2024年通用版高考数学二轮复习专题6.5 正、余弦定理(教师版)

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题型一利用正弦余弦定理进行解三角形
例1．（2022春·福建·高二统考学业考试）的内角，所对的边分别为，且，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】应用正弦定理、三角形内角性质求的值.
【详解】由正弦定理知：，则，，
所以或，又，故.
故选：B
例2．（2023春·上海黄浦·高三格致中学校考期中）在中，，，若该三角形为钝角三角形，则边的取值范围是______.
【答案】
【分析】根据三角形的性质可得，分类讨论，结合题意列式求解即可.
【详解】由三角形可得，解得，
若该三角形为钝角三角形，注意到，
则角为钝角或角为钝角，可得或，
即或，解得或，
故边的取值范围是.
故答案为：.
练习1．（2023春·全国·高三专题练习）在中，已知，，，则角的度数为（ ）
A．B．C．或D．
【答案】B
【分析】根据大边对大角得到角，利用正弦定理求得，结合角的范围求得角的度数.
【详解】由，得，于是，
由正弦定理得，
∴，
故选：B.
练习2．（2023春·北京·高三北京市第五十中学校考期中）如图，在中，，点D在边BC上，且．
(1)求；
(2)求线段的长．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）在中利用余弦定理求解即可；
（2）先利用同角关系求，在中利用正弦定理即可求解．
【详解】（1）在中，由余弦定理可得，
又，
；
（2）因为，所以，
，
由，可得，
在中根据正弦定理得： ，
又，，，
所以．
练习3．（2023春·广东深圳·高三翠园中学校考期中）在中，角，，所对的边分别为，，，且满足.
(1)求的值；
(2)若为边所在线段上一点，且，，，求b的值；
【答案】(1)
(2)
【分析】（1） 由余弦定理求出，进而得；
（2） 在中，由余弦定理得，进而求得，在中，由正弦定理求得．
【详解】（1）由，可得，
于是得，又，则，
所以；
（2）在中，，
由余弦定理得，所以，
则，
在中，由正弦定理有，即，解得.
练习4．（2023·河南郑州·统考模拟预测）中，，，，平分线与交于点，则_________.
【答案】
【分析】首先利用余弦定理求出、，即可得到，再由正弦定理计算可得.
【详解】由余弦定理，
，
所以，所以，
因为为的平分线，所以，
所以，
在中由正弦定理，
即，所以.
故答案为：
练习5．（2023·四川攀枝花·统考三模）如图，四边形中，与相交于点O，平分，，，则的值_______.
【答案】/
【分析】由余弦定理求出，再由正弦定理求出，即得解；
【详解】在中，，
由余弦定理得
，
所以.
由正弦定理得，
.即.
又因为平分，所以.
故答案为：
题型二判断三角形解的个数
例3．（2022春·高三课时练习）已知在中，，若有两解，则正数的取值范围为____________．
【答案】
【分析】利用正弦定理得到，由题意则，且求解.
【详解】解：由正弦定理得：，
要使三角形有两解，则，且，
即，解得：.
故答案为：
例4．（2023春·江苏南通·高三江苏省通州高级中学校考期中）在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且，，若三角形有且只有一解，则b的取值范围为___________.
【答案】
【分析】由正弦定理得，依题意得或，进而利用三角函数的性质可得结果.
【详解】因为，，由正弦定理得，
要使三角形有唯一解，则或，
所以或，即或，
解得或，则b的取值范围为.
故答案为：.
练习6．（2023春·安徽马鞍山·高三马鞍山二中校考期中）（多选）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，B＝30°，则使此三角形只有唯一解的b的值可以是（ ）
A．B．3C．5D．
【答案】BD
【分析】由题意，则角A只有一个解，有或且，转化为边的关系即可.
【详解】由正弦定理得，，要使此三角形只有唯一解，此三角形时有且只有唯一解，则A只有一个，
则或且，
所以或，选项BD符合.
故选：BD．
练习7．（2021春·广东深圳·高三红岭中学校考期中）中，.则满足这样的三角形的个数为（ ）
A．唯一一个B．两个C．不存在D．有无数个
【答案】B
【分析】根据正弦定理进行求解即可
【详解】已知，
由正弦定理，，
又，则，，
或，满足条件的三角形有2个三角形.
故选：B.
练习8．（2023春·福建·高三校联考期中）（多选）在中，，角所对的边，下列结论正确的为（ ）
A．若，有一个解B．若，无解
C．若，有两个解D．若，有一个解
【答案】BCD
【分析】根据题意，由正弦定理求得，结合选项中的取值范围，分类讨论，即可求解.
【详解】因为且，由正弦定理，即，
当时，可得，所以，此时有一个解，故A不正确；
当时，可得，不成立（舍去），此时无解，故B正确；
当时，即，则，由，此时有两解，即有两解，故C正确；
当，即，则，由，此时只有一解，故D正确.
故选：BCD.
练习9．（2023春·陕西西安·高三西安市第八十三中学校考期中）在中，，，分别是角，，所对的边，，，若有两解，请写出一个满足题意的的值：_____.
【答案】（答案不唯一）
【分析】取，根据正弦定理得到，确定三角形有两解，得到答案.
【详解】取，则，即，，
，或，验证满足，故有两个解，满足.
故答案为：（答案不唯一）
练习10．（2023春·广东深圳·高一校考期中）在△中，，若三角形有两解，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】过作于，根据的长度大小关系判断三角形个数，即可确定参数范围.
【详解】由题设，过作于，如下图示，
则，可得时，三角形有两解.
当，即时，三角形不存在；
当或2时，△分别对应等边三角形或直角三角形，仅有一个三角形；
当时，在射线方向上有一个△，而在射线方向上不存在，故此时仅有一个三角形；

故选：C
题型三利用正弦定理求外接圆半径
例5．（北京市东城区2023届高三综合练习数学试题）在中，，，，则______.
【答案】
【分析】由余弦定理求解，由同角函数基本关系求出，代入面积公式求解即可.
【详解】由余弦定理可得，
解得，则，
又，
所以.
故答案为：
例6．（2023·北京·高一专题练习）在中，.
(1)求；
(2)若，求的面积.
【答案】(1)或
(2)或
【分析】（1）根据题意，由正弦定理的边角相互转化即可得到结果；
（2）根据题意，由余弦定理可得，再由三角形的面积公式即可得到结果.
【详解】（1）因为，由正弦定理可得，
，
因为，所以，
且，所以或.
（2）由（1）可知或，且，，所以
即，由余弦定理可得，，
即，解得或，
当时，，
当时，，
所以的面积为或.
练习11．（2023·全国·高三专题练习）在中，，AB边上的高为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据三角形的面积公式求得，利用余弦定理求得，再结合余弦定理，即可求得的值，即可求解.
【详解】解：在中，设边上的高为，
则，所以，
由余弦定理得，即，
又由余弦定理得．
故选：B.
练习12．（2022秋·河南焦作·高二统考期末）在中，其三边分别为，，且三角形的面积，则角__________.
【答案】/
【分析】根据面积公式结合余弦定理计算出的值，即可求解出的值.
【详解】因为，所以，
则，
又，所以.
故答案为：.
练习13．（2023春·河南信阳·高三校联考期中）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创造了一幅“勾股圆方图”，后人称其为“赵爽弦图”，类比赵爽弦图，用3个全等的小三角形拼成了如图所示的等边△，若，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】求得，，设出长度，利用正弦定理可得与的等量关系，再用余弦定理，即可求得，再求三角形面积即可.
【详解】在中，，
因为，所以，
设（），则，
由正弦定理可知，，即，则，
在中，，
，
又，则，故，
所以．
故选：B．
练习14．（2023春·河南信阳·高三校联考期中）如图，在中，为钝角，，是的平分线，交于点，且，．

(1)求的大小；
(2)求的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）在中根据正弦定理可解；
（2）先求，利用正弦定理可得BC，然后由三角形面积公式可解.
【详解】（1）在中，由正弦定理得．
所以．
因为为钝角，所以.
（2）根据条件，由（1）得．
由题设，，
在中，由正弦定理可得．
又，
所以的面积为．
练习15．（2023·宁夏石嘴山·平罗中学校考模拟预测）的内角，，所对边分别为，，，若，，，则的面积为______.
【答案】/
【分析】根据余弦定理计算，，再根据面积公式计算得到答案.
【详解】，，，则，
解得，，
.
故答案为：
题型四三角形面积及其应用
例7．（2023春·安徽六安·高三六安二中校考期中）若在中，，则三角形的形状一定是（ ）
A．直角三角形B．等腰三角形
C．等腰或直角三角形D．等边三角形
【答案】B
【分析】根据题意，由正弦定理的边角互化，即可得到结果.
【详解】因为在中，，
由正弦定理可得，，
所以，
即，所以，即.
所以为等腰三角形.
故选:B
例8．（2023春·浙江·高三期中）已知分别是三内角的对边，且满足，则的是__________三角形．（填三角形的形状特征）
【答案】直角
【分析】边化角，结合降幂公式化简整理可得.
【详解】解析：由正弦定理和降幂公式可得，
即
又，
所以
即
因为，
所以，
即
因为，所以，得，故为直角三角形．
故答案为：直角
练习16．（2023春·河南商丘·高三商丘市实验中学校联考阶段练习）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则△ABC是（ ）
A．直角三角形B．锐角三角形C．等边三角形D．的三角形
【答案】A
【分析】根据题意，先由降幂公式化简，然后由余弦定理可得，即可得到结果.
【详解】因为，所以，所以，
再由余弦定理可知，所以，即，
所以△ABC是直角三角形.
故选：A
练习17．（2023春·河南商丘·高三商丘市实验中学校联考阶段练习）（多选）已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列结论中正确的是（ ）
A．若，则
B．若△ABC是锐角三角形，则不等式恒成立
C．若，则△ABC必是等边三角形
D．若，，则△ABC是等边三角形
【答案】AD
【分析】利用正弦定理，余弦定理解三角形逐项判断即可.
【详解】由，利用正弦定理可得，∴，
而在上单调递减，∴，故A正确；
在锐角△ABC中，A，，，∴，
∴，因此不等式恒成立，故B错误；
由，利用正弦定理可得，
∴，∵A，，∴，
即，∴△ABC是等腰三角形，不一定是等边三角形.故C错误；
由于，，由余弦定理可得，
可得，解得，∴，故D正确.
故选：AD.
练习18．（2023·上海·高三专题练习）在中，已知.
(1)求；
(2)若，判断的形状.
【答案】(1)
(2)等腰的钝角三角形
【分析】（1）由正弦定理边化角，再结合余弦定理，可求出角的余弦值.
（2）利用三角形内角和关系计算出B、C角，根据角度判断三角形形状.
【详解】（1）由正弦定理得，
即，由余弦定理得，
所以，而为三角形内角，所以；
（2）由（1）知，且，
所以，
因为，所以，所以，
所以，即，所以，所以是等腰的钝角三角形.
练习19．（2023·江苏·高一专题练习）在中，，且，试判断的形状．
【答案】等边三角形
【分析】先利用余弦定理求得，再利用两角和与差的余弦公式求得，进而求得，由此求得，据此得解.
【详解】因为，所以，
所以由余弦定理得，
因为，所以，
因为，，
又，所以，则，
所以，
因为，所以，故，即，
又因为，所以，
又，所以是等边三角形.
练习20．（2023春·江西赣州·高三校考期中）已知△ABC内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，面积为S，若，，则△ABC的形状是（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形
【答案】D
【分析】由，结合三角形面积公式及向量的数量积运算可得，得，由余弦定理结合条件可得，从而得出结果．
【详解】由，可得，即，
因为，可得，
由余弦定理得：，
因为，所以，即，即，
又，所以是等边三角形．
故选：D．
题型五判断三角形的形状
例9．（2023·河南·校联考模拟预测）已知圆为的外接圆，，，则（ ）
A．2B．C．4D．
【答案】B
【分析】先利用正弦定理求外接圆的半径，再根据数量积的定义分析运算.
【详解】如图，圆的直径为，
故，，
故.
故选：B.
例10．（2023·河南·河南省实验中学校考模拟预测）在锐角中，，，若在上的投影长等于的外接圆半径R，则R=______.
【答案】2
【分析】根据正弦定理和投影长求出，结合得到，利用正弦定理求出答案.
【详解】由题意得，，，
即，即，
因为，所以，
故，故.
故答案为：2
练习21．（2023春·河北·高三校联考期中）在中，，，则外接圆的半径为（ ）
A．2B．C．D．4
【答案】D
【分析】根据内角和求出，再由正弦定理计算可得.
【详解】因为，所以，解得.
设外接圆的半径为，则，解得.
故选：D
练习22．（2023春·河南·高三校联考期中）已知外接圆的周长为，，则（ ）
A．4B．2C．D．
【答案】B
【分析】利用正弦定理可求的长度.
【详解】因为外接圆的周长为，所以外接圆的半径为2，
则根据正弦定理可得，解得．
故选：B.
练习23．（2023春·广东东莞·高三东莞高级中学校考阶段练习）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
(1)求角C的大小；
(2)若的外接圆半径，，求的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理结合化简得到，求出角C的大小；
（2）由正弦定理得到，由余弦定理求出，从而得到三角形面积.
【详解】（1）因为，
由正弦定理可得，
又，
所以，
即，
因为，所以，即，
因为，所以．
（2）因为，的外接圆半径，
所以由，可得，
因为，
由余弦定理，可得，
即，解得或（舍去），
所以的面积．
练习24．（2023·全国·高三专题练习）“不以规矩，不能成方圆”，出自《孟子·离娄章句上》．“规”指圆规，“矩”指由相互垂直的长短两条直尺构成的角尺，是用来测量、画圆和方形图案的工具。有一块圆形木板，以“矩”量之，较长边为10cm，较短边为5cm，如图所示，将这块圆形木板截出一块三角形木块，三角形顶点都在圆周上，角的对边分别为，，，满足
(1)求；
(2)若的面积为，且，求的周长
【答案】(1)
(2)cm
【分析】（1）根据题意可求圆的直径，再结合正弦定理运算求解；
（2）根据题意结合面积公式和余弦定理运算求解.
【详解】（1）设的外接圆半径为，则（cm），
由正弦定理，可得.
（2）∵，则，故为锐角，
∴，
由面积公式，即，可得，
由余弦定理，即，
可得，解得（cm），
故的周长为（cm）.
练习25．（2023·全国·高二专题练习）在锐角中，，，若在上的投影长等于的外接圆半径，则（ ）
A．4B．2C．1D．
【答案】B
【分析】由题知，，进而得，即，再结合正弦定理求解即可.
【详解】∵是锐角三角形，在上的投影长等于的外接圆半径，
，
又，，，
，
两式相加得：，即，
，即，
又，，.
故选：B.
题型六利用正余弦定理进行边角互化
例11．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）已知在中，它的内角的对边分别为，若，则_________．
【答案】
【分析】利用正弦定理和余弦定理进行边角转化，可得到，代入即可求解.
【详解】由，可得，化简得，
又∵，∴，
故答案为：
例12．（2023春·河南商丘·高三商丘市实验中学校联考阶段练习）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.
(1)求B；
(2)设，，求的面积.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，由正弦定理边角互化化简，再由三角恒等变换即可得到，即可得到结果；
（2）根据题意，由余弦定理可得，再结合三角形的面积公式即可得到结果.
【详解】（1）由正弦定理得，
因为，
所以，
因为，所以，
显然，则，
又，所以.
（2）由余弦定理可得，
因为，，
所以，
即，解得或（舍去），
所以，
所以的面积.
练习26．（2023·河北·统考模拟预测）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为，，，已知．
(1)证明：；
(2)若，，求△ABC的面积．
【答案】(1)证明见解析
(2)2
【分析】（1）利用正余弦定理及三角恒等变换的知识进行“角化边”，即可证明；
（2）结合（1）中的结论，结合余弦定理及面积公式进行化简求解.
【详解】（1）因为，
所以，
所以，
由正弦定理和余弦定理得，
整理得，
即，
又，，
所以．
（2）由（1）得，
由，，得．
由余弦定理可得，
即
所以，
所以△ABC的面积为．
练习27．（2023·全国·模拟预测）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】利用正弦定理和同角的三角函数基本关系是可求，再根据两角和的正弦公式可求，故可得正确的选项.
【详解】由及正弦定理，可得．
由，可得．
又，∴．
又，解得，则，
∴B为钝角，C为锐角．
∴，．
故，
∴．
故选: A.
练习28．（2023·吉林长春·东北师大附中模拟预测）已知中角的对边分别为，．
(1)求；
(2)若，且的面积为，求周长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由已知和正弦定理可得答案；
（2）由面积公式和余弦定理可得答案.
【详解】（1）由和正弦定理可得，
，
因为，所以，
所以，，，
，；
（2），，
又，
，
，
的周长为.
练习29．（2023·天津河西·天津市新华中学校考模拟预测）在中，角所对的边分别为，c.已知.
(1)求角；
(2)若，求的值；
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理化边为角，再结合两角和与差的三角函数公式即可求解.
（2）用两角和的余弦公式把拆开，结合二倍角公式即可求解.
【详解】（1）由正弦定理得，
即，
（2）
练习30．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）的内角，，的对边分别为，，，且，，则下面四个选项中错误的是（ ）
A．B．
C．D．周长的最大值为3
【答案】C
【分析】依题意可得，利用正弦定理将边化角，再结合两角和的正弦公式求出，即可求出，从而判断A，再利用余弦定理及基本不等式判断B，利用正弦定理将边化角，结合三角恒等变换公式判断C、D.
【详解】由于，所以，
由正弦定理可得，
由于，所以，由于是三角形内角，则，故A正确；
由余弦定理知，即，由于，
所以，当且仅当时等号成立，故B正确；
又由正弦定理知，
所以
，
当且仅当时等号成立，故周长的最大值为3，故D正确；
由得，，
所以
，故C错误.
故选：C.
题型七解三角形的实际应用
例13．（2023春·福建南平·高一福建省南平市高级中学校考期中）在路边安装路灯，灯柱与地面垂直（满足），灯杆与灯柱所在平面与道路垂直，且，路灯采用锥形灯罩，射出的光线如图中阴影部分所示，已知，路宽.设灯柱高，.

(1)求灯柱的高（用表示）；
(2)若灯杆与灯柱所用材料相同，记此用料长度和为，求关于的函数表达式，并求出的最小值.
【答案】(1)
(2)，米
【分析】（1）分别在△、△中，应用正弦定理求、，即可得解析式；
（2）应用正弦定理求得，并应用差角正弦公式、倍角公式、辅助角公式化简得到，根据正弦型函数性质求最小值.
【详解】（1）由题设，，，
在△中，则，
在△中，则.
所以.
（2）由题意，而，则，
所以，
结合（1）知：，
又，
所以，当，时，米.
例14．（2023春·河南洛阳·高三统考期中）（多选）一艘轮船航行到A处时看灯塔B在A的北偏东方向上，距离为12海里，灯塔C在A的北偏西30°方向上，距离为6海里，该轮船从A处沿正北方向继续航行到D处时再看灯塔B在其南偏东方向上，下面结论正确的有（ ）
A．海里B．海里
C．或D．灯塔C在D的南偏西方向上
【答案】ABD
【分析】画出示意图，由题意确定相应角大小、边长度，利用正余弦定理求、，进而判断各项的正误.
【详解】由题设，，，则，
所以，则海里，A正确；
所以海里，B正确；
由，则，故，灯塔C在D的南偏西方向上，C错误，D正确；
故选：ABD
练习31．（2023·河南·校联考模拟预测）中国古代数学名著《海岛算经》记录了一个计算山高的问题（如图1）：今有望海岛，立两表齐，高三丈，前后相去千步，令后表与前表相直.从前表却行一百二十三步，人目着地取望岛峰，与表末参合.从后表却行百二十七步，人目着地取望岛峰，亦与表末参合.问岛高及去表各几何?假设古代有类似的一个问题，如图2，要测量海岛上一座山峰的高度AH，立两根高48丈的标杆BC和DE，两竿相距BD=800步，D，B，H三点共线且在同一水平面上，从点B退行100步到点F，此时A，C，F三点共线，从点D退行120步到点G，此时A，E，G三点也共线，则山峰的高度AH=_________步.（古制单位:180丈=300步）

【答案】3280
【分析】易得在RtAHF中，在RtAHG中，得到，求解.
【详解】解：由题可知步，步，步.步.
在RtAHF中，在RtAHG中.
所以，，
则.
所以步.
故答案为：3280
练习32．（2023春·浙江·高三校联考期中）位于某港口的小艇要将一件重要物品送到一艘正在航行的海轮上.在小艇出发时，海轮位于港口北偏东且与该港口相距海里的处，并正以海里/时的速度沿正西方向匀速行驶.假设该小艇沿直线方向以海里/时的航行速度匀速行驶，经过小时与海轮相遇.
(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇的航行速度应为多少？
(2)若经过小时小艇与海轮相遇，则小艇的航行速度应为多少？
(3)假设小艇的最高航行速度只能达到海里/时，试设计航行方案（即确定航行方向与航行速度的大小），使得小艇能以最短时间与海轮相遇，并求出其相遇时间.
【答案】(1)海里/时
(2)海里/时
(3)当小艇的航行方向为北偏西，航速为海里/时，小艇能以最短时间小时和海轮相遇
【分析】（1）利用正弦定理可求最小距离，进而确定速度；
（2）由两小时可确定边，再利用余弦定理可得及速度；
（3）设，可得，，再根据时间相等可确定速度，再利用三角函数性质可得的最值及时间的最值.
【详解】（1）
如图所示，
，，，
时，即小艇往正北方向航行时航行的距离最小为海里，
海轮航行的距离为海里，故航行时间为小时，
所以小艇的航行速度海里/时；
（2）如图所示，
设小艇与海轮在点处相遇，
经过小时后海轮航行的里程为海里，
即，
则在中，由余弦定理得，
所以小艇航行的里程海里，
故小艇的航速海里/时；
（3）如图所示，
因为，且小艇的最高航速为海里/时，
，，故小艇与海轮不可能于，及之间的任意位置相遇，
设在点相遇，，
则，，
，
整理得，
从而，所以，
，
故时，即，相遇时间最短，为小时，
综上当小艇的航行方向为北偏西，航速为海里/时，小艇能以最短时间小时和海轮相遇.
练习33．（2023春·广东广州·高三西关外国语学校校考期中）如图，某中学校园内的红豆树已有百年历史，小明为了测量红豆树高度，他选取与红豆树根部在同一水平面的、两点，在点测得红豆树根部在西偏北的方向上，沿正西方向步行40米到处，测得树根部在西偏北的方向上，树梢的仰角为，则红豆树的高度为（ ）

A．米B．米C．米D．米
【答案】D
【分析】根据图形，在中利用正弦定理求得的值，在中求出的值．
【详解】依题意可得如下图形，

在中，，，，
由正弦定理得，解得，
在中，，
所以，
所以红豆树的高度为千米．
故选：D．
练习34．（2023春·云南曲靖·高三曲靖一中校考阶段练习）冬奥会会徽以汉字“冬”为灵感来源，结合中国书法的艺术形态，将悠久的中国传统文化底蕴与国际化风格融为一体，呈现出中国在新时代的新形象、新梦想.某同学查阅资料得知，书法中的一些特殊画笔都有固定的角度，比如在弯折位置通常采用30°、45°、60°、90°、120°、150°等特殊角度下.为了判断“冬”的弯折角度是否符合书法中的美学要求，该同学取端点绘制了△ABD，测得AB＝5，BD＝6，AC＝4，AD＝3，若点C恰好在边BD上，请帮忙计算sin∠ACD的值（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】在中，由余弦定理得，进而求出，再在中，利用正弦定理得解.
【详解】由题意，在中，由余弦定理得；
因为，所以，
在中，由正弦定理所以，
解得.
故选：D
练习35．（2023春·上海宝山·高二上海交大附中校考期中）某校学生利用解三角形有关知识进行数学实践活动.处有一栋大楼，某学生选（与在同一水平面的）､两处作为测量点，测得的距离为，，，在处测得大楼楼顶的仰角为.

(1)求两点间的距离；
(2)求大楼的高度.（第（2）问不计测量仪的高度，计算结果精确到）
【答案】(1)m
(2)m
【分析】（1）根据题意，先求出，然后利用正弦定理计算即可求解；
（2）根据题意结合（1）的结果可直接求出，然后利用两角和的正切公式计算即可.
【详解】（1）由已知得，
在中，
因为，
即，所以，
所以两点间的距离为m.
（2）在中，
因为，
所以，
又因为
所以
，
答：楼高约为.
题型一
利用正弦余弦定理进行解三角形
题型二
判断三角形解的个数
题型三
三角形面积及其应用
题型四
判断三角形的形状
题型五
利用正弦定理求外接圆半径
题型六
利用正余弦定理进行边角互化
题型七
解三角形的实际应用