2024年通用版高考数学二轮复习专题6.1 平面向量的线性运算，基本定理及坐标表示(教师版)

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题型一平面向量的基本概念
例1．（2023春·北京海淀·高三人大附中校考期中）下列说法中不正确的是（ ）
A．向量的模可以比较大小B．平行向量就是共线向量
C．对于任意向量，必有D．对于任意向量，必有
【答案】D
【分析】根据平面向量的模、平行向量、共线向量的定义即可判断AB；根据平面向量数量积的定义即可判断CD.
【详解】A：向量的模表示向量的长度，为数量，是可以比较大小的，故A正确；
B：平行向量就是共线向量，故B正确；
C：由，得，故C正确；
D：，，
又，所以，故D错误.
故选：D.
例2．（2023春·宁夏银川·高三银川一中校考期中）（多选）下列有关向量命题，正确的是（ ）
A．若，则
B．已知，且，则
C．若，，则
D．若，则且
【答案】CD
【分析】根据向量的模，数量积，向量相等的概念判断各选项．
【详解】对于A：若，，此时满足，但是，故A错误；
对于B：若，且与垂直，此时，但不一定等于，故B错误；
对于C：若，，则，故C正确；
对于D：若，则且与同向，故D正确；
故选：CD
练习1．（2023春·吉林·高三长春吉大附中实验学校校考期中）下列向量中不是单位向量的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据单位向量的定义，一一判断各选项中的向量，即得答案.
【详解】由于，故，即为单位向量；
，则，故不是单位向量；
，则， 为单位向量；
根据单位向量的定义可知为单位向量，
故选：B
练习2．（2023春·陕西宝鸡·高三统考期中）以下结论中错误的是（ ）
A．若，则
B．若向量，则点与点不重合
C．方向为东偏南的向量与北偏西的向量是共线向量
D．若与是平行向量，则
【答案】D
【分析】利用向量共线的基本定理可判定A、C、D选项，利用向量相等的性质可以判断B选项.
【详解】对于A选项，若，则，则，故A说法正确；
对于B选项，若向量，则两向量的起点都是A，点与点不重合，故B说法正确；
对于C选项，方向为东偏南的向量与北偏西的向量可知，两个向量方向相反，是共线向量，故C说法正确；
对于D选项，若与是平行向量，则，两向量的模长不一定相等，故D说法错误；
故选：D.
练习3．（2023春·四川成都·高三成都市第十八中学校校考期中）（多选）下列叙述中正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．已知非零向量与且//，则与的方向相同或相反
D．对任一非零向量是一个单位向量
【答案】CD
【分析】A注意即可判断；B根据向量的性质判断；C由共线向量的定义判断；D由单位向量的定义判断.
【详解】A：若时，不一定有，错误；
B：向量不能比较大小，错误；
C：非零向量与且//，则与的方向相同或相反，正确；
D：非零向量，则是一个单位向量，正确.
故选：CD
练习4．（2023春·安徽六安·高三六安二中校考期中）下列说法错误的是（ ）
A．若ABCD为平行四边形，则B．若，，则
C．互为相反向量的两个向量模相等D．
【答案】B
【分析】根据向量的相关概念和线性运算逐项分析判断.
【详解】对于A：若ABCD为平行四边形，则，故A正确；
对于B：若，则与任何向量均平行，
可得，，但不一定平行，故B错误；
对于C：相反向量：模长相等，方向相反的向量互为相反向量，
所以互为相反向量的两个向量模相等，故C正确；
对于D：因为，故D正确；
故选：B.
练习5．（2023春·陕西西安·高三西安市第八十三中学校考期中）（多选）下列说法正确的是（ ）
A．平行向量不一定是共线向量
B．向量的长度与向量的长度相等
C．是与非零向量共线的单位向量
D．若四边形满足，则四边形是矩形
【答案】BC
【分析】根据共线向量的概念，可判断A不正确；根据相反向量概念，可判定B正确；由向量是与非零向量同向的单位向量，可判定C不正确；由，得到四边形是平行四边形，可判定D不正确.
【详解】对于A中，根据共线向量的概念，可得平行向量一定是共线向量，所以A不正确；
对于B中，向量与向量是相反向量，可得，所以B正确；
对于C中，根据单位向量概念，向量是与非零向量同向的单位向量，也是与向量共线的单位向量，所以C正确；
对于D中，四边形满足，则四边形是平行四边形，不一定是矩形，所以D正确.
故选：BC.
题型二平面向量的线性运算
例3．（2023春·吉林·高三校联考期中）已知，，E为的中点，记，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据向量的线性运算即可结合图形关系求解.
【详解】由得,所以,
故选：B
例4．（2023春·吉林长春·高三东北师大附中校考阶段练习）如图，在平行四边形ABCD中，下列计算结果错误的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据向量运算的几何意义，结合条件逐项分析即得.
【详解】因为四边形为平行四边形，
对A，，正确；
对B，，错误；
对C，，正确；
对D，，正确.
故选：B.
练习6．（2023春·吉林长春·高三东北师大附中校考阶段练习）化简（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】运用向量加法、减法运算求解即可.
【详解】
故选：C.
练习7．（2023春·吉林长春·高三东北师大附中校考阶段练习）如图，在梯形ABCD中，，BC＝2AD，DE＝EC，设，，则（ ）

A．B．C．D．
【答案】D
【分析】取BC中点F，先征得四边形为平行四边形，再结合平面向量基本运算求解即可.
【详解】取BC中点F，连接AF，如图所示，

又因为，，
所以且，
所以四边形为平行四边形，
所以
.
故选：D.
练习8．（2023·河北·统考模拟预测）已知为所在平面内一点，且满足，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据向量的线性表示和加减法运算即可求解.
【详解】如图，
因为，所以是线段的四等分点，且,
所以,
故A,B错误；
由，可得，故C正确，D错误，
故选:C.
练习9．（2023春·北京·高三汇文中学校考期中）如图，在平行四边形中，（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据平面向量的线性运算法则计算出结果.
【详解】.
故选：D
练习10．（2023春·上海青浦·高三上海市青浦高级中学校考期中）下列式子中，不能化简为的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】利用向量加减法法则化简各式，即可得答案.
【详解】A：；
B：；
C：；
D：；
故选：B
题型三已知平面向量的线性运算求参数
例5．（2023·广东广州·统考模拟预测）在中，是边上一点，且是上一点，若，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据平面向量基本定理用表示，又因为三点共线，利用系数和为1求解结果.
【详解】由，得出，
由得
，
因为三点共线，所以，解得.
故选：D.
例6．（2023·北京·高一专题练习）在中，M，N分别是AB，AC的中点，若，则（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】A
【分析】将分别用表示，根据平面向量基本定理即可求解.
【详解】,,
故
，
故，解得.
所以.
故选:A.
练习11．（2023·江苏南京·南京师大附中校考模拟预测）已知的边的中点为，点在所在平面内，且，若，则（ ）
A．5B．7C．9D．11
【答案】D
【分析】利用平面向量的线性运算可将转化为，则得到的值，进而即可求解．
【详解】因为，边的中点为，所以，
因为，所以，
所以，
所以，即，
因为，
所以，，故.
故选：D．
练习12．（2023春·浙江杭州·高三杭师大附中校考期中）平行四边形ABCD中，点E满足，则（ ）
A．B．-1C．1D．
【答案】D
【分析】根据平面向量的线性运算结合平面向量基本定理分析求解.
【详解】由题意可得：，
即，则.
故选：D.
练习13．（2023春·陕西·高三校联考期中）如图，在平行四边形中，.
(1)若，试用表示；
(2)若与交于点，且 ，求的值.
【答案】(1)，
(2)
【分析】(1)根据平面向量加减法的运算规则计算；
(2)先求出AG与GF的比值，以作为基底，将根据向量平行的运算规则计算.
【详解】（1）由题意可知，
，
所以，
；
（2）若 ，则 ，
，
由题意可知三点共线，
，，
由 ，可得，
解得；
综上，（1），；（2）.
练习14．（2023春·四川成都·高一校考期中）在中，点，满足，，若，则（ ）
A．B．C．D．1
【答案】B
【分析】由已知得，由此能求出结果．
【详解】
在中，点，满足，，
，
，，
．
故选：B．
练习15．（2023春·广东佛山·高三校考阶段练习）已知在中，点为边的中点，若，则（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】C
【分析】利用平面向量基本定理求得的值，进而求得的值.
【详解】在中，，
又点为边的中点，则，
则
又，则，
则
故选：C
题型四向量共线与三点共线
例7．（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，，分别是与轴、轴方向相同的单位向量，已知，，，若与共线，则实数的值为（ ）
A．4B．1C．3D．2
【答案】A
【分析】根据平面向量的正交分解得到，，的坐标，然后利用坐标运算得到和的坐标，最后根据向量共线列方程求即可.
【详解】解：根据题意，，，；
，；
与共线；
；
解得．
故选：A．
例8．（2023春·广东深圳·高一深圳中学校考期中）已知是平面内四个互不相同的点，为不共线向量，，，，则（ ）
A．M，N，P三点共线B．M，N，Q三点共线C．M，P，Q三点共线D．N，P，Q三点共线
【答案】B
【分析】根据共线定理即可判断各项.
【详解】对于A，令，即，
所以，所以不存在，使得，A错误；
对于B，由于，，
所以，
所以，又相交于点，
故 M、N、Q三点共线.B正确；
对于C，，
令，即，
所以，所以不存在，使得，C错误；
对于D， 令，即，
所以，所以不存在，使得，D错误.
故选：B
练习16．（2021春·高三课时练习）已知为平面内所有向量的一组基底，，，，则与共线的条件为（ ）
A．B．
C．D．或
【答案】A
【分析】由题意可得存在使得，得到关于的方程组，根据方程组求解即可.
【详解】因为为平面内所有向量的一组基底，所以不共线，且不为零向量，
由与共线可得使得，即，
又因为不共线，所以，
所以，
故选：A
练习17．（2023春·四川成都·高三川大附中校考期中）设，是两个不共线的非零向量，则“与共线”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】利用向量共线定理即可判断.
【详解】“与共线”等价于.
因为，是两个不共线的非零向量，所以，解得：.
所以“与共线”是“”的必要不充分条件.
故选：B
练习18．（2023·全国·高三专题练习）已知向量，，中任意两个都不共线，并且与共线，与共线，那么等于（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据向量共线定理即可得到相关方程组，解出即可.
【详解】∵与共线，∴存在实数，使得.①
又∵与共线，
∴存在实数，使得.②
由①得，.
∴，
∴即.
∴
故选：D.
练习19．（2023春·陕西西安·高三交大附中校考阶段练习）（多选）设向量、是不共线的两个平面向量，已知，其中，，若P、Q、R三点共线，则角的值可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】CD
【分析】三点共线转化为向量共线，再由向量共线的列式求出值判断作答.
【详解】因为三点共线，即共线，则存在实数使得，
因此，又不共线，
于是，解得，又，所以或.
故选：CD
练习20．（2022春·高一课时练习）已知三点共线，是直线外一点，若，则________．
【答案】1
【分析】根据平面向量的线性运算即可求解.
【详解】因为三点共线，
则存在唯一实数对，使得，
又，
所以1．
故答案为：1.
题型五平面向量共线定理的推论
例9．（2023春·上海浦东新·高三上海市洋泾中学校考期中）已知 三点共线于直线，对直线外任意一点，都有，则的最小值为________．
【答案】
【分析】先由A、B、C三点共线，得到，利用基本不等式“1”的妙用求最值.
【详解】由题意，A、B、C三点共线
所以存在实数λ使得，即，
所以
而
所以
则，
所以
当且仅当,即时取等号．
因此的最小值为．
故答案为：．
例10．（2022秋·江西宜春·高三校联考期末）△ABC中，D为AB上一点且满足，若P为CD线段上一点，且满足（，为正实数），则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．的最大值为D．的最小值为3
【答案】D
【分析】由向量对应线段的位置及数量关系用表示判断A；由题设可得，结合共线有，结合基本不等式“1”的代换等判断B、C、D.
【详解】由，A错误；
由，则，
因为共线，所以，则，B错误；
而，仅当，即时等号成立，
故，即，故的最大值为，C错误；
，仅当，即时等号成立，
所以的最小值为3，D正确.
故选：D.
练习21．（2023·安徽滁州·安徽省定远中学校考二模）中，点M是BC的中点，点N为AB上一点，AM与CN交于点D，且，.则（ ）.
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据向量基本定理得到，结合平面向量共线定理得推论得到，求出.
【详解】因为点M是BC的中点，所以，
故，则，
故，
因为三点共线，所以存在使得，
即，则，
所以，解得：.
故选：A
练习22．（2023·全国·高三专题练习）已知为线段上的任意一点，为直线外一点，关于点的对称点为，若，则的值为（ ）
A．B．0C．1D．2
【答案】C
【分析】依题意可得、、三点共线，即可得到，再由，即可得到，从而得解.
【详解】解：依题意可得、、三点共线，所以，
又关于点的对称点为，所以，
又，所以，
所以，，则.
故选：C
练习23．（2023·甘肃酒泉·统考三模）已知是平行四边形对角线上的一点，且，其中，写出满足条件的与的一组的值__________．
【答案】（答案不唯一，满足或即可）
【分析】若在上可得，若在上，根据共线定理的推论得到，填写符合题意的答案即可.
【详解】因为，若在上，则，又，所以，
若在上，即、、三点共线，又，则．
故答案为：（答案不唯一，满足或即可）
练习24．（2023春·广东深圳·高三深圳市高级中学校考期中）如图所示，在中，为边上一点，且，过的直线与直线相交于点，与直线相交于点（，两点不重合）.
(1)用，表示；
(2)若，，求的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据平面向量线性运算法则计算可得；
（2）根据（1）的结论，转化用，表示，根据、、三点共线找出等量关系，再利用基本不等式计算可得；
【详解】（1）因为，所以，
化简得；
（2）因为，，，
所以，由图可知，
又因为、、三点共线，所以，
所以，
当，即时，取最小值.
练习25．（2023秋·辽宁抚顺·高三抚顺一中校考期末）在平行四边形中，分别为上的点，且，连接，与交于点，若，则的值为______.
【答案】
【分析】根据给定条件，利用向量的加法，结合共线向量定理的推论求解作答.
【详解】在中，不共线，因为，
则有，
又三点共线，于是得，解得，
所以的值为.
故答案为：
题型六平面向量的坐标运算
例11．（湖南省名校2023届高三考前仿真模拟（二）数学试题）（多选）已知向量，//，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】AB
【分析】A选项根据向量的数量积运算判断；
B选项根据模长公式计算；
C选项利用向量共线的关系结合模长公式计算；
D选项根据向量的加法进行判断.
【详解】因为，所以，则A正确；
，则B正确；
因为//，所以设，因为，
所以，解得，所以或，故C错误；
，故D错误．
故选：AB
例12．（2023·全国·高三专题练习）（多选）已知向量，，若向量，则可使成立的可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AC
【分析】设，由平面向量的坐标运算可得用表示，逐项检验看是否满足即可得答案.
【详解】设，
由向量，，若向量，
则，解得，
当，时，；
当，时，；
当，时，；
当，时，．
故选：AC．
练习26．（2023春·贵州遵义·高三遵义市南白中学校考阶段练习）已知向量，，.
(1)求；
(2)若，求实数的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用平面向量的坐标运算可求得向量的坐标；
（2）求出向量、的坐标，利用平面向量共线的坐标表示可求得实数的值.
【详解】（1）解：因为，，.
所以，.
（2）解：由已知可得，
，
因为，则，解得.
练习27．（2023春·贵州·高一校联考阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点.
(1)求以线段为邻边的平行四边形的两条对角线的长；
(2)若实数，满足，求的值.
【答案】(1)和
(2)
【分析】（1）根据平面向量的坐标运算及模的坐标公式分别求出，，即可得解；
（2）先分别求出，再根据向量相等的坐标表示即可得解.
【详解】（1）由，
，
，，
所以以线段为邻边的平行四边形的两条对角线的长分别为和；
（2）∵，
∴，
所以.
练习28．（2023·贵州黔东南·凯里一中校考模拟预测）若向量，，，且，则（ ）
A．B．C．D．1
【答案】A
【分析】利用向量的坐标运算与平行充要条件列出关于m的方程，解之即可求得m的值.
【详解】，因为，
所以，解得.
故选：A.
练习29．（2023春·全国·高三专题练习）已知向量，，，则实数m的值为（ ）．
A．B．C．D．1
【答案】D
【分析】先求得的坐标，再由求解.
【详解】解：因为向量，，
所以，
又因为，
所以，
解得，
故选：D
练习30．（2023春·上海奉贤·高三上海市奉贤中学校考期中）已知向量，，若，则m＝______．
【答案】1
【分析】根据向量的坐标运算可得向量，，再利用模长公式整理即可计算出.
【详解】根据题意可知，,,
所以，
由可得，
整理可得，解得.
故答案为：1
题型七平面向量基本定理
例13．（2023·河南郑州·模拟预测）已知点O为坐标原点，，，点P在线段AB上，且，则点P的坐标为______．
【答案】
【分析】解设点坐标，根据已知得出，利用直线方程，解设点坐标，再根据，得出答案即可.
【详解】由题知，，设，
，，，，
，，
，，则直线方程为，
设点坐标为，，
，，
求解可得，，，即点坐标为.
故答案为：
例14．（2023春·四川南充·高三四川省南充高级中学校考阶段练习）（多选）在下列各组向量中，能作为平面的基底的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【分析】判断两个向量是否共线即可，不共线的两个向量才能作为基底.
【详解】对于A，因为，所以，故两向量不能作为基底；
对于B，因为，所以两向量不共线，故两向量能作为基底；
对于C，因为，所以，故两向量不能作为基底；
对于D，因为，所以两向量不共线，故两向量能作为基底.
故选：BD.
练习31．（2023·全国·高三专题练习）若是一组基底，向量，则称为向量在基底下的坐标，现已知向量在基底下的坐标为，则向量在另一组基底下的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据平面向量基底与坐标关系列式求解即可得答案.
【详解】由题意，得；设，
即,,,,，
则，解得，
故选：．
练习32．（2023春·四川南充·高三四川省南充高级中学校考阶段练习）如图，在中，，，直线交于点，若则_________ .

【答案】/0.6
【分析】由三点共线可得存在实数使得，再由三点共线可解得，利用向量的线性运算化简可得，即.
【详解】由题可知，三点共线，由共线定理可知，
存在实数使得,
又，所以，
又三点共线，所以，解得，
即可得，所以，
所以，即，可得，
又，即可得.
故答案为：.
练习33．（2023·全国·高三专题练习）设，是不共线的两个向量，给出下列四组向量：①与；②与；③与；④与．其中不能作为平面内所有向量的一组基底的是_____．（写出所有满足条件的序号）
【答案】③
【分析】根据基底的定义判断即可.
【详解】解：③中，可知两向量共线，不能作为一组基底，选③；
其它选项中的两个向量都不满足，都能做基底，不选．
故答案为：③．
练习34．（2023·全国·高三专题练习）在中，D是BC的中点，E是AD的中点，F是CE的中点，记，，则以为基底表示向量______．
【答案】
【分析】结合图象，由三角形法则以及平行四边形法则，即可得出答案.
【详解】
由已知可得，，
.
故答案为：.
练习35．（2023·全国·高三专题练习）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于O点，线段OD上有点M满足，线段CO上有点N满足，设，已知，则_________．
【答案】3
【分析】由，根据三点共线，用基底表示，由，可得，进而用表示，根据向量基本定理，建立等量关系，即可求解.
【详解】，
，，
，
，
由平面向量基本定理，得
，解得，
故答案为：3.
题型一
平面向量的基本概念
题型二
平面向量的线性运算
题型三
已知平面向量的线性运算求参数
题型四
向量共线与三点共线
题型五
平面向量共线定理的推论
题型六
平面向量的坐标运算
题型七
平面向量基本定理