详解】解：由题知，.
故答案为：
练习49．（2023·全国·高三专题练习）已知函数在内的最大值是最小值的两倍，且，则______
【答案】或
【分析】分、两种情况讨论，利用指数函数的单调性可得出关于实数的值，可得出函数的解析式，进而可求得的值.
【详解】当时，函数在内单调递增，
此时函数的最大值为，最小值为，
由题意得，解得，则，
此时；
当时，函数在内单调递减，
此时函数的最大值为，最小值为，
由题意得，解得，则，
此时．
故答案为：或.
练习50．（2023·陕西安康·统考三模）已知函数，则______.
【答案】/.
【分析】根据分段函数，和，利用 转化为求解.
【详解】
，
故答案为：.
题型十一 分段函数及图象的应用
例21．（2023秋·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中学校考期末）已知函数.若函数存在最大值，则实数a的取值范围是______.
【答案】
【分析】分段求出函数在不同区间内的范围，然后结合存在最大值即可求解
【详解】当时，函数不存在最大值，故，
当时，在区间上单调递增，
所以此时；
当时，在区间上单调递减，所以此时，
若函数存在最大值，则，解得，又，
所以的取值范围为
故答案为：
例22．（2023·贵州贵阳·统考模拟预测）已知函数在是减函数，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】分析出函数在、上均为增函数，再结合分段函数的单调性可得出关于实数的不等式，解之即可.
【详解】当时，，所以，在上为减函数，
因为在是减函数，且函数在上为减函数，
只需，解得.
故选：B.
练习51．（2023·北京东城·统考二模）设函数，若为增函数，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】首先分析函数在各段函数的单调性，依题意可得且，结合与的函数图象及增长趋势求出参数的取值范围.
【详解】因为，当时函数单调递增，
又在上单调递增，在上单调递减，
要使函数为增函数，则且，
又函数与在上有两个交点和，
且的增长趋势比快得多，
与的函数图象如下所示：
所以当时，当时，当时，
所以，即实数的取值范围是.
故选：B
练习52．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则不等式的解集是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】利用换元法，令，将问题进行转化，利用分段函数的性质进行分段分析，结合函数图像分析即可解决问题.
【详解】令，则即为，
当时，，故 无解，
当时，即为，
在同一平面直角坐标系下画出和的大致图像如图，
由图可得当且仅当时，，
综上所述，的解为，又，
所以，
当时，，
故，解得：，所以，
当时，，
故，解得：，所以，
综上所述，不等式的解集是.
故选：D.
练习53．（2023秋·广东深圳·高三统考期末）设函数若存在最小值，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据分段函数解析式，讨论、，结合一次函数、二次函数性质判断是否存在最小值，进而确定参数范围.
【详解】由，函数开口向上且对称轴为，且最小值为，
当，则在定义域上递减，则，
此时，若，即时，最小值为；
若，即时，无最小值；
当，则在定义域上为常数，而，故最小值为；
当，则在定义域上递增，且值域为，故无最小值.
综上，.
故选：B
练习54．（2023春·浙江宁波·高二余姚中学校考期中）设函数存在最小值，则的取值范围是________.
【答案】
【分析】根据的值与的大小关系进行分类讨论，每种情况分别求函数在和的最小值，并比较大小即可.
【详解】①当时，，故函数在上单调递增，因此不存在最小值；
②当时，.
当时，，故函数存在最小值；
③当时，，故函数在上单调递减，
当时，；当时，.
若，则不存在最小值，故，解得.
此时满足题设；
④当时，，故函数在上单调递减，
当时，；当时，.
因为，所以，
因此不存在最小值.
综上，的取值范围是.
故答案为：.
练习55．（2023春·北京·高二北京市陈经纶中学校考期中）设函数．
①若，则函数的值域为________；
②若在R上是增函数，则的值可以是________．（写出符合条件的一个值）
【答案】 2(的任意数)
【分析】（1）求出分段函数的各自的值域，再将两集合取并集即可；
（2）分段函数在R上是增函数，需要满足各个分段区域内是增函数，还得满足端点值的条件.
【详解】①若，则函数，
当时，为增函数，则，
当时，为增函数，则，
的值域为；
②若在R上是增函数，则需满足
，解得，
故答案为：；2(的任意数).
题型一
已知函数解析式求定义域
题型二
识别函数及相同函数
题型三
抽象函数的定义域
题型四
待定系数法求解析式
题型五
换元法求解析式
题型六
赋值思想求解析式
题型七
单调性法求函数的值域与最值
题型八
基本不等式法求函数的值域与最值
题型九
分离变量法求函数的值域与最值
题型十
分段函数求自变量或函数值
题型十一
分段函数及图象的应用