2024年通用版高考数学二轮复习专题4.1 导数的概念及几何意义(教师版)

这是一份2024年通用版高考数学二轮复习专题4.1 导数的概念及几何意义(教师版)，共35页。试卷主要包含了已知函数，则________等内容，欢迎下载使用。

题型一平均变化率和瞬时变化率
例1．（北京市第十四中学2022-2023学年高二下学期期中测试数学试题）下图是函数的图象，函数在区间，上的平均变化率分别为，，则，的大小关系是（ ）
A．B．C．D．无法确定
【答案】B
【分析】根据平均变化率定义直接计算即可.
【详解】由题可知，，，
所以.
故选：B
例2．（福建省2022-2023学年高三下学期质优生“筑梦”联考数学试题）某铁球在时，半径为.当温度在很小的范围内变化时，由于热胀冷缩，铁球的半径会发生变化，且当温度为时铁球的半径为，其中为常数，则在时，铁球体积对温度的瞬时变化率为（ ）
A．0B．C．D．
【答案】D
【分析】根据题意，由球的体积公式可得，求导即可得到结果.
【详解】由题意可得，当温度为时，铁球的半径为，
其体积，求导可得，
当时，，所以在时，铁球体积对温度的瞬时变化率为.
故选:D
练习1．（2023春·江西·高二校联考期中）某汽车在平直的公路上向前行驶，其行驶的路程y与时间t的函数图象如图.记该车在时间段，，，上的平均速度的大小分别为，，，，则平均速度最小的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据平均速度的定义和两点求斜率公式，可得平均速度为经过两点所对应直线的斜率，结合图形即可求解.
【详解】由题意知，汽车在时间的平均速度大小分别为，
设路程y与时间t的函数关系为，
则，即为经过点的直线的斜率，
同理为经过点的直线的斜率，
为经过点的直线的斜率，
为经过点的直线的斜率，如图，
由图可知，最小，即最小.
故选：C.
练习2．（2023春·贵州·高三校联考期中）函数在区间上的平均变化率为（ ）
A．2B．6C．12D．48
【答案】C
【分析】根据平均变化率的计算公式，结合函数的解析式，准确计算，即可求解.
【详解】根据平均变化率的计算公式，可得函数在区间的平均变化率为：
.
故选：C.
练习3．（2023春·上海嘉定·高三上海市嘉定区第一中学校考期中）蜥蜴的体温与阳光照射的关系近似满足函数关系式：，其中为蜥蜴的体温（单位：），为太阳落山后的时间（单位：）．
(1)求，并解释其实际意义；
(2)蜥蜴体温的瞬时变化率为时的时刻是多少（精确到）？
【答案】(1)，实际意义见解析；
(2).
【分析】（1）求出的导数，代入可求，根据导数的几何意义解释其实际意义；
（2）求解即可.
【详解】（1），则，
表示太阳落山后，蜥蜴的体温下降的速度为.
（2）令，解得,
故蜥蜴体温的瞬时变化率为时的时刻是.
练习4．（2023春·内蒙古呼伦贝尔·高一校考开学考试）如图，从上端口往一高为H的水缸匀速注入水，水注满所用时间为T.若当水深为h时，水注入所用时间为t，则函数的图像大致是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】将容器看做一个球体，根据 的实际意义求解.
【详解】将容器看做一个球体，在刚开始注水时，由于球体的截面积较小，对于相同的 时间，
高度 的变化较大，即 较大，即函数 的导数值较大，到水注入球体的一半
时，由于球体的截面积较大， 的变化率较小，接近于球体的顶端时， 的变化率又较大；
故选：D.
练习5．（2023春·浙江杭州·高三杭州四中校考期中）若小球自由落体的运动方程为（g为常数），该小球在到的平均速度为，在的瞬时速度为，则和的大小关系为________（填“”，“”或“”）
【答案】
【分析】根据给定条件，利用平均速度和瞬时速度的意义，求出和即可作答.
【详解】小球自由落体的运动方程为，求导得，
则小球在到的平均速度，
在的瞬时速度，
所以.
故答案为：
题型二导数的定义运算
例3．（江西省部分学校2022-2023学年高三下学期4月期中联考数学试题）已知，则（ ）
A．1B．3C．6D．9
【答案】D
【分析】利用导数的定义式以及极限的性质可求答案.
【详解】.
故选：D.
例4．若在处可导，则可以等于（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】利用导数的定义对各选项逐一分析计算并判断得出结果.
【详解】由导数定义，
对于A， ，A满足；
对于B，，
，B不满足；
对于C，，
，C不满足；
对于D，，
，D不满足.
故选：A.
练习6．（2023春·湖北武汉·高二校联考阶段练习）设函数，则（ ）
A．3B．C．D．0
【答案】A
【分析】根据导数的定义以及导数运算公式求解.
【详解】因为，
因为，所以，所以，
故选:A.
练习7．（2023春·四川达州·高三校考期中）已知函数，则________．
【答案】/0.5
【分析】根据导函数的定义及求导公式求出答案.
【详解】由题意知，.
故答案为：
练习8．（2023·高三课时练习）如图，函数的图象在点处的切线方程是，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】依题意可知切点坐标，由切线方程得到，利用导数的概念解出即可.
【详解】依题意可知切点，
函数的图象在点处的切线方程是，
，即

又
即
故选：D.
练习9．（2023春·山东菏泽·高三统考期中）已知函数在处可导，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据导数的定义可得，再根据极限的性质计算可得.
【详解】因为函数在处可导，且，
所以，
所以.
故选：C
练习10．（2023春·上海杨浦·高三上海市控江中学校考期中）计算：（ ）
A．0B．C．D．
【答案】D
【分析】变换得到，计算得到答案.
【详解】设
则.
故选：D.
题型三导数的四则运算和复合函数求导
例5．（四川省成都市蓉城名校联盟2022-2023学年高三下学期期中联考理科数学试题）函数的导函数为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据给定条件，利用求导公式及导数运算法则求解作答.
【详解】函数，求导得.
故选：D
例6．（黑龙江省哈尔滨市第九中学校2022-2023学年高二下学期期中数学试题）求下列已知函数的导函数
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】根据导数的四则运算以及复合函数的导数，即可逐一求解.
【详解】（1）
（2）
（3）
（4）
练习11．（2023春·江西·高三校联考期中）求下列函数的导数：
(1)；
(2).
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用商的求导法则可得答案；
（2）利用积的求导法则以及复合函数求导法则可得答案.
【详解】（1）；
（2）.
练习12．（2023春·四川成都·高三四川省成都市新都一中校联考期中）下列导数运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据导数公式判断各项正误即可.
【详解】由，，，，
所以A、B、D错，C对.
故选：C
练习13．（2023春·贵州遵义·高三校考阶段练习）已知函数，则________.
【答案】1
【分析】求解导函数，即可得，于是可得函数解析式，从而可求解的值.
【详解】已知函数，则，所以
则，故.
故答案为：.
练习14．（2023春·黑龙江哈尔滨·高三哈九中校考期中）（多选）下列求导运算错误的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【分析】根据基本函数的求导公式以及求导法则即可结合选项逐一求解.
【详解】对于A，，故A错误，
对于B，，故B正确，
对于C，，故C错误，
对于D，，故D错误，
故选：ACD
练习15．（2023春·上海杨浦·高三上海市控江中学校考期中）函数的导函数的定义域为__________.
【答案】
【分析】确定函数定义域，再求导确定导函数定义域得到答案.
【详解】，函数定义域为，，导函数需满足，
综上所述：导函数定义域为.
故答案为：.
题型四求曲线切线的斜率（倾斜角）
例7．（山东省菏泽市2022-2023学年高三下学期期中数学试题）正弦曲线在点处的切线斜率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用导数的几何意义可求得切线的斜率.
【详解】对函数求导得，
所以，正弦曲线在点处的切线斜率是.
故选：B.
例8．（江苏省无锡市四校2022-2023学年高三下学期期中联考数学试题）已知函数与的部分图象如图所示，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】利用导数的几何意义直接判断.
【详解】由图可知，与在区间上单调递增，所以，.
在区间上，的图象比的图象更陡峭，所以，.
故选：B.
练习16．（2023·全国·高三专题练习）函数的图象如图所示，是函数的导函数，则下列数值排序正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由图象的变化趋势，结合导数的几何意义有，即可得结果.
【详解】由图知：，即.
故选：A.
练习17．（2023春·山东淄博·高三沂源县第一中学校考期中）若直线与曲线相切，则k的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据导数的几何意义，求导数的取值范围，即可求解.
【详解】，
由导数的几何意义可知，.
故选：A
练习18．（2023春·江西·高三校联考期中）已知函数的导函数为，的图象如图所示，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据已知条件作出切线，利用导数的几何意义及斜率的定义即可求解.
【详解】依次作出函数在处的切线，如图所示
根据导数的几何意义及图形中切线的斜率可知，．
故选：B.
练习19．（2023秋·江苏盐城·高三江苏省阜宁中学校联考期末）已知点P是曲线上一动点，为曲线在点P处的切线的倾斜角，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】求出函数的导数，利用均值不等式求出切线斜率的取值范围即可计算作答.
【详解】函数的定义域是R，求导得：函数，而，
则曲线在点处的切线的斜率，
当且仅当，即，时取“=”，而，
于是得，又，因此，，
所以的取值范围是.
故选：A
练习20．（2023春·四川德阳·高三德阳五中校考阶段练习）若曲线在处的切线的倾斜角为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用导数的几何意义求出，然后利用二倍角公式及弦切互化计算即可.
【详解】因为，所以，所以，
所以.
故选：D
题型五曲线上一点处的切线问题
例9．（辽宁省锦州市辽西育明高级中学2022-2023学年高三下学期期中数学试题）曲线在点处的切线方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用导数的几何意义求出切线的斜率，然后由点斜式求出切线方程即可.
【详解】，，，曲线在点处的切线方程为，
即.
故选：B.
例10．（四川省成都市蓉城高中联盟2022-2023学年高三下期期中考试理科数学试题）已知，则曲线在点处的切线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】求导，得到即切线的斜率，然后根据点斜式写出直线方程.
【详解】，，即切线的斜率为，又，切线方程为，即.
故选：A
练习21．（2023春·四川成都·高三四川省成都市新都一中校联考期中）已知，则曲线在点处的切线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据导数的几何含义求出切线的斜率及切点，写出切线方程.
【详解】已知，∵，∴，
又，∴切线过，
∴所求切线为，即，
故选：A.
练习22．（2023春·江苏无锡·高三江阴市华士高级中学校联考期中）已知函数，则在处的切线方程为_______．
【答案】
【分析】直接求导得，代入则可解出，则得到函数方程，则求出切点坐标，即可得到直线方程.
【详解】，令，，解得，
则，则，则在处的切线方程为，即.
故答案为：.
练习23．（2023·陕西榆林·统考模拟预测）已知函数，若的图象在处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为1，则（ ）
A．B．2C．±2D．
【答案】D
【分析】利用导数的几何意义求出切线方程，再求出切线与坐标轴的交点坐标，再根据面积列式可求出结果.
【详解】因为，所以.
因为，所以的图象在处的切线方程为.
因为切线与坐标轴能围成三角形，所以，
令，得，令，得，
所以，所以.
故选：D
练习24．（2023·江西上饶·校联考模拟预测）已知函数在点处的切线方程为______________．
【答案】
【分析】根据求出切点的坐标，由得出在该点处切线的斜率，根据点斜式即可写出切线方程．
【详解】由得，即切点坐标为，
，则，
所以在点处的切线的斜率为，
所以在点处的切线方程为，即，
故答案为：．
练习25．（2023·浙江·校联考模拟预测）函数的图象在点处的切线方程为__________．
【答案】
【分析】求出、的值，利用导数的几何意义可得出所求切线的方程.
【详解】因为，则，所以，，，
所以，函数的图象在点处的切线方程为，
即.
故答案为：.
题型六过一点的切点问题
例11．（天津市南开大学附属中学2022-2023学年高三下学期阶段检测数学试题）曲线过点的切线方程为______________________.
【答案】
【分析】求出导函数，设切点为，表示出切线方程，由切线过点，代入求出，再代入即可.
【详解】因为，所以，设切点为，则，
所以切线方程为，又切线过点，
所以，解得，
所以切线方程为即.
故答案为：
例12．已知经过点的两条直线，均与曲线相切，若直线的方程为，则m的值为______，直线的方程为______．
【答案】 2
【分析】本题是求过一点的切线方程问题，先设出切点坐标，然后根据导数的几何意义知函数在切点处的导数值是切线的斜率，从而列出方程，进而可求解.
【详解】设直线与曲线相切于点．
因为，又由题意得切线的斜率，即．
由直线的斜率为0，得的一个解为0，
所以m的值为2，故，解得另一个解为，
则此时，故直线的方程为，即．
故答案为：2；.
练习26．（2023·全国·模拟预测）过坐标原点作曲线的切线，则切点的横坐标为___________.
【答案】或
【分析】设切点为，利用导数的几何意义表示出切线方程，将代入，即可求得本题答案.
【详解】由可得，设切点坐标为，
所以切线斜率，又因为，
则切线方程为，
把代入并整理可得，解得或.
故答案为：或
练习27．（2023春·上海嘉定·高三上海市嘉定区第一中学校考期中）已知曲线，过点作曲线的切线，则切线方程________．
【答案】
【分析】设切点坐标为，求出切线方程，代入点求出，从而可得切线方程.
【详解】设切点坐标为，
由，得，
所以曲线在点处的切线方程为.
因为切线过点，所以，解得.
所以切线方程为.
故答案为:.
练习28．（2023·海南海口·校联考模拟预测）过轴上一点作曲线的切线，若这样的切线不存在，则整数的一个可能值为_________．
【答案】，，，只需写出一个答案即可
【分析】设切点为，利用导数求切线方程，代入一点，关于的方程没有实数解，由判别式解不等式求整数的值.
【详解】设切点为，因为，所以切线方程为．
因为切线经过点，所以，
由题意关于的方程没有实数解，
则，解得．
因为为整数，所以的取值可能是，，.
故答案为：，，，只需写出一个答案即可
练习29．（2023春·江西·高三校联考期中）（多选）过点且与曲线相切的直线的方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
【分析】设过点的切线与曲线相切于点，根据导数的几何意义求出切线方程，再根据切线过点求出，即可得解.
【详解】设过点的切线与曲线相切于点，
因为，则曲线在点处的切线斜率为，
所以切线方程为，
因为切线过点，所以，解得或，
故切线方程为或.
故选：BC.
练习30．（2023·海南·统考模拟预测）已知函数，过点作曲线的切线，则切线的条数为_______________．
【答案】1
【分析】分与两种情况，设出切点，写出切线方程，将代入，求出相应答案.
【详解】当时，，设切点为，，
其中，
故过的切线方程为，
将代入，可得，解得，满足要求，
当时，，设切点为，，
其中，
故过的切线方程为，
将代入，可得，解得，不合要求，舍去；
故答案为：1
题型七已知切线（斜率）求参数
例13．（2023·广西·统考模拟预测）已知曲线在点处的切线与直线平行，则实数的值为________.
【答案】
【分析】根据导数的几何意义求导列式得，即可实数的值.
【详解】因为，所以，
则，则，解得.
故答案为：.
例14．（2023·重庆·统考三模）已知直线y＝ax－a与曲线相切，则实数a＝（ ）
A．0B．C．D．
【答案】C
【分析】根据导数的几何意义可得，求解即可.
【详解】由且x不为0，得
设切点为，则，即，
所以，可得.
故选：C
练习31．（2023春·四川成都·高三树德中学校考阶段练习）已知曲线在点P处的切线与直线垂直，则P点的横坐标为___________.
【答案】
【分析】由题设知P处的切线斜率为，应用导数几何意义列方程求P点的横坐标.
【详解】由题设在P处的切线斜率为，而，
所以，则，即.
故答案为：
练习32．（2023春·安徽马鞍山·高三马鞍山二中校考阶段练习）若曲线在点(0,)处的切线方程为，则（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】D
【分析】由可知切线的斜率为，所以切线方程为，又切线方程为，比较系数可得a，b的值．
【详解】因为，切点为(0,)，
所以切线的斜率为，则切线方程为，即，
又切线方程为，即，
所以，.
故选：D
练习33．（2023·广西南宁·南宁三中校考一模）已知直线是曲线的切线，则（ ）
A．B．1C．D．2
【答案】B
【分析】根据给定条件，求出函数的导数，再利用导数的几何意义求解作答.
【详解】函数，求导得，令直线与曲线相切的切点为，
于是且，所以.
故选：B
练习34．（2023春·广东深圳·高三红岭中学校考期中）（多选）已知点不在函数的图象上，且过点能作两条直线与的图象相切，则的取值可以是（ ）
A．B．C．0D．
【答案】AB
【分析】由题意切点为，利用导数的几何意义可得求出切线方程，代入点，可得，构造函数，将原问题转化为函数图象的交点个数问题，利用导数求得函数最值，作出函数图象，数形结合，即可求解.
【详解】由题意知，过点作直线与的图象相切，设切点为，
则切线斜率为，则切线方程为，
将点代入，即，即，
令，则，
当时，，在上单调递增，
当时，，在上单调递减，
故，
当时；当时；，
作出的大致图象如图：
由点不在函数的图象上，且过点能作两条直线与的图象相切，
可知，且有两个解，
即的图象和有2个交点，故，
则a的取值可以为.
故选：AB.
练习35．（2023·浙江金华·统考模拟预测）已知函数，过点存在3条直线与曲线相切，则实数的取值范围是___________.
【答案】
【分析】设切点为，利用导数几何意义写出过的切线方程，进而有有三个不同值，即与有三个不同交点，导数研究的极值，即可求参数范围.
【详解】由，设切点为，则切线斜率为，
所以，过的切线方程为，
综上，，即，
所以有三个不同值使方程成立，
即与有三个不同交点，而，
故、上，递减，上，递增；
所以极小值为，极大值为，故时两函数有三个交点，
综上，的取值范围是.
故答案为：
题型八两切线的平行、垂直问题
例15．（2023·河南·洛阳市第三中学校联考模拟预测）已知曲线，过曲线上A，B两点分别作曲线的切线交于点P，AP⊥BP．记A，B两点的横坐标分别为，则（ ）
A．B．1C．D．2
【答案】B
【分析】分段求出函数的导数，利用导数的几何意义结合垂直关系求解作答.
【详解】当时，，当时，，
依题意，曲线在点A，B处的切线互相垂直，则在1的两侧，不妨令，
因此，解得.
故选：B
例16．（2022秋·河北邢台·高三校联考阶段练习）已知函数.
(1)当时，求曲线在处的切线方程；
(2)当时，曲线上存在分别以和为切点的两条互相平行的切线，求的最大值.
【答案】(1)
(2).
【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可；
（2）由题意知，化简得，则，令，利用导数求出其最小值，从而可求出的最大值.
（1）
当时，，，
因为，所以，即，
所以曲线在处的切线方程为，
即；
（2）
由题意知，，
即，
整理得，
因为，所以，
所以，
令，则，
因为，所以，
所以在上单调递增，
即，
所以，
即
所以的最大值为.
练习36．（2022秋·青海·高三青海师大附中校考阶段练习）已知曲线y＝存在两条互相平行的切线，请写出一个满足条件的函数：_______.
【答案】（答案不唯一）
【分析】直接根据导数的几何意义即可得结果.
【详解】两条切线互相平行应先满足在切点处的导数值相等，
练习如，，，，
此时，，
函数在处的切线方程为：；
函数在处的切线方程为：；合乎题意，
故答案为：（答案不唯一）
练习37．（2023·全国·高三专题练习）（多选）已知函数，则（ ）
A．有两个零点B．过坐标原点可作曲线的切线
C．有唯一极值点D．曲线上存在三条互相平行的切线
【答案】ACD
【分析】利用导数研究函数的极值，结合零点的定义即可判断A；利用反证法，根据直线的点斜式方程求出切线方程，即可判断B；利用二次求导研究函数的极值，结合零点的定义即可判断C；利用函数的零点个数与方程的根个数、函数图象交点个数的关系，结合选项C即可判断D.
【详解】A：，
对于函数，
令，令或，
所以函数在上单调递减，在和上单调递增，
则函数在，处分别取极大值和极小值，
由，知只有一个零点，所以有两个零点，故A正确；
B：假设B成立，设切点坐标为，
切线方程为，
即，
∴，但显然，故B错误；
C：，
令，令或，
所以函数在上单调递减，在和上单调递增，
∴函数在处分别取到极大值和极小值，
由知只有一个零点，有一个极值点，故C正确；
D：若D正确，则存在实数m使得有三个不同的根，
即函数与图象有3个交点，
由选项C可知，，故D正确.
故选：ACD.
练习38．（2023春·安徽·高三安徽省太和中学校联考阶段练习）（多选）若函数的图象上不存在互相垂直的切线，则实数的值可以是（ ）
A．B．1C．2D．3
【答案】AB
【分析】将切线垂直，转化为斜率乘积为，然后利用导数的几何意义即可求出的范围.
【详解】因为函数，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，因为函数的图象上，不存在互相垂直的切线，
所以，即，解得.
故选：AB
练习39．（2022春·江苏苏州·高三苏州市相城区陆慕高级中学校考阶段练习）已知函数，若f（x）的图象存在两条相互垂直的切线，则a的值可以是（ ）
A．－4B．－3C．－2D．－1
【答案】AB
【分析】由题可得：，利用基本不等式可得：，由条件知，即可得出答案.
【详解】∵函数，定义域为（0，＋∞），∴，
∴，当且仅当时，取等号，
要使f（x）的图象存在两条相互垂直的切线，则，
所以的值必有一正一负，
当时，，易知符合题意，
当时，，易知符合题意，
当时，，不符题意，
当时，，不符题意，
所以a的值可以是－4或－3.
故选：AB.
练习40．（2023·高三校考课时练习）（多选）已知函数，则下列说法正确的有（ ）
A．时，B．在定义域内单调递增时，
C．时，有极值D．时，的图象存在两条相互垂直的切线
【答案】ABD
【分析】对函数求导得，A代入自变量求参数值即可；B由在上恒成立，求范围即可；C判断时的符号即可；D利用导数研究的单调性及值域，判断定义域内是否存在即可.
【详解】由题设，函数定义域为，且，
A：，则，正确；
B：在定义域上递增，即在上恒成立，只需，而在上的最大值为，故，正确；
C：由B分析知：当时恒成立，此时无极值，错误；
D：令，则，当时，递减；当时，递增；又，
故，趋向于0或正无穷时都趋向于正无穷，
所以上各有一个零点，故上，上，故必存在，即存在两条相互垂直的切线，正确.
故选：ABD
题型九公切线问题
例17．（2023春·四川绵阳·高三校考期中）若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则（ ）
A．2B．3C．1D．1.5
【答案】A
【分析】设切点分别为、，根据导数几何意义及公切线列方程求参数值即可.
【详解】若，则，且，
若，则，且，
又是、的公切线，
设切点分别为、，则，
，则，即.
故选：A
例18．（2022秋·四川绵阳·高三四川省绵阳江油中学校考阶段练习）若存在斜率为3a（a>0）的直线l与曲线与都相切，则实数b的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由导数的几何意义得出，两个函数有共公切点，且求得切点横坐标为，从而用表示出，引入新函数，再由导数求其最大值，从而得的范围．
【详解】由题意，由得，
，由得，
因此两个函数图象有公共切点，切点横坐标为，
所以，即，，
令，则，
时，，递增，时，，递减，
所以，显然时，，
所以，
故选：A．
练习41．（2023春·陕西咸阳·高二校考期中）已知两曲线和都经过点，且在点处有公切线，试求、、的值．
【答案】，，
【分析】根据点在曲线上，求出，再求出两函数的导函数，根据函数在点处有公切线求出，再根据点在曲线上求出.
【详解】∵点在曲线上，
∴，∴，
函数和的导数分别为和，且在点处有公切线，
∴，解得，
又由点在曲线上可得，解得．
综上，，，．
练习42．（2023春·江苏南京·高三江苏省溧水高级中学校考期中）已知直线是曲线与的公切线，则________.
【答案】
【分析】设设直线与曲线相切于点，与曲线相切于点，
然后求出，，再根据导数的几何意义求出切线方程，联立切线方程即可求解.
【详解】设直线与曲线相切于点，与曲线相切于点，
由于，，
所以，，，，
所以由点在切线上，得切线方程为，
由点在切线上，得切线方程为，
故解得.
故答案为：.
练习43．（2023春·福建厦门·高三厦门一中校考期中）写出曲线与曲线的公切线的一个方向向量______.
【答案】（与共线的非零向量均可）
【分析】先利用导数求得曲线与曲线的公切线方程，进而求得该公切线的一个方向向量.
【详解】设曲线上的切点为，
曲线上的切点为，
则，两式相减整理得，
代入上式得，解之得，则，
则曲线与曲线的公切线的公切点为，
则切线斜率为1，切线方程为，
则公切线的一个方向向量为
故答案为：
练习44．（2023·河北唐山·统考三模）已知曲线与有公共切线，则实数的取值范围为__________.
【答案】
【分析】设公切线与曲线的切点为，，利用导数的几何意义分别求和上的切线方程，由所得切线方程的相关系数相等列方程求参数关系，进而构造函数并利用导数研究单调性求参数范围.
【详解】设公切线与曲线和的切点分别为，，其中，
对于有，则上的切线方程为，即，
对于有，则上的切线方程为，即，
所以，有，即，
令，，
令，得，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以，故，即.
∴正实数的取值范围是.
故答案为：.
练习45．（2023·湖北·统考模拟预测）（多选）若存在直线与曲线都相切，则的值可以是（ ）
A．0B．C．D．
【答案】ABC
【分析】设该直线与相切于点，求出切线方程为，设该直线与相切于点，求出切线方程为，联立方程组，得到，令，讨论的单调性，从而得到最值，则可得到，解出的取值范围，四个选项的值分别比较与区间端点比较大小即可判断是否在区间内.
【详解】设该直线与相切于点，因为，所以，
所以该切线方程为，即.
设该直线与相切于点，因为，所以，
所以该切线方程为，即，
所以，
所以，
令，
所以当时，0；当时，；
在和上单调递减；在和上单调递增；
又，所以，
所以，解得，所以的取值范围为，
所以A正确；
对于B，，所以，所以B正确；
对于C， 因为，所以C正确；
对于D， 因为，所以D不正确.
故选：ABC
题型一
平均变化率和瞬时变化率
题型二
导数的定义运算
题型三
导数的四则运算和复合函数求导
题型四
求曲线切线的斜率（倾斜角）
题型五
曲线上一点处的切线问题
题型六
过一点的切点问题
题型七
已知切线（斜率）求参数
题型八
两切线的平行、垂直问题
题型九
公切线问题